Data Loading...
9 - 1 - Valjak (obrada, primjeri, zadaci) Flipbook PDF
9 - 1 - Valjak (obrada, primjeri, zadaci)
503 Views
465 Downloads
FLIP PDF 435.63KB
9 – valjak - osnovni pojmovi Matematika Tivat
VALJAK
Pojam, elementi i vrste valjka Valjak je geometrijsko tijelo ograničeno sa dva podudarna kruga koji pripadaju paralelnim ravnima i jednim zakrivljenim dijelom ravni (cilindrična površ).
- osnove valjka – podudarni krugovi - omotač valjka – zakrivljeni dio ravni (cilindrična površ) - visina valjka – normala povučena iz jedne tačke osnove valjka na drugu osnovu (uobičajena oznaka je H) - osa valjka – prava p(O1O2) - izvodnica valjka – svaka duž paralelna osi valjka čije krajnje tačke pripadaju granicama osnova (kružnicama) valjka (uobičajena oznaka je s)
Ako je osa valjka normalna na ravni kojima pripadaju osnove, onda je taj valjak pravi valjak. Izvodnice pravog valjka normalne su na paralelne ravni koje sadrže osnove valjka (s = H). Pored pravog valjka, postoji i kosi valjak. Nadalje ćemo se baviti samo pravim valjkom. Riječ prav ćemo izostaviti ali se i tada podrazumijeva da se radi o pravom valjku. pravi valjak
kosi valjak
9 – valjak - osnovni pojmovi Matematika Tivat
Valjak je geometrijsko tijelo koje nastaje kada pravougaonik rotira oko prave koja sadrži jednu njegovu stranicu. Ako pravougaonik stranica a i b rotira oko prave kojoj pripada stranica b, stranica a opisuje dva kruga, a druga stranica b opisuje cilindričnu površ. Poluprečnik osnove ovako dobijenog valjka jednak je stranici a (r = a), a visina jednaka je stranici b (H = b).
Mreža pravog valjka
Posmatrajmo valjak na slici. Uočimo duž m koja spaja tačke različitih osnova i normalna je na ravan osnove. Ta duž jednaka je visini valjka. Zamislimo da razrežemo omotač valjka po toj duži i po kružnicama osnova. Postavimo u ravan figuru koju smo dobili razrezivanjem valjka. Dobijena figura se sastoji od jednog pravougaonika i dva podudarna kruga. To je mreža valjka. Jedna stranica pravougaonika jednaka je visini valjka, a druga obimu kruga u osnovi. Osni presjek Presjek valjka i ravni koja sadrži njegovu osu je osni presjek valjka. Osni presjek valjka je pravougaonik čija je jedna stranica prečnik osnove valjka (2r), a druga izvodnica valjka (s = H). Dijagonala pravougaonika je dijagonala osnog presjeka valjka. D2 H 2 4r 2 . Površina osnog presjeka valjka je: POP 2rH . Površina valjka Površina valjka jednaka je zbiru površina osnova i površine omotača. Ako osnove označimo sa B, a omotač sa M, površina valjka će biti P = 2B + M.
9 – valjak - osnovni pojmovi Matematika Tivat
Kako za površinu kruga važi B r 2 i za omotač M 2r H , pa za površinu valjka važi: P 2r 2 2r H . Zapremina valjka Zapremina valjka se izračunava po formuli V B H , odnosno V r 2 H .
KONTROLNA PITANJA I ZADACI:
1. Navesti nekoliko objekata iz svoje okoline koji imaju oblik valjka. 2. Koji crteži prikazuju valjak?
3. Poluprečnik osnove valjka je r = 2 cm. Visina valjka je H = 2 cm. Nacrtati mrežu valjka. 4. Dopuniti: 1) Površina osnove valjka obilježava se sa ________. 2) Površina omotača valjka obilježava se sa ________. 3) Formula za površinu valjka je ________________. 4) Formula za zapremina valjka je _______________. 5) Obim osnove valjka jednak je _______________.
Literatura: 1. R. Jevremović Lj. Vuković, J. Ćuković,– Zbirka zadataka iz matematike (sa rešenjima) za VIII razred, Gornji Milanovac 1989. 2. Ž. Ivanović, S. Ognjanović,– Matematika 8 (Zbirka zadataka za 8. razred osnovne škole), Beograd 2006. 3. S. Ješić, M. Ignjatović, D. Mišić, V. Miletić – Zbirka zadataka i matematike za 8. razred osnovne škole, Beograd 2016. 4. M. Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković – Udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 8. razred osnovne škole, Kreativni centar 2012.
9 – valjak - osnovni pojmovi Matematika Tivat
VALJAK
B = r2π M = 2rπH POP = 2rH D2 = H2 + 4r2 ili D H 2 4r 2 P = 2r2π + 2rπH ili P = 2rπ(r + H) V = r2πH
Pr1. Ako je visina valjka 3 cm i poluprečnik 2 cm, izračunati dužinu dijagonale osnog presjeka valjka i površinu osnog presjeka valjka. Rješenje: H 3cm r 2cm D, Pop ?
Pop 2rH
D H 2 4r 2
Pop 2 2 3
D 32 4 2 2
Pop 12cm 2
D 9 16 D 25
D 5cm Pr2. Dijagonala osnog presjeka ravnostranog valjka je 6 cm. Kolika je površina baze valjka? Rješenje: Valjak je ravnostran ako mu je osni presjek kvadrat tj. ako mu je prečnik osnove jednak visini. D 6cm
H 2r B? D 2 H 2 4r 2 36 2r 4r 2
B r 2 2
36 4r 2 4r 2 36 8r 2 r2
36 9 8 2
r
9 3 2 2
r
3 2 3 2 cm 2 2 2
2
3 2 B 2 18 B 4 B 4,5 cm 2
9 – valjak - osnovni pojmovi Matematika Tivat
Pr3. Pravougaonik stranica 4 cm i 13 cm rotira oko duže stranice. Izračunati površinu i zapreminu valjka kao i površinu osnog presjeka dobijenog valjka. Rješenje: Prilikom rotacije pravougaonika oko stranice (bilo koje) dobija se valjak. (Pogledaj sliku). Sa slike se lako zaključuje da je poluprečnik ovako dobijenog valjka 4 cm, a visina 13 cm.
r 4cm H 13cm P, V , Pop ? P 2r r H P 2 4 4 13 P 8 17
V r 2 H
Pop 2rH
V 4 13 V 16 13 2
V 208 cm
Pop 2 4 13 3
Pop 104cm 2
P 136 cm 2 Pr4. Površina valjka je 112π cm2, a odnos poluprečnika osnove i visine valjka 2 : 5. Izračunati površinu omotača i zapreminu valjka. Rješenje: Učenici koji imaju ambiciju za veću ocjenu (4 ili 5) da pokušaju sami da urade ovaj primjer. Rezultat koji treba da se dobije je M 80 cm2 i V 160 cm3 . Pr5. Dijagonala osnog presjeka valjka je za 1 cm duža od visine. Izračunati površinu i zapreminu ovog valjka ako je poluprečnik osnove 2,5 cm. Rješenje: Učenici koji imaju ambiciju za veću ocjenu (4 ili 5) da pokušaju sami da urade ovaj primjer. Rezultat koji treba da se dobije je P 72,5 cm2 i V 75 cm3 . Zadaci za vježbu: 1. Izračunati površinu i zapreminu valjka ako je: a) r = 4 cm, H = 6 cm; b) r = 7 cm, H = 1 dm. 2. Obim osnove valjka je 10π cm. Kolika je površina valjka ako je njegova visina: a) tri puta duža od poluprečnika osnove; b) za 3 cm duža od poluprečnika osnove? 3. Pravougaonik stranica 7 cm i 8 cm rotira oko duže stranice. Izračunati površinu osnog presjeka dobijenog valjka.