Data Loading...
BUKU MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII Flipbook PDF
BUKU INI BERISI TENTANG MATERI MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII
119 Views
111 Downloads
FLIP PDF 3.53MB
BAB
1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Konsep limit sering kali digunakan dalam bidang non matematis, misalnya dikatakan “Produksi maksimum dari suatu mesin”. Secara teoritis ungkapan itu sebenarnya merupakan limit untuk pencapaian hasil, yang pada prateknya tidak pernah tercapai tetapi dapat didekati sedekat-dekatnya .Konsep limit juga dapat digunakan untuk menghitung kecepatan rata-rata dari sebuah bola yang dilemparkan udara.
Sumber : Basket. ©2012 Merdeka.com
Sumber : Science metalinda 17.Weebly.com
Kamu tentu sering melihat di sekolahmu atau ditelevisi permainan bola basket, Ketika seorang
pemain
melemparkan bola ke atas dengan sudut elevasi tertentu
menuju
keranjang basket , kita dapat melihat bahwa lintasan bola menuju keranjang basket membentuk Lintasan parabola. Bola basket yang dilempar keudara dengan kecepatan awal V0 kaki/detik, dengan ketinggian y = bt – at2 kaki, maka kecepatan sesaat pada t detik dapat dihitung dengan konsep limit kecepatan rata-rata V (t )
Lim h 0
1
f (t h) f (t ) . h
Peta Konsep Agar mempermudah mempelajari konsep limit fungsi Trigonometri , Perhatikan dan pahamilah terlebih dahulu peta konsep di bawah ini.
Defenisi
Limit Fungsi Trigonometri
Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara
Substitusi
Menyederhanakan
Rumus Limit Fungsi Trigonometri
Limit Fungsi Trigonometri Limit Fungsi Aljabar Menuju Tak Hingga Bentuk
lim x
f x g x
Bentuk
lim f x g x
Limit Fungsi Menuju Tak Hingga
x
Limit Fungsi Trigonometri Menuju Tak hingga
Asimtot Vertikal dan Horizontal Fungsi Aljabar
Kata Kunci
Limit Fungsi , Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Menuju Tak Hingga, Limit Fungsi Aljabar Menuju Tak Hingga, Limit Fungsi Trigonometri Menuju Tak Hingga, Asimtot Vertikal, Asimtot Horizontal. 2
Prasayarat Limit Fungsi Trigonometri Pada bab ini kita akan mempelajari limit fungsi trigonometri. Untuk menyelesaikan
limit fungsi trigonometri caranya sama dengan limit fungsi aljabar untuk x a yang telah dipelajari pada Matematika Wajib kelas XI. Oleh karena itu sebelum mempelajari limit fungsi trigonometri, sebaiknya kerjakan terlebih dahulu soal limit fungsi aljabar berikut. Kegiatan Siswa 1. Individu 1. Apakah yang kamu ketahui tentang definisi limit? 2. Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut! a.
d.
lim 6 x 5
b.
lim x 5
c.
lim
x 2 6x 5 x 2 3x 4
x 1
3x 4 2x 3
lim 4 x
lim
x2 1 x 1
2
e.
x 4
2x 1
x 1
f.
lim 2 x 0
x 4 x
Jika kamu sudah dapat mengerjakan soal – soal di atas maka kamu akan mudah untuk mempelajari limit fungsi trigonometri karena penyelesaian limit fungsi trigonometri sama saja dengan cara penyelesaian limit fungsi aljabar.
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. DEFINISI Misalkan
f : x f x ,
f x adalah fungsi trigonometri maka limit fungsi
trigonometri untuk x mendekati suatu sudut tertentu, a adalah nilai fungsi f x untuk x mendekati a baik dari kiri maupun dari kanan dan dilambangkan sebagai berikut :
lim f x L
x a dengan keterangan L = nilai f x untuk x mendekati a a = besar sudut dalam radian
3
2. MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 2.1 DENGAN CARA SUBSTITUSI Pada limit fungsi aljabar, metode substitusi langsung dapat dilakukan jika hasilnya terdefinisi atau bukan bentuk tak tentu
0 . Dengan cara yang sama juga dapat kita lakukan 0
pada limit fungsi trigonometri yaitu menyubstitusi langsung nilai sudut yang diberikan. Tetapi jika hasil akhirnya tak terdefinisi maka substitusi langsung tidak bisa dilakukan. Contoh Soal2.1 1. Hitung nilai
lim sin 2 x x 0
Jawab :
lim sin 2 x sin 2(0) x0
=0 2. Hitung nilai
lim sin x cos x x
Jawab :
lim sin x cos x sin cos x
0 1
1
1 sin x cos x x 0 1 sin x 1 sin 0 Jawab : lim = cos x cos 0 x 0 1 0 = 1 =1
3. Hitung nilai
lim
Latihan 2.1 Hitunglah limit fungsi – fungsi trigonometri berikut: sin x cos x 1. lim cos x x0 tan x cos x 2. lim sin x x 3
3.
sin 2 x lim 1 cos x x 2
4
2.2 DENGAN CARA MENYEDERHANAKAN Metode ini pada umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri pada fungsi pecahan. Langkah – langkah yang digunakan adalah menyederhanakan bentuk pecahan tersebut dengan memfaktorkannya. Dalam proses menyederhanakan diperlukan Rumus – Rumus Trigonometri yang sudah dipelajari di Matematika Wajib Kelas X dan Matematika Peminatan Kelas XI. Kali ini Penulis akan memberikan bantuan Rangkuman Rumus – Rumus Dasar Trigonometri yang sering digunakan : Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin A B sin A cos B cos A sin B sin A B sin A cos B cos A sin B
cos A B cos A cos B sin A sin B cos A B cos A cos B sin A sin B tan A tan B 1 tan A tan B tan A tan B tan A B 1 tan A tan B tan A B
Rumus Sudut Rangkap
sin 2 A 2 sin A cos A
cos 2 A cos 2 A sin 2 A cos 2 A 1 2 sin 2 A cos 2 A 2 cos 2 A 1 2 tan A tan 2 A 1 tan 2 A Ingat : sin 2 A cos 2 A 1 sin 2 A 1 cos 2 A cos 2 A 1 sin 2 A Rumus Penjumlahan / Pengurangan ke Perkalian
1 A B cos 1 A B 2 2 1 1 sin A sin B 2 cos A B sin A B 2 2 1 1 cos A cos B 2 cos A B cos A B 2 2 1 1 cos A cos B 2 sin A B sin A B 2 2 sin A sin B 2 sin
5
Contoh Soal 2.2 1. Tentukan nilai dari
lim x0
Jawab
:
lim x0
sin 2 x . sin x
sin 2 x 2 sin x cos x lim sin x sin x x0
Ingat Rumus sin 2 x 2 sin x cos x
lim 2 cos x x0
2 cos0 21
2 sin 5 x sin x cos 2 x x0 sin 5 x sin x 2 sin 3x cos 2 x lim : lim cos 2 x cos 2 x x0 x0
2. Tentukan nilai dari
Jawab
lim
Ingat Rumus sin A sin B 2 sin
1 A B cos 1 A B 2 2
lim 2 sin 3x x0
2 sin 30 2 sin 0 0 2 1 cos x 3. Tentukan nilai dari lim tan 2 x x0 1 cos 2 x sin 2 x Jawab : lim lim 2 tan 2 x x0 x0 tan x Ingat Rumus Identitas Trigonometri sin x cos x 1 maka sin x 1 cos x 2
lim x 0
sin 2 x sin 2 x cos 2 x
lim cos 2 x x0
6
2
2
2
cos 2 0 12 1 Latihan 2.2 Hitunglah setiap limit berikut: 1. 2.
1 cos x sin x x0 2 cos 2 x 1 lim cos x sin x x
lim 4
3.
cos 2 x
lim cos x sin x x
2
2.3 DENGAN MENGGUNAKAN RUMUS LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Perhatikan gambar berikut ini
Misalkan x dalam radian, dan 0 x
2
, maka BC r sin x dan AD r tan x
Untuk mencari luas juring AOB:
Luas Juring OAB x Luas Juring OAB x dan 2 2 r Luas Seluruh Lingkaran 2 x 1 .r 2 r 2 x 2 2 Dari bangun di atas dapat diperoleh: Sehingga luas juring AOB =
Luas AOB luas juring AOB luas AOD 1 1 1 . OA. BC r 2 x OA. AD 2 2 2 1 1 1 . r . r sin x r 2 x r . r tan x 2 2 2
7
1 2 1 1 . r sin x r 2 x r 2 . tan x 2 2 2 sin x x tan x ...................................................................................................(i) Dari (i) diperoleh : x 1 1 sin x cos x x 1 1 lim lim lim x0 x0 sin x x0 cos x Dengan menggunakan sifat – sifat limit dan substitusi diperoleh: 1 lim x0
x 1 1 sin x 1
Sehingga
x
lim sin x 1 x0
Rumus yang diperoleh dapat kita kembangkan lagi menjadi
lim x0
sin x lim x x0
lim x0
1 1 1 x 1 sin x
Sehingga
lim
sin x 1 x
lim
tan x 1 x
x0
tan x 1 sin x lim x x0 x cos x lim x0
sin x 1 . x cos x
sin x 1 . lim x x0 x0 cos x 1 1. lim x0 cos 0
lim
1
Sehingga
x0
x
lim tan x x0
1 tan x 1 x. sin x cos x
lim x. x0
lim x0
lim x. x0
cos x sin x
8
lim x0
lim x0
x . cos x sin x x cos x sin x lim x0
1 . cos (0)
1
Sehingga
x
lim tan x 1 x0
Rumus – rumus dasar di atas yang sudah kita peroleh dapat kita kembangkan lagi menjadi :
sin ax sin ax a sin ax a a lim lim bx bx a x 0 ax b b x 0 x 0 bx bx a ax b b lim lim lim a x 0 sin x a a x 0 sin ax x 0 sin ax tan x tan ax a tan ax a a lim lim lim bx bx a x 0 ax b b x 0 x 0 bx bx a ax b b lim lim lim a x 0 tan ax a a x 0 tan x x 0 tan ax sin ax sin ax ax bx sin ax bx ax a lim lim lim ax bx x 0 ax tan bx bx b x 0 tan bx x 0 tan bx tan bx tan bx bx ax tan bx ax bx b lim lim lim bx ax x 0 bx sin ax ax a x 0 sin ax x 0 sin ax
lim
Untuk lebih jelasnya, lakukanlah Kegiatan Siswa berikut:
Kegiatan Siswa 2 : Individu 1. Tentukanlah hasil dari 7x lim a. x0 sin 2 x sin 7 x lim b. x0 2 x
3. Tentukanlah hasil dari sin 2 x a. lim x0 sin 5 x tan 2 x b. lim x0 tan 5 x
2. Tentukanlah hasil dari x lim a. x0 tan 5 x tan 5 x lim x b. x0
4. Tentukanlah hasil dari sin 2 x a. lim x0 tan 5 x tan 2 x b. lim x0 sin 5 x
9
Penyelesaian : 7x 7 x ... ... 2x ... ... 1. a. lim lim . lim .1 2 x0 sin 2 x 2 2 x0 sin 2 x x0 sin 2 x 2 sin 7 x sin 7 x ... ... sin 7 x ... ... b. lim lim . lim .1 2x 2x 7 2 x0 7 x 2 2 x0 x0 x x ... ... ... ... 2. a. lim lim . lim .1 5 x0 tan 5 x 5 5 x0 tan 5 x x0 tan 5 x 5 tan 5 x tan 5 x ... ... ... ... b. lim lim . lim . 1 ... x x ... ... x0 ... ... x0 x0 sin 2 x sin 2 x ... ... sin 2 x ... ... 3. a. lim lim . . lim . lim . ... x0 sin 5 x x0 sin 5 x ... ... x0 x0 sin 5 x ... ... sin 2 x ... lim . lim ... x0 ... x0 sin 5 x ... ... .1.1 ... ... sin 2 x tan 2 x ... ... tan 2 x ... ... b. lim lim . . lim . lim . ... x0 sin 5 x x0 tan 5 x ... ... x0 x0 tan 5 x ... ... tan 2 x ... lim . lim ... x0 ... x0 tan 5 x ... ... .1.1 ... ... sin 2 x sin 2 x ... ... sin 2 x ... ... 4. a. lim lim . . lim .lim . ... x 0 tan 5 x x 0 tan 5 x ... ... x 0 x 0 tan 5 x ... ... sin 2 x ... lim .lim ... x0 ... x0 tan 5 x ... ... .1.1 ... ... tan 2 x tan 2 x ... ... tan 2 x ... ... lim . . lim .lim . b. lim ... x 0 sin 5 x x 0 sin 5 x ... ... x 0 x 0 sin 5 x ... ... tan 2 x ... lim .lim ... x0 ... x0 sin 5 x ... ... .1.1 ... ... Dari keempat soal di atas , apakah point a dan b memberikan hasil yang sama?. Jika memberikan hasil yang sama, kesimpulan apakah yang Ananda dapatkan? Dari kegiatan siswa2 Individu di atas maka dapat kita simpulkan rumus – rumus dasar limit fungsi trigonometri sebagai berikut :
10
sin ax a bx b x 0 bx b 2) lim a x 0 sin ax tan ax a 3) lim bx b x 0 1)
lim
4)
bx
b
sin ax
a
tan bx
b
lim tan ax a x 0
5)
lim tan bx b x 0
6)
lim sin ax a x 0
Contoh Soal 2.3 : 1. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut: 4x a. lim x0 tan 2 x 4x 4 Jawab : lim 2 2 x0 tan 2 x sin 3x tan 2 x b. lim 5x x 0 sin 3 x tan 2 x sin 3x tan 2 x 3 2 5 lim 1 Jawab : lim lim 5x x0 5 x x0 5 x 5 5 5 x0 sin 2 3x c. lim 4x2 x0 sin 2 3x sin 3x sin 3x 3 3 3 lim . . Jawab : lim 2 4x 4x x 4 1 12 x0 x0 3 sin 2 x d. lim 2 x0 4 x tan 5 x sin 3 2 x sin 2 x sin 2 x sin 2 x 2 2 2 2 lim . . Jawab : lim 2 4x x tan 5 x 4 1 5 5 x0 4 x tan 5 x x0 2.
Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut: sin 5x 3 a. lim 2x 6 x 3 sin 5x 3 sin 5x 3 5 sin x 3 5 5 1 lim lim Jawab : lim 2x 6 2x 3 2 x0 x 3 2 2 x3 x3 sin 3x 9 b. lim x3 tan2 x 6 sin 3x 9 sin 3x 3 3 lim Jawab : lim 2 x3 tan2 x 6 x3 tan 2 x 3 3x 2 30 x 75 c. lim sin 2 2 x 10 x 5 3x 2 30 x 75 3x 2 30 x 75 Jawab: lim lim sin 2 2 x 10 sin 2 2 x 10 x5 x5 3x 5x 5 lim x5 sin 2 x 5sin 2 x 5 11
3x 5 x 5 lim x5 sin 2 x 5 sin 2 x 5 3 1 2 2 3 4 3. Tentukanlah hasil setiap limit fungsi trigonometri berikut ini 1 cos 8 x a. lim x0 1 cos 6 x 1 cos 8 x 1 cos 24 x Jawab : lim lim x0 1 cos 6 x x0 1 cos 23 x lim x0
2 sin 2 4 x 2 sin 2 3x
sin 4 x lim x0 sin 3 x
2
2
4 16 9 3 b.
1 cos 6 x
lim cos 8x 1 x 0
Jawab : lim x 0
1 cos 6 x 1 cos 23x lim cos 8 x 1 x 0 cos 24 x 1 2 sin 2 3x lim 2 x 0 2 sin 4 x
sin 3x lim sin 4 x x 0 3 4 9 16 c.
lim x0
2
2
cos 4 x cos 2 x 1 cos 6 x
Jawab :
lim x 0
cos 4 x cos 2 x lim 1 cos 6 x x 0
lim x 0
12
1 4 x 2 x sin 1 4 x 2 x 2 2 1 cos 23x 2 sin 3x . sin x 2 sin 2 3x
2 sin
lim x0
sin x sin 3x
1 3
Latihan 2.3 Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi trigonometri berikut: sin 2 x tan 3x x tan 5 x 1. lim lim tan 6 x x 0 6. x0 cos 2 x cos 7 x 2.
lim sin x x4
x4 5x 4
2
lim x 0
4.
lim x 2
5.
lim x0
7.
4 x sin 2 x tan 2 4 x 2
3.
x tan x
x
2
lim 1 cos 2 x x 0
lim
1 cos 4 x x2
lim
tan3x 6 x2 4
2
8.
5 x 6 sin x 2
x
2
x2
2
x 0
9.
9x2 tan 2 3x
10.
x 0
lim x 0
LIMIT FUNGSI MENUJU TAKHINGGA 1. Limit Fungsi Aljabar Menuju Tak Hingga 1.1 Pengertian
Grafik
y
1 x
13
1 sin x cos x tan 4 x
Kegiatan Siswa 3: Individu Perhatikan dan lengkapilah tabel di bawah ini 1 10 100 1000 …. x 10 6 1 f x 1 ... ... ... ….. ... ... x Setelah melengkapi tabel, jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut ini a. b. c.
Bagaimana nilai f x
1 untuk x yang semakin besar? x 1 1 Berapakah nilai f x 2 dan f x n untuk x yang semakin besar x x Dari soal a dan b, berikanlah kesimpulan Anda!
Dari kegiatan Siswa 3dapat diperoleh Teorema sebagai berikut:
1
lim x 0
1
lim x
dan
x
x
n
0
Contoh Soal 1.1.1 : 1. Hitunglah nilai
1
1
lim x 5 x
Jawab
:
x
2. Hitunglah nilai
1
lim x 5 lim x lim 5 0 5 5 x
x
3x 2
lim 2 x 1 x
Jawab (Dengan menyubstitusi ternyata menghasilkan bentuk tak tentu maka perlu dimanipulasi terlebih dahulu) f x 1.2Bentuk lim x g x Untuk menentukan nilai dari limit menuju ketakhinggaan dengan bentuk f x
lim g x ,
f x dan
g x berbentuk polinomia
jika
setelah
disubstitusi
x
menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebutnya. 14
Contoh Soal 1.2.1: Tentukanlah nilai dari limit – limit berikut 3x 2 6 x 1 a. lim c. 2 x 2 x x 5 2 x 3 4 x 2 3x 5 b. lim 3 x 2x2 4 x Penyelesaian
lim x
lim x
2
1 2 x 4 x 3x 2 x 4 x 3x x5 lim 1 x3 2x 2 4 x3 2x 2 4 x x5 2 x 3 4 x 2 3x 5 5 5 5 x x x lim 3 2 x 2x 4 x 5 5 5 x x x 3
b.
x
1 3x 6 x 1 3x 6 x 1 x 2 2 1 2 x 2 x 5 lim x 2 x x 5 x2 3x 2 6 x 1 2 2 2 x x x lim 2 x 5 x 2 x 2 2 2 x x x 6 1 3 2 x x lim 1 5 x 2 2 x x 30 0 200 3 2 2
a.
lim
3x 2 4 x 6 4 x3 2 x 2 5x
2
5
3
lim x
2
2 4 3 x 2 x3 1 2 4 x 2 x3 x5
003 000
3 0
15
5
c.
lim x
1 3 3x 2 4 x 6 3x 2 4 x 6 lim 3 x 3 2 2 4 x 2 x 5 x x 4 x 2 x 5 x 1 x3
lim x
3 4 6 x x 2 x3 2 5 4 2 x x
000 400
0 Dari hasil- hasil pada contoh di atas dapat kita temukan cara singkat untuk f x
mengerjakan limit fungsi berbentuk
lim g x
yaitu dengan memerhatikan masing –
x
masing suku berpangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut . Misalkan
f x ax m bx m 1 ... L n n 1 g x lim ... x px qx
lim x
Untuk m adalah pangkat tertinggi pembilang dan n adalah pangkat tertinggi dari penyebut maka: 1.
L 0 jika m n
2.
L
3.
L jika m n untuk
4.
L jika m n untuk
a jika m n p
a 0 p a 0 p
Contoh Soal 1.2.2 1.
Tentukan nilai dari
lim x
3x 2 x 2 5x 6
Jawab :(Perhatikan hanya pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut)
lim x
3x 2 x 5x 6 2
lim x
16
3x x2
lim x
3x x
x2 x
lim 3 3 x
2.
Tentukan nilai dari
4x 9x 2 4x
lim x x
x 2 8 x 12
Jawab:(Perhatikan hanya pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut)
4x 9x 2 4x
lim x x
x 8 x 12 2
lim x
x x
lim
4 x 3x xx
lim
x 2x
lim
1 1 2 2
x
x
x
1.3 Bentuk
4x 9x 2
9 x 2 3x
2
lim f x g x x
Pada bagian ini yang akan kita bahas adalah limit yang memuat fungsi irasional. Oleh sebab itu fungsi irasional tersebut harus kita rasionalkan terlebih dahulu. Untuk merasionalkannya maka limit fungsi yang berbentuk
lim f x g x kita kalikan x
dengan bentuk sekawannya seperti berikut ini: f x g x
lim f x g x . f x g x x
Contoh Soal 1.3.1 : 1. Tentukan nilai dari
lim
2x 3 4x 3 .
x
Penyelesaian :
lim x
2 x 3 4 x 3 lim 2 x 3 4 x 3 x
lim x
2 x 3 4 x 3 2x 3 4x 3 17
2x 3 4x 3 2x 3 4x 3
lim x
2. Tentukan Nilai lim
2x 2x 3 4x 3
(variabel pangkat tertinggi : x )
9x 3 4x 3
x
Penyelesaian:
lim x
9 x 3 4 x 3 lim 9 x 3 4 x 3 x
lim x
lim x
9 x 3 4 x 3 9x 3 4x 3 5x 9x 3 4x 3
9x 3 4x 3 9x 3 4x 3
(variabel pangkat tertinggi : x )
3. Tentukan Nilai lim 3x 2 3x 3 x
Penyelesaian:
lim x
3x 2 3x 3 lim 3x 2 3x 3 x
lim x
lim x
3x 2 3x 3
3x 2 3x 3 3x 2 3x 3
3x 2 3x 3 1 (variabel pangkat tertinggi : x ) 3x 2 2 x 3
0 Dari ketiga soal di atas dapat diambil kesimpulan:
1 lim x
2 lim
ax b
x
3 lim
jika a c cx d jika a c cx d 0 jika a c
ax b cx d
ax b
x
Contoh Soal 1.3.2 : 1. Tentukan nilai dari
lim
9 x 2 2 x 6 9 x 2 3x 7
x
Penyelesaian
lim
9 x 2 2 x 6 9 x 2 3x 7
x
18
lim 9 x 2 2 x 6 9 x 2 3x 7 x
lim x
lim x
9 x
2
2 x 6 9 x 2 3x 7
9 x 2 2 x 6 9 x 3x 7 5x 1
9 x 2 2 x 6 9 x 2 3x 7 9 x 2 2 x 6 9 x 2 3x 7
2
9 x 2 x 6 9 x 3x 7 2
2
Ingat
9x
2
3x
( pembilang dan penyebut memiliki variabel pangkat tertinggi x )
lim x
lim x
5 6
5x 1 (Gunakan cara cepat dengan memperhatikan pangkat tertingginya saja) 3x 3x 5x 1 6x a ( Lihat cara singkat No.2 yaitu L jika m n ) p
2. Tentukan nilai dari
lim
6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2
x
Penyelesaian
6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2
lim x
lim x
lim x
lim x
6 x 2 x 1 2 x 3x 2 2
6 x
2
2
2 x 1 2 x 2 3x 2
6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2 6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2
6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2 4 x 2 5x 1
6 x 2 2 x 1 2 x 2 3x 2
(pembilang memiliki variabel pangkat tertinggi x 2 dan penyebut memiliki variabel pangat tertinggi x )
lim x
4x 2 6x 2 2x 2
(Gunakan cara cepat dengan memperhatikan pangkat tertingginya saja)
(Lihat cara singkat No. 3 yaitu L jika m n untuk
3. Tentukan nilai dari
lim
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
x
Penyelesaian
lim
a 0) p
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
x
19
lim
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
x
4 x
lim
2
2x 6 9x 2 2x 5
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
x
5x 2 4 x 1
lim
4x 2 2x 6 9x 2 2x 5
x
(pembilang memiliki variabel pangkat tertinggi
x 2 dan penyebut memiliki variabel pangkat tertinggi x )
5x 2
lim
4x 9x 2
x
lim x
2
Ingat
4x
2
2 x dan 9 x 2 3x
5x 2 (Gunakan cara cepat dengan memperhatikan pangkat tertingginya saja) 2 x 3x
(Lihat cara singkat No. 3 yaitu L jika m n untuk
a 0) p
Dari ketiga soal di atas dapat diambil kesimpulan :
1 lim x
2 lim
ax 2 bx c dx 2
x
3 lim
be ex f 2 a ex f
ax 2 bx c dx 2 ex f
ax 2 bx c dx 2
jika a d jika a d jika a d
x
Latihan2.1.1 Hitunglah nilai – nilai limit di ketakhinggaan fungsi aljabar berikut ini : 5x 2 5x 2 1. lim 2 x 2 x 3 x 1 2 x 13x 2 2. lim x 4 x 2 x 1
3x 2 3. lim x 2 x x 2 1 4. lim 4 2 x 2 x x 4 3
20
5.
lim x
6.
3x 3 1 4 x2
lim x
7.
lim x
8.
lim lim
4x 2 2x 3x 2 4 x 2
9x 4 2x 4 x 4 3x 2 2 x3 x2
x
9.
4 x 8 3x 2
x
lim x 1 2 x 3 11. lim 3 x 6 2 1 x 10.
x
x
12.
lim
2 x 2 3x 4 2 x 2 2 x 5
lim
x 2 2x 4 2x 2 x 2
lim
x 2 2x 1
lim
2 x 2 x 5 x 2 3x 10
x
13.
x
14.
x 22 x 5
x
15.
x
16.
lim 3x 1x 5
x 2 7 x 10
x
17.
lim x 5
x2 x 9
x
18.
lim x
19.
x 1 x 1
lim
x2 x2
lim
4 x 2 px 5 4 x 2 9 x 2 3 Tentukanlah nilai p
x
20.
9 x 2 x 4 3x 5
x
2. Limit Fungsi Trigonometri Menuju Tak Hingga Pada dasarnya cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri menuju tak hingga sama dengan cara menyelesaikan limit fungsi aljabar yaitu dengan cara menyubstitusi secara langsung terlebih dahulu Perhatikan contoh – contoh soal berikut ini :
21
Contoh Soal 2.2.1 Tentukanlah hasil dari limit fungsi trigonometri menuju tak hingga berikut ini 1.
1
lim cos x x
2.
1
lim 3 sin x x
3.
1
lim x tan x x
cos
4.
lim x
5.
1 x
3
2
lim 2 cos x x
Penyelesaian 1.
1
lim cos x cos 0 1 x
2.
1
1
lim 3 sin x lim 3 . lim sin x 3 . sin 0 3 . 0 0 x
3.
x
x
1
1
lim x tan x lim x . lim tan x . tan 0 x
x
. 0
x
1 1 1 1 1 x 1 cos . cos 0 . 1 lim 3 3 x x 3 3 3
cos
4.
lim x
5.
lim 2 cos x lim 2 2.lim cos x 2 2. cos 0 2 2 1 4 2
x
1
x
x
Namun jika dengan menyubstitusi secara langsung menghasilkan bentuk tak tentu maka kita harus menggunakan cara yang lain. Di bawah ini ada rumus – rumus dasar limit fungsi trigonometri yang dapat membantu menyelesaikan soal – soal limit fungsi trigonometri menuju ketakhinggaan
22
Rumus – Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri Menuju Ketakhinggaan
a.
lim
sin x 0 x
lim
cos x 0 x
x
b.
x
a x a b b x
tan
d.
lim x
e.
a
lim cos x 1 x
a x a b b x
sin
c.
lim x
Contoh Soal 2.2.2 1. Hitunglah nilai limit di bawah ini
lim
a.
x
sin 3x 4x
lim x
lim
c.
x
tan e.
3 x
lim x
cos 2 x 3x
sin 3x 0 4x
lim
2 x 2 3 3 x
lim
cos 2 x 0 3x
sin b.
x
c.
x
d.
2
lim cos x 1 x
4 x 4 2 2 2 x
tan
e.
lim x
lim x
Penyelesaian a.
2
lim cos x x
2 x
sin b.
d.
23
2 x
4 x
2. Hitunglah nilai limit di bawah ini : a.
3
lim 2 x sin x x
b.
lim
2 3 tan sin x x 10 6 sin tan x x
lim
2 x 1 2 x sin 3x
x
cos
c.
x
d.
lim x
2 3 x 2 sin tan x x 2
Penyelesaian a.
3
3
lim 2 x sin x 2 lim x sin x x
x
2 lim x
sin
3 x
1 x
3 2 2.3 6 1
b.
2 3 2 3 1 tan sin tan sin x x x x x lim lim 10 6 10 6 1 x x sin tan sin tan x x x x x 2 3 sin x x 1 1 x x 10 6 sin tan x x 1 1 x x tan
lim x
24
23 10 6 5 4
2 2 cos lim x x x 1 1 2 x sin lim 2 x sin 3x 3x x cos
c.
lim x
2
lim cos x x
1 3x 1 x
sin 2 lim x
d.
lim x
1 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2 3 x 2 sin tan x sin x tan x x x x lim 2 2 x
lim x
2 3 sin tan x . x 1 1 x x 2
2. 3 3 2
3. Hitunglah nilai limit di bawah ini :
a.
lim x
1 1 1 2 x 2 tan x sin x x x 2 x cos x 25
(SBMPTN 2017)
b.
lim
2 x tan
x
2 3 cos x x
3 3 2 x cot x x 2 x 3x 2
5 cot c.
lim x
Penyelesaian 1 1 1 2 x 2 tan x sin x x x (SBMPTN 2017) 1. lim 2 x x cos x 1 1 1 1 2 x 2 tan x sin x x x x lim 2 1 x x cos x x 1 1 1 2 x tan sin 2 x x x lim 2 x cos x 1 1 1 x tan sin 2 x x x 2 lim 2 x cos x 1 x tan x sin 1 1 2 1 x x x 2 lim 2 x cos x 1 x tan 1 1 x sin lim 2 lim lim 1 x x x x x x 2 2 cos lim x x 1 0 0 2 1
2.
2
lim
2 x tan
x
lim x
2
2 3 cos x x 2 3 x tan cos x x 26
2 3 x . cos lim 1 x x x
tan 2
lim x
2 21
2 2
3 3 2 x cot x x 3. lim 2 2 x 3x x 3 3 1 5 cot 2 x cot x x x2 lim 1 2 x 3x 2 x x2 5 3 2 3 cot cot 2 x x x lim x 2 x 3 x 2 5 3 cot lim x lim 2 x x tan 3 x x x 2 3 lim x x 2 0 3 = 2 03 9 5 cot
Latihan 2.2.1 Hitunglah nilai limit berikut ini! 1.
1
lim 2 x sin x x
2.
2
lim x tan x x
x 2 x 3 sin 3.
lim
1 x
x3 1 1 4. lim x sec 1 x x x
5.
lim x
3 1 cos 2 x x 2 tan x 27
3. Asimtot Vertikaldan Horizontal Fungsi Aljabar Kegiatan Siswa 4 : Individu Untuk memahami apakah yang dimaksud dengan asimtot kerjakanlah kegiatan siswa berikut ini 1. Berapakah nilai dari 0 a. 1 1 b. 0 1 c. 2. Tentukanlah domain dan range dari fungsi – fungsi berikut ini 3 a. f x x2 1 b. f x 2 x 3x 10 1 c. f x 2 x 4 x2 1 f x 2 d. 3. Gambarlah sketsa grafik fungsi berikut ini 1 a. f x , x R x 1 b. f x 2 , x R x 3 , xR c. f x x2 x3 d. f x 2 , xR x 1 Gambar f x a x dengan a 1
28
Masih ingatkah Ananda dengan grafik fungsi eksponen f x a x dengan a 1 pada pembelajaran Matematika Peminatan Kelas X? Apakah ada titik potong pada sumbu - X dan titik potong pada sumbu - Y dari fungsi eksponen tersebut? Perhatikanlah gambar f x a x dengan a 1 di atas terlihat dengan jelas bahwa grafik tersebut memotong sumbu - Y di 0 , 1 akan tetapi tidak pernah memotong sumbu -
X melainkan hanya mendekatinya saja. Inilah yang disebut dengan asimtot horizontal y 0 Jadi, asimtot dapat didefinisikan dengan suatu jenis garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol jauh menuju tak hingga. Adapun fungsi aljabar yang memiliki asimtot adalah fungsi rasional. Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi berbentuk
g x dengan g x dan hx adalah fungsi – fungsi h x
polinomial dan hx bukanlah fungsi polinomial yang bernilai nol. Asimtot terbagi menjadi 3 jenis yaitu :Asimtot Horizontal , Asimtot Vertikal dan Asimtot Miring 3.1 Asimtot Horizontal Perhatikan kembali grafik yang kamu buat pada Kegiatan Siswa No 3 bagian a dan b. Grafik y
1 1 , x R dan y 2 , x R jika diperhatikan garis – garis yang didekati oleh x x
ujung – ujung interval grafik tidak pernah dipotong pada ujung – ujung interval. Garis – garis tersebut terus mendekati sumbu - X y 0 tetapi tidak pernah memotongnya. Persamaan y 0 inilah yang disebut dengan asimtot horizontal. Gambar Asimtot Horizontal y
1 , xR x
29
Pada pokok bahasan lmit fungsi rasional menuju ketakhinggaan yang sudah kita pelajari sebelumnya yaitu ada cara cepat untuk menentukan nilai limit fungsinya yaitu dengan memperhatikan suku tertinggi pembilang dan penyebut. Jika suku tertinggi penyebut lebih dari suku tertinggi dari pembilang maka nilai limitnya yaitu 0. Seperti contoh y
y lim x
1 1 dan y 2 memiliki nilai limit menuju ketakhinggaan yaitu x x
1 1 0 dan y lim 2 0 karena suku tertinggi penyebut lebih dari suku x x x
tertinggi pembilang. Artinya y 0 yang merupakan hasil limit adalah asimtot horizontal dari fungsi y
1 1 dan y 2 itu sendiri. x x
Lalu berapakah asimtot dari fungsi f x
2x 2 x 3 ?. Jika menggunakan x2 x 6
limit menuju ketakhinggaan maka hasilnya y lim x
2x 2 2 2 . Berarti asimtot x
horizontalnya adalah y 2 Jadi, untuk menentukan asimtot horizontal dari fungsi rasional dapat dilakukan dengan mengacu kepada cara cepat menentukan hasil limit fungsi rasional menuju ketakhinggaan yaitu: g x ax m bx m1 ... Misalkan f x adalah fungsi rasional yang paling sederhana hx px n qx n1 ...
maka: a. Jika m n maka asimtot horizontalnya adalah y 0 b. Jika m n maka asimtot horizontalnya adalah y
a b
c. Jika m n maka tidak memiliki asimtot Contoh Soal 3.1.1 : Tentukanlah asimtot horizontal (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut ini : a.
f x
2x 3 2x 2 3
30
b.
f x
x 2 2 x 15 3x 2 5
c.
f x
x3 2 x 2 6x 7
Penyelesaian a.
b.
c.
f x
2x 3 2x2 3
Suku tertinggi pembilang
: 2 x (berderajat 1)
Suku tertinggi penyebut
: 2x 2 (berderajat 2).
Jadi asimtot horizontalnya
: y
f x
2x 0 2x2
x 2 2 x 15 3x 2 5
Suku tertinggi pembilang
: x 2 (berderajat 2)
Suku tertinggi penyebut
: 3x 2 (berderajat 2).
Jadi asimtot horizontalnya
: y
f x
x2 1 2 3x 3
x3 2 x 2 6x 7
Suku tertinggi pembilang
: x 3 (berderajat 3)
Suku tertinggi penyebut
: x 2 (berderajat 2).
Jadi asimtot horizontalnya
: y
x3 ( tidak memiliki asimtot) x2
Latihan 3.1.1 Tentukanlah asimtot horizontal (jika ada) dari fungsi – fungsi rasional berikut ini : 2x 7 1. f x 42 x 1 2 x 3x 2 2. f x x 34 x x 2 6x 9 3. f x 3 2x 2 x2 4 4. f x x4 3x 2 6 x 3 5. f x x3 31
3.2 Asimtot Vertikal Perhatikan kembali grafik y
1 , x R . Pada grafik tersebut terlihat juga selalu x
mendekati sumbu - Y x 0 namun tidak pernah memotongnya. Dalam grafik
y
1 , x 0 disebut asimtot vertikal. x
Gambar asimtot vertikal dari y
1 , xR x
Untuk menentukan asimtot vertikal tergantung kepada pembuat nol fungsi di penyebut dengan catatan pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor yang sama. Lebih jelasnya perhatikanlah contoh soal berikut ini :
Contoh Soal 3.2.1 : Tentukan asimtot vertikalnya (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut ini : 2x 7 a. f x 42 x 1 x2 4 b. f x x4 x2 6x 9 c. f x 9 x2 2x2 x 6 d. f x x2 2x 8 3x 2 6 x 3 e. f x x2 1
32
Penyelesaian a.
f x
2x 7 42 x 1
Perhatikan penyebutnya dan buatlah penyebutnya sama dengan nol 42 x 1 0 8x 4 0 8x 4 1 x 2
Maka asimtot vertikalnya x b.
f x
1 2
x2 4 x4
Perhatikan penyebutnya dan buatlah penyebutnya sama dengan nol
x40
x4 Maka asimtot vertikalnya x 4 c.
x2 6x 9 f x 9 x2
Perhatikan penyebutnya dan buatlah penyebutnya sama dengan nol
9 x2 0
x2 9
x2 9 x 9
x 3 dan x 3 Maka asimtot vertikalnya x 3 dan x 3 d.
f x
2x2 x 6 x2 2x 8
Perhatikan penyebutnya dan buatlah penyebutnya sama dengan nol Namun jika diperhatikan ternyata fungsi di atas belum bentuk paling sederhana karena pembilang dan penyebut masih memiliki faktor yang sama. Jadi hal yang harus kita lakukan terlebih dahulu adalah menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu. 33
2 x 3x 2 2x2 x 6 2 x 2 x 8 4 x x 2 2 x 3 4 x Setelah fungsi sudah kita sederhanakan maka penyebutnya kita buat sama dengan f x
nol
e.
4 x 0 x 4 x4 Maka asimtot vertikalnya adalah x 4 3x 3 6 x 3 f x x2 1
x 2 adalah definit positif sehingga penyebut x 2 1 tidak bisa nol yang artinya semua nilai x R dapat menjadi daerah asal. Itu berarti tidak ada pembatasan grafik. Karena tidak ada pembatasan grafik maka fungsi tersebut tidak memiliki asimtot vertikal.
Latihan3.2.1 Tentukanlah asimtot vertikal (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut: 1 1. f x 2 x 9 x 14 x3 2. f x 2 3x 9 x 2x 6 3. f x 3 x 1 1 4. f x 2 x 9 x3 1 5. f x 2 x 1 3.3 Asimtot Miring Kegiatan Siswa 5 : Individu Dengan mengingat kembali materi pembelajaran “Polinomial” pada Matematika Peminatan kelas XI maka tentukanlah hasil pembagian polinomial berikut dengan cara bersusun panjang a.
5x3 x 5 x 2 3x 1 34
6 x 3 17 x 2 16 x 6 2x 3 3 x 8 c. 2 x x2 3x 4 7 x 20 d. x2
b.
Gambar Asimtot Miring dari grafik fungsi f ( x)
x 2 3x 3 x2
Asimtot Miring
Pada gambar tampak bahwa kurva pada ujung – ujung intervalnya baik itu x maupun x hanya mendekati garis miring tersebut. Garis miring ini tidak pernah berpotongan dengan grafik. Garis miring inilah yang disebut dengan asimtot miring. Adapun bentuk umum dari asimtot miring adalah y ax b . Asimtot miring biasanya dimiliki oleh hiperbola. Untuk menentukan asimtot miring maka dapat dilakukan dengan memperhatikan aturan – aturan sebagai berikut: g x ax m bx m1 ... kemungkinan akan memiki asimtot hx px n qx n1 ... miring jika m lebih 1 dari n . Artinya pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih satu dari pangkat tertinggi penyebutnya. g x b. Lakukan dengan pembagian bersusun panjang untuk mencari hasil dari h x g x c. Hasil bagi dari tersebut itulah yang disebut asimtot miring. Hasil bagi yang h x diperoleh berbentuk linier y ax b karena pangkat tertinggi pembilang lebih satu dari pangkat tertinggi. d. Jika memiliki sisa bagi maka sisa bagi tersebut diabaikan saja.
a. Suatu fungsi f x
35
Contoh Soal 3.3.1
Tentukan asimtot miring (jika ada) dari fungsi – fungsi rasional berikut ini: x 3 2 x 2 25 x 21 a. y x 2 3x 21 3x 3 10 x 2 8 x 3 b. y x 2 3x 1 x 2 8 x 15 c. y 3 x 3x 1 x 2 3x 2 d. y 2 x 7x 6 Penyelesaian : a.
x 1 x 3x 22 x 2 x 25 x 22 2
3
2
x 3 3x 2 22 x x 2 3x 21 x 2 3x 21 0 : x 1
Hasil bagi
Maka asimtot miring : x 1
3x 1 b. x 3 x 1 3x 10 x 8 x 3 2
3
2
3x 3 9 x 2 3x x 2 5x 3 x 2 3x 1 8x 4 Hasil bagi
: 3x 1
Sisa bagi
: 8x 4 (diabaikan)
Maka asimtot miring : 3x 1 x 2 8 x 15 c. y 3 x 3x 1 Fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring karena penyebut lebih tinggi derajatnya daripada pembilang
x 2 3x 2 x2 7x 6 Fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring karena penyebut dan pembilang memiliki derajat yang sama.
d. y
36
Latihan 3.3.1 Tentukanlah asimtot miring (jika ada) dari fungsi – fungsi rasional berikut ini: x 3 4 x 2 18 x 9 1. y x 2 x 15 x 2 3x 2 2. y x2 4 x x 2 2x 3. y x2 4 x5 2 4. y 4 x 4x 2 4 4. Asimtot Vertikal Fungsi Trigonometri Kegiatan Siswa 6 : “ Diskusi “
Untuk mempelajari asimtot vertikal fungsi trigonometri maka terlebih dahulu para siswa kerjakan beberapa soal di bawah ini : 1. Gambarlah grafik fungsi trigonometri di bawah ini : a. f x 2 sin x b. f x tan x c. f x 2 cot anx 2. Setelah menggambar grafik pada soal no 1 , tentukanlah nilai domain, range, nilai maksimum, nilai minimum, titik potong pada sumbu - X dan titik potong pada sumbu- Y
Grafik y tan x
37
Salah satu fungsi trigonometri dasar yang memiliki asimtot adalah fungsi tangen.Jika diperhatikan grafik y tan x di atas terdapat garis tegak putus – putus yang merupakan asimtot vertikal. Dari keenam fungsi dasar trigonometrihanya fungsi sinus dan kosinus yang tidak memiliki asimtot karena fungsi sinus dan kosinus memiliki nilai f maksimum dan f minimum serta nilai sudut x yang tidak terbatas dari x . Untuk menentukan asimtot vertikal pada fungsi tangenmaka dapat kita lakukan dengan mengubah fungsi tangen menjadi fungsi pecahan terlebih dahulu yaitu
tan x
sin x . Kenapa kita ubah menjadi fungsi pecahan?. Karena sama halnya cos x
dengan mencari asimtot vertikal fungsi aljabar yaitu dengan membuat penyebut sama dengan 0. Begitu halnya dengan fungsi trigonometri, asimtot vertikalnya juga diperoleh dari penyebut sama dengan 0. Kali ini kita akan mencoba menentukan asimtot vertikal dari y tan x pada interval
1800 x 3600 dengan mengubah tan x
sin x terlebih dahulu. cos x
Dari penyebut cos x 0 maka kita peroleh x 900 , 900 , 2700 Sehingga asimtot vertikal dari y tan x pada interval 1800 x 3600 adalah
x 90 0 , x 90 0 dan x 270 0 Contoh soal 4.1 Tentukanlah asimtot vertikal dari fungsi trigonometri berikut pada interval
00 x 3600 sin x cox 1
a.
y
b.
y cos ec x 600
c.
y cot anx 30 0
Penyelesaian: a.
y
sin x cox 1
Dari penyebut cox 1 0
cos x 1 x 180 0 Jadi asimtot vertikalnya adalah x 180 0 38
b.
y cos ec x 600 y
1 sin x 30 0
Dari penyebut sin x 300 0
x 300 00 , 1800 x 30 0 , 2100 Jadi asimtot vertikalnya adalah x 30 0 dan x 210 0 c.
y cot an x 300 y
1 tan x 30 0
Dari penyebut tan x 300
0
tan x 300 tan 900 x 300 900 , 1800 , 3600
x 600 , 1500 , 3300 Jadi asimtot vertikalnya adalah x 600 , x 1500 dan x 2700 Latihan 4.1 1. Tentukanlah asimtot vertikal dari fungsi trigonometri berikut ini pada interval
0 x 2 a.
y sec 2 x 3
b.
y 2 cos ec 2 x 6
c.
y tan x 4
2. Gambarlah grafik y cos ecx pada interval 0 x 2 dan tunjukkanlah asimtot vertikal dari fungsi y cos ecx tersebut !
39
Rangkuman ……………………………………… 1. Teorema Limit 1 0 lim a. x x 1 0 lim n x x b. dengan n A , A himpunan bilangan asli 2. Rumus –Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri sebagai berikut : bx b sin ax a a. lim d. lim bx b a x 0 x 0 tan ax bx b sin ax a b. lim e. lim a b x 0 sin ax x 0 tan bx tan ax a tan bx b c. lim f. lim bx b a x 0 x 0 sin ax f x ax m bx m 1 ... lim L n n 1 lim ... x g x x px qx Untuk m adalah pangkat tertinggi pembilang dan n adalah pangkat tertinggi dari penyebut maka:
3. Misalkan
L 0 jika m n a b. L jika m n p a.
c. d.
a 0 p a L jika m n untuk 0 p L jika m n untuk
4. Rumus – Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri Menuju Ketakhinggaan a tan sin x x a 0 a. lim d. lim b x b x x x cos x a 0 b. lim e. lim cos 1 x x x x a sin x a c. lim b b x x
40
5. Misalkan f x
g x ax m bx m1 ... adalah fungsi rasional yang paling sederhana hx px n qx n1 ...
maka: a. Jika m n maka asimtot horizontalnya adalah y 0 a b. Jika m n maka asimtot horizontalnya adalah y b c. Jika m n maka tidak memiliki asimtot 6. Untuk menentukan asimtot vertikal dari fungsi rasional adalah dengan membuat penyebutnya sama dengan nol tetapi pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor yang sama. 7. Adapun bentuk umum dari asimtot miring adalah biasanya dimiliki oleh hiperbola.
y ax b .
Asimtot miring
8. Untuk menentukan asimtot miring maka dapat dilakukan dengan memperhatikan aturan – aturan sebagai berikut: g x ax m bx m1 ... a. Suatu fungsi f x kemungkinan akan memiki asimtot hx px n qx n1 ... miring jika m n 1 . Artinya pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih satu dari pangkat tertinggi penyebutnya. g x b. Lakukan dengan pembagian bersusun panjang untuk mencari hasil dari h x g x c. Hasil bagi dari tersebut itulah yang disebut asimtot miring. Hasil bagi yang h x diperoleh berbentuk linier y ax b karena pangkat tertinggi pembilang lebih satu dari pangkat tertinggi. d. Jika memiliki sisa bagi maka sisa bagi tersebut diabaikan saja.
9. Dari keenam fungsi dasar trigonometri hanya fungsi sinus dan kosinus yang tidak memiliki asimtot. 10. Untuk menentukan asimtot vertikal pada fungsi trigonometri yaitu dengan langkah – langkah sebagai berikut: a. Jadikan fungsi trigonometri tersebut menjadi fungsi pecahan. b. Penyebunya dibuat sama dengan 0 sehingga membentuk persamaan trigonometri c. Kemudian carilah nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri d. Nilai – nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri itulah yang menjadi asimtot vertikal.
41
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI I.
B. 2 C. 3
Pilihan Ganda. Pilihlah jawaban yang paling benar! 1. Nilai dari
lim cos x sin x ... x
D.
B. 1 1 2 C. 2
E. 2 8. Nilai dari
lim
2 tan x ... sec x D.
B. 1 1 2 C. 2
E. 2
lim x
2
2 cos 2 x 1 ... cos x sin x
lim
1 cos x ... tan 2 x
D. 2 E. 2 2
lim
E.
3 4
C.
5 3
Nilai dari
1 sin 2 x ... cos 2 2 x
x 0
D. 0 E. 1
1 cos 4 x
lim 2 x sin 4 x =... x 0
D.
A. 1
D. 1 E. 2
lim
cos 4 x 1
lim 3x tan 2 x =...
10. UN 2016/2017
2
A. -2 B. -1 C. 0
A. 1
2 3
x 0
4
A. -1 B. 0 C. 1
6. Nilai dari
B.
4 A. 3 2 B. 3 1 C. 3
D. 2 E. 2 2
x
4 3
9. Nilai dari
2
5. Nilai dari
D.
4
A. -1 B. 0 C. 1 x
1 A. 2
4
A. 0
4. Nilai dari
1 cos 4 x
lim 3x sin 2 x ... x0
x
3. Nilai dari
A. -2 B. -1 C. 0
2
sin 3x sin 2 x ... 5x D. 1 E. 2
lim x 0
4
A. 0
2. Nilai dari
7. Nilai dari
E. 5
1 2 C. 0 B.
sin 21x =... 7x
11. Nilai dari
E. -1
lim x 1
D. 4 42
1 2
2 x 3sinx 1 x 2 4x 3
=...
A.
1 2
A. -2 B. -1 C. 1
D. 1
B. 0 1 C. 2
E. 2
18. Nilai
D. 2 E. 3
lim x
12. Nilai dari
lim x 4
2 A. 3 1 B. 3 C. 1
a c b d a c b d 0
A.
x 2 tanx 2 =... 2 x 2 5x 2 1 C. 3 2 D. 3
B. C. D. E.
13. Nilai dari
lim x 0
A. 0 B. 2 C. 4
2x
1 1 cos x 3
x
A. 0 1 B. 3 2 C. 3 15. Nilai dari
3
untuk m dan n sembarang untuk m dan n sembarang untuk m 1 dan n 0
x
2 xx 3 =... 4x 2x3 D. -1 E. -2 2
19. Nilai dari A. B. C.
1 0
lim x
20. Nilai dari
3 =...
lim x
A.
3 D. 1
B. 0 C. 2
E. 2
21. Nilai dari
lim
3x 2 12 4x 4 x 2 1 3 D. 2 E. 3
=...
2 x 4 x 5 =...
x
A. B. C.
4x a =... lim x a 4 x 4a tan x a A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3 6x6 2x 2 5 16. Nilai lim 6 =... 3 x 2 x 3 x 4 A. 2 D. 5 B. 3 E. 6 C. 4
17. Nilai
bila m n
=...
2
sin x sin
lim
bila m n
2
D. 16 E. 32
14. Nilai dari
ax m b =... cx n d
0 2 4
D. 5 E.
22. Nilai dari
lim x
A. B. C.
6 x 2 x 3
lim x 23 2 x =... x
43
x 2 3x x 2 5 x =...
1 0
D. -1 E. -2
23. Nilai dari
lim
x 3x 1 2
x
. A. B. C.
0 2
2 x 1x 9=..
3x 4 2 x 2 1 3x 4 4 x 1
x
.. A. B. C.
29.
D. 3 E.
24. Nilai dari
lim
A. B. 0 C. 2 x
30. =.
lim 2 x.sec
x
A. 0
D. 3
1 2
E.
A. B. 2
=.
A. y 2 B. y 1 C. y 0
x 2x 2
D. 2 E.
D. y 2 E. y 3
4 x 2 6 x 2 2 x 1
x
3 A. 2 B. 2 5 C. 2
x
adalah ...
33. Asimtot horizontal dari fungsi 2x3 4x 5 adalah... f x x4 A. y 2 D. y 2 B. y 0 E. Tidak memiliki asimtot horizontal C. y 1
D. 3 2 E.
27. Nilai dari
lim
1
32. Asimtot horizontal dari fungsi 3 2x 2 adalah... f x 2 x 1
C. 2 2
lim
1
lim cot x cos ec x
A. B. 0 C. 1
D. 2 E.
2 1 tan x x
x
x
26. Nilai dari lim x 2
2
C. 2 31.
2 x 3 3x 5 x 2 x 12
.. A. B. 0 C. 1
D. 3 E.
x
1 3 3
25. Nilai dari
28.
3
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 3
lim
D. 3
lim x sin x
B. 0 1
E.
34. Asimtot vertikal dari fungsi 2x 5 f x 4 x
D. 4 E. 5
1 2 B. y 0 A. y
C. y
cos 6 x 3x 44
D. y 1 E. y 5
1 2
38. Di antara fungsi trigonometri berikut yang tidak mempunyai asimtot vertikal adalah... 1 A. y cos ecx B. y 2 tan x C. y cos ecx 1 1 D. y cos x E. y cos ec x 2 39. Asimtot vertikal dari grafik y tan 2 x , 0 x 2 adalah... 3 3 A. , , , , 2 4 2 4 3 B. , , 4 4 2 3 C. , 4 4 3 5 7 , , D. , 4 4 4 4 3 3 E. , , , 4 2 2
35. Asimtot vertikal dari fungsi x2 x 6 f x 2 x 2x x 0 A. D. x 3 B. x 1E. Tidak memiliki asimtot vertikal C. x 2 36. Di antara fungsi berikut yang tidak memiliki asimtot horizontal adalah... x6 A. f x x2 2x 2 6x 7 B. f x 3x 6 4 2x 2 C. f x x2 2 x D. f x 2 x 3x 2 x 2 6x 7 E. f x 2 x x2 37. Di antara fungsi berikut yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah... 2x 2 4 A. f x 2 x 2 x2 x 6 B. f x 2 x 2x x2 x 6 C. f x x2 1 2x 2 4x D. f x x2 x9 f x 2 E. x 9
40. Asimtot vertikal dari grafik y cot an2 x , 0 x 2 adalah... A. B. C.
II. Soal Uraian
cos 5 x cos x 3x 2 x 0 cos 5 x cos x 2. Berapakah nilai dari lim 3x 2 x 0 1 sin x . tan 2 x 2 3. Tentukanlah nilai dari lim 2x x x 0 1. Berapakah nilai dari
lim
45
3 4 3 2
D.
2
E. 2
4. Tentukanlah nilai dari
lim 2 x 5x 1 x
2 x 2 11x 12
1 1 (SBMPTN 2017 SAINTEK KODE 124) x x 6. Tentukanlah asimtot horizontal (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut: 2x 5 7 x2 a. f x 2 c. f x 2 x x2 x 1 2 x 7 x 10 b. f x x 2 2x 3 5. Berapakah nilai dari
lim x sec
7. Tentukanlah asimtot vertikal (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut: x2 a. f x 2 x 1 x 2 5x 6 b. f x x 2 3x 4x c. f x 2 2x 2 8. Tentukanlah asimtot miring (jika ada) dari fungsi – fungsi berikut ini: x 2 5x 5 a. f x x 1 3 x x2 1 b. f x x 2 1 3x 2 1 c. f x 4 x 1 cos x 2 9. Tentukanlah asimtot vertikal dari y cos x 1 pada interval 0 x 2 10. Gambarlah grafik y tan 2 x pada interval 0 x 2 kemudian tentukanlah asimtot vertikaln
46
BAB Turunan 2 Fungsi Trigonometri
Sumber : Docplayer.info
Kamu mungkin pernah melihat gelombang air laut, ketika kamu sedang menikmati pemandangan laut, atau gelombang sebuah tali yang ujungnya diikat pada sebuah tiang lalu seutas tali tersebut di gerakan keatas dan kebawah, maka tentunyaakan terjadi gelombang yang disebut gelombang tranversal. Bentuk gelombang tersebut mengikuti grafik fungsi trigonometri. dalam ilmu fisika persamaan simpangan getaran di suatu titik sembarang pada tali yang berjarak x dari titik asal getaran di nyatakan sebagai fungsi
y A sin ( t kx selama gelombang merambat, partikel – partikel sepanjang tali hanyak bergerak harmonik naik-turun. Kecepatan dan percepatan partikel sepanjang tali dapat dihitung dengan turunan (deferensial) . Misalnya titik P salah satu partikel di sepanjang tali. Maka kecepatan partikel di P adalah turunan pertama dari fungsi simpangan terhadap waktu dan dinyatakan dengan VP
dy d ( A sin (t kx )) . dx dt
Agar kita lebih memahami turunan trigonometri mari kita simak materi – materi berikut ini 47
Peta Konsep Agar mempermudah mempelajari konsep Turunan fungsi trigonometri , Perhatikan dan pahamilah terlebih dahulu peta konsep di bawah ini.
Definisi Turunan Fungsi Trigonometri Sifat-Sifat Turunan
Konsep Turunan Fungsi Trigonometri
Menyelesaikan Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Implisit
Aturan Rantai
Turunan Fungsi Parameter
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
Titik Stasioner dan Jenisnya
Titik-Titik Stasioner
Nilai Maksimum dan Minimum
Selang Kemonotonan Kurva Fungsi Trigonometri Selang Kecekungan Kurva Fungsi Trigonometri Gradien dan Persamaan Garis Singgung
Gradien Suatu Kurva
Persamaan Garis Singgung Kurva
Kata Kunci Turunan, Fungsi, Trigonometri, Fungsi Implisit, Persamaan parameter, aturan Rantai, titik stasioner, Maksimum,minimum, Selang Kemonotonan,selang kecekungan, gradient, persamaan garis singgung. 48
Konsep Turunan Fungsi Trigonometri Pada jenjang kelas sebelumnya, Anda telah melihat bahkan mempelajari berbagai macam – macam fungsi, misalnya fungsi linier, fungsi kuadrat , fungsi polinomial, ataupun fungsi eksponen serta fungsi –fungsi lainnya. Lalu bagaimana bentuk fungsi trigonometri? tentunya Anda pasti sudah bisa menebaknya. Fungsi trigonometri adalah suatu fungsi yang mengandung perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, sec, dan seterusnya), dengan syarat perbandingan trigonometri tersebut bukan merupakan eksponen. Contoh: f(x) = 4Sinx + 2
cosx
bukan merupakan fungsi
trigonometri. Sebelum membahas turunan fungsi trigonometri ada beberapa hal yang harus dipahami sebagai materi prasyarat yaitu: Dapat membedakan fungsi trigonometri dan yang bukan fungsi trigonometri Memahami definisi turunan fungsi aljabar dari konsep limit yaitu :
Menentukan turunan-turunan dari fungsi aljabar. Untuk lebih memahami bagaimana membedakan mana fungsi trigonometri dan yang bukan fungsi trigonometri, penggunaan definisi turunan dari konsep limit dan menentukan turunan fungsi aljabar , mari kita selesaikan Uji Kemampuan prasyarat berikut ini secara mandiri. UJI KEMAMPUAN PRASYARAT Ayo Kerjakan Secara Mandiri ! 1. Tentukanlah bentuk dibawah ini yang merupakan fungsi trigonometri dan yang bukan fungsi trigonometri! berikan alasanmu! a. f x sin x tan x b. f x x sin x 5 1 cos 2 x c. f x sin x d. f x x 2 sin x e. f x (sin x) Cos x tan x 2. Dengan menggunakan definisi turunan dari konsep limit , yaitu :
49
f ( x h) f ( x) , tentukanlah turunan dari f x 3x h
f ' ( x) Lim
3. Tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. f x 2 x 3 5x 2 7 b. c.
f x 3x 1
3
f x x 2 4 x F(x)
Dalam bab ini kita akan fokus mempelajari turunan dari suatu fungsi trigonometri.
1. Defnisi Turunan Fungsi Trigonometri Tentunya Anda telah memahami konsep turunan yang berkaitan dengan limit fungsi. Turunan fungsi f merupakan fungsi lain f ' (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang x adalah :
f ' x
Lim h 0
f x h f x h
………...........…(1.1)
Asalkan limitnya ada. Kita akan menggunakan definisi (1.1) tetang turunan sebagai limit fungsi untuk menentukan turunan dari fungsi trigonometri f(x) = Sin x.
Dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Menentukan f x h 2) Menentukan selisih f x h f x 3) Menentukan
f ( x h ) f ( x) h
4) Menyederhanakan limit
f x h f x sehingga faktor h yang menyebabkan
0 dapat disederhanakan. 0
5) Substitusi nilai h 0 untuk memperoleh hasil akhir.
50
Baiklah dengan mengikuti langkah-langkah diatas , mari kita menentukan turunan dari fungsi trigonometri f x sin x Langkah 1 :
f x h sinx h f x sin x
Langkah 2 :
f x h f x sinx h sin x
Langkah 3 :
f ( x h ) f ( x) Sin ( x h ) Sin x = ( kedua ruas di lim h menuju 0 ) h h
Lim h 0
f ( x h ) f ( x) = h
Lim h0
Sin ( x h ) Sin x (Persamaan *) h
Jika h 0 kita substisusi langsung ke persamaan (*) , diperoleh:
Lim h 0
Sin ( x h ) Sin x Sin ( x 0 ) Sin x sin x sin x 0 h 0 0 0
Langkah 4: Agar kita dapat menentukan nilai limit dari persamaan(*)maka kita dapat melakukan manipulasi dengan menggunakan rumus selisih sinus .
1 1 Sin A Sin B 2 Cos ( A B) Sin (AB) 2 2 Pilih A x h dan B x , maka : 1 1 ( x h x) Sin (x h x ) 2 2 1 h 2 Cos (2 xh ) Sin 2 2
Sin ( x h) Sin x 2 Cos
Lim h 0
Sin ( x h ) sin x h
Lim x 0
1 h 2 Cos (2 xh ) Sin 2 2 h
1 Lim 2 Cos (2 x h) .Lim 2 h0 h 0
51
Sin h
h 2
Langkah 5 :
1 2 cos 2.0 . lim h 2 0
sin h 2
2
2 cos
h 2
1 2 x . lim h 2 0 2
2 Cos x .
sin
h 2
h 2
1 (1) 2
Cos x Sehingga
Lim h0
Sin ( x h ) sin x Cos x , h
Ini berarti turunan dari f x sin x adalah f 1 ( x ) Cos x . Kegiatan Siswa 1 : Individu Dengan cara yang samadengan di atas, cobalah untuk menentukan turunan dari fungsi. f x cos x (Petunjuk: gunakan rumus Cos A Cos B 2 Sin
1 1 ( AB) Sin ( A B ) ) 2 2
Dari Kegiatan Siswa di atas diperoleh hasil sebagai berikut:
f ( x) Sin x f ' ( x) cos x
atau
f ( x) Cos x f ' ( x) Sin x
52
atau
df ( x) Cos x ………( 1.2) dx
df ( x) Sin x ………(1.3) dx
Cara Penulisan Notasi Turunan Ada beberapa cara penulisan turunan, Jika f x sin x , maka penulisan turunan f x dapat di sajikan sebagai berikut:
f x sin x
maka
f x sin x
maka
df Cos x dx
f x sin x
maka
d (sin x) Cos x dx
y sin x maka turunan
Selanjutnya jika
y ; Cos x atau
f ' x cos x
y terhadap x dapat ditulis
dy Cos x . dx
Agar kita lebih memahami bagaimana penerapan rumus 1.2 dan 1.3 dalam soal latihan, mari kita pahami contoh soal berikut ini dengan saksama. Contoh Soal 1.1 Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut! a.
f x 3 sin x 2 cos x
b.
f x 2 x 3 4 sin x cos x
Penyelesaian : a.
f x 3 sin x 2 cos x
maka
f ' x 3 cos x 2 sin x
b.
f x 2 x 3 4 sin x cos x
maka
f x 6 x 2 4 cos x sin x
Latihan 1.1 Tentukan nilai turunan fungsi-fungsi berikut untuk nilai x yang diberikan. a.
f x 2 cos x 3 sin x
b.
f x 3x 3 cos x 2
c.
f x sin x x 53
2. Sifat - Sifat Turunan Sedangkan fungsi trigonometri lainnya seperti f x tan x , f x cot anx ,
f x sec x dan f x cos ecx , kita membutuhkan sifat – sifat turunan yang ada yang sudah dipelajari pada Matematika Wajib Kelas XI untuk memperoleh turunannya. Di bawah ini beberapa sifat turunan yang kita butuhkan. Sifat – Sifat Turunan a.
f x ux .vx maka f ' x u ' x .vx ux .v ' x
b.
f x
u ' x .vx u x .v ' x u x maka f ' x v x vx 2
……………1 ……………2
Sekarang kita akan mencari turunan dari f x tan x . Seperti kita ketahui bahwa tan x
sin x maka kita gunakan sifat no 2 untuk cos x
mencari turunannya Misakan ux sin x
vx cos x f ' x f ' x
maka u ' x cos x maka v ' x sin x
u ' x .vx u x .v ' x
vx 2
cos x . cos x sin x . sin x
cos x 2
f ' x
cos 2 x sin 2 x cos x 2
f ' x
1 cos x 2
Ingat sec x
1 cos x
f ' x sec 2 x
Jadi,
f ( x) tan x f ' ( x) sec 2 x atau 54
df ( x) sec 2 x dx
…… (1.4)
Kegiatan Siswa 2 : Individu
Dengan cara yang sama carilah turunan dari fungsi trigonometri berikut: a.
f x cot anx
(Ingat cot anx
b.
f x sec x
(Ingat sec x
c.
f x cos ecx
(Ingat cos ecx
cos x ) sin x
1 ) cos x
1 ) sin x
Dari kegiatan siswa 2 akan diperoleh hasil seperti berikut :
f ( x) cot an x f ' ( x) cos ec 2 x atau
f ( x) sec x f ' ( x) sec x tan x atau
df ( x) cos ec 2 x dx
df ( x) sec x tan x dx
f ( x) cos ec x f ' ( x) cos ecx cot anx atau
1. Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut :
f ( x) x 2 sin x
b.
x2 f ( x) cos x
c.
f ( x) sin x cos x
2. Tentukan nilai turunan pertama f ( x)
sin x cos x pada x cos x 3
3. Tentukan nilai turunan pertama f ( x)
cos x sin x pada x cos x sin x 4
Penyelesaian a.
f ( x) x 2 sin x 55
…...(1.6)
df ( x) cos ecx cot anx dx
Contoh Soal 2.1 :
a.
…… (1.5)
..(1.7
maka u ' x 2 x
Misakan ux x 2
vx sin x
maka v ' x cos x
f ' x u ' x .vx ux .v ' x f ' x 2 x sin x x 2 cos x b.
f ( x)
Misakan
x2 cos x
u x x 2
maka u ' x 2 x
vx cos x
maka v ' x sin x
u ' x .vx u x .v ' x f x vx 2 '
c.
f ' x
2 x. cos x x 2 sin x cos x 2
f ' x
2 x cos x x 2 sin x cos x 2
f ( x) sin x cos x Misakan ux sin x
vx cos x
maka u ' x cos x maka v ' x sin x
f ' x u ' x .vx ux .v ' x f ' x cos x cos x sin x sin x f ' x cos 2 x sin 2 x d.
f ( x) Misakan
sin x cos x cos x
ux sin x cos x
maka u ' x cos x sin x
vx cos x
maka v ' x sin x
f ' x
u ' x .vx u x .v ' x vx 2
56
f ' x
cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2
f ' x
cos 2 x sin x cos x sin 2 x sin x cos x cos x 2
f ' x
cos 2 x sin 2 x cos x 2
f ' x
1 cos x 2
f ' x sec 2 x
f sec 3 3
2
'
2 f ' 2 3 f ' 4 3 e.
f ( x) Misakan
cos x sin x cos x sin x
ux cos x sin x
maka u ' x sin x cos x
vx cos x sin x
maka v ' x sin x cos x
u ' x .vx u x .v ' x f x vx 2 '
f ' x
sin x cos x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x 2
f ' x
cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x
f ' x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x
f ' x
2 1 sin 2 x
57
2 f ' 2 1 sin 2 2 2 f ' 2 1 sin 2 f ' 2 1 0 f ' 2 2
Latihan 2.1 1. Tentukanlah turunan dari fungsi – fungsi trigonometri berikut ini:
a.
f x x 2 4 x sin x
b.
f x sec x tan x f x
c.
sec x 1 tan x
2. Tentukan nilai turunan pertama pada f x
sin x cos x pada x sin x
3. Tentukan nilai turunan pertama pada f x 5 sin x cos x pada x
3 4
3. Menyelesaikan Permasalahan Yang Berkaitan Dengan Turunan Fungsi Trigonometri
3.1 Aturan Rantai Masih ingatkah Anda dengan aturan rantai pada turunan fungsi aljabar yang pernah dipelajari pada Matematika Umum kelas XI? Aturan rantai tersebut nantinya akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah – masalah fungsi trigonometri.
58
Jika y f u , u g x dan
fg x f g x f u y maka : fg ' x
f ' g x . g ' x atau
dy dy du . dx du dx
Contoh Soal 3.1.1 : Tentukanlah turunan fungsi trigonometri berikut ini: a.
y sin2 x 1
b.
y cos x 3 3x
c.
y sin 3 x
d. y cos 3 3 2 x e.
y sin 4 x 2 2 x
Penyelesaian: a. Misalkan u 2 x 1 maka
du 2 dx
dapat ditulis menjadi y sin u maka y '
y'
dy dy du . dx du dx
y'
dy cos u.2 2 cos u dx
dy cos u du
Ubah kembali fungsi u sehingga y ' 2 cos2 x 1 b. Misalkan u x 3 3x maka
du 3x 2 3 dx
y cos x 3 3x dapat ditulis menjadi y cos u maka y ' y'
dy dy du . dx du dx
y'
dy cos u. 3x 2 3 3x 2 3 cos u dx
dy sin u du
Ubah kembali fungsi u sehingga y ' 3x 2 3 cos x 3 3x 59
c. Misalkan u sin x maka
du cos x dx
y sin 3 x dapat ditulis menjadi y u 3 maka y ' y'
dy dy du . dx du dx
y'
dy 3u 2 cos u dx
dy 3u 2 du
Ubah kembali fungsi u sehingga y ' 3sin x 2 cos x d. Misalkan u 3 2 x maka
y cos 3 3 2 x
du 2 dx
dapat
ditulis
y'
dy 2 3cos u sin u du
y'
dy dy du . dx du dx
y'
dy 2 3cos u sin u 2 dx
y'
dy 6 cos 2 u sin u dx
Ubah kembali fungsi u sehingga y ' e.
y sin 4 x 2 2 x
y cos 3 u maka
dy 6 cos 2 3 2 x sin 3 2 x dx
Misalkan u x 2 2 x maka
y sin 4 x 2 2 x
menjadi
du 2x 2 dx
dapat
y'
dy 4 sin 3 u cos u du
y'
dy dy du . dx du dx
y'
dy 4 sin 3 u cos u.2 x 2 dx
ditulis
menjadi
y sin 4 u maka
Ubah kembali fungsi u sehingga y ' 4 sin 3 x 2 2 x cos x 2 2 x 2 x 2
60
y ' 8x 8 sin 3 x 2 2 x cos x 2 2 x
Latihan 3.1.1 1. Tentukan turunan dari fungsi – fungsi trigonometri berikut ini : a. b.
f x tan 5 4 x
f x sin 4 3x 2 5 2
2
c.
4 f x 2 cos 2 x sin 2 x 3 3
d.
f x sec2 x 4cot 2 x 4
2. Tentukanlah nilai turunan dari f x 8 cos 3 x untuk x
3
3.2 Turunan Fungsi Implisit Suatu fungsi yang bisa dinyatakan y f x disebut fungsi eksplisit, sedangkan
suatu
fungsi
yang
hanya
bisa
dinyatakan
dalam
f x, y 0 disebut fungsi implisit, dikatakan y mengandung implisit dari fungsi x . Fungsi – fungsi di atas yang sudah kita turunkan sebelumnya termasuk fungsi eksplisit karena variabel terikat y dapat dinyatakan dalam variabel bebas x menjadi y f x . Seperti contoh y x 3 2 x 3 dan
y sin 4 3x 2 5 . Sedangkan fungsi x 2 y 2 16 dan x 2 xy y 2 0 termasuk ke dalam bentuk implisit. Namun x 2 y 2 16 masih bisa kita ubah menjadi bentuk eksplisit yaitu y 2 16 x 2 atau
y 16 x 2 .
Sedangkan x 2 xy y 2 0 tidak bisa kita ubah dalam bentuk eksplisit. Bentuk fungsi seperti inilah yang akan kita turunkan.
Contoh Soal 3.2.1: 1. Tentukanlah y ' dalam x dan y untuk tiap fungsi implisit berikut ini: a. 16 y 2 9 x 2 5 b. x 2 y xy 2 9 61
c.
x 2 y xy 2 x 2 y 2 0
d. xy 2 cos y 0 Penyelesaian a.
d d d 16 y 2 9 x 2 5 dx dx dx 16
d 2 d 2 d y 9 x 5 dx dx dx
16.2 yy ' 9.2 x 0 32 yy ' 18x 0 y'
18 x 32 y
Cara Praktis : Bila diturunkan terhadap y , letakkan di sebelahnya y ' b.
d 2 d d x y xy 2 9 dx dx dx
x2
d y y d x 2 x d y 2 y 2 d x 0 dx dx dx dx
x 2 y ' 2 xy 2 xyy ' y 2 0
y 2 2 xy y 2 x 2 xy '
c.
d 2 d d 2 d 2 x y xy 2 x y dx dx dx dx x2
x 2 y ' 2 xy 2 xyy ' y 2 2 x 2 yy ' 0
y'
d.
d y y d x 2 x. d y 2 y 2 d x d x 2 d y 2 0 dx dx dx dx dx dx
y 2 2 x 2 xy x 2 2 y 2 xy
d d d xy 2 cos y 0 dx dx dx
62
x
d 2 d d y y 2 x cos y 0 dx dx dx
2 xyy ; y 2 sin yy ' 0
y'
y2 2 xy sin y
Latihan Soal 3.2.1 1. Tentukanlah y ' dalam x dan y untuk tiap fungsi implisit berikut ini : a.
x 2 xy y 2 25
b. 2 x 3 2 xy 2 4 y 9 c.
x cos y y sin x 0
d. x cot anx tan y
3.3 Turunan Fungsi Parameter Parameter adalah variabel bebas, jika suatu fungsi antara x dan y dapat dinyatakan hubungannya dengan suatu variabel bebas. Misalkan variabel bebas yang kita gunakan adalah t . Jika terdapat x f t dan y f t maka turunannya adalah
dy dy y' dt dx dx dt
dy dy dt y' . dx dt dx
Contoh Soal 3.3.1: 1. Tentukanlah y ' dalam x dan y untuk tiap fungsi implisit berikut ini: a.
x 2t 2 dan y t 2 2t 3
b. x t t dan y 6 2t 3 c.
x cos t dan y sin t
63
Penyelesaian a.
x 2t 2
dx 4t dt
y t 2 2t 3
dy 2t 2 dt
dy dy dy 2t 2 y' dt y ' dx dx dx 4t dt
y'
3
1
b. x t t t 2
y 6 2t 3
dy 1 1 t dx 2 2
dx 3 2 t dt 2
dy 6t 2 dt
dy dy dy 6t 2 y' dt y ' dx dx dx 3 12 t dt 2 3
c.
y'
dy 4t 2 dx
y'
dy 4t t dx
x cos t
dx sin t dt
y sin t
dy cos t dt
dy dy dy cos t y' dt y ' dx dx dx sin t dt
y'
dy cot ant dx
64
Latihan Soal 3.3.1 1. Tentukanlah y ' atau
a.
dy dalam parameter t untuk fungsi berikut ini : dx
x 2t 2 t dan y
t 2t
b. x t 3 5t 2 dan y 2 t 3 c.
x 2 tan t dan y cos 2 t
3.4 Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Ada banyak sekali kegunaan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari – hari antara lain:
1. Sebuah partikel bergerak menurut persamaan y 2 cos 2 x dengan 4 0 x . Variabel y dalam satuan cm dan x dalam satuan radian. Jika x bertambah 0,5 rad/det maka tentukanlah laju perubahan y terhadap
waktu ketika x
2
Pemecahan Masalah:
y 2 cos 2 x 4 dy 2.2 cos 2 x sin x dx 4 4 dy 4 cos 2 x sin x dx 4 4
Karena x bertambah 0,5 rad/det maka
dy dy dx . dt dx dt dy 1 4 cos 2 x sin x dt 4 42
65
dx 1 0,5 dt 2
dy 2 cos 2 x sin x dt 4 4
Pada x
2
dy 2 cos 2 sin dt 2 4 2 4 dy 2 cos 2 sin dt 4 4 2
dy 1 1 2 2 2 dt 2 2 dy 1 1 2 2 dt 2 2 dy 1 2 dt 2
Maka laju perubahan y adalah
1 2 cm/det 2
2. Sebuah talang air akan dibuat dari lemnbaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang sama. Jika menyatakan dasar
sudut
dinding
talang
tersebut
dengan
bidang
alasnya
0 maka tentukanlah berapa besar sudut agar volume air yang 2 tertampung maksimum?
66
Pemecahan Masalah : Terlebih dahulu kita buat sketsa dari gambar yang di atas dengan bangun datar trapesium
gambar a
gambar b
Dari gamnbar b dapat kita tentukan:
cos
x sehingga x 10 cos 10
sin
t sehingga t 10 sin 10
Luas trapesium ABCD
1 AB DC .t 2
L
1 10 10 2 x .t 2
L
1 20 2 x .t 2
L 10 x .t ................(*) Substitusi x 10 cos dan t 10 sin ke persamaan (*)
L 10 10 cos . 10 sin L 100 sin 100 sin cos
L 100 sin 50.2 sin cos
L 100 sin 50.sin 2 Agar volume air yang tertampung maksimum maka L' 0
100 cos 100 cos 2 0
100 cos 100 2 cos 2 1 0
cos 2 cos 2 1 0 2 cos 2 cos 1 0 67
(Kedua ruas dbagi 100)
cos 12 cos 1 0 2 cos 1 0
Untuk cos 1 0
cos 1
cos 1
1800 tm
600
Jadi besar sudut agar volume air yang tertampung maksimum adalah
60 0 3. Sebuah
gelombang
transversal
merambat
dengan
persamaan
y 2 sin5t x . Penelitian dilakukan pada jarak 4 meter dari pusat gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang tersebut pada saat detik ke – 2? Pemecahan Masalah : Misalkan kecepa tan v dan percepa tan a
y 2 sin5t x v y ' 2.5 cos5t x 10 cos5t x a v ' 10 .5 sin5t x 50 2 sin5t x Misalkan jarak x dan waktu t maka untuk x 4 dan t 2
v 10 cos5 .2 .4
v 10 cos6 10 .1 10 m / det a v ' 50 2 sin5 .2 .4 a 50 2 sin6 50 2 .0 0 Jadi, kecepatan partikel gelombang tersebut pada saat detik ke – 2 adalah
10 m / det Sedangkan percepatan partikel gelombang tersebut pada saat detik ke – 2 adalah 0
68
Latihan 3.4.1 : 1. Perhatikan kincir angina yang jari – jarinya 10 meter, berputar berlawanan arah dengan jarum jam dengan kecepatan sudut 3 radian/detik. Tentukanlah kecepatan kincir angin pada saat ia berada 5 meter di atas garis nendatar yang melalui pusat kincir? 2. Volume Vcm 3 dari sebuah kerucut dinyatakan dengan rumus V 3r 3 cot , dengan r jari – jari kerucut dan sudut setengah puncaknya. Jika r adalah tetap dan bertambah dengan laju 0,2 rad/det. Hitunglah laju perubahan volume kerucut terhadap waktu ketika x
6
Titik – Titik Stasioner 2.1 Titik Stasioner dan Jenisnya Gambar titik – titik stasioner
Gambar Titik Stasioner dengan absis berturut-turut a dan b
Pada Matematika Wajib Kelas XI telah dipelajari tentang fungsi naik, fungsi turun dan titik – titik stationer beserta jenis – jenisnya. Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang tertentu jika f ' x 0 dan suatu fungsi dikatakan turun pada selang tertentu jika f ' x 0 . Sedangkantitik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang 69
dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Pada Matematika Wajib Kelas XI juga telah dipelajari bagaimana menentukan jenis titik stationer. Ada dua metode yang kita gunakan yaitu : Uji turunan pertama di kiri dan kanan titik stationer dan uji turunan kedua di titik stationer. Oleh sebab itu marilah kita bahas beberapa soal di bawah ini untuk mengingat kembali tentang materi tersebut. 1. Metode Uji Turunan Pertama Di Kiri dan Kanan Titik Stationer Setelah mencari titik stationer yang di dapat dari f ' x 0 maka langkah selanjutnya adalah mengambil sembarang titik uji dari sebelah kiri dan kanan dari titik stationer tersebut.
Jika dari sebelah kiri titik stationer menuju ke sebelah kanan tandanya berubah maka : Jenis titik stationer menjadi titik balik maksimum jika dari
f ' x 0 berubah menjadi f ' x 0 atau dari tanda menjadi tanda Jenis titik stationer menjadi titik balik minimum
jika dari
f ' x 0 berubah menjadi f ' x 0 atau dari tanda menjadi tanda
Titik balik maksimum
Titik balik minimum
Gambar Uji Kiri dan Kanan Titik Stationer 70
Jika dari sebelah kiri titik stationer menuju ke sebelah kanan tandanya tidak berubah maka jenis titik stationer adalah titik belok Jika keduanya
f ' x 0 atau keduanya sama – sama bertanda
maka jenis titik stationer adalah titik belok naik.
Jika keduanya
f ' x 0 atau keduanya sama – sama bertanda
maka jenis titik stationer adalah titik belok turun.
Gambar titik belok naik dan titik belok turun Contoh Soal 2.1.1 a. Tentukanlah titik stationer dari fungsi- f x 9 4 x x 2 dan tentukan pula jenisnya b. Tentukanlah titik stationer dari fungsitentukan pula jenisnya
71
f x 2 x 3 3x 2 12 x 1 dan
Penyelesaian
f x 9 4 x x 2
a.
f mempunyai nilai stationer jika f ' x 0 , maka 9 4x x 2 0 4 2x 0 2x 4 x 2 Nilai stationer : f ' 2 9 4 2 2 13 2
f mempunyai nilai stationer f x 13 untuk x 2 Jadi nilai balik maksimumnya adalah 13
f x 2 x 3 3x 2 12 x 1
b.
f ' x 6 x 2 6 x 12
f mempunyai nilai stationer jika f ' x 0 , maka 6 x 2 6 x 12 0 x2 x 2 0
x 2x 1 0 x 2 atau x 1 Nilai stationer : f ' 2 2 2 3 2 12 2 1 19 3
2
f ' 1 21 31 121 1 8 3
2
Jadi f mempunyai nilai stationer f x 19 untuk x 2 dan f x 8 untuk x 1
Gambar terlebih dahulu di garis bilangan dengan meletakkan titik stationer yang diperoleh
Tentukan dua titik uji yang terdiri dari satu di kiri titik stationer dan satu lagi di kanan titik stationer. 72
a. Untuk x 8 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 10 dan di sebelah kanan x 0 Uji x 10 6 102 610 12 528 0 positif Uji x 0
60 60 12 12 0 negatif 2
b. Untuk x 19 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 0 dan di sebelah kanan x 20 Uji x 0 602 60 12 12 0 negatif
Uji x 20 6202 620 12 2508 0 positif
Karena terjadi perubahan tanda maka jenis titik stationer adalah titik balik maksimum dan titik balik minimum sehingga dapat dikatakan f mempunyai nilai balik maksimum 19 dan mempunyai nilai balik minimum -8. Dengan metode yang sama dapat kita lakukan juga untuk Fungsi Trigonometri. Contoh Soal 2..1.2 a. Tentukanlah titik stationer dari fungsi f x cos 2 x 00 x 3600 untuk dan tentukan pula jenisnya. b. Tentukanlah
titik
stationer
dari
fungsi f x 2 sin 2 x 00 x 3600 untuk dan tentukan pula jenisnya. Penyelesaian: a.
f x cos 2 x f ' x 2 sin 2 x
f mempunyai nilai stationer jika f ' x 0 , maka 2 sin 2 x 0 sin 2 x 0
sin 2 x sin 00 , sin1800 Dari persamaan trigonometri 73
sin x 0 sin p 0 x p k .360 0 atau x 180 p k .360 0 cos x 0 cos p 0 x p k .360 0 atau x p k .360 0 tan x 0 tan p 0 x p k .360 0
sin 2 x sin 00 , sin1800 i.
2 x 00 k.3600 x 00 k.1800 Untuk k 0 x 00 0..1800 00 Untuk k 1 x 00 1.1800 1800
ii.
2 x 1800 k.3600 x 900 k.1800 Untuk k 0 x 900 0..1800 900 Untuk k 1 x 900 1.1800 2700
Jadi
ada
4
absis
yang
menjadi
titik
stationer
yaitu
x 00 , x 900 , x 1800 , x 2700
Gambar terlebih dahulu di garis bilangan dengan meletakkan titik stationer yang diperoleh
Tentukan dua titik uji yang terdiri dari satu di sebelah kiri dari titik stationer dan satu lagi di sebelah kanan titik stationer. a. Untuk x 90 0 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 30 0 dan di sebelah kanan x 1200
1 x 30 0 2 sin 2 30 0 2 sin 60 0 2 3 3 0 negatif 2
1 x 120 0 2 sin 2 120 0 2 sin 240 0 2 3 3 0 positif 2
b. Untuk x 1800 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 1200 dan di sebelah kanan x 210 0
74
1 x 120 0 2 sin 2 120 0 2 sin 240 0 2 3 3 0 positif 2 1 x 210 0 2 sin 2 210 0 2 sin 420 0 2 3 3 0 negatif 2
c. Untuk x 270 0 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 210 0 dan di sebelah kanan x 3300
1 x 210 0 2 sin 2 210 0 2 sin 420 0 2 3 3 0 negatif 2 1 x 330 0 2 sin 2 330 0 2 sin 660 0 2 3 3 0 positif 2
Untuk x 90 f 90 cos 290 cos180 1 Untuk x 180 f 180 cos 2180 cos 360 1 Untuk x 270 f 270 cos 2270 cos 540 1 Untuk x 00 f 00 cos 2 00 cos 00 1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jadi titik balik minimun adalah 90 0 ,1 dan 270 0 ,1 . Sedangkan titik balik
maksimum adalah 0 0 ,1 dan 180 0 ,1 b.
f x 2 sin 2 x f ' x 2 cos 2 x
f mempunyai nilai stationer jika f ' x 0 , maka 2 cos 2 x 0
cos 2 x 0
cos 2 x cos 900 , cos 2700 Dari persamaan trigonometri
sin x 0 sin p 0 x p k .360 0 atau x 180 p k .360 0 cos x 0 cos p 0 x p k .360 0 atau x p k .360 0 tan x 0 tan p 0 x p k .360 0 75
cos 2 x cos 900 , cos 2700 i.
2 x 900 k.3600 x 450 k.1800 Untuk k 0 x 450 0..1800 450 Untuk k 1 x 450 1.1800 2250
ii.
2 x 2700 k.3600 x 1350 k.1800 Untuk k 0 x 1350 0..1800 1350 Untuk k 1 x 1350 1.1800 3150
Jadi ada
4
absis
yang
menjadi titik
stationer
yaitu
x 450 , x 1350 , x 2250 , x 3150
Gambar terlebih dahulu di garis bilangan dengan meletakkan titik stationer yang diperoleh
Tentukan dua titik uji yang terdiri dari satu di kiri titik stationer dan satu lagi di kanan titik stationer. a. Untuk x 450 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 0 0 dan di sebelah kanan x 90 0
x 00 2 cos 2 00 2 cos 00 21 2 0 positif
x 900 2 cos 2 900 2 cos1800 2 1 2 0 negatif
0 0 b. Untuk x 135 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 90 dan di
sebelah kanan x 180
0
x 900 2 cos 2 900 2 cos1800 2 1 2 0 negatif
x 1800 2 cos 2 1800 2 cos360 21 2 0 positif 0
c. Untuk x 2250 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 1800 dan di sebelah kanan x 270 0
x 1800 2 cos 2 1800 2 cos360 21 2 0 positif 76
0
x 2700 2 cos 2 2700 2 cos540 2 1 2 0 negatif 0
d. Untuk x 3150 pilih sebarang misal di sebelah kiri x 270 0 dan di sebelah kanan x 3600
2 cos 2360 2 cos720
x 2700 2 cos 2 2700 2 cos540 2 1 2 0 negatif 0
x 3600
0
0
21 2 0 positif
f 135 2 sin 2135 2 sin 270 2 1 1 f 225 2 sin 2225 2 sin 450 2 1 3 f 315 2 sin 2315 2 sin 630 2 1 1
Untuk x 450 f 450 2 sin 2 450 2 sin 900 2 1 3 Untuk x 1350 Untuk x 2250 Untuk x 3150
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jadi titik balik minimun 1350 ,1 dan 3150 , 3
Sedangkan titik balik maksimum 450 , 3 dan 2250 , 3 . 2. Metode Uji Turunan Kedua di Titik Stationer Teorema Nilai BalikMisalkan y f x terdefinisi pada selang a x b yang ' '' memuat c , f x dan f x ada untuk setiap titik pada selang a x b . ' Misalkan juga f c 0 , yang berarti x c adalah absis titik stationer.
'' Jika f c 0 atau negatif maka f c adalah nilai balik maksimum
'' Jika f c 0 atau positif maka f c adalah nilai balik minimum
'' Jika f c 0 , maka f c adalah titik belok
Selanjutnya kita akan menggunakan Metode Uji Turunan Kedua ini untuk menjawab Contoh Soal 2.2 fungsi trigonometri yang di atas sebagai berikut: a. f x cos 2 x
f ' x 2 sin 2 x 77
f '' x 4 cos 2 x Dari penyelesaian yang di atas sudah kita peroleh ada 4 absis yang menjadi titik stationer yaitu x 00 , x 900 , x 1800 , x 2700
90 4 cos 290 4 cos180 4(1) 4 0 (minimum) 180 4 cos 2180 4 cos360 4(1) 4 0 (maksimum) 270 4 cos 2270 4 cos270 4(1) 4 0 (minimum)
f '' 00 4 cos 2 00 4 cos 00 4(1) 4 0 (maksimum) f '' f ''
f ''
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jadi, ada dua absis minimum yaitu x 90 0 dan x 270 0 Sedangakan titik balik maksimum yaitu x 0 0 dan x 1800 b. f x 2 sin 2 x
f ' x 2 cos 2 x f '' x 4 sin 2 x Dari penyelesaian yang di atas sudah kita peroleh ada 4 absis yang menjadi titik stationer yaitu x 450 , x 1350 , x 2250 , x 3150
135 4 sin 2135 4 sin270 4(1) 4 0 (minimum) 225 4 sin 2225 4 sin450 4(1) 4 0 (maksimum) 315 4 sin 2315 4 sin630 4(1) 4 0 (minimum)
f '' 450 4 sin 2 450 4 sin 900 4(1) 4 0 (maksimum) f '' f '' f ''
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jadi, ada dua absis maksimum yaitu x 450 dan x 2250 Sedangakan titik balik minimum yaitu x 1350 dan x 3150
Latihan 2.1 1.
Tentukanlah titik stationer, titik balik maksimum, titik balik minimum maupun titik belok (jika ada) dengan menggunakan Metode Uji Turunan Kiri dan Kanan Titik Stationer pada selang 00 x 3600
a.
f x 2 sin 2 x 600 1
b.
f x cos 2 x 1
78
c. f x tan x
2.
Tentukanlah titik stationer, titik balik maksimum, titik balik minimum maupun titik belok (jika ada) dengan menggunakan Metode Turunan Kedua di Titik Stationerpada selang 00 x 3600 a.
f x 2 sin x cos 2 x
b.
f x 3 cos 2 x sin 2 x
c.
f x sin 2 x 2
2.2 Nilai Maksimum dan Minimum Ada beberapa masalah dalam kehidupan sehari – hari yang biasa kita selesaikan dengan melibatkan turunan fungsi trigonometri.Misalnya mencari optimalisasi dalam suatu permasalahan yaitu mencari nilai terbesar (maksimum) atau nilai terkecil (minimum).Untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu permasalahandengan menggunakan turunan fungsi trigonometri dapat kita ikuti langkah – langkah sebagai berikut : 1.
Buatlah permasalahan yang ada menjadi model matematika yaitu menjadi suatu fungsi f x
2.
Carilah turunan dari f x tersebut
3.
Tentukan titik stationer dengan f
4.
Tentukan apakah titik stationer yang diperoleh merupakan titik maksimum atau
x 0
titik minimum
Contoh Soal 2.2.1 : 1. Besarnya
simpangan dari
sebuah pegas
dinyatakan dengan persamaan
yt 5 cos 20t dengan y adalah simpangan cm dan t adalah waktu s . Tentukanlah berapa besar kecepatan maksimumnya dan pada saat kapan terjadi kecepatan maksimum tersebut? Penyelesaian : Misalkan vt : kecepatan 79
vt diperoleh dari y ' t maka : vt y ' t = 100 sin 20t Kecepatan maksimum terjadi pada saat percepatan sama dengan 0 Misalkan at : percepatan
at diperoleh dari v ' t vt 100 sin 20t at v ' t 2000 cos 20t
Kecepatan maksimum terjadi jika at 0 cos 20t 0
cos 20t cos
20t t
40
2
2
atau
k .2
k.
20t
1 10
1 Pada saat t 40 k. 10 Untuk k 0 t
cos 20t
atau
3 2
3 k.2 2
t
3 1 k. 40 10
t
3 1 k. 40 10
k 0t
40
k 1 t
5 40
k 1 t
7 40
k 2t
9 40
k 2t
11 40
k 3t
13 40
k 3t
15 40
…dst
3 40
…dst
3 5 7 9 11 13 15 , , , , , , ,... Nilai – nilai t yang kita peroleh = , 40 40 40 40 40 40 40 40 Substitusikan nilai t ke fungsi vt sehingga memperoleh kecepatan maksimum
80
t
vt 100 sin 20t 100 sin 20 1001 100 40 40
t
5 5 vt 100 sin 20t 100 sin 20 1001 100 40 40
t
9 9 vt 100 sin 20t 100 sin 20 1001 100 40 40
t
13 9 vt 100 sin 20t 100 sin 20 1001 100 40 40
t
3 3 vt 100 sin 20t 100 sin 20 100 1 100 40 40
t
7 7 vt 100 sin 20t 100 sin 20 100 1 100 40 40
t
11 11 vt 100 sin 20t 100 sin 20 100 1 100 40 40
t
15 15 vt 100 sin 20t 100 sin 20 100 1 100 40 40
Jadi,
t
kecepatan
maksimum
adalah
100 cm / s
dan
terjadi
pada
saat
3 7 11 15 3 1 , , , ,... dengan pola t k. 40 40 40 40 40 10
2. Misalkan sebuah benda dihubungkan dengan pegas dan bergerak sepanjang sumbu- X dengan persamaan x sin 2t 3 cos 2t . Tentukanlah jarak terjauh dari titik O yang mungkin tercapai oleh benda tersebut!
Penyelesaian
x sin 2t 3 cos 2t dx x ' 2 cos 2t 2 3 sin 2t dt
2 cos 2t 2 3 sin 2t 0 81
2 3 sin 2t 2 cos 2t sin 2t
2 2 3
cos 2t
sin 2t 2 cos 2t 2 3
tan 2t
1 3 3
tan 2t tan 300 2t 300 k.1800 t 150 k.900 Untuk k 0 t 150 0.900 150 Untuk k 1 t 150 1.900 1050 Untuk k 2 t 150 2.900 1950 Untuk k 3 t 150 3.900 2850 Nilai – nilai t yang kita peroleh = 150 ,1050 ,1950 ,2850
Substitusikan nilai t ke fungsi x sin 2t 3 cos 2t
sehingga memperoleh jarak
terjauh
t 150 x sin 2 150 3 cos 2 150 sin 300 3 cos 300
1 1 3 3 2 2 2
t 1050 x sin 2 1050 3 cos 2 1050 sin 2100 3 cos 2100
1 1 3 3 2 2 2
1 1 3 3 2 2 2
t 1950 x sin 2 1950 3 cos 2 1950 sin 3900 3 cos 3900
t 2850 x sin 2 2850 3 cos 2 2850 sin 5700 3 cos 5700 1 1 3 3 2 2 2
82
Jadi, jarak terjauh dari titik O yang mungkin tercapai oleh benda tersebut adalah 2 pada waktu t 150 k.900 dengan k 0,2,4,6,...dst Latihan 2.2 1. Misalkan
volume
udara
dalam
paru
–
paru
memenuhi
persamaan
V 1.000 200 cos2t dengan V (dalam mL) dan t (dalam detik). Tentukanlah volume udara maksimum yang biasa ditampung dalam paru – paru tersebut jika 0 t 1
2. Ketika seseorang berjalan, besar gaya vertikal F yang dikenakan pada salah satu kakinya diperkirakan dengan fungsi F t Asin5t 1 0,5sin15t dengan t adalah waktu (dalam detik) dan A adalah berat badan (dalam kg). Tentukan nilai minimum dari fungsi tersebut jika berat badan yang dimiliki adalah 65 kg.
2.3 Selang Kemonotonan Kurva Fungsi Trigonometri Pada Matematika Wajib kelas XI telah dipelajari jika turunan pertama f ' x 0 maka fungsi tersebut dinyatakan fungsi turun dan sebaliknya jika f ' x 0 maka fungsi tersebut dinyatakan fungsi naik. Fungsi naik dan fungsi turun tersebut dinyatakan fungsi monoton.
Gambar fungsi naik dan fungsi turun
83
Contoh Soal 2.3 Diketahui f x 2 sin x cos 2 x dengan interval 00 x 3600 maka tentukanlah: a. Tentukanlah titik – titik stationer dan jenisnya, selang di mana fungsi naik dan turun b. Tentukanlah nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak
Penyelesaian: a.
f x 2 sin x cos 2 x f ' x 2 cos x 2 sin 2 x f ' x 2 cos x 22 sin x cos x
f ' x 2 cos x1 2 sin x Titik – titik stationer terjadi jika f ' x 0
f ' x 2 cos x1 2 sin x 0 Dengan menggunakan Rumus Persamaan Trigonometri diperoleh 2 cos x 0
1 2 sin x 0
dan
1 2
cos x 0
sin x
cos x cos 900 , cos 2700
sin x sin 300 , sin 1500
x 900
x 300
x 2700
x 1500
Ada 4 absis stationer yang memenuhi yaitu : x 300 , x 900 , x 1500 , x 2700 Substitusikan nilai x 300 , x 900 , x 1500 , x 2700 ke f x 2 sin x cos 2 x
1 1 3 x 30 0 f 30 0 2 sin 30 0 cos 2 30 0 2 2 2 2
x 900 f 900 2 sin 900 cos 2 900 21 1 1
1 1 3 x 150 0 f 150 0 2 sin 150 0 cos 2 150 0 2 2 2 2
x 2700 f 2700 2 sin 2700 cos 2 2700 2 1 1 3
84
3 3 Titik – titik stationernya adalah 30 0 , , 90 0 ,1, 1500 , , 270 0 ,3 2 2
Untuk selang 00 x 3600 kita akan menentukan tanda di sebelah kiri dan sebelah kanan dari titik stationer yang kita peroleh tadi.
Dari gambar dapat terlihat jelas bahwa keempat titik stationer telah membagi daerah tersebut menjadi 5 bagian
Daerah I untuk 00 x 300
Daerah II untuk 300 x 900
Daerah III untuk 900 x 1500
Daerah IV untuk 1500 x 2700
Daerah V untuk 2700 x 3600
Kemudian setiap daerah akan kita tentukan tanda positif atau negatif dengan mengambil sebarang titik uji.
Untuk daerah I 00 x 300 kita ambil x 00
f 0 211 20 f 0 211 f 0 2
f ' 00 2 cos 00 1 2 sin 00
'
0
'
0
'
0
2 0 berarti tanda
Untuk daerah II 300 x 900 kita ambil x 600
f ' 600 2 cos 600 1 2 sin 600
1 1 f ' 600 2 1 2 3 2 2
f 60 1
f ' 600 1 1 3 '
0
3
3 0 sehingga 1 3 0 berarti tanda 85
Untuk daerah III 900 x 1500 kita ambil x 1200
f ' 1200 2 cos 1200 1 2 sin 1200
1 1 f ' 1200 2 1 2 3 2 2
f 120
f ' 1200 1 1 3 '
0
Untuk daerah IV 1500 x 2700 kita ambil x 1800
f 180 2 11 20 f 180 21 0 f 120 2
f ' 1800 2 cos 1800 1 2 sin 1800
'
0
'
0
'
0
2 0 berarti tanda
Untuk daerah V 2700 x 3600 kita ambil x 3300
f ' 3300 2 cos 3300 1 2 sin 3300
1 1 f ' 330 0 2 1 2 3 2 2
330
f ' 3300 1 1 3
f'
0
Setelah melihat gambar di atas kemudian kita tentukan selang dimana fungsi naik dan turun. Ingat kembali bahwa daerah di mana tanda f ' x 0 menyatakan selang fungsi naik dan f ' x 0 menyatakan selang fungsi turun, maka dapat kita simpulkan:
Daerah I untuk 00 x 300 adalah fungsi naik
Daerah II untuk 300 x 900 adalah fungsi turun
Daerah III untuk 900 x 1500 adalah fungsi naik
Daerah IV untuk 1500 x 2700 adalah fungsi turun 86
Daerah V untuk 2700 x 3600 adalah fungsi turun Sedangkan untuk menentukan jenis stationernya ingat kembali bahwa jika dari kiri ke kanan titik stationer terjadi perubahan tanda + ke – atau f ' x 0 ke f ' x 0 maka jenis stationernya adalah maksimum dan kebalikannya jika dari kiri ke kanan titik stationer terjadi perubahan tanda – ke + atau f ' x 0 ke f ' x 0 maka jenis stationer adalah minimum. Sehingga dapat kita simpulkan dengan memperhatikan gambar tersebut adalah: 3 Titik stationer 30 0 , adalah titik maksimum 2
Titik stationer 90 0 ,1 adalah titik minimum 3 Titik stationer 150 0 , adalah titik maksimum 2
Titik stationer 2700 ,3 adalah titik minimum b. Nilai maksimum mutlak dapat kita peroleh dengan membandingkan nilai maksimum stationer dengan nilai terbesar pada ujung – ujung selang 00 x 3600 . Begitu juga untuk nilai minimum mutlak dapat kita peroleh dengan membandingkan nilai minimum stationer dengan nilai terkecil pada ujung – ujung selang 00 x 3600
f 360 2 sin360 cos 2360 20 1 1
x 00 f 00 2 sin 00 cos 2 00 20 1 1 x 3600
0
0
0
3 3 3 Titik maksimum 30 0 , dan 150 0 , memiliki nilai maksimum yang lebih besar 2 2 2 dari nilai terbesar pada ujung selang yaitu 1 sehingga nilai maksimum maksimum mutlak.Sedangkan titik minimum
270 ,3 memiliki 0
3 disebut nilai 2
nilai minimum
3 yang lebih kecil dari 1 sehingga nilai minimum 3 adalah nilai minimum mutlak.
Latihan 2.3 Diketahui f x 2 cos x cos 2 x dengan interval 0 x 2 maka tentukanlah: a. b.
Tentukanlah titik – titik stationer dan jenisnya, selang di mana fungsi naik dan turun Tentukanlah nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak
87
2.4 Selang Kecekungan Kurva Fungsi Trigonometri Suatu kurva memiliki titik stationer minimum pada suatu selang Ijika dalam selang tersebut kurva cekung ke atas.Sedangkan suatu kurva memiliki titik stationer maksimum pada suatu selang I jika dalam selang tersebut kurva cekung ke bawah.Seperti yang sudah kita bahas sebelumnya titik stationer maksimum dan minimum dapat kita peroleh dari turunan kedua fungsi tersebut. Suatu grafik fungsi f x dikatakan cekung ke atas pada selang I bila
f ' x naik pada selang I dan suatu grafik fungsi f x dikatakan cekung ke bawah pada selang I bila f ' x turun pada selang I. Jadi dapat disimpulkan jika f ' x naik berarti f '' x 0 maka
f x cekung ke atas pada selang I dan sebaliknya jika f ' x turun berarti f '' x 0 maka f x cekung ke bawah pada selang I.
Gambar Kurva Cekung ke Atas dan Cekung ke Bawah
Contoh Soal 2.3 Tentukanlah selang kecekungan kurva dari fungsi
f x cos 2 x pada selang
0 x 2
Penyelesaian : a. Tentukan terlebih dahulu titik – titik stationernya dari syarat kecekungan kurva yaitu f '' x 0 untuk kurva cekung ke atas dan f '' x 0 untuk kurva cekung ke bawah
f x cos 2 x f ' x 2 sin 2 x 88
f '' x 4 cos 2 x 4 cos 2 x 0 cos 2 x 0
cos 2 x cos
2x
x
Untuk k 0 x
Untuk k 1 x
2
2
4
4
4
cos 2 x cos
dan
k.2
2x
k
x
0.
1.
4 5 4
Jadi, diperoleh 4 nilai absis titik stationer yaitu : x
3 2 3 k .2 2
3 k 4
k 0 x
3 3 0. 4 4
k 1 x
3 7 1. 4 4
3 5 7 , , , 4 4 4 4
Dari gambar dapat terlihat jelas bahwa keempat titik stationer telah membagi daerah tersebut menjadi 5 bagian
Daerah I untuk 0 x
Daerah II untuk
Daerah III untuk
3 5 x 4 4
Daerah IV untuk
5 7 x 4 4
Daerah V untuk
4
4
x
3 4
7 x 2 4
89
Kemudian setiap daerah akan kita tentukan tanda f '' x positif atau negatif dengan mengambil sebarang titik uji.
Untuk daerah I 0 x
4
kita ambil x
6
f '' 4 cos 2 6 6 f '' 4 cos 6 3
1 f '' 4 6 2 f '' 2 6
Untuk daerah II
2 0 berarti tanda
4
x
3 kita ambil x 4 2
f '' 4 cos 2 2 2 f '' 4 cos 2 f '' 4 1 2
f '' 4 2
Untuk daerah III
4 0 berarti tanda
3 5 x kita ambil x 4 4
f '' 4 cos 2 f '' 41 f '' 4
Untuk daerah IV
4 0 berarti tanda
5 7 3 x kita ambil x 4 4 2
3 3 f '' 4 cos 2 2 2 90
3 f '' 4 cos3 2 3 f '' 4 1 2
3 f '' 2
4
4 0 berarti tanda
Untuk daerah V
7 11 x 2 kita ambil x 4 6
11 11 f '' 4 cos 2 6 6
11 11 f '' 4 cos 6 3 11 1 f '' 4 6 2 11 f '' 2 6
2 0 berarti tanda
Dengan memperhatikan gambar di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa: a. Kurva cekung ke atas pada daerah II ;
4
x
3 5 7 x dan daerah IV ; 4 4 4
b. Kurva cekung ke bawah pada daerah I ; 0 x daerah V ;
4
, daerah III ;
3 5 x dan 4 4
7 x 2 4
Latihan Soal 2.4 Tentukanlah selang kecekungan kurva dari fungsi 0 x 2
91
f x sin 2 x pada selang
GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA 3.1 Gradien Suatu Kurva Seperti yang sudah kalian pelajari tentang gradien bahwa gradien adalah nilai kemiringan suatu garis lurus yang biasanya di notasikan dengan m
y . Maka kali ini materi x
turunan juga bisa kita gunakan untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung suatu kurva. Untuk memahami bagaimana kaitan antara gradien dengan turunan maka perhatikanlah gambar berikut ini :
Pada gambar di atas grafik fungsi y f x terdapat titik Ea, f a . Titik E merupakan titik tetap pada kurva tersebut. Sedangkan titik F a h, f a h merupakan titik yang bergerak sepanjang kurva y f x . Garis yang melalui titik E dan F disebut dengan tali busur. Jika titik F bergerak mendekati titik E maka garis EF adalah garis singgung kurva y f x . Jadi garis singgung di titik E merupakan limit dari tali busur EF pada saat titik F bergerak mendekati titik E .Titik E memiliki absis di a dan ordinat
f a . Sedangkan titik F memiliki absis di a h dan ordinat f a h . Jika h mendekati 0, maka titik F akan mendekati E . Apabila titik F yang paling dekat dengan E kita ubah menjadi titik H maka EH adalah garis singgung kurva. Sehingga dapat kita tentukan gradien garis EH dengan :
92
m lim h0
f a h f a h
m f ' a
Jadi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi y f x merupakan gradien garis singgung kurva di titik x, f x Untuk lebih jelasnya perhatikanlah conotoh soal berikut ini: Contoh soal 3.1 1. Tentukanlah gradien garis singgung kurva y x 2 3x di titik 1,1 2. Tentukanlah koordinat titik pada kurva y x 2 2 sehingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai m 2 Penyelesaian: 1.
y x 2 3x m f ' x 2 x 3 m f ' 1 2 1 3 m 1
2.
y x2 2 m f ' x 2 x 2 2x x 1
y 1 2 3 2
Maka koordinat titik y x 2 2 adalah 1 , 3 Latihan Soal 3.1 1. Tentukanlah gradien garis singgung kurva y 5 x 2 di titik 2,2 2. Tentukanlah koordinat titik pada kurva y 2 x 2 1 sehingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai m 1 93
3.2 Persamaan Garis Singgung
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva f x yang melalui titik singgung x1 , y1 dapat menggunakan rumus :
y y1 mx x1 Agar lebih memahami tentang persamaan garis singgung dengan menggunakan turunan pada fungsi aljabar dan fungsi trigonometri maka pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini: Contoh Soal 3.2: 1. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y x 3 2 x di titik 4,2 2. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y x 4 2 x 2 10 di titik yang berabsis 2 3. Tentukanlah persamaan garis yang menyinggung kurva y x 4 5 dan tegak lurus dengan x 32 y 24 4. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y 3 cos x di titik yang berabsis
2
5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y 2 cos x yang sejajar dengan
x y 1 0 pada interval 0 x 2 Penyelesaian: 1. Diketahui y x 3 2 x maka m f ' x 3x 2 2 2 ' Gradien garis singgung di titik x1 4 adalah m f 4 34 2 50
Persamaan garis singgung di titik 4,2 dengan m 50 adalah
y y1 mx x1 y 2 50x 4 y 50 x 198 94
2. Diketahui y x 4 2 x 2 10 maka y ' 4 x 3 4 x 2 4 Kurva melalui titik dengan absis 2 berarti x1 2 maka y1 2 22 10 18 3 ' Gradien garis singgung di titik x1 2 adalah m f x1 2 42 42 24
Persamaan garis singgung di titik
2 , 18 dengan
m 24 adalah
y y1 mx x1 y 18 24x 2 y 24 x 48 18 y 24 x 30 4 3 3. Diketahui y x 5 maka f x 4x
'
Untuk garis x 32 y 24 dapat kira tentukan langsung gradiennya x 32 y 24 32 y x 24 1 m1 32 4 Kurva y x 5 tegak lurus dengan x 32 y 24 maka m1.m2 1 1 .m2 1 32
m2 32 m2 y ' 4 x 3 32 4 x 3 x 3 8 x 2
Karena x 2 maka y 2 5 21 4
Persamaan garis singgung di titik
2 , 21 dengan m 32 adalah
y y1 mx x1
y 21 32x 2 y 32 x 64 21
y 32 x 43 y 32 x 43 95
4. Diketahui y 3 cos x maka turunannya y ' 3sin x Kurva melalui titik dengan absis
berarti x1 maka y1 3 cos 30 0 2 2 2
Gradien garis singgung di titik x1
2
adalah
m f ' x1 3sin 31 3 2 2 Persamaan garis singgung di titik ,0 dengan m 3 adalah: 2
3 y y1 mx x1 y 0 3 x y 3x 2 2 5. Diketahui y 2 cos x maka turunannya adalah f x ' 2 sin x Garis x y 1 0 memiliki gradien m1 1 Gradien garis singgung y sin x (misalkan m2 ) sejajar dengan garis x y 1 0 maka
m1 m2 1 Lalu kita tentukan titik singgung x1 , y1 f x m2 '
2 sin x 1
sin x sin x sin
7 6
1 2 dan
sin x sin
x
7 6
x
x
7 k .2 6
x
11 6
11 6
11 k .2 6
k 0 x
7 6
k 0 x
11 6
k 1 x
19 (tm) 6
k 1 x
23 (tm) 6
96
Untuk x Untuk x
7 7 1 7 y 2 cos 3 3 diperoleh titik singgung , 3 2 6 6 2 6
11 11 1 11 y 2 cos 3 3 diperoleh titik singgung , 3 2 6 6 2 6
titik
singgung
7 , 3 6
maka
persamaan
garis
persamaan
garis
singgungnya adalah
7 7 7 y 3 1 x y x 3 y 3 x 6 6 6
titik
singgung
11 , 3 6
maka
singgungnya adalah 11 11 11 y 3 1 x y x 3 y 3 x 6 6 6
Latihan 3.2 1. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y 5x x 2 di titik 3,1 2. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y x 4 5x 2 10 di titik yang berordinat 6. 3. Tentukanlah persamaan garis yang menyinggung kurva y 2 x 4 1 dan sejajar dengan y 7 x 8 4. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y tan x di titik yang berordinat 1 pada interval 0 x 5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva y sin 2 x yang tegak lurus dengan x y 1 0 pada interval 0 x 2
97
Rangkuman ……………………………………… 1. Definisi turunan fungsi aljabar dari konsep limit yaitu :
2. Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri
df ( x) Cos x dx
f ( x) sin x f ' ( x) cos x atau
df ( x) Sin x dx
f ( x) cos x f ' ( x) Sin x atau f ( x) tan x f ' ( x) sec 2 x atau
df ( x) sec 2 x dx
f ( x) cot an x f ' ( x) cos ec 2 x atau
f ( x) sec x f ' ( x) sec x tan x atau
df ( x) cos ec 2 x dx
df ( x) sec x tan x dx
f ( x) cos ec x f ' ( x) cos ecx cot anx atau
df ( x) cos ecx cot anx dx
3. Turunan fungsi komposisi dengan menggunakan aturan rantai: Jika y f u , u g x dan fg x f g x f u y maka :
fg ' x
f ' g x . g ' x atau
dy dy du . dx du dx
4. Turunan fungsi parameter jika terdapat x f t dan y f t maka turunannya
dy dy dy dt dy dt . adalah y ' maka y ' dx dt dx dx dx dt 5. Titik stationer terjadi jika gradien kurva sama dengan nol atau f ' x 0 6. Jenis – jenis titik stationer yaitu : a. Uji turunan pertama pada sisi kiri dan sisi kanan dari titik stationer 1) Jika dari sisi kiri titik stationer ke sisi kanan titik stationer terjadi perubahan tanda 98
-
dari f ' x 0 menjadi f ' x 0 atau dari tanda positif menjadi tanda negatif maka jenis titik stationer adalah titik balik maksimum
-
dari f ' x 0 menjadi f ' x 0 atau dari tanda negatif menjadi tanda positif maka jenis titik stationer adalah titik balik minimum
2) Jika dari sisi kiri titik stationer ke sisi kanan titik stationer tidak terjadi perubahan tanda yaitu keduanya f ' x 0 atau f ' x 0 maka jenis titik stationer adalah titik belok
b. Uji turunan kedua 1) Jika f '" c 0 atau negatif maka f c adalah titik balik maksimum 2) Jika f '" c 0 atau positif maka f c adalah titik balik minimum 7. Fungsi f x naik pada selang I jika f ' x 0 ' 8. Fungsi f x turun pada selang I jika f x 0
9. Gradien kurva y f x adalah m f ' x 10. Persamaan garis singgung yang melalui titik
y y1 mx x1
99
x1 , y1
dengan gradien m adalah
I. Pilihan Ganda. Pilihlah jawaban yang paling benar!
A. f ' x 6 cos 3 3x sin 3x
1. Turunan pertama dari f x sin 2 x cos 3x adalah…
C. f ' x 6 sin 2 3x cos 3x
A. B. C. D. E.
f x 2 cos 2 x 3 sin 3x f ' x 2 cos 2 x 3sin 3x f ' x 2 cos x 3sin 3x f ' x cos 2 x sin 3x f ' x 2 x cos 2 x 3x sin 3x
B. f ' x 6 sin 3 3x cos 6 x D. f ' x 6 sin 3x cos 2 3x
'
E. f ' x 6 sin 2 3x sin 6 x 6. Turunan pertama dari f x cot 2 x 4sec 2 x 4 adalah… A. f ' x 2 tan2 x 4 cos2 x 4
B. f ' x 2 cos ec2 x 4cot 2 x 4 C. f ' x 3 tan2 x 4cot 2 x 4
2. Turunan pertama dari f x 2 sin x 3cos x adalah…
D. f ' x 4 sin2 x 4
A. f x 2 sin x 3 cos x '
E. f ' x 2 cot 2 x 4 cos ec2 x 4
B. f x 2 sin x 3 cos x '
C. f ' x 2 cos x 3sin x D. E.
f x 3sin x 2 cos x f ' x 3sin x 2 cos x '
7. Turunan pertama fungsi f x sin adalah f ' x . Maka f ' x ... 1 cos x A. cos x D. 2 x 1 2tgx B. cos E. cos 2 x x sin x C. x
3. Turunan pertama dari f x tan 2 x 4 adalah… A. f ' x 2 sec 2 2 x 4 B. f ' x 8 sec2 2 x 4
C. f ' x 12 sec2 2 x 4 D. f ' x 2 cot 2 x 4
E. f ' x 4 cot 2 2 x 4 4. Turunan pertama dari f x 3sin x cos x adalah… B. f ' x 3 cos 2 x C. f ' x 3sin 2 x
D. f ' x 3 6 sin 2 x
E. f ' x 6 cos 2 x 3 F.
f ' x 6 cos 2 x 3sin x
5. Turunan pertama dari f x sin 4 3x adalah…
1 x
8. Turunan pertama dari f x cos x adalah f ' x . Maka f ' x ... sin x A. 2 sin x sin x B. 2 cos x 2 sin x C. cos x 2 cos x D. sin x sin x E. 2 cos x 100
9. Turunan pertama dari
14. Jika f x
f x cot an 2 x 1 adalah 5
f ' ... 4 1 A. 2 1 2 B. 2 C. 2
A. f ' x 5 cot an 2 x 1 cos ec 2 2 x 1 B. f ' x 5 cos ec 2 2 x 1 cot an2 x 1
C. f ' x 5 10 x 2 x 1 cos ec 2 2 x 1 D. f ' x 5 2 x 2 x 1 cot an2 x 14 E. f ' x 102 x 14 cos ec 2 2 x 1
10. Turunan pertama dari f x sin 2 x 4cos 2 x 4 adalah
A. f ' x 2 cos 2 2 x 4 sin2 x 4
B. f ' x 4 cos 2 2 x 4sin 2 2 x 4 C. f ' x cos2 x 4sin2 x 4 D. f ' x 2 cos 2 4 x 8 E. f ' x 2 cos4 x 8
11. Diketahui f x 2 sin x cos x maka f ' ... 2 A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0 12. Diketahui f x f ' ... 6 2 A. 9 B. 0 4 C. 9
sin x cos x maka sin x cos x
D. E. 1
15. Jika f x a cot x bx dan f ' 10 , 4 f ' 6 . Maka nilai a b ... 3 A. -6 D. 2 B. -8 E. 6 C. 0
16. Diketahui f x a tan x bx , f ' 0 4 dan f ' 10 . Maka nilai 3 2a b ... A. -6 D. 4 B. -4
E. 6
C. 0
cos x maka 1 sin x
17. Persamaan
parameter
adalah x 2 cos t dan D.
3
2 3
sebuah
kurva
y 5 sin t dengan
t sebagai parameter. Turunan y terhadap
E. 2
x atau
sin x cos x , sin x 0 dan sin x f ' x adalah turunan dari f x . Nilai dari f ' adalah… 2 A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0
A.
2 tan t 5
B.
2 cot ant 5
C.
5 tan t 2
D.
5 cot ant 2
13. Jika f x
101
dy ... dx
sedemikian sehingga posisi alat tersebut
5 E. cot ant 2
dinyatakan
x 3 cos 4t
dengan
dan
x 2 cos 3t (posisi dalam satuan cm dan 18. Persamaan
parameter
sebuah
kurva
waktu t dalam satuan detik). Kecepatan
adalah x sin 2t 2 sin t dan
y cos 2t 2 cos t dengan
gerak alat t
penggores pada
dinyatakan
sebagai
parameter. Turunan y terhadap x atau
t
dengan 2
2
dx dy v dalam dt dt
dy ... dx
saat
satuan
cm/detik. Besar kecepatan gerak alat
2 A. tan t 3
2 D. cot an t 3
tersebut pada saat t
2 B. cot an t 3
E. tan 2t tan t
A. 4 cm/detik B.
3 C. tan t 2
2
detik adalah...
13 cm/detik
C. 6 cm/detik D. 6 5 cm/detik
19. Sebuah
partikel
bergerak
persamaan y 2 cos 2 x 6
menurut
E. 12 cm/detik
dengan 21. Budi melempar bola dari gedung tingkat
0 x . Variabel y dalam satuan cm
dua. Ketinggian bola pada saat waktu t
dan
(detik) dinyatakan dengan persamaan
x dalam satuan radian. Jika
bertambah
0,3
perubahan
y terhadap
x
3 A. 5
C.
20. Suatu
maka waktu
laju ketika
E.
3 5
3 20 mesin
diprogram
Kecepatan
untuk
menggerakkan sebuah alat penggores 102
bola
dinyatakan dengan rumus v y ' . Besar bola
saat
t 0,25
adalah...
2 D. 5
3 10
y 10 cos 2 t .
kecepatan
adalah...
3
B.
rad/det
x
A.
1 2
D.
B.
2 3
E. 2
C.
1 4
detik
22. Titik
balik
minimum
dari
y 2 sin x 3 pada 0 x adalah..
A. 0,3 B.
0,1
C. ,3 2
26. Nilai minimum y 2 sin x cos 2 x 0 x 2 adalah… A. -3 B. -2 C. -1 27. Absis
dari selang
D. 0 E. 1
stationer
y 2 sin 2 x 300 2
D. ,1 2
E.
titik
mutlak pada
dari pada
fungsi selang
0 x 2 adalah…
A. x 300 , x 600 , x 1200
,1
B. x 150 , x 600 , x 1500 23. Nilai
maksimum
C. x 600 , x 1500 , x 2400
dari
f x 4 cos x 3 sin x 2 adalah… A. -8
D. 2
B. -5
E. 8
D. x 300 , x 1500 , x 2400 E. x 900 , x 1800 , x 3600
C. 0
28. Salah satu titik y sin 2 x
24. Nilai
minimum
w
dari
fungsi
pada
dari
fungsi interval
0 0 x 360 0 adalah…
1 tan adalah… 2 sec 2 2
90 ,1 90 ,0 180 ,1 45 ,1
A. 45 0 ,0
D.
0
A. 0 B.
belok
1 2
B.
0
E.
0
C. 1 C.
D. -2 E.
0
29. Gradien kurva yang memiliki persamaan
(SPMB 2004)
y sin 3 x 3 sin x di titik yang berabsis 25. Nilai y
minimum
mutlak
dari
9 x sin x 4 pada selang 0 x x sin x 2
2
adalah… A. 8
D. 13
B. 10
D. 14
C. 12 103
adalah... 3 A. m
1 3
D. m
2 3
B. m
1 4
E. m
3 8
C. m
3 4
30. Persamaan garis singgung pada kurva y 3 tan x di titik yang berordinat 1 pada interval 0 0 x 180 0 adalah... A. y 3x 2 3 1
B. y 2 3x 3 5 C. y 2 3x 3 3 D. y 2 3x 5 5 E. y 3 2 x 3
3 1
3 1 3 1 3 1
II. Soal Uraian Jawablah pertanyaan – pertanyaan di bawah ini dengan benar! 1. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi – fungsi berikut: a.
f x 2 sin 3x 3 cos 2 x
b.
f x sin 3 (5 4 x)
c.
f x 3 cos 4 2 x
d.
f x 2 x 1cos3x 2
e.
f x
cos x 1 sin x
2. Jika f x cot x dan g x sec x . Tentukanlah
d gf dx
3. Jika f x cos 2 2 x . Tentukanlah nilai dari f ' 3 4 4. Jika f x a tan x bx dengan f ' 3 dan f ' 7 . Tentukanlah f ' 4 3 6 5. Diketahui fungsi 2 y 2 y x 0 dan 2t 3 y 1 0 . Tentukanlah laju perubahan nilai terhadap t dari fungsi dengan parameter x tersebut. 6. Sebuah kincir angin dengan jari- jari 25 meter sedang berputar berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan 4 radian / det ik . Tentukanlah kecepatan kincir angin yang sedang naik tersebut pada saat 5 meter dalam posisi tegak.
x 7. Diketahui fungsi f x b a cos , dengan a dan b adalah bilangan real positif. 4 Fungsi f untuk 2 x 10 mencapai maksimum pada saat x x1 dan mencapai minimum pada saat x x2 . Tentukanlah nilai dari x1 x2 (SNMPTN 2009) 104
8. Diberikan fungsi y 3 cos 2 x sin x . Tentukanlah titik – titik stationer dari fungsi tersebut beserta jenisnya untuk interval 0 t 9. Jika garis singgung kurva y
2 cos x di titik ,2 tegak luruis dengan garis g . sin x
Maka tentukanlah persamaan garis g tersebut. 10. Persamaan garis singgung kurva y 2 x cos 3x di titik dengan absis memotong sumbu - Y di titik 0, P . Tentukanlah nilai P tersebut.
105
akan 2
BAB
3
Distribusi Binomial Dan Distribusi Normal
Sumber : https://images.app.goo.gl/keTGmAjpEuXfddsw6 ( diunduh tanggal 27/10/2020 pukul 15.45 WIB)
Sebuah pabrik suku cadang sepeda motor membuat garansi bahwa dalam suatu boks yang berisi 20 buah suku cadang, paling banyak hanya 1 buah yang rusak. Jika catatan laporan menunjukkan bahwa peluang pabrik tersebut menghasilkan suku cadang yang rusak adalah 2%. Dapat kamu menentukan peluang dalam satu boks yang memenuhi garansi!. Ingin tahu caranya ayo kita pelajari materi dalam bab ini . 106
Peta Konsep Agar mempermudah mempelajari konsep Distribusi binomial dan distribusi normal , Perhatikan dan pahamilah terlebih dahulu peta konsep di bawah ini.
Review Materi Statistika dan Peluang
Statistika Peluang
Variabel Acak diskrit
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Acak diskrit Distribusi Binomial
Distribusi Binomial dan Distribusi Normal Variabel Acak Kontiniu
Distribusi Normal
Distribusi Probabilitas variable Acak Kontinu Distribusi Normal
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
Pengujian Hipotesis
Pengujian Hipotesis Dua Pihak Pengujian Hipotesis Satu Pihak
Kata Kunci Statistika, Peluang , Distribusi Binomial , Distribusi Normal, Variabel Acak, Distribusi probabilitas, Variabel acak kontinu, Hipotesis. 107
STATISTIKA DAN PELUANG
1.1 Statistika Seperti yang sudah Ananda pelajari pada Matematika Wajib Kelas XII bahwa Statistika merupakan ilmu yang berhubungan dengan cara – cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. Statistika berbeda dengan statistik. Jika statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari hal – hal yang berkaitan dengan penanganan data sedangkan statistik adalah kumpulan data berupa bilangan maupun bukan bilangan yang disusun dalam bentuk tabel atau diagram yang menggambarkan suatu masalah. Statistik biasanya dipakai untuk menyatakan ukuran yang mewakili sampel. Ukuran – ukuran statistik yang sudah dipelajari di Matematika Wajib kelas XII antara lain ukuran pemusatan data seperti mean (rata – rata), median dan modus, ukuran letak data seperti kuartil dan desil serta ukuran penyebaran data seperti jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan, simpangan baku dan lainnya.Sedangkan ukuran yang mewakili dari populasi disebut dengan parameter. Statistika memiliki prosuder yang dipakai untuk dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan penafsiran data yang disebut dengan Metode Statistika. Metode tersebut kita bagi menjadi 2 kelompok besar yaitu: a. Statistika Deskriptif b. Statistika Inferensial
Untuk lebih jelasnya akan kita bahas tentang kedua metode tersebut a. Statistika Deskriptif Statistika Deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan atau penyajian data hingga memberi informasi yang berguna. Contoh statistik deskriptif meliputi tabel, diagram, grafik, histogram dan lainnya. Dengan statistika deskriptif, kumpulan data dapat dibuat dengan ringkas dan rapi yang nantinya mampu memberikan informasi dari data tersebut. Informasi yang diperoleh dari statistik deskriptif inilah yang sudah kalian pelajari di Matematika Wajib Kelas XII yaitu ukuran pemusatan, letak maupun penyebaran data.
108
b. Statistika Inferensial Statistika Inferensial adalah sebuah metode statistik yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah.. Jadi, secara ringkas statistic inferensial yaitu statistic yang digunakan untuk menggeneralisasikan data sampel terhadap populasi. Contoh statistika inferensial misalnya : “ Pada sebuah SMA di Sumatera Utara tercatat selama tiga tahun terakhir sebanyak 70% siswanya lulus dengan nilai yang memuaskan. Nilai 70% adalah nilai statistik deskriptif. Lalu kemudian seorang siswa menyatakan bahwa peluang drinya bisa lulus dengan nilai memuaskan dapat melampaui 70%”. Dalam hal ini siswa tersebut sudah melakukan inferensia statistik walaupun bersifat tidak pasti. Dalam statistika inferensial diadakan pendugaan parameter, membuat hipotesis, melakukan pengujian hipotesis sampai pada penarikan kesimpulan. Jadi perbedaan antara statistik deskriptif dan statistik inferensial adalah jika statistic deskriptif hanya terbatas pada menyajikan data saja baik dalam bentuk table, diagram, grafik maupun besaran laik sedangkan statistik inferensial selain menyajikan data juga melakukan estimasi dan menarik kesimpulan terhadap populasi dari sampelnya. Namun agar bisa sampai pada penarikan kesimpulan dibutuhkan uji hipotesis dan uji statistik. Uji hipotesis inilah yang akan kita pelajari pada Bab ini.
1.2 Peluang Materi peluang juga sudah dipelajari di Matematika Wajib Kelas XII. Untuk belajar peluang pastinya kita harus menguasai terlebih dahulu tentang apakah itu percobaan atau eksperimen, percobaan acak, hasil, ruang sampel, kejadian, permutasi dan kombinasi. Disini kita akan mencoba mengingat kembali tentang bagian – bagian itu semua a. Percobaan adalah suatu proses dengan hasil dari suatu kejadian bergantung pada kesepakatan b. Percobaan acak adalah proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa kepastian mengenai peristiwa mana yang akan muncul. Atau percobaan acak adalah percobaan dimana hasil dari setiap uji coba bersifat tidak pasti dan berbeda. Contohnya adalah pelantunan dadu dan pelantunan koin. 109
c. Hasil adalah sesuatu yang kita dapatkan atau amati pada suatu percobaan. Misalnya : pada percobaan melantunkan sebuah koin satu kali muncullah sisi gambar dari koin tersebut. Sisi gambar inilah yang disebut dengan hasil. d. Ruang Sampel adalah sekumpulan atau set dari seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Misalnya : pada percobaan melantunkan sebuah koin satu kali ruang sampelnya adalah S A, G dengan A berari muncul sisi Angka dan G berarti muncul sisi Gambar. Nah, sekarang coba kalian tentukan ruang sampel dari percobaan melantunkan : 1. Dua buah koin 2. Dua buah dadu 3. Satu buah dadu dan satu buah koin e. Kejadian adalah sekelompok hasil percobaan. Contoh : hasil melantunkan sebuah koin adalah gambar. Dapat dinotasikan dengan E G. Contoh berikutnya percobaan melantunkan sebuah dadu muncul angka genap maka sekelompok hasilnya dinotasikan dengan E 2,4,6. f. Permutasi. Misalkan ada tiga buah huruf yaitu a,b dan c. Dari ketiga huruf tersebut akan kita susun kembali menjadi tiga huruf dengan huruf – huruf tersebut tidak boleh ada yang berulang. Susunan yang dapat dibentuk adalah abc, acb, bac, bca, cab dan cba. Jadi banyak susunan huruf yang dapat kita bentuk ada 6 cara. Susunan yang diperoleh tersebut dinamakan dengan permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia. Definisi Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah susunan dari r unsur dalam suatu urutan r n Prn
n! n r !
g. Kombinasi Jika di permutasi abc berbeda dengan acb karena urutan diperhatikan. Tetapi pada kombinasi urutan tidak diperhatikan sehingga abc = acb = bac = bca = cab = cba. Definisi
110
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah
suatu
r n Crn
pilihan
dari r unsur
tanpa
memperhatika
urutan
n! r!n r !
Contoh Soal 1.2.1 1). Budi memiliki 5 kelereng berbeda warna yang berada dalam sebuah kotak.. Kemudian ia mengambil 2 kelereng dari kotak tersebut. Berapakah banyaknya cara Budi mengambil 2 kelereng tersebut? 2). Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak tersebut. Berapakah banyaknya cara terambil kedua bola tersebut berwarna hijau? 3). Dari 6 orang pria dan 4 orang wanita, dipilih 3 orang terdiri dari 2 pria dan 1 wanita. Berapakah banyaknya cara pemilihan tersebut? 4). Dalam sebuah kotak yang berisikan 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Tentukan banyaknya cara terambilnya 3 kelereng tersebut jika dari ketiga kelereng yang terambil terdapat sekurang – kurangnya 1 kelereng putih Penyelesaian :
1). Kelereng yang tersedia ada 5 buah dan diambil 2 buah Banyaknya ada C25
cara
terambil
2
kelereng
dari
5
kelereng
yang
5! 5! 5 4 3! 10 2!5 2! 2!3! 2!3!
2). Bola yang tersedia terdiri dari 4 bola hijau dan 6 bola merah. Banyaknya cara terambil 2 bola hijau dari 4 bola hijau yang tersedia adalah : C24
4! 4! 4 3 2! 6 2!4 2! 2!2! 2!2!
3). Terdapat 6 pria dan 4 wanita. Akan dipilih 3 orang yang terdiri dari 2 pria dan 1 wanita.
111
Banyaknya C26
memilih
2
pria
dari
6
pria
wanita
dari
4
wanita
yang
ada
:
ada
:
6! 6! 6 5 4! 15 2!6 2! 2!4! 2!4!
Banyaknya C14
cara
cara
memilih
1
yang
4! 4! 4 3! 4 1!4 1! 1!3! 1!3!
Jadi banyaknya cara memilih 2 pria dan 1 wanita dari 6 pria dan 4 wanita adalah 15 4 60 4). Sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih dan diambil 3 kelereng. Banyaknya cara terambil 3 kelereng tersebut jika sekurang – kurangnya 1 terambil kelereng putih adalah 1 kelereng putih dan 2 kelereng merah : C15 C27 5 21 105 cara 2 kelereng putih dan 1 kelereng merah : C25 C17 10 7 70 cara : C35 10 cara
3 kelereng putih 105 + 70 +10 = 185 cara
Setelah kita mempelajari tentang materi – materi di atas selanjutnya kita akan membahas bagaimana menentukan peluang dari suatu kejadian. Definisi Peluang Bila suatu kejadian E dapat terjadi dalam n cara dari seluruh S cara yang mungkin, maka peluang atau kemungkinan (probabilitas) kejadian E dapat dirumuskan sebagai berikut: P E
n E nS
Macam – macam kejadian Kejadian lepas Kejadian lepas adalah kejadian A dan kejadian B yang saling lepas (saling asing) atau kejadian dimana A B 0
P A B P A PB 112
Kejadian Tak Lepas Kejadian tak lepas adalah kejadian A dan kejadian B saling beririsan atau kejadian dimana A B 0
P A B P A PB P A B Kejadian Bebas Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas, jika terjadi atau tidak terjadinya A tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya B
P A B P A PB Kejadian tak bebas (terbatas) Dua buah kejadian dikatakan tidak bebas, jika terjadinya salah satu dari kejadian itu ataupun tidak terjadinya akan mempengaruhi kejadian lain.
PB / A = nilai kemungkinan terjadinya B setelah A
P A / B = nilai kemungkinan terjadinya A setelah B B P A B P A P A
Contoh Soal 1.2.2 1. Dari 6 orang pria dan 4 orang wanita, dipilih 3 orang terdiri dari 2 pria dan 1 wanita. Berapakah peluangterambil 2 kelereng tersebut? 2. Pada pelemparan dua dadu bersama – sama satu kali. Tentukanlah peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 3. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As 4. A, B, C dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Tentukanlah peluang A dan B selalu berdampingan 5. Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk di antaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 di antaranya busuk. Berapakah peluang yang terambil Ibu adalah 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik? Penyelesaian: 113
1. PE = Peluang terpilih 2 pria dan 1 wanita
nE = Banyaknya cara memilih 2 pria dan 1 wanita dari 6 pria dan 4 wanita adalah C26 C14 15 4 60 nS C310 120
P E
nE 60 1 nS 120 2
2. nS = banyaknya kemungkinan pasangan mata dadu adalah 36
P A = peluang jumlah angka dua dadu adalah 3
n A = 1,2, 2,1 = 2 P A
n A 2 nS 36
PB = peluang jumlah angka dua dadu adalah 10
nB = 4,6, 5,5, 6,4 = 3 P B
n B 3 nS 36
P A B P A PB
2 3 5 36 36 36
3. nS = banyaknya kartu bridge 52
P A = peluang terambil 1 kartu merah
n A = 26 P A
26 52
PB = peluang terambilnya kartu As
n B = 4 P B
n B 4 nS 52
Ada irisan antara kejadian A dan B yaitu 2 kartu As merah
n A B 2
114
P A B
2 52
P A B P A PB P A B
26 4 2 28 52 52 52 52
4. A, B, C dan D berdampingan = 4! = 24
nS 24 nE A dan B berdampingan = 3! 2! 12 Peluang A dan B selalu berdampingan PE
nE 12 1 nS 24 2
5. Keranjang A berisi 8 buah jeruk baik dan 2 buah jeruk busuk Keranjang B berisi 12 buah salak baik dan 3 buah salak busuk
P A = peluang terambilnya 5 buah jeruk baik n A C58 2
nS C510 9
P A
n A 2 nS 9
PB = peluang terambilnya 5 buah salak baik nB C215 24 nS C515 91
P A B P A PB
2 24 16 9 91 273
Latihan 1. Uraikanlah perbedaan antara populasi dan sampel. Berikanlah contohnya masing – masing. 2. Dari 6 orang calon pengurus suatu organisasi akan dipilih menjadi Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris dan Bendahara yang masing – masing satu orang. Berapakah banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk? 3. Dalam suatu ruangan terdapat 30 orang. Setiap orang saling bersalaman. Berapakah banyaknya salaman yang dilakukan?
115
4. Pada suatu ujian tertulis yang berjumlah 10 soal. Setiap siswa diminta untuk menjawab 5 soal dengan syarat soal no 1 sampai dengan 3 wajib dijawab. Berapakah banyak cara siswa memilih ke 5 soal tersebut? 5. Di dalam kotak terdapat 8 bola merah dan 4 bola putih yang bentuk dan ukurannya sama. Lalu diambil 2 buah bola secara acak. Tentukanlah peluang terambil dua bola yang berwarna sama 6. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. Tentukanlah peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru. 7. Empat disket diambil secara acak dari 10 disket. 2 diantaranya rusak. Tentukanlah peluang yang terambil tidak ada yang rusak 8. Dari seperangkat kartu bridge diambil dua kartu berturut – turut satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambil kartu pertama As dan kartu kedua Queen 9. Seorang anak melempar tiga mata uang sekaligus sebanyak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya angka paling sedikit satu kali 10. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika saja adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus fisika saja adalah 0,2. Tentukanlah banyak siswa yang lulus tes matematika saja atau fisika saja
DISTRIBUSI BINOMIAL
2.1 Variabel Acak Diskrit Variabel acak adalah suatu fungsi yang bernilai riil dari domain ruang sampel dari sebuah eksperimen acak. Fungsi tersebut memetakan setiap anggota ruang sampel
S ke bilangan real. Variabel acak yang mewakili bilangan bulat disebut variabel acak diskrit sedangkan variabel acak yang mewakili bilangan real disebut variabel acak kontinu. Dalam hal ini variabel acak diskrit yang akan kita bahas sedangkan variabel acak kontinu akan kita bahas di bagian selanjutnya. Variabel acak diskrit diperoleh dari hasil menghitung atau
membilang.
Contohnya, jumlah anak dalam satu keluarga, jumlah bayi lahir dalam satu tahun, jumlah siswa dalam satu kelas, jumlah kepala keluarga dalam satu desa, jumlah 116
kelereng dalam satu kotak dan lain sebagainya. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf – huruf kapital seperti X , Y , Z dan sebagainya. Sedangkan nilai dari variabel acak kita simbolkan dengan huruf – huruf kecil seperti x, y, z dan sebagainya. Nilai dari suatu variabel acak berhubungan dengan kejadian sederhana dalam ruang sampelnya. Variabel acak X dapat kita beri nilai 0,1,2,3 dan seterusnya. Nilai – nilai tersebut sesuai dengan apa yang diharapkan pada eksperimen acak yang dilakukan dan dapat dinotasikan menjadi suatu himpunan berhingga
0,1,2,3,....
Untuk lebih memahami variabel acak diskrit perhatikanlah beberapa contoh soal berikut ini berikut pembahasannya. Contoh Soal 2.1 1. Ani melemparkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Jika variabel acak X menyatakan banyak hasil sisi gambar yang diperoleh, maka tentukanlah hasil
yang mungkin untuk X 2. Ali melambungkan dua buah dadu secara bersamaan. Jika variabek acak X menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka tentukanlah hasil yang mungkin untuk X Penyelesaian : 1. Ruang Sampel dari sekeping uang logam dilempar sebanyak tiga kali adalah :
S A, A, A, A, A, G, A, G, A, A, G, G, G, A, A, G, A, G, G, G, A, G, G, G Variabel acak X menyatakan banyak hasil sisi gambar, maka : a. Jika ( A, A, A) yang muncul maka X bernilai 0 karena tidak ada sisi gambar yang muncul b. Jika ( A, A, G), A, G, A, G, A, A yang muncul maka X bernilai 1 karena ada 1 sisi gambar yang muncul c. Jika ( A, G, G), G, A, G , G, G, A yang muncul maka X bernilai 2 karena ada 2 sisi gambar yang muncul d. Jika (G, G, G) yang muncul maka X bernilai 3 karena ada 3 sisi gambar yang muncul Jadi, hasil yang mungkin untuk X 0,1,2,3
117
2. Ruang
Sampel
dari
dua
buah
dadu
dilempar
secara
bersamaan
1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5, 3,6 :S 4,1, 4,2, 4,3, 4,4, 4,5, 4,6 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5, 5,6 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6 Variabek acak X menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka : a. Jika 1,1 yang muncul maka X bernilai 2 karena 1 1 2 b. Jika 1,2 dan 2,1 yang muncul maka X bernilai 3 c. Jika 1,3, 2,2, 3,1 yang muncul maka X bernilai 4 d. Jika 1,4, 2,3, 3,2, 4,1 yang muncul maka X bernilai 5 e. Jika 1,5, 2,4, 3,3, 4,2, 5,1 yang muncul maka X bernilai 6 f. Jika 1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1 yang muncul maka X bernilai 7 g. Jika 2,6, 3,5, 4,4, 5,3, 6,2 yang muncul maka X bernilai 8 h. Jika 3,6, 4,5, 5,4, 6,3 yang muncul maka X bernilai 9 i.
Jika 4,6, 5,5, 6,4 yang muncul maka X bernilai 10
j.
Jika 5,6, 6,5 yang muncul maka X bernilai 11
k. Jika 6,6 yang muncul maka X bernilai 12 Jadi, hasil yang mungkin untuk X 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Latihan Soal 2.1 1. Ati mengerjakan 5 soal. Variabel acak X
menyatakan banyak soal yang
dikerjakan dengan benar. Tentukan hasil yang mungkin untuk X 2. Sepasang pengantin yang baru menikah berencana untuk memiliki 3 orang anak. Variabel acak X menyatakan banyak anak laki – laki. Tentukanlah hasil yang mungkin untuk X 3. Sebuah koin dilantunkan sebanyak empat kali. Variabel acak X menyatakan banyaknya muncul sisi angka. Tentukanlah hasil yang mungkin untuk X
118
2.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Pada bagian ini kita akan mencari probabilitas atau peluang untuk variabel acak diskrit X yang di atas. Misalnya pada contoh soal nomor 1 tentang eksperimen pelemparan sebuah koin yang dilakukan sebanyak tiga kali, kita akan mencari probabilitas variabel acak X nya. Seperti yang sudah dipaparkan di atas pelemparan sebuah koin yang dilakukan sebanyak tiga kali memiliki ruang sampel yang beranggotakan delapan berarti nS 8 . Sekarang kita akan distribusikan probabilitas variabel acak X untuk nilai x 0,1,2,3 a. Jika ( A, A, A) yang muncul maka X bernilai 0 dengan n X 0 1maka P X 0
n X 0 1 nS 8
b. Jika ( A, A, G), A, G, A, G, A, A yang muncul maka X bernilai 1 dengan
n X 1 3 sehingga P X 1
n X 1 3 nS 8
c. Jika ( A, G, G), G, A, G , G, G, A yang muncul maka X bernilai 2 dengan
n X 2 3 sehingga P X 2
n X 2 3 nS 8
d. Jika (G, G, G) yang muncul maka X bernilai 3 dengan n X 3 3 sehingga P X 2
n X 2 1 nS 8
Jika kita totalkan probabilitas variabel acak X untuk nilai x 0,1,2,3 maka akan kita peroleh : P X 0 P X 1 P X 2 P X 3
1 3 3 1 8 1 8 8 8 8 8
Ini berarti kejadian tersebut termasuk kepada kejadian saling lepas dan terbuktilah bahwa variabel acak X adalah variabel acak diskrit.
Agar lebih efisien, ada beberapa cara untuk menampilkan semua probabilitas dari variabel acak X di atas 1. Dengan menggunakan tabel Nilai untuk variabel acak diskrit X x beserta probabilitasnya bisa kita distribusikan ke dalam sebuah tabel 119
X x
0
1
2
3
Total
P X x
1 8
3 8
3 8
1 8
1
2. Dengan menggunakan Notasi Fungsi Distribusi probabilitas untuk variabel acak X dapat juga kita susun dengan menggunakan notasi fungsi. Misalkan P X 2 kita ubah menjadi suatu fungsi
f 2 . Kemudian kita distribusikan masing – masing nilai probabilitasnya untuk setiap nilai x yang diberikan.
1 8 f x 3 8 0
x 0,3 x 1,2 x lainnya
3. Dengan menggunakan grafik
120
Kegiatan Individu Untuk Contoh Soal 2.1 .no 2 tentukanlah probabilitas variabel acak X untuk setiap nilai x yang diberikan dan tampilkan semua probabilitas tersebut dalam bentuk tabel, notasi fungsi dan grafik.
2.3 Distribusi Binomial Dalam pembelajaran peluang yang sudah kita pelajari, hanya memiliki dua hasil yang mungkin. Contoh : dalam pelantunan sebuah koin, hanya ada dua kemungkinan hasil yaitu muncul gambar atau angka. Ketika seorang siswa sedang mengikuti ujian, kemungkinan hasilnya juga ada dua yaitu lulus atau tidak lulus. Sebuah pertandingan juga memberikan dua kemungkinan hasil yaitu menang atau kalah. Jawaban dari pertanyaan yang diberikan juga memberikan dua kemungkinan hasil yaitu benar atau salah. Dan masih banyak lagi contoh permasalahan yang memberikan dua kemungkinan hasil dalam kehidupan sehari – hari. Percobaan acak yang seperti in kita namakan dengan Percobaan Binomial. Distribusi binomial ini ditemukan oleh matematikawan asal Swiss yang bernama Jacob Bernoulli. Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli. Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”. Jika probabilitas sukses dimisalkan dengan p maka probabilitas gagal kita misalkan dengan q . Adapun p q 1 sehingga q 1 p atau p 1 q . Sebagai contoh pada kejadian sebuah dadu seimbang yang dilantunkan dengan harapan mendapatkan mata dadu 6. Kejadian mendapatkan mata dadu 6 disebut sukses sedangkan kejadian tidak mendapatkan mata dadu 6 disebut gagal. Dari sini dapat kita peroleh probabilitas sukses ( p ) =
1 1 5 dan probabilitas gagal ( q ) = 1 . 6 6 6
Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernoulli. Peristiwa pelantunan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kali adalah contoh dari proses Bernoulli dan outcomes dari tiap – tiap pelantunan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal seorang perwira polisi dalam mengikuti tahapan ujiannya contoh lain dari Proses Bernoulli, tetapi sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu pijar 121
di pabrik harus diukur dengan skala kontinu sehingga tidak bisa dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Eksperimen binomial adalah suatu eksperimen yang terdiri atas percobaan Bernoulli yang diulang n kali dengan pengembalian. Variabel acak X
yang
menampilkan banyak sukses dalam n percobaan bebas disebut variabel acak binomial dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi binomial. Variabel acak X dapat diberi nilai – nilai 0,1,2,3,...,n 1. Ciri – ciri Percobaan Binomial a. Percobaan dilakukan berulang sebanyak n kali b. Hasil setiap percobaan hanya bisa dikategorikan menjadi ke dalam 2 kemungkinan, misal : “SUKSES ATAU GAGAL”. c. Masing – masing percobaan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya d. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.
2. Rumus Untuk Menentukan Peluang Binomial Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan q . Maka peluang untuk mendapatkan tepat x sukses dalam n kali percobaan adalah : P X x
n! p x q n x n x ! x!
Rumus di atas dapat kita sederhanakan menjadi P X x Cxn p x q n x
Keterangan : p = probabilitas sukses q = probabilitas gagal
n = jumlah total percobaan x = banyaknya keberhasilan dalam peubah X untuk x 0,1,2,3,...n
Contoh Soal 2.3.1 Jika sekeping mata uang logam dilempar ke atas sebanyak 3 kali, maka berapakah peluang muncul sisi gambar sebanyak 2 kali?
122
Sebelum kita mencari berapakah besar peluangnya maka persoalan tersebut harus kita selidiki terlebih dahulu apakah termasuk percobaan binomial atau tidak a. Percobaan dilakukan sebanyak 3 kali percobaan b. Hasil setiap percobaan hanya bisa dikategorikan menjadi ke dalam 2 kemungkinan, misal : “SUKSES ATAU GAGAL”. Sukses jika muncul “Gambar” dan gagal jika muncul “Angka” c. Masing – masing percobaan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya artinya hasil dari suatu pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan berikutnya d. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan yaitu
1 2
Jadi dapat disimpulkan percobaan di atas adalah percobaan binomial. Sekarang kita akan menentukan berapakah besar peluangnya dengan menggunakan Rumus Peluang Binomial Diketahui : p q
1 2
1 2
n3 x2 Ditanya
: P X 2 2
1
3! 1 1 Jawab : P X 2 3 2!2! 2 2
1 1 3 P X 2 3 4 2 8 Jadi peluang muncul sisi gambar tepat dua kali dari tiga kali pelantunan adalah Sekarang
kita
akan
coba
menyelesaikan
permasalahan
ini
3 8
dengan
menggunakan ruang sampel. Ruang Sampel sekeping mata uang logam dilempar ke atas sebanyak 3 kali
S AAA, AAG , AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG 123
nS 8
Misalkan muncul sisi gambar tepat dua kali adalah E Maka
banyaknya
muncul
sisi
gambar
tepat
2
kali
adalah
nE GGA, GAG, AGG 3 Sehingga peluangnya adalah PE
n E 3 nS 8
Dari contoh di atas apakah besar peluang dengan menggunakan ruang sampel dan dengan menggunakan rumus peluang binomial memberikan hasil yang sama? Berikanlah pendapatmu. Agar lebih memahami peluang percobaan binomial maka marilah kita bahas beberapa soal berikut ini : Contoh Soal 2.3.2 1. Tentukan peluang mendapatkan “MATA 2” muncul 4 kali pada pelemparan 6 kali sebuah dadu setimbang 2. Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak 4 kali. Berapakah peluang munculnya sisi gambar sebanyak: a. satu kali? b. dua kali? c. tiga kali? d. empat kali? e. tidak sekali pun muncul? 3. Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola, 3 di antaranya berwarna merah. Jika dari dalam kotak diambil bola satu per satu sebanyak 3 kali, tetapi setelah pengembalian, bola tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak untuk pengambilan berikutnya. Hitunglah peluang terambilnya bola merah sebanyak dua kali 4. Dalam suatu pertandingan, peluang Cristiano Ronaldo dapat mencetak gol adalah
5 . Jika iamenendang sebanyak 6 kali, tentukanlah besar peluang 8
mencetak 5 kali gol? 5. Suatu koin dilantunkan sebanyak 6 kali. Tentukanlah peluang paling sedikit empat kali muncul sisi gambar 124
Penyelesaian 1. Diketahui
: p
1 6
q
5 6
n6
x4 Ditanya
: P X 4 4
6! 1 5 Penyelesaian : P X 4 6 4!4! 6 6 P X 4 15
2
1 25 375 0,00803 1296 36 46656
Jadi peluang untuk mendapatkan “MATA 2” muncul 4 kali pada 6 kali pelemparan sebuah dadu adalah 0,00803 2. Diketahui
: p
1 2
q
1 2
n4 Ditanya
:
a. P X 1 b. P X 2 c. P X 3 d. P X 4 e. P X 0
Penyelesaian : 1
3
a. P X 1
4! 1 1 1 1 4 0,250 4 4 1!1! 2 2 2 8 16
b. P X 2
4! 1 1 1 1 6 0,375 6 4 2!2! 2 2 4 4 16
2
2
125
3
1
c. P X 3
4! 1 1 1 1 4 0,250 4 4 3!3! 2 2 8 2 16
d. P X 4
4! 1 4 4!4! 2
e. P X 0
4! 1 4 0!0! 2
3. Diketahui
: p
3 7
q
4 7
4
1 1 1 0,063 1 1 16 2 16
0
0
1 1 1 0,063 11 2 16 16
4
n3 x2 Ditanya
: P X 2
3! 3 Penyelesaian : P X 2 3 2!2! 7
2
1
4 9 4 3 0,315 7 49 7
Jadi peluang untuk mendapatkan bola merah sebanyak dua kali pada 3 kali pengambilan adalah 0,315 : p
4. Diketahui
q
5 8
3 8
n6 x5 Ditanya
: P X 5 5
1
6! 5 3 3125 3 Penyelesaian : P X 5 6 0,2146 6 5!5! 8 8 32768 8
Jadi peluang Christiano Ronaldo mencetak 5 kali gol dalam 6 kali tendangan adalah 0,2146 5. Diketahui
: p q
1 2
1 2 126
n6 x4 Ditanya
: P x 4
6! 1 Penyelesaian : P X 4 6 4!4! 2 6! 1 P X 5 6 5!5! 2
peluang
paling
sedikit
2
1 1 1 15 15 2 16 4 64
5
1 1 1 6 6 2 32 2 64
6
1 1 1 1 1 64 2 64
6! 1 P X 6 6 6!6! 2 Jadi,
4
1
0
empat
P x 4 P X 4 P X 5 P X 6
kali
muncul
sisi
angka
15 6 1 22 11 0,3438 64 64 64 64 32
Soal nomor 5 di atas termasuk Fungsi Distribusi Binomial Kumulatif Catatan untuk Fungsi Distribusi Binomial Kumulatif biasanya memiliki kata kunci antara lain: paling sedikit, paling banyak, sekurang – kurangnya, maksimal, minimal. Latihan Soal 2.3 1. Pengundian dilakukan terhadap koin dilakukan sebanyak 9 kali. Tentukanlah peluang untuk mendapatkan 5 kali muncul gambar 2. Sebanyak 10 siswa akan mengikuti ujian kelulusan dan diperkirakan peluang kelulusannya adalah 0,07. Tentukanlah peluang a. Paling banyak 3 orang yang lulus b. Paling sedikit 2 orang yang lulus 3. Suatu keluarga memiliki empat orang anak. Tentukanlah peluang bahwa a. Jumlah anak laki – laki sama dengan jumlah anak perempuan b. Lebih banyak anak perempuan dari pada anak laki – laki c. Anak laki – laki paling sedikit dua 4. Sebuah dadu dilantunkan sebanyak 7 kali. Berapakah peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 4 dalam minimal 4 kali pelantunan? 5. Ali mengerjakan 10 soal pilihan benar salah. Tentukanlah peluang Ali menjawab dengan benar 6 soal tersebut. 127
DISTRIBUSI NORMAL 3.1 Variabel Acak Kontinu Pada materi sebelumnya telah kita bahas tentang variabel acak diskrit yaitu variabel acak yang mewakili bilangan bulat. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel yang mewakili bilangan real. Sekarang materi variabel acak kontinu inilah yang akan kita bahas Variabel acak kontinu diperoleh dari hasil mengukur. Contohnya, tinggi badan, berat badan, luas tanah, kecepatan mobil, suhu tubuh dan lain sebagainya. Begitu juga dengan variabel acak diskrit, variabel acak kontinu juga disimbolkan dengan huruf – huruf kapital seperti X , Y , Z dan sebagainya.Namun nilainya tidak lagi berupa suatu himpunan yang terdiri dari anggota bilangan bulat tetapi nilainya dinyatakan dalam bentuk interval. Nilai – nilai variabel acak kontinu jika digambarkan pada garis interval berupa deretan titik – titik yang saling tersambung membentuk garis.
Contoh permasalahan yang menggunakan variabel acak kontinu adalah Untuk menjaga protokol kesehatan sekolah pada saat ini selalu melakukan pengukuran suhu tubuh terhadap siswa sebelum memasuki kawasan sekolah. Dari data hasil pengukuran suhu tubuh tersebut diperoleh suhu terendah yaitu 350 C dan suhu tertinggi 390 C . Tentukanlah variabel acak yang menyatakan
hasil pengukuran suhu tubuh tersebut. Jawab : Suhu badan terendah adalah 350 C dan suhu tertinggi 390 C . Jika suhu badan dinyatakan dalam x maka nilainy aadalah 35 x 39 . Variabel acak X menyatakan suhu tubuh, maka X x 35 x 39
128
3.2 Distribusi Peluang Variabel Acak Kontinu Variabel acak kontinu memiliki nilai berupa bilangan real sehingga nilai – nilai variabel acak kontinu X dinyatakan dalam bentuk a x b . Nilai – nilai variabel acak kontinu jika digambarkan pada garis interval berupa deretan titik – titik yang saling tersambung membentuk garis seperti yang terlihat pada kurva di bawah ini Kurva Fungsi Peluang Variabel Acak Kontinu
Kurva di atas dinamakan dengan fungsi kepadatan peluang variabel acak kontinu. Lalu daerah yang diarsir pada kurva itulah yang merupakan daerah dari peluang variabel acak kontinu dengan interval a x b . Fungsi peluang pada variabel acak kontinu X x a x b, x R dinyatakan sebagai f x memiliki ketentuan sebagai berikut : a.
0 f x 1 untuk setiap x
b.
Luas daerah di bawah kurva f x sama dengan 1
c.
Peluang variabel acak X pada interval a x b sama dengan luas daerah di bawah kurva f x yang dibatasi oleh garis x a dan x b . Peluang variabel b
acak X pada interval a X b dinyatakan dengan Pa X b f x dx a
Dari ketentuan – ketentuan tersebut maka pada fungsi peluang kontinu berlaku : a.
P X x 0
b.
P X a P X a
c.
P X b P X b
d.
Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b Sedangkan fungsi distribusi peluang kumulatif untuk f x yang terdefinisi
pada interval a X b dirumuskan sebagai berikut: 129
x
F X P X x f x dx a
Pada fungsi distribusi peluang kumulatif berlaku: a.
F a 0 dan F b 0
b.
Dari a x1 x2 b maka F x1 F x2
c.
Dari a x1 x2 b maka Px1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 Untuk lebih memahami distribusi peluang variabel acak kontinu, maka
perhatikanlah beberapa contoh soal di bawah ini : Contoh Soal 3.2 1.
Diketahui sebuah fungsi peluang f x sebagai berikut : 5 4 x f x 64 0
2.
untuk 2 x 2 untuk x yang lain
a.
Tunjukkan bahwa f x merupakan fungsi peluang
b.
Tentukanlah nilai peluang Px 1
c.
Tentukanlah nilai peluang P0 x 1
d.
Tentukanlah nilai peluang P 1 x 1
e.
Tentukanlah nilai peluang Px 0
Diketahui sebuah fungsi peluang f x sebagai berikut : x f x k 0
untuk 0 x 4 untuk x yang lain
a.
Tentukan nilai k
b.
Tentukanlah nilai peluang P0 x 1
c.
Tentukanlah nilai peluang Px 1
Penyelesaian : 5 4 x f x 64 0
1.
a.
untuk 2 x 2 untuk x yang lain
Pada interval 2 x 2 , nilai f x bernilai positif 130
Luas daerah di bawah kurva f x pada interval 2 x 2 adalah : 2
2
5 4 5 5 1 5 1 5 4 2 f x dx 2 64 x dx 64 2 x dx 64 5 x 64 x 2 2 2
2
2
25 25 32 32 64 1 64 64 64 64 64
Karena fungsi f x pada interval 2 x 2 selalu bernilai positif dan luas daerah di bawah lurva f x sama dengan 1 maka terbukti f x merupakan sebuah peluang b.
Px 1 P 2 x 1 1
1
5 4 5 5 1 5 1 5 4 2 f x dx 2 64 x dx 64 2 x dx 64 5 x 64 x 2 2 1
1
1
15 25 1 32 33 64 64 64 64 64
c.
P0 x 1 1
0
1
1
5 5 5 1 5 1 5 f x dx x 4 dx x 4 dx x x 64 64 0 64 5 0 64 0 0 1
1
15 05 1 1 0 64 64 64 64
d.
P 1 x 1 1
1
5 4 5 5 1 5 1 5 4 1 f x dx 1 64 x dx 64 1 x dx 64 5 x 64 x 1 1 1
1
1
15 15 1 1 2 1 64 64 64 64 64 32
e.
Px 0 0 x 2 2
0
2
2
5 5 5 1 5 1 5 f x dx x 4 dx x 4 dx x x 64 64 0 64 5 0 64 0 0 2
2
131
25 05 32 32 1 0 64 2 64 64 64
x f x k 0
2.
untuk 0 x 4 untuk x yang lain
Karena f x
a.
x pada interval 2 x 2 adalah sebuah peluang maka k
Luas daerah di bawah kurva f x pada interval 2 x 2 adalah 1 4
0
4
4
x 1 f x dx 1 dx 1 x dx 1 k k0 0
4 42 02 1 1 x2 16 1 k 8 x2 1 1 1 k 2 0 2k 0 2 k 2 k 2 k 4
x Jadi fungsinya menjadi f x 8 0
b.
untuk 0 x 4 untuk x yang lain
P0 x 1 1
0
1
1
4
4
x 1 1 1 1 f x dx dx x dx x 2 x 2 8 8 8 2 16 0 0 0 0 1
1
12 02 1 1 0 16 16 16 64
c.
Px 1 P1 x 4 4
1
x 1 1 1 1 f x dx dx x dx x 2 x 2 8 81 8 2 1 16 1 1 4
4
42 12 16 1 5 16 16 16 16 16
Latihan Soal 3.2 1.
Diketahui sebuah fungsi peluang f x sebagai berikut :
x f x 0
untuk 0 x 2 untuk x yang lain
132
a. Tunjukkan bahwa f x merupakan fungsi peluang b. Tentukanlah nilai peluang Px 1 3 c. Tentukanlah nilai peluang P1 x 2
d. Tentukanlah nilai peluang Px 1 e. Tentukanlah F x
2.
Diketahui sebuah fungsi peluang f x sebagai berikut : 1 f x 6 0
untuk 3 x k untuk x yang lain
a. Tentukanlah nilai k b. Tentukanlah nilai Px 0 c. Tentukanlah nilai Px 0 d. Tentukanlah nilai Px 1
3.3 Distribusi Normal Distribusi normal adalah salah satu distribusi dengan variabel acak kontinu yang paling sering digunakan. Distribusi normal paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika contohnya untuk keperluan pengujian hipotesis. Distribusi nornal disebut juga dengan distribusi Gauss sesuai dengan nama penemunya yang bernama Carl Fredreich Gauss pada tahun 1794. Distribusi normal merupakan sebuah fungsi probabilitas yang menunjukkan distribusi atau penyebaran suatu variabel. Fungsi tersebut umumnya dibuktikan oleh sebuah grafik simetris yang disebut kurva lonceng karena bentuknya memang seperti lonceng. Saat menandakan distribusi yang merata, kurva akan memuncak di bagian tengah dan melandai di kedua sisinya dengan nilai yang setara. Bentuk kurva serta nilai dari peluang distribusi normal ditentukan oleh dua parameter yaitu mean (nilai rata – rata) yang dilambangkan dengan dan standar deviasi (simpangan baku) yang dilambangkan dengan . Nilai rata – rata digunakan sebagai pusat penyebaran nilai lainnya dan menjadi penentu letak titik puncak dalam kurva. Sedangkan standar deviasi menentukan lebar sebuah kurva distribusi normal 133
tersebut. Simpangan baku dapat menghitung seberapa jauh kecenderungan data akan melebar dari nilai rata – rata yang menjadi titik pusatnya. Semakin kecil nilai standar deviasi, maka kurva akan semakin runcing, dan sebaliknya semakin besar nilai standar deviasi maka kurva akan semakin melebar. Suatu distribusi data dikatakan berdistribusi normal apabila data berdistribusi simetris yaitu bila nilai rata – rata, median, dan modus sama. Perhatikanlah gambar kurva normal berikut ini :
Dari gambar di atas dapat dikatakan bahwa kurva normal memiliki ciri – ciri sebagai berikut : a. Kurva berbentuk garis lengkung yang halus dengan bentuk menyerupai lonceng b. Kedua ekor / ujung kurva memanjang tak terbatas semakin mendekati absis namun tidak pernah memotong c. Memiliki 2 parameter yang menjadi acuan yaitu mean (rata – rata ) dan simpangan baku d. Memiliki nilai mean, median, dan modus yang sama (unimodal) e. Titik tertinggi kurva terletak pada rata – ratanya f. Bentuk kurva normal simetris sehingga luas daerah di bawah kurva normal bernilai 1 satuan persegi yakni 0,5 di sisi kiri dan 0,5 di sisi kanan
134
Distribusi kurva normal dengan sama tetapi berbeda
Distribusi kurva normal dengan sama tetapi berbeda
Distribusi kurva normal dengan dan berbeda
135
Pada tahun 1733 Abraham de Moivre menemukan persamaan matematika untuk kurva normal yang menjadi dasar dalam banyak teori statistik inferensial. Ia menyatakan variabel acak X dengan rata – rata dan simpangan baku memiliki fungsi kepadatan probabilitas (fungsi densitas) yaitu :
f x Dengan keterangan
1
2
e
1 x 2
2
x
: skor yang diperoleh
: rata – rata
: simpangan baku
: 3,1416 (pembulatan terdekat)
e
: 2,7183 (pembulatan terdekat)
Namun fungsi kepadatan probabilitas dengan rumus di atas tidak kita pergunakan untuk tingkat SMA karena perhitungannya agak sedikit rumit sehingga kita bisa menghitung nilai peluang dengan aturan empiris yaitu pendekatan luas daerah yang diarsir dan kurva normal baku. a) Pendekatan Luas Daerah Yang Diarsir Aturan empiris dengan pendekatan luas membagi kurva normal menjadi 68%, 95% dan 97%. Telah kita ketahui sebelumnya kurva normal adalah kurva yang simetris. Ini berarti luas kurva normal tersebut terbagi menjadi dua bagian yang sama. Seluruh luas kurva normal sama dengan satu unit satuan persegi dan rata – rata membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama. Berarti luas setiap belahan adalah 0,5. Dari ciri – ciri tersebut dan jika kita hubungkan dengan kurva normal yang memiliki 2 parameter yaitu pemusatan dan penyimpangan
maka kita dapat membuat rincian sebagai berikut : Sekitar 68% luasnya berada di antara daerah dan ( Penyimpangan 1 = 68% dari seluruh luas kurva )
136
Sekitar 95% luasnya berada di antara daerah 2 dan 2 ( Penyimpangan 2 = 95% dari seluruh luas kurva )
Sekitar 99% luasnya berada di antara daerah 3 dan 3 ( Penyimpangan 3 = 97% dari seluruh luas kurva )
Jika kurva kita bagi menjadi 6 bagian maka akan ditunjukkan oleh gambar di bawah ini :
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh – contoh soal dan pembahasannya berikut ini :
137
Contoh Soal 3.3.1 1. Pak Tono setiap harinya bekerja membuat tiang bendera yang terbuat dari kayu. Dalam 1 tahun Pak Tono mampu membuat 5000 tiang. Jika dilakukan pengambilan sampel dan diperoleh panjang rata – rata 10,50 cm dan simpangan baku 0,2 cm maka hitunglah : a. Berapakah banyaknya tiang yang mempunyai panjang kurang dari 10,10 cm? b. Berapakah banyaknya tiang yang panjangnya antara 10,30 cm dan 11,10 cm? c. Berapakah banyaknya tiang yang panjangnya lebih dari 10,70 cm? 2. Bu Mira memberikan ujian dengan materi “Distribusi Binomial dan Distribusi Normal” kepada 30 siswa. Setelah dilakukan penilaian diperoleh nilai rata – rata adalah 78 dan simpangan baku 6 a. Berapakah banyak siswa yang mempunyai nilai di bawah 72? b. Berapakah banyak siswa yang mempunyai nilai antara 72 dan 90? c. Berapakah banyak siswa yang mempunyai nilai di atas 90?
Penyelesaian : 1. Diketahui 10,50 , 0,2 dan n 5000 a. Selisih dengan simpangan baku :
10,10 10,50 0,4 2 0,2 0,2
Koefisien dari 2 `2 Karena yang ditanya adalah banyak tiang yang memiliki panjang kurang dari 10,10 cm berarti penyimpangan berada di sebelah kiri dari 2 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 2,5% Banyaknya tiang 2,5% 5000 125 Jadi, banyaknya tiang yang memiliki panjang kurang dari 10,10 cm adalah 125 buah
b. Selisih dengan simpangan baku :
10,30 10,50 0,4 1 0,2 0,2
Koefisien dari 1 `1 138
Selisih dengan simpangan baku :
11,10 10,50 0,6 3 0,2 0,2
Koefisien dari 3 `3 Karena yang ditanya adalah banyak tiang yang yang panjangnya antara 10,30 cm dan 11,10 cm berarti penyimpangan berada di antara `1 dan 3 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah
34% 34% 13,5% 2,5% 84% atau 100% 2,5% 13,5% 84% Banyaknya tiang 84% 5000 4200 Jadi, banyaknya tiang yang memiliki antara 10,30 cm dan 11,10 adalah 4200 buah c. Selisih dengan simpangan baku :
10,70 10,50 0,2 1 0,2 0,2
Koefisien dari 1 `1 Karena yang ditanya adalah banyak tiang yang memiliki panjang lebih dari 10,70 cm berarti penyimpangan berada di sebelah kanan dari `1 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 13,5% 2,5% 16% Banyaknya tiang 16% 5000 800 Jadi, banyaknya tiang yang memiliki panjang lebih dari 10,70 cm adalah 800 buah 2. Diketahui 78 , 6 dan n 30 a. Selisih dengan simpangan baku :
72 78 6 1 6 6
Koefisien dari 1 `1 Karena yang ditanya adalah banyak siswa yang memiliki nilai di bawah 75 berarti penyimpangan berada di sebelah kiri dari 1 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 13,5% 2,5% 16% Banyaknya siswa 16% 30 5 Jadi, banyaknya siswa yang mempunyai nilai di bawah 72 adalah 5 orang
b. Selisih dengan simpangan baku :
72 78 6 1 6 6
139
Koefisien dari 1 `1 Selisih dengan simpangan baku :
90 78 12 2 6 6
Koefisien dari 2 2 Karena yang ditanya adalah banyak siswa yang memiliki nilai di antara 72 dan 90 berarti penyimpangan berada di antara `1 dan 2 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 34% 34% 13,5% 81,5% Banyaknya siswa 81,5% 30 24 Jadi, banyaknya siswa yang mempunyai nilai di yang memiliki nilai di antara 72 dan 90 adalah 24 orang
c. Selisih dengan simpangan baku :
90 78 12 2 6 6
Koefisien dari 2 2 Karena yang ditanya adalah banyak siswa yang memiliki nilai di atas 90 berarti penyimpangan berada di sebelah kanan dari 2 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 2,5% Banyaknya siswa 2,5% 30 1 Jadi, banyaknya siswa yang mempunyai nilai di atas 90 adalah 1 orang `
Latihan Soal 3.3.1 1. BKN sedang melakukan ujian seleksi Tes Kematangan Pribadi (TKP) CPNS yang diikuti oleh 1000 peserta. Setelah dilakukan penskoran diperoleh nilai rata – rata adalah 80 dan simpangan baku 5 a. Berapakah banyak peserta yang mempunyai nilai di bawah 70? b. Berapakah banyak siswa yang mempunyai nilai antara 70 dan 90? c. Berapakah banyak siswa yang mempunyai nilai di atas 90? 2. Suatu pabrik memproduksi 1000 paku setiap harinya dan pengambilan sampel menghasilkan panjang rata – rata 30 mm dan simpangan baku 0,3 mm maka hitunglah : a. Berapakah banyaknya paku yang panjangnya kurang dari 29.7 mm? b. Berapakah banyaknya paku yang panjangnya antara 29,7 mm dan 30,3 mm? c. Berapakah banyaknya paku yang panjangnya lebih dari 30,60 mm? 140
b). Distribusi Normal Baku Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter dan dimana dan 0 maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah.
f x
1 e 2
1 x 2
2
x
Untuk menghitung probabilitas dari Pa x b dari suatu variabel acak kontinu X yang terdistribusi secara normal dengan parameter dan maka rumus di atas diintegralkan mulai dari x a sampai x b . Namun, tidak ada satu pun dari tehnik – tehnik pengintegralan yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Oleh sebab itu, para ahli statistika telah membuat penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan 0 dan 1 . Distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal baku atau distribusi normal standar. Variabel acak dari distribusi normal baku biasanya dinotasikan dengan
Z sehingga kita peroleh.
1
Z2 1 f x e2 2
x
Distribusi normal variabel acak kontinu X dengan nilai – nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standar dengan cara mengurangi nilai – nilai variabel X dengan rata – rata dan membaginya dengan standar deviasi sehingga diperoleh variabel baru Z
Z
X
Sedangkan nilai dari variabel acak Z itu sendiri sering juga disebut sebagai skor Z 141
Untuk mentukan luas di bawah kurva normal perlu diperhatikan beberapa hal sebagai berikut : 1. Hitung luas z hingga dua desimal 2. Gambarkan terlebih dahulu kurvanya 3. Letakkan nilai z pada sumbu datar lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva 4. Luas daerah yang tertera dalam daftar adalah daerah antara garis vertikal yang ditarik dari titik nilai z tadi dengan garis tegak di titk nol 5. Dalam daftar distribusi normal baku, harga z pada kolom paling kiri hanya memuat satu desimal dan desimal kedua dicari pada baris paling atas. 6. Dari z kolom paling kiri, maju ke kanan dan dari z pada baris paling atas turun ke bawah maka diperoleh bilangan yang merupakan daerah yang dicari dan biasanya ditulis dalam empat desimal 7. Karena luas seluruh kurva adalah satu satuan luas persegi dan simetris di titik 0 maka luas dari garis tegak pada titik 0 ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5 satuan luas. 8. Jika luasnya sudah diketahui sedangkan nilai z yang diminta maka lakukan kebalikan dari no 6. Contoh : Luas daerah di bawah kurva normal adalah 0,4719. Kita diminta untuk menentukan nilai z . Lihatlah di dalam tabel angka 4719 lalu menuju ke kiri sampai pada kolom paling kiri (kolom z ) diperoleh angka 1,9. Selanjutnya kembali ke angka 4719 lalu menuju ke atas sampai pada baris paling atas dan diperoleh angka 1. Jadi harga z yang diperoleh adalah 1,91.
142
143
Untuk lebih jelasnya perhatikanlah beberapa Contoh Soal 3.3.2 penggunaan daftar normal baku berikut ini : 1) Antara z 0 dan z 1,85
Lihatlah tabel kurva normal di bawah z pada kolom paling kiri carilah 1,8 dan pada baris paling atas carilah angka 5. Dari 1,8 maju ke kanan dan dari 5 turun ke bawah sehingga di dapat bilangan 0,4678. Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 0,4678 2) Antara z 0 dan z 1,85
Nilai z bertanda negatif karena berada di sebelah kiri dari titik 0 Lihatlah tabel kurva normal di bawah z pada kolom paling kiri carilah 2,7 dan pada baris paling atas carilah angka 1. Dari 2,7 maju ke kanan dan dari 1 turun ke bawah sehingga di dapat bilangan 0,4966. Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 0,4966 3) Antara z 1,38 dan z 2,98
Untuk z 1,38 144
Nilai z bertanda negatif karena berada di sebelah kiri dari titik 0 Lihatlah tabel kurva normal di bawah z pada kolom paling kiri carilah 1,3 dan pada baris paling atas carilah angka 8 . Dari 1,3 maju ke kanan dan dari 8 turun ke bawah sehingga di dapat bilangan 0,4162 Untuk z 2,98 Lihatlah tabel kurva normal di bawah z pada kolom paling kiri carilah 2,9 dan pada baris paling atas carilah angka 8. Dari 2,9 maju ke kanan dan dari 8 turun ke bawah sehingga di dapat bilangan 0,4986. Jadi luas daerah yang diarsir adalah 0,4162 + 0,4986 = 0,9148 4) Antara z 1,52 dan z 2,98
Luas daerah yang diarsir adalah (luas dari z 0 sampai z 2,98 ) – (luas dari z 0 sampai z 1,52 ) Gunakan cara seperti yang di atas maka diperoleh (luas dari z 0 sampai z 1,52 ) adalah 0,4357. (luas dari z 0 sampai z 2,98 ) adalah 0,4986 Berarti luas daerah yang diarsir adalah 0,4986 - 0,4357 = 00629. 5) Dari z 1,85 ke kanan
Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 – (luas dari z 0 sampai z 1,85 ) Pada contoh 1) diketahui luas dari z 0 sampai z 1,85 adalah 0,4678. Luas daerah yang diarsir adalah 145
0,5 – 0,4678 = 0,0322 6) Dari z 1,85 ke kiri
Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 + (luas dari z 0 sampai z 1,85 ) Pada contoh 1) diketahui luas dari z 0 sampai z 1,85 adalah 0,4678. Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 + 0,4678 = 0,9678 Latihan Soal 3.3.2 1.
Hitunglah luas daerah yang diarsir dari kurva – kurva berikut ini a.
b.
c.
146
d.
2.
Untuk distribusi normal baku, tentukanlah : a. PZ 1,5 b. PZ 2,3 c. P 1,7 Z 0,52 d. P 1,3 Z 0,29
3.
Diberikan suatu variabel acak X yang terdistribusi secara normal dengan rata – rata 20 dan standar deviasi 3,2 Tentukanlah : a. P X 10 b. P X 21,5 c. P9,2 X 23,6 d. P13,6 X 15,6
4.
Carilah nilai z dari kurva normal baku sehingga luasnya : a. dari 0 ke z sebesar 0,3264 b. dari 0 ke - z sebesar 0,4989 c. dari - z ke kiri sebesar 0,2912 d. dari - z ke kanan sebesar 0,8413
Contoh Soal 3.3.3 Aplikasi Distribusi Normal Baku Misalkan tinggi siswa berdistribusi normal dengan rata – rata 165,5 cm dan simpangan baku 3,5 cm. Jika jumlah semua siswa 50 orang maka tentukanlah : a. banyaknya siswa yang tingginya lebih dari 160 cm
147
b. banyaknya siswa yang tingginya lebih dari 168 cm c. banyaknya siswa yang tingginya antara 156 cm dan 170 cm Penyelesaian : Diketahui 165,5 3,5 dan n 50 a. P X 160 Transformasi terlebih dahulu variabel acak Z
X
Z
X menjadi
Z dengan rumus
160 165,5 1,57 (pembulatan sampai dua desimal) 3,5
Tinggi badan siswa yang lebih dari 160 cm ada dalam daerah yang diarsir. Lihat pada tabel untuk (luas dari z 1,57 sampai z 0 )adalah 0,4418 Luas daerah yang diarsir : (0,5 + luas dari z 1,57 sampai z 0 ) : 0,5 + 0,4418 = 0,9418 Berarti
banyaknya
siswa
yang
tingginya
lebih
dari
160
cm
adalah
0,9418 50 47 orang b. P X 168 Transformasi terlebih dahulu variabel acak Z
X
Z
X menjadi
Z dengan rumus
168 165,5 0,71 (pembulatan sampai dua desimal) 3,5
148
Tinggi badan siswa yang lebih dari 168 cm ada dalam daerah yang diarsir. Lihat pada tabel untuk (luas dari z 0 sampai z 0,71 ) adalah 0,2612 Luas daerah yang diarsir : (0,5 - luas dari z 0 sampai z 0,71 ) : 0,5 - 0,2612= 0,2388 Berarti banyaknya siswa yang tingginya lebih dari 168 cm adalah 0,2388 50 12 orang c. P156 X 170 Untuk X 156 Transformasi terlebih dahulu variabel acak Z
X
Z
X menjadi
Z dengan rumus
156 165,5 2,71 (pembulatan sampai dua desimal) 3,5
Untuk X 170 Transformasi terlebih dahulu variabel acak Z
X
Z
X menjadi
Z dengan rumus
170 165,5 1,28 (pembulatan sampai dua desimal) 3,5
Tinggi badan siswa yang berada di antara 156cm dan 170 cm ada dalam daerah yang diarsir. Lihat pada tabel untuk (luas dari z 2,71 sampai z 0 ) adalah 0,4966 Lihat pada tabel untuk (luas dari z 0 sampai z 1,28 ) adalah 0,3997 Luas daerah yang diarsir : (luas dari z 2,71 sampai z 0 ) + (luas dari z 0 sampai z 1,28 ) 149
0,4966 + 0,3997 = 0,8963 Berarti banyaknya siswa yang tingginya antara 156cm dan 170 cm adalah
0,8963 50 45 orang Latihan Soal 3.3.3 1. Berat bayi yang baru lahir rata – rata 3100 gram dan simpangan baku 250 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal dan dilakukan pengujian terhadap 1000 bayi maka tentukanlah : a. Berapa banyak bayi yang beratnya lebih dari 3500 gram b. Berapa banyak bayi yang beratnya antara 2800 gram dan 3500 gram 2. Distribusi tingkat kolesterol pada remaja wanita bisa didekati oleh distribusi normal dengan 175 dan 25 . Tentukanlah probabilitas bahwa seorang remaja wanita memiliki tingkat kolesterol lebih besar dari pada 200 karena menurut penelitian kesehatan tingkat kolesterol di atas 200 sudah termasuk berbahaya bagi kesehatan.
PENGUJIAN HIPOTESIS 4.1 Langkah – Langkah Pengujian Hipotesis Seperti kita ketahui bahwa suatu penelitian bertujuan untuk memperoleh suatu kesimpulan. Namun kesimpulan tersebut tidak boleh diambil secara acak atau sembarangan apalagi direkayasa. Tetapi harus dilakukan pengujian terlebih dahulu. Pengujian tersebut dinamakan dengan pengujian hipotesis Hipotesis atau hipotesa secara sederhana dapat diartikan sebagai asumsi atau dugaan sementara. Hipotesis itu sendiri berasal dari bahasa Yunani yaitu hypo yang berarti di bawah dan thesis yang berarti pendapat atau kepastian. Berarti hipotesis adalah dugaan atau pendapat sementara yang kebenarannya masih diragukan. Dalam penelitian terdapat dua jenis hipotesis yaitu hipotesis penelitian dan hipotesis statistik. Hipotesis penelitian menguji apakah hipotesis tersebut benar – benar terjadi pada 150
sampel atau tidak sedangkan hipotesis statistik menguji apakah hipotesis peneltian yang telah terbukti berdasarkan data sampel berlaku pada populasi atau tidak. Hipotesis yang akan kita bahas kali ini hanyalah hipotesis statistik saja. Untuk memastikan kebenaran dari suatu hipotesis harus diuji atau dibuktikan kebenarannya melalui percobaan atau penelitian. Langkah – langkah atau prosedur untuk menentukan hipotesis tersebut ditolak atau diterima disebut dengan pengujian hipotesis. Adapun langkah – langkah dalam menguji suatu hipotesis sebagai berikut : 1. Menentukan Formula atau Perumusan Hipotesis Perumusan hipotesis dapat dibedakan menjadi menjadi dua jenis a. Hipotesis nol atau hipotesis nihil Hipotesis nol disimbolkan dengan H 0 adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan diuji kebenarannya. Dinamakan dengan hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak mempunyai perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya. b. Hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan Hipotesis tandingan biasanya disimbolkan dengan H a atau H 1 . Supaya tidak terjadi kekeliruan kita sepakati simbol yang akan kita gunakan dalam buku ini adalah H 1 . H 1 adalah
hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau
tandingan dari H 0 . Berikut ini beberapa cara dalam menyusun hipotesis alternatif o
Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian yang sama 1). H 0 0 H a 1
Keterangan : 0 1 2). H 0 0
H a 1
151
3). H 0 0
H a 0 4). H 0 0
H a 0
o
Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian maksimum
H0 0 H a 0 o
Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian minimum.
H0 0 H a 0 Jika hipotesis nol bernilai benar maka hipotesis nol diterima dan hipotesis alternatif ditolak. Begitu juga sebaliknya jika hipotesis alternatif yang bernilai benar maka hipotesis alternatif diterima dan hipotesis nol ditolak. 2. Memilih Statistik Pengujian Pada langkah ini kita diminta untuk memilih nilai uji statistik mana yang akan kita gunakan misalnya z atau t sesuai dengan data sampel yang dianalisis. 3. Menentukan Taraf Nyata Taraf nyata atau significant level adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis yang biasanya dilambangkan dengan . Semakin tinggi taraf nyata maka semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji. Besaran yang digunakan untuk menentukan taraf nyata adalah 1%,5% dan 10%. Besaran tersebut seringkali ditulis 0,01 , 0,05 dan 0,1 . Nilai yang dipakai digunakan untuk menentukan nilai distribusi mana yang dipakai pada pengujian
152
apakah itu distribus normal z atau distribusi t . Nilai distribusi tersebut sudah disediakan dalam tabel yang disebut dengan nilai kritis 4. Menentukan Kriteria Pengujian dan Membuat Kesimpulan Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol H 0 . Diterima atau ditolaknya hipotesis nol H 0 dapat dilakukan dengan membandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya. Adapun peranan hipotesis alternatif H a dalam penentuan daerah kritis (daerah penolakan H 0 ) adalah sebagai berikut: a. Jika hipotesis alternatif H a mempunyai rumusan tidak sama maka dalam
distribusi statistik yang digunakan baik normal untuk angka z dan student untuk angka t terdapat dua daerah kritis yang masing – masing terdapat pada ujung- ujung distribusi dengan luas daerahnya
1 . Karena terdapat dua 2
daerah kritis berarti terdapat dua daerah penolakan. Disebabakan terdapat dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis ini dinamakan dengan uji dua pihak atau uji dua ekor.
Gambar daerah penerimaan dan penolakan dengan uji dua pihak (kanan dan kiri) Dari gambar terlihat kedua daerah penerimaan dan penolakan H 0 dibatasi oleh d1 dan d 2 yang diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan ( z atau t )
dengan menggunakan nilai peluang yang ditentukan oleh .
153
Kesimpulan yang kita peroleh dari keadaan dia atas adalah : terima H 0 jika harga statistik yang dihitung berada di antara d1 dan d 2 , selain itu H 0 ditolak. b. Jika hipotesis alternatif
H a
mempunyai rumusan kurang dari maka
dalam distribusi statistik yang digunakan baik normal untuk angka z dan student untuk angka t maka daerah kritis terletak ujung sebelah kiri dari distribusi yang digunakan dengan luas daerahnya . Pengujian hipotesis ini dinamakan dengan uji pihak kiri
Gambar daerah penerimaan dan penolakan dengan uji pihak kiri c. Jika hipotesis alternatif H a mempunyai rumusan lebih dari maka dalam
distribusi statistik yang digunakan baik normal untuk angka z dan student untuk angka t maka daerah kritis terletak ujung sebelah kanan dari distribusi yang digunakan dengan luas daerahnya . Pengujian hipotesis ini dinamakan dengan uji pihak kanan
Gambar daerah penerimaan dan penolakan dengan uji pihak kanan.
154
4.2 Pengujian Hipotesis Dua Pihak Pada sub bab ini kita akan membahas pengujian hipotesis dua pihak untuk satu sampel. Adapun langkah – langkahnya sebagai berikut : 1. Susun terlebih dahulu rumusaan hipotesisnya sebelum diuji. Ingat kembali bahwa rumusan hipotesis untuk uji dua pihak adalah hipotesis alternatif
H a
yang
memuat tidak sama dengan 2. Carilah nilai uji statistiknya ( z atau t ). Uji statistik yang akan kita pergunakan kali ini adalah uji T dengan rumus sebagai berikut
t
x
n
Dengan keterangan :
x = rata – rata sampel
= nilai rata – rata yang mau dihipotesiskan
= simpangan baku sampel n = jumlah sampel 3. Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk n 1 ) dan taraf kesalahannya sehingga diperoleh d1 dan d 2 4. Gambarkanlah sketsa kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya 5. Setelah membandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya maka dapat dibuat kesimpulan untuk menerima H 0 jika harga statistik yang dihitung berada di antara d1 dan d 2 , selain itu H 0 ditolak.
155
Nilai t tabel
Contoh Soal 4.2 1. Seorang guru sedang menguji 9 siswanya dan mendapatkan data bahwa rata – rata daya tahan belajar siswa di kelas per hari adalah 7 jam. Jika simpangan baku = 4 jam dan taraf kesalahan 5%, maka ujilah apakah hipotesis rata – rata daya tahan belajar siswa selama 9 jam per hari 2. Menurut survei yang dilakukan kepada 16 orang yang berprofesi sebagai pengemudi on – line mengatakan bahwa pendapatan mereka rata – ratanya sebesar Rp 3.400.000,- selama satu bulan. Jika simpangan baku sebesar Rp800.000 dan taraf kesalahan 10%, maka ujilah apakah hipotesis rata – rata pendapatan pengemudi on – line dapat mencapai Rp 3.800.000,- selama satu bulan
156
Penyelesaian : 1. Dik
: x 7 , 9, 4
n 9 berarti dk n 1 9 1 8
5% 0,05 Langkah 1 : Buatlah rumusan hipotesisnya H 0 : 9 (daya tahan belajar siswa selama 9 jam per hari)
H a : 9 (daya tahan belajar siswa tidak sampai 9 jam per hari) Langkah 2 : Carilah nilai uji statistiknya
t
x
n t
79 2 3 1,5 9 t 4 4
Langkah 3 : Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk 8 ) dan 0,05 taraf kesalahannya sehingga diperoleh d1 dan d 2 Cara membaca nilai t tabel – nya : a. Perhatikan baris paling atas (pilih untuk uji dua pihak) b. Lihat kolom dk paling kiri kemudian turun ke angka 8. c. Lihat kolom dk kembali dan geser ke kanan sampai ke angka 0,05 d. Kemudian turun dan diperoleh nilai kritisnya 2,306 Langkah 4
: Gambarkan kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya
157
Langkah 5
: Membuat kesimpulan Karena nilai t berada di daerah antara d1 dan d 2 maka hipotesis H 0 diterima. Jadi kita menarik kesimpulan bahwa rata – rata daya
tahan belajar siswa bisa mencapai selama 9 jam per hari : x 3.400.000 , 3.800.000 , 800.000
2. Dik
n 16 berarti dk n 1 16 1 15
10% 0,10 Langkah 1 : Buatlah rumusan hipotesisnya H 0 : Rp 3.800.000 (rata – rata pendapatan pengemudi on – line Rp 3.800.00,-selama satu bulan) H a : Rp. 3.800.000 (rata – rata pendapatan pengemudi on – line tidak sebesar Rp 3.800.00,-selama satu bulan)
per hari) Langkah 2 : Carilah nilai uji statistiknya
t
x
n t
3.400.000 3.800.000 400.000 4 2 16 t 800.000 800.000
Langkah 3 : Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk 15 ) dan 0,10 taraf kesalahannya sehingga diperoleh d1 dan d 2 Cara membaca nilai t tabel – nya :
a. Perhatikan baris paling atas (pilih untuk uji dua pihak) b. Lihat kolom dk paling kiri kemudian turun ke angka 15. c. Lihat kolom dk kembali dan geser ke kanan sampai ke angka 0,10 d. Kemudian turun dan diperoleh nilai kritisnya 1,753
158
Langkah 4
: Gambarkan kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya
Langkah 5
: Membuat kesimpulan Karena nilai t tidak berada antara d1 dan d 2 maka hipotesis H 0 ditolak. Jadi kita menarik kesimpulan bahwa rata – rata pendapatan pengemudi on – line tidak sebesar Rp 3.800.00,-selama satu bulan
Latihan Soal 4.2 1. Pengusaha suatu lampu pijar mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 750 jam. Namun masa pakai lampu pijar tersebut telah mengalami perubahan. Maka diadakanlah penelitian dengan menguji 30 lampu, diperoleh rata – rata masa pakai lampu 742 jam dengan simpangan baku 50 jam. Selidikilah dengan tarf kesalahan 0,05 apakah kualitas lampu pijar tersebut telah berubah atau belum 2. Perusahaan alat pancing mengklaim bahwa rata – rata kekuatan pancing sintetiknya dapat mengangkat beban sebesar 7,5 kg yang diuji pada 50 sampel Jika taraf kesalahan 0,01 dan standar deviasi 0,5 kg, ujilah apakah hipotesis rata – rata kekuatan pancing tersebut dapat mengangkat beban sebesar 9 kg?
159
4.3 Pengujian Hipotesis Satu Pihak 4.3.1 Pengujian Hipotesis Pihak Kiri Pada sub bab ini kita akan membahas pengujian hipotesis dua pihak untuk satu sampel. Adapun langkah – langkahnya sebagai berikut : 1. Susun terlebih dahulu rumusaan hipotesisnya sebelum diuji. Ingat kembali bahwa rumusan hipotesis untuk uji dua pihak adalah hipotesis alternatif
H a
yang
memuat kurang dari 2. Carilah nilai uji statistiknya ( z atau t ). Uji statistik yang akan kita pergunakan kali ini adalah uji T dengan rumus sebagai berikut
t
x
n
Dengan keterangan :
x = rata – rata sampel
= nilai rata – rata yang mau dihipotesiskan
= simpangan baku sampel n = jumlah sampel
3. Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk n 1 ) dan taraf kesalahannya sehingga diperoleh d 4. Gambarkanlah sketsa kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya 5. Setelah membandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya maka dapat dibuat kesimpulan untuk menolak H 0 jika harga statistik yang dihitung berada di sebelah kiri dari d atau kurang dari d , selain itu H 0 diterima.
160
Contoh Soal 4.3.1 Seorang pengusaha sedang menguji 10 karyawannya dan mendapatkan data bahwa rata – rata penguasaan pekerjaan dapat dilakukan jika bekerja mencapai selama 20 tahun dengan simpangan baku 2 tahun. Dengan taraf kesalahan 5%, ujilah apakah hipotesis rata – rata penguasaan pekerjaan dapat dilakukan jika bekerja kurang dari 18 tahun Penyelesaian : Dik
: x 20 , 18 , 2 n 10 berarti dk n 1 30 1 29
5% 0,05 Langkah 1
: Buatlah rumusan hipotesisnya
H 0 : 18 (rata – rata penguasaan pekerjaan ketika 18 tahun bekerja) H a : 18 (rata – rata penguasaan pekerjaan kurang dari 18 tahun bekerja)
Langkah 2
: Carilah nilai uji statistiknya
t Langkah 3
x
n t
20 18 2 10 t 3.162 3,162 2 2
: Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk 29 ) dan 0,05 taraf kesalahannya sehingga diperoleh d Cara membaca nilai t tabel – nya : a. Perhatikan baris paling atas (pilih untuk uji satu pihak) b. Lihat kolom dk paling kiri kemudian turun ke angka 29. c. Lihat kolom dk kembali dan geser ke kanan sampai ke angka 0,05 d. Kemudian turun dan diperoleh nilai kritisnya 1,699
161
Langkah 4
: Gambarkan kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya
Langkah 5
: Membuat kesimpulan Karena nilai t berada di daerah penerimaan H 0 maka hipotesis H 0 diterima dan H a ditolak. Jadi kita menarik kesimpulan bahwa seorang karyawan tidak dapat menguasai pekerjaannya jika ia bekerja masih kurang dari 18 tahun bekerja.
Latihan Soal 4.3.1 Dilakukan survei dan diperoleh rata – rata berat badan remaja berumur 15-20 tahun adalah 45 kg tahun yang diuji pada 28 sampel dengan simpangan baku 3 kg. Jika taraf kesalahan 2% ujilah apakah rata – rata berat badan remaja berumur 15 – 20 tahun kurang dari 42 kg. 4.3.2 Pengujian Hipotesis Pihak Kanan Pada sub bab ini kita akan membahas pengujian hipotesis dua pihak untuk satu sampel. Adapun langkah – langkahnya sebagai berikut : 1. Susun terlebih dahulu rumusaan hipotesisnya sebelum diuji. Ingat kembali bahwa rumusan hipotesis untuk uji dua pihak adalah hipotesis alternatif
H a
yang
memuat lebih dari 2. Carilah nilai uji statistiknya ( z atau t ). Uji statistik yang akan kita pergunakan kali ini adalah uji T dengan rumus sebagai berikut 162
t
x
n
Dengan keterangan :
x = rata – rata sampel
= nilai rata – rata yang mau dihipotesiskan
= simpangan baku sampel n = jumlah sampel 3. Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk n 1 ) dan taraf kesalahannya sehingga diperoleh d 4. Gambarkanlah sketsa kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya 5. Setelah membandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya maka dapat dibuat kesimpulan untuk menolak H 0 jika harga statistik yang dihitung berada di sebelah kanan dari d atau lebih dari d , selain itu H 0 diterima. Contoh Soal 4.3.2 Di Indonesia dilakukan survei dan diperoleh rata – rata kematian umur 63 tahun yang diuji pada 21 sampel dengan simpangan baku 6 tahun. Jika taraf kesalahan 10% ujilah apakah rata – rata kematian berumur lebih dari 65 tahun. Penyelesaian : Dik
: x 63 , 65 , 6 n 21 berarti dk n 1 21 1 20
10% 0,1 Langkah 1
: Buatlah rumusan hipotesisnya H 0 : 65 (rata – rata kematian berumur 65 tahun) H a : 65 (rata – rata kematian berumur lebih dari 65 tahun)
Langkah 2
: Carilah nilai uji statistiknya 163
t Langkah 3
x
n t
63 65 2 4,5826 1,527 21 t 6 6
: Carilah nilai distribusi - t nya (nilai kritis) pada t tabel dengan memperhatikan derajat kebebasan ( dk 20 ) dan 0,1 taraf kesalahannya sehingga diperoleh d Cara membaca nilai t tabel – nya : a. Perhatikan baris paling atas (pilih untuk uji satu pihak) b. Lihat kolom dk paling kiri kemudian turun ke angka 20. c. Lihat kolom dk kembali dan geser ke kanan sampai ke angka 0,1 d. Kemudian turun dan diperoleh nilai kritisnya 1,325
Langkah 4
: Gambarkan kurvanya dan bandingkan nilai tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya
Langkah 5
: Membuat kesimpulan Karena nilai t berada di daerah penerimaan H 0 maka hipotesis H 0 diterima dan H a ditolak. Jadi kita menarik kesimpulan bahwa rata – rata umur kematian di Indonesia tidak lebih dari 65 tahun
Latihan Soal 4.3.2 Diduga masa pakai sebuah lampu pijar memiliki rata – rata paling sedikit 1.500 jam. Kemudian dilakukan uji coba terhadap 15 lampu dan menghasilkan rata – rata 1.475 jm dengan simpangan baku 120 jam. Ujilah hipotesis tersebut dengan keyakinan benar 10%. 164
Rangkuman ……………………………………… 1. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari hal – hal yang berkaitan dengan penanganan data sedangkan statistik adalah kumpulan data berupa bilangan maupun bukan bilangan yang disusun dalam bentuk tabel atau diagram yang menggambarkan suatu masalah.
2. Statistika Deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan atau penyajian data hingga memberi informasi yang berguna 3. Statistika Inferensial adalah sebuah metode statistik yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah.. 4. Definisi Peluang Bila suatu kejadian E dapat terjadi dalam n cara dari seluruh S cara yang mungkin, maka peluang atau kemungkinan (probabilitas) kejadian E dapat dirumuskan sebagai berikut: P E
n E nS
5. Variabel acak yang mewakili bilangan bulat disebut variabel acak diskrit sedangkan variabel acak yang mewakili bilangan real disebut variabel acak kontinu 6. Ciri – ciri Percobaan Binomial a. Percobaan dilakukan berulang sebanyak n kali b. Hasil setiap percobaan hanya bisa dikategorikan menjadi ke dalam 2 kemungkinan, misal : “SUKSES ATAU GAGAL”. c. Masing – masing percobaan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya d. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.
7. Rumus Untuk Menentukan Peluang Percobaan Binomial P X x Cxn p x q n x 165
Keterangan : p = probabilitas sukses q = probabilitas gagal
n = jumlah total percobaan x = banyaknya keberhasilan dalam peubah X untuk x 0,1,2,3,...n
8. Fungsi peluang pada variabel acak kontinu X x a x b, x R dinyatakan sebagai
f x memiliki ketentuan sebagai berikut : a. 0 f x 1 untuk setiap x b. Luas daerah di bawah kurva f x sama dengan 1 c. Peluang variabel acak X pada interval a x b sama dengan luas daerah di bawah kurva f x yang dibatasi oleh garis x a dan x b . Peluang variabel acak X pada b
interval a X b dinyatakan dengan Pa X b f x dx a
9. Distribusi normal standar / baku adalah distribusi dengan rata – rata 0 dan simpangan baku 1
10. Transformasi variabel acak X dari distribusi normal ke variabel Z distribusi normal baku :
Z
X
11. Uji hipotesis : Uji Dua Pihak (Kiri dan Kanan) Rumusan Hipotesis : H 0 0
H a 1
166
Uji Pihak Kiri Rumusan Hipotesis : H 0 0
H a 1
Uji Pihak Kanan Rumusan Hipotesis : H 0 0
H a 1
167
I. Pilihan Ganda. Pilihlah jawaban yang paling benar!
B.
1 3
C.
1 4
1. Data yang melibatkan variabel diskrit adalah... A. bilangan ganjil lebih dari 3
1 12
E.
B. bilangan bulat kurang dari 10 4. Parameter dari distribusi binomial
C. banyak siswa dalam satu kelas
adalah...
D. berat badan dalam satu desa
A. peluang sukses dan gagal
E. umur penduduk satu negara
B. banyaknya kejadian berulang dan 2. Doni melemparkan dua buah dadu. Jika variabel acak
X
menyatakan
jumlah mata dadu yang muncul, maka
C. variabel acak diskrit D. variabel acak kontinu E. peluang gagal kumulatif
X adalah... A.
peluang sukses
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 5. Sebah kotak berisi 3 kelereng biru dan
B. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
5 kelereng hijau. Dari dalam kotak
C. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
diambil 2
D. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Peluang
E. 1,2,3,4,5
kelereng
terambil
secara
kedua
acak.
kelereng
berwarna biru adalah.. A. 0,39
3. Perhatikan tabel distribusi frekuensi
C. 0,25
variabel acak X berikut ini :
x
P X x
1
2
3
4
5
D. 0,17
1 4
1 6
1 12
k
1 3
E. 0,11
6. Suatu koin dilantunkan sebanyak 6
Nilai k = ... A.
1 2
B. 0,32
D.
kali. Peluang muncul sisi gambar
1 6
sebanyak 5 kali adalah...
168
A. B.
1 64
D.
3 64
E.
10. Peluang mendapatkan jumlah angka 7
6 64
tepat satu kali pada pelemparan dua
7 64
buah dadu sebanyak tiga kali adalah...
5 C. 64
A. 0,2564
D. 0,3472
B. 0,1254
E. 0,3596
C. 0,1650
7. Sebuah koin dilantunkan sebanyak 5 kali. Probabilitas paling sedikit tiga kali muncul sisi gambar adalah...
1 A. 2
1 D. 5
1 B. 3
1 E.. 6
C.
11. Dalam suatu pertandingan, peluang David Maulana “Kapten Timnas U16” dapat mencetak gol adalah
4 Jika 7
ia menendang sebanyak 5 kali, besar peluang mencetak 3 kali gol adalah..
1 4
8. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 4
A. 0,3156
D. 0,4112
B. 0,3354
E. 0,5621
C. 0.3427
kali. Peluang muncul mata dadu berkelipatam
3
sebanyak
2
kali
12. Data yang melibatkan variabel kontinu adalah...
adalah... 1 27
D.
5 81
A. banyaknya
A. B.
5 27
E.
11 81
B. banyak siswa dalam satu kelas
C.
9. Dua
yang
melintas
C. bilangan genap lebih dari 6
8 27
dadu
kendaraan
D. banyak anak dalam satu keluarga E. banyak pedagang dalam satu pasar seimbang
dilantunkan
sebanyak 4 kali. Probabilitas muncul jumlah mata kedua dadu 9 tepat 3 kali adalah... A. 0,0021
D. 0,0320
B. 0,0048
E. 0,0423
13. Parameter distribusi normal adalah... A. dan Mo B. dan Me C. dan D. Me dan Mo E.
C. 0,0265 169
x 14. f x 10 0
E. 0,8963
untuk x 1,2,3,4
17. Luas daerah yang diarsir di bawah
untuk x lainnya
kurva normal ini adalah...
Nilai P2 X 4 adalah ... A.
1 5
D.
3 10
B.
2 5
E.
9 10
C.
3 5
A. 0,0104 B. 0,1739
15. Luas daerah yang diarsir di bawah kurva normal ini adalah...
C. 0,3621 D. 0,4896 E. 0,8963 18. Luas daerah yang diarsir di bawah kurva normal ini adalah...
A. 0,2612 B. 0,2388 C. 0,2357 D. 0,2258
A. 0,2275
E. 0,2324
B. 0,2673
16. Luas daerah yang diarsir di bawah kurva normal ini adalah...
C. 0,4948 D. 0,5620 E. 0,7621 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah 0,9984, maka nilai
z adalah...
A. 0,0034 B. 0,1003 C. 0,3997 D. 0,4966 170
A. 2,94
B. hipotesis
yang
B. 2,74
mengandung
C. 2,34
sama
D. 2,16
C. hipotesis
E. 2,06
perumusannya
pengertian
yang
tidak
perumusannya
mengandung pengertian sama
20. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah 0,9192, maka nilai
D. hipotesis
yang
perumusannya
mengandung pengertian kurang dari
z adalah...
E. hipotesis
yang
perumusannya
mengandung pengertian lebih dari
23. Taraf kesalahan 5% artinya ... A. -1,40
A. perkiraan
5
dari
B. -1,45
kesimpulan
C. -2,34
yang seharusnya ditolak
D. -2,56
B. perkiraan
E. -2,33
menerima
5
kesimpulan
21. Misalkan tinggi siswa berdistribusi normal dengan rata – rata 165,5 cm dan simpangan baku 3,5 cm. Jika jumlah semua siswa 50 orang maka banyaknya siswa yang tingginya lebih
dari
100
hipotes
tiap
menolak
100
hipotesis
yang seharusnya diterima C. perkiraan
5
dari
tiap
kesimpulan menerima
10
hipotesis
yang seharusnya ditolak D. perkiraan kesimpulan
dari 168 cm adalah...
tiap
5
dari
tiap
menolak
100
hipotesis
yang seharusnya diterima
A. 12 orang
E. perkiraan 95% yakin kesimpulan
B. 15 orang
yang dibuat benar
C. 25 orang D. 28 orang
24. Diberikan ujian kepada 30 siswa.
E. 30 orang
Setelah dilakukan penilaian diperoleh nilai rata – rata adalah 78 dan
22. Hipotesis nol artinya...
simpangan baku 6, banyaknya siswa
A. hipotesis yang bernilai nol
yang mempunyai nilai di bawah 72 adalah... 171
A. 10 orang
195 jam dengan simpangan baku 15
B. 7 orang
jam. Jika hipotesis tersebut diuji
C. 5 orang
dengan
D. 3 orang
kesimpulannya adalah :
E. 2 orang
nyata
5%
maka
A. H 0 ditolak
25. Diduga masa pakai sebuah komputer pada sebuah perusahaan memiliki rata – rata 200 jam per minggu. Kemudian dilakukan
taraf
uji
coba
terhadap
25
komputer dan menghasilkan rata – rata
B. H 0 diterima C. H a ditolak D. H a diterima E. tidak dapat ditarik kesimpulan
II. Uraian Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar dan tepat! 1. Jelaskan perbedaan statistik deskriptif dengan statistik inferensial. Berikan contohnya 2. Sebuah uang logam dilempar undi sebanyak 8 kali. Tentukanlah peluang munculnya gambar a. sebanyak 2 kali b. paling banyak 4 kali 3. Seorang pemain basket mempunyai peluang bahwa ia dapat memasukkan bola ke keranjang lawan adalah 0,3. Jika ia dapat kesempatan untuk melemparkan bola ke keranjang lawan sebanyak 6 kali, tentukanlah peluang ia dapat memasukkan bola a. sebanyak 2 kali b. paling sedikit 3 kali 4.
1 f x 5 0
untuk 0 x 5 untuk x lainnya
a. Tunjukkan bahwa f x merupakan fungsi peluang b. Tentukanlah nilai peluang P X 1 c. Tentukanlah nilai peluang P X 3 5. Pada suatu perusahaan diduga masa pakai sebuah mesin memiliki rata – rata paling banyak 1.450 jam. Kemudian dilakukan uji coba terhadap 25 mesin dan menghasilkan rata – rata 1.470 jm dengan simpangan baku 150 jam. Ujilah hipotesis tersebut dengan taraf kesalahan 5%. 172