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Lycée pilote ELKEF

Année : 2020-2021

Cahier de cours

Terminale Math

Math

4M ème

q

Troisième Trimestre

Mathspilote

Kais Nsib

“Des mathématiques pour enfants, si l'on veut qu'elles soient dignes de ce nom, ne sauraient être comme un médicament détestable que nous nous permettrions de leur infliger, tout en nous gardant bien d'en absorber nous-mêmes.” Seymour Papert

2

Sommaire  Analyse 

Chapitre 7 : Fonction exponentielle..................................................... 5

 Probabilités 

Chapitre 5 : Probabilités....................................................................................86

Analyse

4

 exponentielle

Chapitre 7

Fonction

Plan du chapitre I. Définition et premières propriétés 1. Définition de la fonction exponentielle. 2. Représentation graphique de la fonction exponentielle.

II. propriétés algébriques III. Dérivée de la fonction x  e 

u x

IV. Limites remarquables V. Quelques exercices sur la fonction ln

I. Définition et premières propriétés 1. Définition de la fonction exponentielle. Pour commencer: On sait que la fonction logarithme népérien est une bijection de 0,  sur  donc elle admet une fonction réciproque définie sur .

Définition. On appelle fonction exponentielle, ......................................................................................... .....................................................................................................................................................

Notation: L'image d'un réel x par la fonction exponentielle est noté e x .

2. Premières propriétés. Propriétés  Soit x  0,  et y  , ln  x   y  ...........................................................................

 

  Pour tout x  , ln e x  ............................................................................................. ln x 

 ........................................................................................

 e0  ..........................................; e1  .........................................  La fonction exponentielle est ........................................................................................... Soit a,b  , eb  ea  ..................................et eb  ea  ..............................................  La fonction exponentielle est une bijetion...................................................................... .............................................................................................................................................

 Pour tout réel x, e x  0.  lim e x  ..............................................; lim e x  ...................................................... x 

x 

Activité 1. 2

1. Résoudre dans , l'équation : e x  2. 2

2. Résoudre dans , l'inéquation : e x  e32x .

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

 Pour tout x  0,  , e

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Activité 2

 1 x  Soit f la fonction définie sur 1,1 , par : f  x   ln  .  1 x  2. Expliciter f 1  x  pour tout x  .

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

1. Monrer que f est une bijection de 1,1 sur .

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

2. Représentation graphique de la fonction exponentielle.

5

4

3

2

1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

-2

-3

-4

2

e 3

4

5

6

7

8

9

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe C de la fonction ln . Tracer la courbe de fonction exponentielle dans le même repère.

II. propriétés algébriques Théorème Soit a,b  , alors :  eab  .......................................................................................................................... 

1  ............................................................................................................................. ea

ea  b  ............................................................................................................................... e

 

a  e

r

 ...........................................................................................................................

en particulier

ea  ..................................... et

n

ea  ................................................

Démonstration ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

.............................................................................................................................................................

Application 1. Pour tout x  , on pose : f  x  

x  1  e2x x 2 et g x e e .     e2x  1

Etudier la parité de chacune des fonctions f et g. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 2. Résoudre dans , l'équation : e2x  3e x  10  0 . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 3. Soit x   et n  . Simplifier les sommes suivantes :

S1  e x  e2x    enx et S2  1  e x  e2x    e

n1 x

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

Application 4.

ln  x   ln  y   3 . Résoudre dans   , le systéme :  x y e  e  e ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

.............................................................................................................................................................

III. Dérivée de la fonction x  e 

u x

1. Dérivée de la fonction exponentielle. Activité Montrer que la fonction exponentielle est dérivable sur  et que sa fonction dérivée est la fonction x  e x . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème la fonction exponentielle est dérivable sur  et sa fonction dérivée est la fonction

Application. 1

ln2

0

0

Calculer les integrales suivantes : 1. I   exdx 2. J  

ex dx ex  1

1

3. K   xexdx . 0

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

x  .......................................

2. Dérivée de la fonction x  e

u x 

.

Activité Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. u x Montrer que la fonction f : x  e   est dérivable sur I et calculer f '  x  .

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème u x Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f : x  e   est

dérivable sur I et on a : f '  x   ..........................................................................................

Corollaire l'ensemble des primitives sur I de la fonction f : x  u'  x  e

u x 

est l'ensemble

des fonction F : x  ................................................................................................................  Application 1. Caclculer f '  x  dans chacun des cas suivants : 1. f  x   e

x

2. f  x   e 3

x

3. f  x   e

1 sin x 

4. f  x   e

x ln x 

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Application 4.  4 0

Calculer les integrales suivantes : 1. J   3. K  

ln 2

0

e2x

1 e  2x

dx ; 4. E   3

ln 2

0

1 2 e  dx  J x3ex 1dx 2. ; 2  0 cos  x  tan x

2x ln 2  e 1 e x  e x 1 1  dx F dx 6. G   x dx 5. ; x 2x x  0 0 e 1 e e e 1

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. Remarque ............................................................................................................................................................. Soit r   \ 1. ............................................................................................................................................................. r  u'u  ............................

IV. Limites remarquables Activité 1

 enx  1. Soit n,m  . Calculer lim ln  m  . x  x  enx 2. En déduire lim m puis lim xmenx . x  x x 

ex . x  x r

3. Soit r   . Déterminer lim

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

............................................................................................................................................................. u'  u  ............................... ............................................................................................................................................................. u'eu  ...............................  .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Théorème  lim e x  ........................................................................................................... x 

 lim e x  ........................................................................................................... x 

enx ex  ..........................en pariculier  ........................ lim x  x m x  x

 Pour tout n,m  , lim

 Pour tout n,m  , lim xmenx  .....................en pariculier lim xe x  ........................ x 

ex  .......................... x  x r

 Pour tout r   , lim

ex  1  ....................................................................................................................... x 0 x

 lim

Application. Etudier les limites suivantes : 1. lim x 2021  e2x 2. lim x 

5. lim x 0

x 

e3x 5

x 

x2

1 2x e x  x

3. lim x 2e3x 4. lim

tan x  1  1 2x e   1 e 6. lim 7. lim x  e x  1 8. lim e x ln ex  1 9. lim e x ln ex  1 x 0 sin  x  x  x  x  x  

10. lim

x 













ln e3x  1 e

x

............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

x 

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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V. Quelques exercices sur la fonction exponentielle Exercice 1 Soit f la fonction définie sur , par : f  x   2  3x 2e x .  

On désigne par  la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. Dresser le tableau de variation de f. 2. Tracer  . ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Exercice 2 Soit f la fonction définie sur , par : f  x   x  ln 1  e x  .  

On désigne par  la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. a. Dresser le tableau de variation de f. b. En déduire que f est une bijection de  sur un intervalle I que l'on précisera. c. Expliciter f 1  x  pour tout x  I. 2.

Tracer  et la courbe  ' de f 1 .

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Exercice 3 1. Montrer que 1 est l’unique solution dans  de l’équation x - e1 x  0. 2. On suppose qu’il existe une fonction f continue sur  0,  et dérivable sur 0, telle que : pour tout x  0,  , f(x)  xe f (x)  0. a. Prouver que f(0)  0 et que f(e)  1 . b. Montrer que f est dérivable à droite en 0 et que f 'd (0)  1.

c. Montrer que pour tout x  0,  , f(x)  0 , en déduire que pour tout x  0,  , f(x)  x.

3. a. Montrer que f est strictement croissante sur 0, . f(x) . x c. Montrer que f est une bijection de 0, sur 0, .

b. Montrer que lim f(x)   , en déduire lim x 

x 

4. a. On désigne respectivement par  et  ' les courbes représentatives des fonctions  f et f 1 dans un repère orthonormé (O,i, j) . Tracer  et  ' . b. Montrer que pour tout x  0,  , f 1(x)  xe x .

c. Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par la courbe  et les droites d’équations x  0, x  e et y  0. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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8

7

6

5

4

3

2

1

1 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Exercice 4 x 1  x 1 2e  f  x   si x  0 2 Soit f la fonction définie sur ,1, par :  .  x  1   f 1  0

 

On désigne par  la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. a. Montrer que f est continue à gauche en 1. b. Montrer que f est dérivable à gauche en 1. c. Déterminer lim f  x  . Interpréter graphiquement le résultat obtenu. x 

2. a. Montrer que f est dérivable sur ,1 et que pour tout x  1 , f '  x  

2x  f  x 

 x  1

2

.

b. Dresser le tableau de variation de f. c. Tracer  . d. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe  et les droites d’équations 1 x  0, x  et y  0. 2 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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2

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-1

-2

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

.............................................................................................................................................................

Exercice 5 Pour tout n   et pour tout x  ,0, on pose : Gn  x    x

0

ent dt . 1  et

1. a. Calculer G1  x  et déduire lim G1  x  . x   b. Montrer que pour tout n   et pour tout x  ,0, Gn  x   Gn1  x   1 1  e nx  . n



c. Montrer par récurrence que pour tout n   la fonction G n admet une limite finie lorsque x tend vers    . Dans toute la suite on pose Un  lim Gn  x  . x 

2. a. Montrer que pour tout réel t  ,0, 2e  1  e  2. t

t

b. En déduire que pour tout entier n  2 et pour x  ,0 on a : 1 1 n 1 x 1  enx   Gn  x   1  e  .  2n 2  n  1





1 1 .  Un  2n 2  n  1

c. Prouver alors que pour tout entier n  2, 3.

Pour tout n   et pour tout x  ,0 on pose : Fn  x    1 a. Calculer Fn  x  et montrer que lim Fn  x  x 

 1 

n



0

x

e nt dt .

n

n

.

b. Montrer que F1  x   F2  x     Fn  x   G1  x    1 Gn1  x  . n

c. En déduire que pour tout n  ,

n

 k 1

n

 k 1

 1

k 1

k

 ln  2    1

n1

Un1.

k 1

k

.

............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

d. Déterminer alors lim

n

 1

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Exercice 6 Soit f la fonction définie sur  , par : f  x  

e2x  e4x .  

On désigne par  la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé (O,OI,OJ). 1. a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. b. Prouver que lim f  x    et que lim x 

x 

f  x x

  puis interpréter graphiquement le

résultat obtenu. c. Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. a. Dresser le tableau de variation de f. b. Tracer  . 3.

On désigne par g la restriction de f à l’intervalle 0,

a. Montrer que g est une bijection de 0, sur 0, . b. Tracer la courbe  ' de g-1. c. Expliciter g1  x  pour tout x  0, . 4.

  Soit F la primitive de f sur ,0 qui s’annule en 0. Pour tout x   0,  , on pose  2

    2 a. Montrer que h est dérivable sur  0,  et que pour tout x  0,  , h’  x   cos  x  .  2  2   b. En déduire h  x  pour tout x   0,  .  2 c. Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par la courbe  et les droites d’équations x   ln(2) , x  0 et y  0 .

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

h  x   F  ln(sin x)  .

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Exercice 7

1

Soit a   0,  . Pour tout n  , on pose : Un  a    t nea1 t  dt . 0

1. a. Calculer U1  a  .

ea . b. Montrer que pour tout n   , 0  Un  a   n 1 c. En déduire lim Un  a  . 

n

2. a. Montrer que pour tout n  , Un1  a   1   n  1 Un  a  . b. Montrer que pour tout n  , Un  a  

n!  a n ak  e    an1  k 0 k! 

n

1 . . n k 0 2 k!

c. En déduire lim 

k

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Chapitre 7 : Analyse : Fonction exponentielle _ Kais Nsib_2020-2021

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Probabilités

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Chapitre 5

Probabilités

Plan du chapitre I - Dénombrement 1. Cardinal d’un ensemble fini. 2. Produit cartésien d’ensembles finis. 3. Nombre d'arrangements. 4. Nombre de combinaisons.

II- Définition d’une probabilité sur un ensemble fini III- Equiprobabilité IV. Probabilité conditionnelle - Evénements indépendants 1. Probabilité conditionnelle 2. Evénements indépendants 3. Formule des probabilités totales

V- Variables aléatoires ou aléa numériques VI- Espérance - variance - écart-type et fonction de répartition d'un aléa numérique 1. Espérance-variance-écart-type d'une variable aléatoire 2. Fonction de répartition d'une variable aléatoire

VII- Loi binomiale VIII- Exercices

I - Dénombrement 1. Cardinal d’un ensemble fini. Activité 1 Soit E1  n   \ n divise 18 ; E2  n   \ n divise 15 ; E 2  n   \ n divise 8 Déterminer le nombre d'élements de chacun des ensembles suivants : 1. E1  E 2 ; E1  E3 et E3  E 2 2. E1  E 2 ; E1  E3 et E3  E 2 ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Vocabulaires et notations.  Un ensemble qui a un nombre fini d’éléments est dit fini.  Dans ce cas, on appelle cardinal de E le nombre de ses éléments.  Si un ensemble E a n éléments, on dit que son cardinal est n et on note card(E)  n  Un ensemble qui a zéro éléments, est appelé l’ensemble vide et noté  .  Soit A et B deux ensembles finis.

est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.  Les ensembles A et B sont dits disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun c'est à dire A  B  .  Leur réunion A  B , qui se lit " A union B ", est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.  card  A  B   card  A   card B   card  A  B   Si A et B sont dits disjoints alors card  A  B   card  A   card B   Soit E un ensemble fini et A une partie de E. Le complémentaire A de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. AA E

AA 

 

 card A  card E   card  A 

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

 Leur intersection A  B , qui se lit " A inter B ",

Activité 2 On considère l’ensemble E et trois parties A, B et C de E, tels que :

E  (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (2,3) ; A  (1,2) ; B  (1,2);(1,3) et C  (1,1);(2,3) Déterminer :

 









card A ; card  A  B  ; card  A  B ; card A  B ; card A  B ; card B  C  et card B  C  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

2. Produit cartésien d’ensembles finis. Activité 1 On considère les ensembles A  0 , 1, 3 , 5 , B  1, 2 , 3 et E  (x,y) / x  A et y  B Dénombrer tous les éléments de E puis déterminer card E  .

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Définition Le produit cartésien A x B, se lit " A croix B ", est l’ensemble des couples (x, y) tels que x appartient à A et y appartient à B.

Propriété Soit A et B deux ensembles non vides et finis, alors card( A  B)  …………………………

Notation

Remarque

 A    A Soit A un ensemble non vide et fini. Le produit cartésien A 



P fois p





Si A   ou B   alors A  B  

est l’ensemble des p-uplets  x1,x 2 ,,x p  tels que xi  A et le note A p .

Propriété Soit A un ensemble non vide et fini et p un entier naturel non nul alors card( A p )  ………

Activité 2

1. Combien de codes peut-on proposer ? 2. Combien de codes commencant par la lettre A, peut-on proposer ? 3. Combien de codes commencant par B9, peut-on proposer ? 4. Combien de codes comportant trois chiffres distincts, peut-on proposer ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

La porte d’entrée d’un immeuble est commandée par un code d’accés composé d’une lettre suivie de trois chiffres distincts ou non. On dispose d’un clavier comportant les lettres A, B et C, et les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Activité 3 De combien de manières, peut-on ranger 4 objets distincts dans 3 tiroirs. (On suppose que chaque tiroir peut ne pas contenir d’objet ou en contenir un ou plusieurs.) ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Activité 4 On lance 3 fois de suite, un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Déterminer le nombre de triplets possibles qu’on peut obtenir. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………….

Activité 5 Un sac contient trois boules numérotées 2, 4 et 5. On tire une boule et on note son numéro puis on la remet dans le sac. 1. On effectue cette opération trois fois, on obtient alors un triplet. Combien a-t-on de triplets possibles ? 2. On effectue cette opération dix fois, on obtient alors un dix-uplet. Combien a-t-on de dix-uplets possibles ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Activité 6 Soit E un ensemble à p éléments  p     et F un ensemble à n éléments  n     . Quel est le nombre d’applications de E dans F?

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3. Nombre d'arrangements. Activité 1 On veut former des mots à trois lettres distinctes, avec les lettres A, B, C, D, E et F .

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Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

A l’aide d’un arbre de choix, déterminer le nombre de mots possibles.

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Activité 2 Soit E un ensemble à p éléments  p     et F un ensemble à n éléments  n     . Quel est le nombre d’applications injectives de E dans F? On dit que f est injective lorsque pour tous x et x' de E tels que x ≠ x', on a : f(x) ≠ f(x').

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Définition Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que 1  p  n .  On appelle arrangement de p éléments de E tout p-uplet d’éléments deux à deux distincts de E.  On appelle permutation de n éléments de E tout n-uplet d’éléments deux à deux distincts de E.

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Théorème Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que 1  p  n .  Le nombre d’arrangements de p éléments de E est l’entier naturel noté A pn , (on lit " A, n, p "), tel que A pn  n  (n  1)    (n  p  1) 

n! (n  p) !

 Le nombre de permutations des n éléments de E est égal à

A nn

Par convention

 n! .

A n0  1

Application 1. On organise une course entre huit personnes, un podium revient à déterminer le premier le deuxième et le troisième de cette course. Combien y a-t-il de podiums possibles ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Dans une classe de 30 élèves, on veut choisir 4 élèves pour remplir les rôles suivants :  Un élève sera délégué auprès du conseil d’administration du lycée.  Un élève sera responsable du cahier d’appel de la classe. Un élève sera chargé de la collecte des fonds pour organiser des sorties extrascolaires. Un élève sera chargé des relations auprès des professeurs. 1. Un même élève ne peut pas remplir deux rôles. Combien y a-t-il de choix possibles ? 2. Un même élève peut remplir plus qu’un rôle. Combien y a-t-il de choix possibles ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

Application 2.

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Application 3. Un sac contient 9 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 9. 1. On tire successivement et sans remise quatre boules de l’urne. Déterminer le nombre de résultats possibles. 2. On tire successivement et avec remise quatre boules de l’urne. Déterminer le nombre de résultats possibles. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Application 4. Etant donné un mot, on appelle anagramme de ce mot , tout autre mot obtenu en plaçant les lettres dans un ordre quelconque. On ne s'occupe pas de savoir si le mot obtenu est sensé ou non. 1. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot MATHS ? 2. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot POSSIBLES ? 3. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot SUCCESSIVEMENT ?

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Nombre d’anagrammes de n lettres ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….  Le nombre d'anagrammes d'un "mot" de n ……………………………………………………………………………………………………………. lettres distinctes est de n!

 Si une lettre est répétée p fois, il faut diviser le ……………………………………………………………………………………………………………. nombre précédent par p! …………………………………………………………………………………………………………….  Si plusieurs lettres sont répétées, on effectue la division comme au  pour chacune. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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4. Nombre de combinaisons. Activité 1 On considère l’ensemble E = { a, b, c, d }. 1. Dénombrer les parties de E à un élément, les parties à trois éléments, les parties à quatre éléments. 2. On convient que la seule partie de E a zéro élément est la partie vide et on note P(E) l’ensemble de toutes les parties de E. Determiner card(P(E)). ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Définition Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que 0  p  n . On appelle combinaison de p éléments de E toute partie à p éléments de E.

Théorème Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que 0  p  n . Le nombre de combinaisons de p éléments de E est l’entier naturel noté C pn , (on lit " C, n, p "), tel que : C pn 

n! p!(n  p) !

Application 1. Un sac contient 9 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 9. On tire simultanément quatre boules de du sac. Déterminer le nombre de résultats possibles. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Application 2. Une société industrielle emploi 7 techniciens. L’administration veut choisir 3 d’entre eux pour participer à un stage. Déterminer le nombre de choix possibles. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Application 3. On tire simultanément deux jetons de l’urne. 1. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. Combien y a-t-il de tirages possibles si on suppose que les jetons sont verts ? 3. Combien y a-t-il de tirages possibles si on suppose que les jetons sont de même couleur ? 4. Combien y a-t-il de tirages possibles si on suppose que les jetons portent le même numéro ? 5. Combien y a-t-il de tirages possibles si on suppose que les jetons sont verts et portent le même numéro ? ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. Remarque

……………………………………………………………………………………………………………. card P E    ............... …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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La plupart des situations de dénombrement vus en 3ème peuvent être assimilé à un tirage de p boules d’une urne contenant n boules 1  p  n  . Type de tirage

Simultanément

Successivement sans remise

Successivement avec remise

Résultat

Ordre

Nombre de tirages possibles

II- Définition d’une probabilité sur un ensemble fini Vocabulaires  Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard Exemple : le lancé d’un dé

 les éléments de E sont appelés événements élémentaires. Exemple : {1}  Une partie A de E est appelée événement. A = {2, 4, 6}

Définition Soit E l’univers fini d’une expérience aléatoire et P(E) l’ensemble des événements de E. On appelle probabilité sur E, toute application P : ...................................... telle que : .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

 L’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers des cas possibles. Exemple E = {1,2,3,4,5,6}

Vocabulaires  Le triplet (E, P (E), p) est appelé espace probabilisé fini.  L’événement E est appelé événement……………...........................................................  L’événement vide est appelé événement…………….......................................................  L’événement contraire d’un événement A est noté ........................................................  Deux événements sont dits incompatibles si........................................................

Propriété Soit (E, P (E), p) un espace probabilisé fini et A et B deux événements de E.

 

 p A  ……………..........................................................................................................  p  A  B   ……………....................................................................................................  Si A  B   alors p  A  B   ……………....................................................................  Si A1 , A2 ,……….., An sont deux à deux incompatibles alors : p  A 1  A 2    A n   …………….................................................................................. n

 p a   …………….......................................................... i1

i

Application. On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que la probabilité d’apparition de 6 est le triple de la probabilité d’apparition de chacun des chacune des faces portant les numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. 1. Déterminer la probabilité de chaque événement élémentaire. 2. Déterminer la probabilité de chacun des événements : A :> B : > 3. On considère l’événements suivant : C :> calculer p  C  , p  A  C  ) et p  A  C  . ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

 Si E  a1,a2 ,an  alors

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III- Equiprobabilité Vocabulaires Lorsqu’on lance une pièce de monnaie bien équilibrée, on jette un dé non pipé ou On effectue un tirage au hasard, les issues ont la même probabilité de réalisation, On dit qu’on est présence d’une situation d’équiprobabilité.

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Théorème et définition Soit E l’univers fini d’une expérience aléatoire dans une situation d’équiprobabilité et P(E) l’ensemble des parties de E. L’application P définie de P(E) dans [0,1] par : p a  

1 pour tout événement card E 

élémentaire a est une probabilité sur E, appelée Probabilité uniforme.

Propriété Si (E, P (E), p) un espace probabilisé fini tel que la probabilité p est uniforme, alors : pour tout événement A de E, p  A   …………………………………..............................…....... …………………………………..............................….………………………………….............................

Application 1. Dans une vitrine d’un bijoutier sont exposés 3 bracelets, 3 bagues , 7 colliers et 7 montres. Au cours de la nuit, un voleur a cassé la vitrine mais, surpris, il s’est enfuit en prenant 4 bijoux au hasard . Calculer la probabilité de chacun des événements : B :> C :> D :> ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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A :>

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Application 2. Un jury veut attribuer un prix littéraire et demande à ses membres de classer par ordre de préférence 3 romans sur 10 proposés, sur ces 10 romans, 3 sont étrangers et 7 son français. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A :>. B:>

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C:>.>>

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Application 3. On range quatre livres sur trois étagères. 1. Calculer la probabilité pour que les livres soient tous rangés sur la même étagère. 2. Calculer la probabilité pour que chaque livre soit rangé sur une étagère différente. 3. Calculer la probabilité pour qu’il y ait au moins deux livres rangés sur une même étagère. 4. Calculer la probabilité pour que seulement deux livres soient rangés sur la même étagère. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Application 4. Une chaine de télévision organise un sondage, auprès de 500 téléspectateurs pour déterminer quels sont les films qu’ils apprécient. On donne ci-dessous les résultats. • 150 téléspectateurs n’aiment ni les films policiers, ni les films de science fiction. • 120 téléspectateurs n’aiment pas les films de science fiction et aiment les films policiers. • 200 téléspectateurs aiment les films policiers et n’aiment pas les dessins animés. • 180 téléspectateurs n’aiment ni les films policiers, ni les dessins animés. On choisit un téléspectateur au hasard parmi ceux qui ont été interrogés. Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous. 1. Le téléspectateur aime les films policiers ou les films de science fiction. 2. a. Le téléspectateur n’aime pas les films de science fiction. b. Le téléspectateur aime les films de science fiction. 3. a. Le téléspectateur n’aime pas les dessins animés. b. Le téléspectateur aime les dessins animés. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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IV. Probabilité conditionnelle - Evénements indépendants 1. Probabilité conditionnelle Activité 1 On tire simultanément deux boules du sac. On considère les événements suivants A « Obtenir deux boules portant le même numéro », B « Obtenir deux boules vertes » 1. Calculer la probabilité de chacun des événements A et B. même numéro ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

2. Sachant qu’on a obtenu deux boules vertes quel est la probabilité qu’elles soient de

Théorème et définition  Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini B événement tel que p B   0 . L’application pB de P(E) dans [0,1], définie pour tout événement A par :

pB  A  

p  A  B p B 

est .............................................................................................................

 L’application pB ainsi définie s’appelle ………....................................................................... Le réel pB  A  est noté ………..................................................................................................

Conséquence (principe des probabilités composées) Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini B événement tel que p B   0 alors pour tout événement A, p  A  B   ..................................................................................

Application 1. Dans une population donnée, 15 % des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus atteints de la maladie Ma, 20 % ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4 % ont la maladie Mb. On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants : A " l'individu est atteint de la maladie Ma " B " l'individu est atteint de la maladie Mb"

2. En déduire p B  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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1. Calculer p(A), p(B / A), p(A  B), p(A), p(B / A) et p(B  A).

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Remarque ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….  la somme des probabilités des branches partant d'une même racine est toujours égale à 1. …………………………………………………………………………………………………………….  la probabilité d'un chemin est égale au produit ……………………………………………………………………………………………………………. des probabilités des branches de ce chemin.

 la probabilité d'un événement est la somme ……………………………………………………………………………………………………………. des probabilités des chemins correspondant à cet ……………………………………………………………………………………………………………. événement.

Application 2. Lors d’un concours la première épreuve est une épreuve de mathématiques, la deuxième épreuve est une épreuve de sciences physiques. Un élève a 80% de chance de réussir la première épreuve, s’il réussit la première épreuve il aura 75% de chance de réussir la deuxième épreuve, et s’il ne réussit pas la première épreuve il aura 40% de chance de réussir la deuxième épreuve.

1. Déterminer p(M), p(S \ M), p(S  M), p(S \ M) et p(S  M) . 2. En déduire p  S  . 3. Déterminer p M / S  .

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On désigne par M l’événement « l’élève réussit la première épreuve » et par S l’événement « l’élève réussit la deuxième épreuve ».

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Application 3.

1. a. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade et vaccinée ? Quelle est la probabilité qu’elle soit malade et non vaccinée ? b. En déduire la probabilité pour qu’un individu soit malade. 2.

Calculer la probabilité pour qu’un individu bien portant soit vacciné.

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Pour prévenir l’extension d’une certaine maladie on vaccine 60% d’une population à risques. Le vaccin n’étant pas infaillible, 10% des personnes vaccinées attrapent la maladie. En revanche, 30% des individus non vaccinés ne sont pas malades.

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Application 4. On tire une boule du sac rouge que l’on place dans le sac bleu puis on tire une boule de ce dernier.

2. a. Calculer la probabilité pour la boule tirée du sac bleu porte le numéro 4. b. La boule tirée du sac bleu porte le numéro 4, calculer la probabilité pour celle tirée sac rouge ne porte pas le numéro 4. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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1. a. Calculer la probabilité pour la boule tirée du sac bleu soit jaune. b. La boule tirée du sac bleu est jaune calculer la probabilité pour celle tirée sac rouge soit jaune.

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Application 5. Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :  s'il a arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant le (n + 1)ième est 0,8;  s'il n'a pas arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6 .

Soit An est l'événement ''le gardien arrête le nième tir''.





1. a. Donner les valeurs de p  A n1 \ A n  et p A n1 \ A n pour tout entier n  1.





b. Exprimer p  A n1  A n  et p A n1 \ A n en fonction de pn  p  A n  . c. Déduire que, pour tout entier n  1, on a : p  A n1   0,2  p  A n   0,6. 2. a. Pour tout entier n  1, on pose Un  pn  0,75. b. Montrer que Un  est une suite géométrique dont on précisera la raison . c. Déterminer lim pn. n

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 la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7

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2. Evénements indépendants Activité 1

A « Obtenir un numéro pair », B « Obtenir un multiple de 3 », C « Obtenir un multiple de 6 ». Calculer la probabilité de chacun des événements A, B, C, A  B et A  C. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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On jette un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On considère les événements.

Définition Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini et A et B deux événements de E. On dit A et B sont indépendants lorsque p  A  B   .......................................................... c'est à dire si p B   0 , alors p  A / B   ............................................................................... ....................................................................................................................................................

Activité 2 On tire une boule du premier sac et une boule du deuxième . Calculer la probabilité de l'evenement suivant : S « La somme des numéros obtenus est égale à 8»

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Activité 3

lancé de cinq flèches Calculer la probabilité de la situation ci-dessous

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lancé de deux flèches Calculer la probabilité de la situation ci-dessous.

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Activité 4 Une expérience consiste à tirer au hasard une boule du sac bleu (S1) et une boule sac rouge (S2) à les mettre le sac noire (S3), puis à tirer au hasard une boule du sac noire. Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Bi, (respectivement Ri ) l’évènement « on tire une boule bleu de l’urne Si » (respectivement « on tire une boule rouge de Si »).

2. a. Calculer la probabilité des évènements B1  B2  B3 , et B1  R2  B3 . b. En déduire la probabilité de l’évènement B1  B3 . c. Calculer la probabilité de l’évènement R1  B3 . 3.

Déduire la probabilité de l’évènement B3 .

4.

Les évènements B1 et B3 sont-ils indépendants ?

5.

Sachant que la boule tirée sac (S3) est bleue, quelle est la probabilité que la boule tirée de (S1) soit rouge ?

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1. Compléter l’arbre de probabilités suivant :

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3. Formule des probabilités totales Définition Soit E un ensemble fini, les parties B1,B2,,Bn forment une partition de E, si ................... ........................................................................................................................................................

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Théorème. Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini B1,B2,,Bn des événements formant une partition de E tel que p Bi   0 pour tout i  {1,2,n} . Alors pour tout événement A,

p  A   .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

Application 1. On suppose que 3 entreprises A, B et C fabriquent trois types de microprocesseurs utilisés dans les ordinateurs se partagent le marché à raison de 25 % pour A, 35 % pour B, 40 % pour C. Les pourcentages de commandes non conformes sont : 5 % pour les microprocesseurs de A, 4 % pour ceux de B et 2 % pour ceux de C. Dans un lot constitué de microprocesseurs dans les proportions indiquées pour A, B et C, on prélève un microprocesseur.

2. Sachant que le microprocesseur présente un défaut de fabrication, quelle est la probabilité qu’il soit du type A ? ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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1. Quelle est la probabilité qu’il soit non conforme ?

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Application 2. On choisit au hasard un sac du quel on tire simultanément deux boules. 1. Calculer la probabilité d’obtenir deux boules jaunes. 2. Sachant que les boules tirées sont jaunes, quelle est la probabilité qu’elles proviennent du sac bleu ?

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V- Variables aléatoires ou aléa numériques Activité 1 On tire simultanément deux boules du sac. On gagne 2 dinars pour chaque boule portant un numéro impair obtenue et on perd 3 dinars pour chaque boule portant un numéro pair obtenue. On désigne par X le gain algébrique. Déterminer les valeurs prises par X et leurs probabilités correspondantes. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Définition 1 Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini. On appelle aléa numérique ou variable aléatoire toute application ................................... ........................................................................................................................................................

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Vocabulaires et notations  L'événement a  E tq X  a   xi est noté .................................................................  L'ensemble X E  est noté est l'ensemble des valeurs prises par X.

Définition 2 Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini. On appelle loi de probabilité de X ou distribution de X, l'application ................................ ...........................................................................................................................................................

Remarque Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire telle que

X(E)  x1,x 2,...xn  .  Les événements  X  x1  ,  X  x 2  ,....  X  x n  forment une partition de E. 

n

 p  X  x   ................................ i1

i

On tire simultanément 3 boules du sac et on désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules bleues obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Application 1.

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Application 2. Une épreuve consiste à tirer une boule du sac rouge que l'on place dans le sac vert, puis on tire une boule du sac vert, que l'on place dans sac rouge. On désigne par X l'aléa numérique égale nombre de boules bleues dans le sac rouge après chaque épreuve. Déterminer la loi de probabilité de X.

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VI- Espérance - variance - écart-type et fonction de répartition d'un aléa numérique 1. Espérance-variance-écart-type d'une variable aléatoire Définition 1 Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire telle que

X(E)  x1,x 2,...xn  . On appelle espérance mathématique de X ou moyenne de X et on note E(X) le réel défini par : E  X   ....................................................................................

Exemple.

Calculer E(X) ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Propriétés Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini, X et Y deux variables aléatoires sur E alors pour tous réels a et b :  E  X  a   …………………………….................................................................................  E  aX  bX   ………………………….................................................................................

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Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire X.

Remarque Si X est une variable aléatoire qui désigne le gain algébrique dans un jeu, alors on dit que:  le jeu est équitable si ..................................................................................................  le jeu est favorable (pour le joueur) si ......................................................................  le jeu est défavorable (pour le joueur) si ..................................................................

Exemple. Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire X.

Calculer E(X) et interpréter le résultat obtenu.

Définition 2 Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire telle que

X(E)  x1,x 2,...xn  .  On appelle variance de X on note V  X  le réel défini par : V  X   ...................................

Propriété Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini, X et Y deux variables aléatoires sur E alors

V  X   ……………………………............................................................................................

Exemple 1. Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire X.

Calculer V  X  et   X  .

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 On appelle écart-type de X on note   X  le réel défini par : V  X   ..................................

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Exemple 2. Un joueur utilise un dé pipé à 6 faces. La probabilité Pk de voir apparaitre la face partant le numéro k est donnée par le tableau suivant :

a et b étant deux nombres réels. On appelle X la variable aléatoire correspondant au numéro de la face obtenue après un lancer.

2. Calculer V  X  et   X  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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1. Sachant que l'espérance de X est : E  X   2,65 , déterminer a et b.

Exemple 3. Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes notées A et B. On admettra que 5% des appareils sont concernés par la panne A, 3% par la panne B et 1% par les deux. On prélève au hasard un appareil dans la production. On note :

• A l'événement : "L'appareil présente la panne A." • B l'événement : "L'appareil présente la panne B." L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication de 200D. La réparation d'une panne A coûte 60D à l'entreprise, la réparation d'une panne B coûte 40D et la réparation des deux pannes coûte 100D. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque appareil, associe son prix de revient total (coût de fabrication et coût de la réparation éventuelle). 1. Établir le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2. Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Interpréter. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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2. Fonction de répartition d'une variable aléatoire Activité 1 Le tableau ci-dessous défini la loi de probabilité d'une variable aléatoire X.

Soit l'application F :   x 

0,1 p  X  x

.

Déterminer l'expression de F puis la représenter graphiquement. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

Définition 2 Soit (E, P(E), p) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire sur E. On appelle fonction de répartition de X, l'application définie sur  dans 0,1 par : ........................................................................................................................................................

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Remarques Si X(E)  x1,x 2,...xn  .  • Si x  ,x1 alors F  x   ................................................................................................ • Si x   x1,x 2  alors F  x   ................................................................................................ • Si x   x 2 ,x 3  alors F  x   ................................................................................................ • • • • Si x   xn1,xn  alors F  x   ............................................................................................... • Si x   xn ,  alors F  x   ................................................................................................

 Pour tout i  2,3,...,n , F  xi   F  xi1   .............................................................................

VII- Loi binomiale Activité 1 On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne. On désigne par X l'aléa numérique égale au nombre de boules bleues apparues. Déterminer la loi de probabilité de X.

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1

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Théorème et définition Soit une expérience aléatoire constituée de n épreuves identique, indépendantes et n'ayant que deux issues succès ou échec. On désigne par p la probabilité de l'évènement succès. On considère la variable aléatoire X associant à cette expérience le nombre de succès réalisés au cours des n épreuves. Alors la loi de probabilité de X est donnée par :

p  X  k   .........................……….......................................… ,k  {..............................} On dit que X suit ...................……….............................................................................

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Notation : La loi binomiale de paramètres n et p est notée ...................................................

Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Alors :

E  X   ……………………… V  X   ...............................   X   ..........................................

Application 1. On dispose d'une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'avoir pile est égale à 0,3. On lance cinq fois la pièce de monnaie. On considère la variable aléatoire X associant le nombre de pile après les cinq lancées. 1. a. Calculer à 10-4 prés p  X  2  . b. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer E  X  , V  X  et   X  . ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….

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Chapitre 5 : Dénombrement et Probabilités Kais Nsib_2020-2021

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Application 2. On lance cinq flèches. Quel est la probabilité d’atteindre la zone bleue exactement trois fois?

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Application 3. Combien de fois au moins faut-il lancer le dé pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 soit supérieure ou égale à 0,999.

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VIII- Exercices Exercice 1  Si elle est orangée il gagne 5 points.  Si elle est bleue il perd 3 points.  Si elle est jaune il la laisse la boule à l’extérieur du sac et il tire de nouveau une boule.  Si celle-ci est orangée il gagne 4 points  Si elle est bleue il perd un point.  Si elle est jaune il ne gagne rien et ne perd rien. Soit X l’aléa numérique qui à chaque partie associe le gain algébrique réalisé par le joueur. 1. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Prouver que le jeu est équitable. c. Soit l’évènement S : « le gain algébrique du joueur est positif ou nul » .Calculer p(S). 2.

L’organisateur du jeu décide d’offrir une récompense à celui qui à l’issue de cinq parties consécutives réalise au moins quatre fois S. Quelle est la probabilité pour que le joueur obtienne une récompense?

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Un joueur tire une boule du sac.

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Exercice 2 (On donnera le résultat arrondi au millième) Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :  92 % des jouets sont sans défaut de finition;  parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;  2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :  F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;  S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ». 1. a. Déterminer p(F), p(S / F) et p(S  F) . b. Montrer que p(S / F) 

1 . 4

c. Déterminer p(S) . d. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 Dinars, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 Dinars. On désigne par X la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Calculer l’espérance mathématique de X. 3.

On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise a. Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. b. Calculer l’espérance mathématique de y.

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2.

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Exercice 3 (On donnera le résultat arrondi au millième) Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville. La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année. A) L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné. Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :  40% de la population est vaccinée ;  8% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;  20% de la population a contracté la grippe. On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements : V: « la personne est vaccinée contre la grippe» G : « la personne a contracté la grippe» 1.

Calculer p(G) ; p(G / V) et p(V  G).

2. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à 0,28. La personne choisie est grippée. Calculer la probabilité qu’elle soit vaccinée.

B) Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville. Après la période hivernale, on interroge au hasard n habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées. 1.

2.

Dans cette question seulement, on suppose que n = 10. a. Déterminer la probabilité qu’exactement 7 des 10 personnes interrogées soient vaccinées. b. Calculer l'espérance mathématique de X. On considère l'évènement Bn :>. a. Exprimer en fonction de n la probabilité de l'évènement Bn. b. Combien de personnes, au minimum devra-t-on interroger pour que p(Bn) soit supérieur à 0,99 ?

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3.

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Exercice 4 Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :  pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris ;  pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris. Une animalerie achète les alevins à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second. 1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois. On considère les évènements suivants : A : « Le poisson provient du premier éleveur » ; B : «Le poisson provient du deuxième éleveur » ; V : « le poisson est vivant un mois plus tard». a. Calculer p(A) ; p(V / A) et p(A  V). b. Montrer que p(V)  0,92. c. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? (On donnera une valeur approchée à 10−2 près) 3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 5D si le poisson est rouge, 2D s’il est gris et perd 1D s’il ne survit pas. Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

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d. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?

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" Il n'est pas nécessaire de rendre les mathématiques plaisantes : elles sont une source de plaisir du haut degré. Il faut se donner du mal pour qu'elle soient ennuyeuses . Hélas dans tous les pays, la plupart des programmes scolaires réussissent très bien à dégouter des mathématiques les enfants avant qu'ils aient l'âge de dix ans. Les mathématiques ne sont pas qu'une série de recettes de calcul qu'il faut appliquer avec prudence et rigueur : ce sont au contraire, des idées avec lesquelles on peut jouer. Le plus triste est que l'apprentissage des mathématiques est long et il ne reste que peu de temps libre pour traiter, à l'école, les aspects intéressants de la discipline." Ian stewart