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2.1. Estimación_conceptos, tipos e importancia Flipbook PDF
2.1. Estimación_conceptos, tipos e importancia
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Unidad 2 Estimación puntual y de intervalo. 2.1. Estimación: conceptos básicos, tipos e importancia. 2.2. Estimación puntual de la media, varianza, proporciones de la población. 2.3. Estimación de intervalo.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Objetivos: Conocer qué material constituye la base de la inferencia estadística y en qué se basa. Definir un estimador puntual. Definir un nivel de confianza. Definir las estimaciones puntuales y de intervalo, y conocer sus limitaciones. Conocer los criterios para seleccionar un buen estimador. Conocer el error de muestreo y la distribución muestral. Conocer el teorema del límite central y comprobar que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Introducción: • Todos hacemos estimaciones. • Base de la inferencia estadística: teoría de probabilidad para manejar la incertidumbre en la toma de decisiones. • La inferencia estadística está basada en la estimación y en las pruebas de hipótesis (inferencias acerca de las características de las poblaciones a partir de la información proporcionada por las muestras). • Se trata de inferir algo acerca de características de una población a partir de la información adquirida de una muestra.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Tipos de estimaciones y conceptos: • Dos tipos para hacer estimaciones de las características de una población: estimación puntual y estimación de intervalo. • Estimación puntual (estimador puntual): Es un solo número que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. Consiste en un solo valor (punto) deducido de una muestra para estimar el valor de una población. Estadístico calculado a partir de información de la muestra para estimar el parámetro poblacional. Notas: 1) Una estimación puntual es insuficiente debido a que sólo tienen dos opciones: es correcta o está equivocada. 2) Una estimación puntual es mucho más útil si viene acompañada por una estimación del error que podría estar implicado.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Tipos de estimaciones y conceptos: • Dos tipos para hacer estimaciones de las características de una población: estimación puntual y estimación de intervalo. • Estimación de intervalo (intervalo de confianza): Es un conjunto de valores que se utiliza para estimar un parámetro de la población. Es un enfoque que presenta más información y del que se espera estimar el parámetro poblacional. Conjunto de valores que se forma a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. La probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza. Nota: Una estimación de este tipo indica el error de dos maneras (por la extensión del intervalo y por la probabilidad de que el verdadero parámetro poblacional se encuentre dentro del intervalo).
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Estimador y estimaciones: conceptos. • Estimador: Estadístico de la muestra utilizado para estimar un parámetro poblacional. Ejemplos: µ sσ pπ • Estimación: Es un valor numérico específico observado de un estadístico (estimador). Ejemplo: Hacemos una estimación si tomamos una muestra y calculamos el valor que toma nuestro estimador en esa muestra. Suponga que calculamos la lectura media de un odómetro (kilometraje) a partir de una muestra de taxis en servicio y encontramos que es 156,000 kilómetros. Si utilizamos este valor específico para estimar el kilometraje de la flotilla de taxis completa, el valor obtenido de 156,000 kilómetros sería una estimación.
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Criterios para seleccionar un buen estimador: Debido a que algunos estadísticos son mejores estimadores que otros, podemos evaluar la calidad de un estadístico como estimador mediante el uso de cuatro criterios: 1. 2. 3. 4.
Insesgado. Eficiente. Consistente. Suficiente.
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Criterios para seleccionar un buen estimador: 1. Insesgado: Se refiere al hecho de que una es un estimador no sesgado de una µ, porque la media de la distribución muestral de las medias de las muestras tomadas de la misma población es igual a la media de la población misma. (véase Excel). 2. Eficiente: Se refiere al tamaño del error estándar del estadístico. Si comparamos dos estadísticos de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cuál de ellas es un estimador más eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar o la menor desviación estándar de la distribución muestral.
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Criterios para seleccionar un buen estimador: 3. Consistente: Se refiere a que si al aumentar el tamaño de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor del estadístico se aproxima bastante al valor del parámetro poblacional. Si un estimador es consistente, se vuelve más confiable al tener tamaños de muestra más grandes. 4. Suficiente: Es cuando se utiliza tanta información de la muestra que ningún otro estimador puede extraer información adicional acerca del parámetro de población que se está estimando.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Búsqueda del mejor estimador: Un estadístico de la muestra dado no siempre es el mejor estimador de su parámetro poblacional correspondiente. Ejemplo.
Población con distribución simétrica, en la que los valores de la mediana y de la media coinciden. La sería un estimador imparcial de la mediana de la población. La sería un estimador consistente de la mediana de la población puesto que, al aumentar n, el valor de la tenderá a acercarse bastante a la mediana de la población. La sería un estimador más eficiente de la mediana de la población que la mediana de la muestra misma, ya que en muestras grandes, la tiene un error estándar menor que la de la mediana de la muestra. Al mismo tiempo, la mediana de la muestra de una población con distribución simétrica sería un estimador imparcial y consistente de la media de la población, pero no el más eficiente, porque en muestras grandes su error estándar es mayor que el de la media de la muestra.
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Error de muestreo: • Cada muestra es una parte de la población analizada que ayuda a determinar sus características. • Es poco probable que la media de cada muestra sea igual a la media de la población. • Es poco probable que la desviación estándar de cada muestra sea también igual a la desviación estándar de la población. • Se espera que exista una diferencia entre un estadístico de la muestra y un parámetro de la población que se analiza. • La diferencia ( -μ) es el error de muestreo.
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Error de muestreo: Ejemplo. María y Pedro Solari administran un hotel de la ciudad donde dan alojamiento y desayuno. El negocio tiene ocho habitaciones. Se presenta el número de estas ocho habitaciones alquiladas diariamente durante junio de 2021.
Se pide: a) Calcular la media poblacional. b) En Excel seleccione tres muestras aleatorias de 5 días y calcule la media muestral. c) Compare la media de cada muestra con la media poblacional y comente qué significa la diferencia. d) Con una población de 30 valores y muestras de 5 valores, ¿qué cantidad de muestras son posibles?.
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Error de muestreo: Solución.
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Error de muestreo: Solución.
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Error de muestreo: Solución.
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Ejercicio 45.
Véase Excel.
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Ejercicio 46.
Véase Excel.
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Distribución de muestreo: • Existe la posibilidad de que se presente un error de muestreo cuando se emplean los resultados del muestreo para aproximar un parámetro poblacional. • De lo anterior surge el concepto de distribución muestral de la media. • Si organizamos las medias de todas las muestras posibles en una distribución de probabilidad, el resultado recibe el nombre de distribución muestral de la media. • Distribución muestral de la media es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de un determinado tamaño muestral de la población.
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Distribución de muestreo: En resumen • La media de las medias de las muestras es exactamente igual a la media de la población. µ =µ • La dispersión de la distribución muestral de la media es más estrecha que la distribución poblacional. • La distribución muestral de la media suele tener forma de campana y se aproxima a la distribución de probabilidad normal.
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Distribución de muestreo: Ejemplo.
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Distribución de muestreo: Solución.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Distribución de muestreo: Solución.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Distribución de muestreo: Solución.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Distribución de muestreo: Solución.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Ejercicio 47.
Véase Excel.
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Ejercicio 48.
Véase Excel.
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Teorema del límite central. ¿Qué sugiere las gráficas a) distribución de la población y b) distribución de muestreo?
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Teorema del límite central. ¿Qué sugiere las gráficas a) distribución de la población y b) distribución de muestreo? 1) La media de la distribución de muestreo de la media será igual a la media de la población, sin importar el tamaño de la muestra, incluso si la población no es normal. 2) Al incrementarse el tamaño de la muestra, la distribución de muestreo de la media se acercará a la normalidad, sin importar la forma de la distribución de la población.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Teorema del límite central. ¿Qué sugiere las gráficas a) distribución de la población y b) distribución de muestreo?
1)
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ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Teorema del límite central. ¿Qué sugiere las cuatro distribuciones de probabilidad de la gráfica?
2)
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Teorema del límite central. La relación entre la forma de la distribución de la población y la forma de la distribución de muestreo se denomina teorema del límite central. El teorema del límite central, el más importante de la inferencia estadística, asegura que la distribución de muestreo de la media se aproxima a la normal al incrementarse el tamaño de la muestra. Hay situaciones teóricas en las que el teorema del límite central no se cumple, pero casi nunca se encuentran en la toma de decisiones práctica.
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Teorema del límite central: Importancia. Permite usar estadísticas de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de población, sin saber sobre la forma de la distribución de frecuencia de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra. La aplicación del teorema a la distribución muestral de medias permite utilizar la distribución de probabilidad normal para crear intervalos de confianza de la media poblacional y llevar a cabo pruebas de hipótesis.
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Teorema del límite central: Importancia. En el caso de muestras aleatorias grandes, la forma de la distribución muestral de la media se aproxima a la distribución de probabilidad normal.
Teorema del límite central: Conclusiones. La aproximación es más exacta en el caso de muestras grandes que en el de muestras pequeñas. Permite razonar sobre la distribución de las medias muestrales sin ninguna información acerca de la forma de la distribución de la población de la que se toma la muestra. El teorema del límite central se cumple en el caso de todas las distribuciones.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Teorema del límite central: Enunciado. Si todas las muestras de un tamaño en particular se seleccionan de cualquier población, la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal, y esta aproximación mejora con muestras más grandes. Nota: Sin importar la forma de la distribución de la población, esta converge hacia una distribución normal (véase gráficas siguientes). Los especialistas en estadística consideran que una muestra de 30 o mayor es lo bastante grande para aplicar el teorema del límite central.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Teorema del límite central: Resumen gráfico.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Teorema del límite central: Resumen gráfico.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Teorema del límite central: Resumen gráfico.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Teorema del límite central: Ejemplo. La empresa Dentsmile tiene 40 empleados, y el gerente desea comprar planes de salud para sus colaboradores. Antes de tomar la decisión, el gerente decide formar un comité de cinco empleados para que estudie la propuesta y elija el mejor plan de salud. Sin embargo, el gerente cree que la opinión de los empleados más recientes difiere de los más antiguos por la experiencia que tienen. Si el gerente selecciona al azar este comité: a) ¿Qué puede esperar en términos del promedio de años que llevan con el gerente los miembros del comité? b) ¿Cuál es la forma de la distribución de los años de experiencia de todos los empleados (la población) en comparación con la forma de la distribución muestral de la media? Los años de servicio (redondeados al año inmediato) de los 40 empleados que actualmente están en nómina son los siguientes:
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA. Teorema del límite central: Ejemplo.
Distribución de los años de experiencia de la población de los 40 empleados.
Conclusiones: La distribución de años de servicio tiene sesgo positivo, pues unos cuantos empleados han laborado por un periodo extenso (seis empleados han laborado 10 años o más). Como el negocio creció, el personal se incrementó en los últimos cinco años. De los 40 empleados, 18 han laborado en la compañía dos años o menos.
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Teorema del límite central: Ejemplo. ¿Cómo elegiría el comité? Anota en papeles los años de servicio de cada uno de los cuarenta empleados, los mete en una funda y selecciona al azar cinco empleados. Los años de servicio de estos cinco empleados son: 1, 9, 0, 19 y 14 años. Calcula la media de esta muestra: = (1+9+0+19+14)/5 = 8.60 años
¿Cómo se compara el resultado anterior con la media de la población? Se calcula la media de la población: µ = (11+4+18+…+10+2+3)/40 = 4.80 años La diferencia entre y la µ recibe el nombre de error de muestreo (3.80 años), y éste valor obtenido se debe al azar. Por consiguiente, si el gerente selecciona a estos cinco empleados para formar el comité, los años medio de servicio de la muestra sería mayor que el de la media poblacional.
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Teorema del límite central: Ejemplo. ¿Qué sucedería si el gerente colocara de nuevo los papeles en la funda y toma otra muestra de cinco empleados? ¿Esperaría que la media de esta segunda muestra fuera exactamente la misma que la anterior? ¿ ? ¿Cuántas muestras posibles de tamaño 5 se pueden tomar de la población de 40 empleados? ¿ ?.
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Teorema del límite central: Ejemplo. ¿Qué sucedería si el gerente colocara de nuevo los papeles en la funda y toma otra muestra de cinco empleados? ¿Esperaría que la media de esta segunda muestra fuera exactamente la misma que la anterior? No, aunque pueden coincidir. ¿Cuántas muestras posibles de tamaño 5 se pueden tomar de la población de 40 empleados? Aplicando fórmula de combinaciones se podrían obtener 658,008 muestras posibles de tamaño 5 que se pueden tomar de la población de 40 empleados.
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Teorema del límite central: Ejemplo.
Tabla con 25 muestras aleatorias de 5 empleados
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Error estándar de la media para poblaciones infinitas. • Se puede demostrar que la media de la distribución muestral es la media poblacional. μ = μ • Si la desviación estándar de la población es 𝜎, la desviación estándar de las medias muestrales es σ/ 𝒏, donde n es el número de observaciones de cada muestra. • De lo anterior se deduce que para una población infinita el error estándar de la media es σ/ 𝒏 (aplica para población infinita o muestras de población finita con reemplazo). Desviación estándar de la distribución muestral de la media es: σ = 𝜎/ 𝒏
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Error estándar de la media para poblaciones finitas. • Para una población finita y muestreo sin reemplazo, hay que agregar a la fórmula de error estándar de la media (σ/ 𝑛) el multiplicador de población finita.
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Error estándar de la media para poblaciones finitas.
• Los estadísticos se refieren a la fracción n/N como la fracción de muestreo, porque es la fracción de la población N contenida en la muestra. • La regla generalmente aceptada es: si la fracción de muestreo es menor a 0.05, no es necesario usar el multiplicador de población finita.
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Error estándar de la media: conclusiones. • La media de la distribución muestral de medias es exactamente igual a la media poblacional si selecciona todas las muestras posibles del mismo tamaño de una población dada. Es decir μ = μ Aunque no se seleccione todas las muestras, es de esperar que la media de la distribución muestral de medias se aproxime a la media poblacional. • Habrá menos dispersión en la distribución muestral de las medias que en la población. Si la desviación estándar de la población es 𝜎, la desviación estándar de la distribución muestral de medias es σ/ 𝒏 . Podemos comprobar que si se incrementa el tamaño de la muestra, disminuye el error estándar de la media.
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y DE INTERVALO ESTIMACIÓN, CONCEPTOS, TIPOS E IMPORTANCIA.
Error estándar de la media: comprobación. • Habrá menos dispersión en la distribución muestral de las medias que en la población. Si la desviación estándar de la población es 𝜎, la desviación estándar de la distribución muestral de medias es σ/ 𝒏 . Podemos comprobar que si se incrementa el tamaño de la muestra, disminuye el error estándar de la media.
σ = 𝜎/ 𝒏
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Error estándar de la media: conclusiones.
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