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CP-15 幾 何 (I) 與線相關的角
(直線上的鄰角)
(同頂角)
(同位角,AB//CD)
(對頂角)
(錯角,AB//CD)
(同旁內角,AB//CD)
三角形及多邊形 N 條邊的凸多邊形 內角和 外角和 N 條邊的正凸多邊形
(內角和)
(外角)
所有內角均相等; 所有外角均相等。
(等角對等邊)
(等腰底角)
全等三角形 ( S=邊 , A=角 , R=直角 , H=斜邊 )
(SSS)
(SAS)
(AAS)
(ASA)
(RHS)
相似三角形 ( A=角 ) 及
(三邊成比例)
(AAA)
畢氏定理
(兩邊成比例且夾角相等)
畢氏定理的逆定理
若
，則
若
，則
例 1:
練習 1:
圖中，AB // CD。 求 x。 A
A
B
32
圖中，AB // CD。 求 x。 C
45 E
E
60
x
x
C
50
D
B
D
繪畫直線 EF 使 EF // AB // CD。 設 DEF = a 和 BEF = b。 A
32 b a x
E C
b = 32
B
F D
(錯角，AB // EF)
a + b = 60 a + 32 = 60 a = 28
例 2:
圖中，直線 AB 和 CD 相交於 E。 求 x。
練習 2:
圖中，ABD、BCE 和 CAF 都是直線。求 x。 F
B
4x – 5 D
A x – 58
E 322
x + 22 C
A
x – 70
B x D
AEC = 4x – 5
（對頂角）
ACE + 322 = 360
（同頂角）
ACE= 38
在△ACE 中， AEC + ACE + EAC= 180
（△內角和）
(4x – 5) + 38 + (x + 22) = 180 5x + 55 = 180 5x = 125 x = 25
C
E
例 3:
圖中，D 和 E 分別是 BC 和 AC 上的點。
練習 3: 圖中，ADB 和 AEC 都是直線。 求 x 和 y。
AB = AC 和 CD = DE。 求 x 和 y。 A
A
48 D
63 39
E y
E y
70
x
x
B
B
C
D
C
在 △ABC 中， ∵ AB = AC
（已知）
∴ ACB = ABC
（等腰 △ 底角）
= 70
在 △CDE 中， ∵ CD = DE
（已知）
∴ DEC = DCE
（等腰 △ 底角）
y = DCE = ACB = 70 BDE = DCE + DEC
（△ 外角）
x = 70 + 70 = 140
例 4:
一個 n 邊形的內角和是一個二十邊形的內角 練習 4: 一個正多邊形的每個內角是 160。 和的一半。 求 n 的值和 n 邊形的內角。
n 邊形的內角和
二十邊形的內角和
1 × (20 – 2) × 180 2
(n – 2) × 180 =
(n – 2) × 180 = 1620 n–2 =9 n = 11
n 邊形的內角
(11 2) 180 11
147
(a)
求該多邊形的邊數。
(b)
求該多邊形的內角和。
例 5:
圖中，PS 和 TQ 相交於 R。 PQ = TS 和
練習 5:
圖中，BCDE 是一條直線。 AB = AE 和 BC = DE。
QPT = STP。 Q
S R
(a)
證明 △ABC △AED 。
(b)
證明 ACD = ADC。 A
P
(a)
T
證明 △PQT △TSP。
(b) 利用 (a) 部的結果，證明 △PQR △TSR。 (c)
(a)
證明 △PRT 是一個等腰三角形。
PQ = TS
（已知）
QPT = STP
（已知）
PT = TP
（公共邊）
∴ △PQT △TSP
(SAS)
(b) △PQT △TSP
(c)
B
C
E
D
（在 (a) 部已證）
∴ PQR = TSR
（全等 △ 的對應角）
QRP = SRT
（對頂角）
PQ = TS
（已知）
∴ △PQR △TSR
(AAS)
△PQR △TSR
（在 (b) 部已證）
∴ PR = TR
（全等 △ 的對應邊）
∴ △PRT 是一個等腰三角形。
例 6:
圖中，ACD、AGE、FED 和 BCGF 都是直線。 練習 6: AB // FD。證明 △ABC ~ △DFC。 A
圖中，BCDE 是一條直線。 AB // EF 和 AD // CF。ADB = 83 和 CEF = 45。 證明 △ABD ~ △FEC。
B A
B
C G 83 F
E
45 E
ABC = DFC
（錯角，AB // FD）
BAC = FDC
（錯角，AB // FD）
ACB = DCF
（對頂角）
∴ △ABC ~ △DFC
(AAA)
C
D
D
F
例 7:
圖中，△ACE ~ △BCD。 求 AE。
練習 7:
圖中，△ABC ~ △ADE。 求 AD 和 BD。
14 cm 8 cm
B
A
A C
6 cm
4 cm D
B 5 cm
C
E
D
∴
AE AC = BD BC AE =
=
E
10 cm
△ACE ~ △BCD （相似 △ 的對應邊）
14 cm × BD 8 cm
14 × 4 cm 8
= 7 cm
例 8:
圖中， BCD 是一條直線。ABD = 90，
練習 8:
圖中，BCD 是一條直線。BAE = BCE =
BC = 5，AC = 13 和 AD = 37。
90，AB = 9，AE = 12，CD = 4 和 DE = 5.8。
求 AB 和 CD。
求 BC，取答案準確至三位有效數字。 A
A
12 37
9
13
E 5.8
B 5
D
C
在 △ABC 中， AC2 = AB2 + BC2 132 = AB2 + 52
（畢氏定理）
AB = 132 5 2 = 12 在 △ABD 中， AD2 = AB2 + BD2 372 = 122 + BD2 BD = 37 2 12 2 = 35 CD = 35 – 5 = 30
（畢氏定理）
B
C
D 4
鞏固練習 1.
圖中，ACD 及 ECB 均為直線。 若 EAC CAB 及 EA EB ，求 x 。
2.
圖中，ABCD 為一平行四邊形。 求 BDE 。
3.
圖中，ABC 為一直線。 若 BD// CE，則 DCE
4.
圖中， ABCD 為一正方形。 若 CEF 為一等邊三角形，則 CBF
5.
圖中， x
6.
圖中，ABCDE 為一正五邊形，而 ABFG 為一正方形。求 x 。
7.
圖中， x =
8.
圖中，AY 及 CY 分別為 BAX 及 DCX 的角平分線。 若 AXC 100 ，則 AYC
9.
圖中，AB // CD 及 AC =BD。 若 CAD 20 及 ADB 80 ，則 ADC
10.
圖中，ABCD 為一菱形且 ABE 為一直線。 若 BCE 40 及 BC CE ，則 CAD
11.
圖中， x
12.
圖中，C 為 AB 上的一點使得 AC AD 。 若 AB // ED ，求 ADE 。
13.
圖中， D 為 AB 上的一點使得 AD BD CD 。 求 x y 。
14.
圖中，BED 為平行四邊形 ABCD 的對角線。 若 DCE 20 、 AED 130 及 CE DE ， 則 BAE
15.
若 AC = BD 且 AB // DC， 圖中有多少對相似三角形?
16.
17.
18.
圖中，AEB 及 ADC 均為直線。 (a)
證明 ADE ~ ABC
(b)
求 ED 。
圖中， ABCD 及 AGFE 均為直線。 (a)
證明 ABG ~ ADE
(b)
求 GF。
圖中，ABC 及 AED 均為直線。 若 AB = 8 cm ， BC = 4 cm 及 CD = 9 cm，則 BE =
19.
圖中， AC 3AB 。 求 AB ，答案須準確至三位有效數字。
20.
圖中，連結 A 及 F 的線段的長度為
21.
若一凸 n 邊形的內角和為該多邊形外角和的 4 倍，則 n =
22.
若一正 n 邊形的每一內角均為 144 ，則 n
23.
正 24 邊形的每一內角均為
24.
若一正 n 邊形的外角和為該多邊形一內角的 3 倍，則 n
25.
26.
圖中，AD 為 BAC 的角平分線。 已知 ABD ACD 。 (a)
證明 ABD ACD 。
(b)
若 BAD 31 及 ACD 17 ，求 CBD 。
圖中，AB = CD 、 AE // CD 、 BAE 108 及 BCD 126 。 (a)
求 ABC 。
(b)
證明 ABC DCB
27.
圖中，C 為 DE 上的一點。 AE 與 BC 相交於 F 。 已知 AC = AD 、 BC = DE 及 BCE CAD 。 (a)
證明 ABC AED 。
(b)
若 AD // BC ， (i)
證明 ABF ~ DEA ;
(ii)
寫出其他兩個與 ABF 相似的三角形。
28.
圖中，AB // CD 。 E 為 AD 上的一點使得 AE = AC 。 求 x 、 y 及 z。
29.
圖中，ABC 及 DEF 均為直線。 已知 AC // DF 、 BC = CF 、 EBF 90 及 BED 110 。 求 x 、 y 及 z。
30.
31.
下圖顯示一平行四邊形 ABCD。 對角線 AC 和對角線 BD 交於 E。
(a)
證明三角形 ABC 和三角形 CDA 全等。
(b)
逐對地寫出所有其他全等三角形。
圖中， ABCDE 為一正五邊形，CDFG 為一正方形， BG 的延線與 AE 交於 P。
求 BCG 、 ABP 及 APB 。
公開試題目(卷一) 1.
圖中， ABCD 為四邊形。 對角線 AC 與對角線 BD 相交於 E 。 已知 BE CE 及 BAC BDC 。
(a)
證明 ABC DCB。
(b)
考慮在圖中的三角形。 (i)
有多少對全等三角形?
(ii)
有多少對相似三角形?
[ HKDSE-2013-I-Q7 ]
( 4 分 )
公開試題目(卷一) 2.
圖中， D 為 AC 上的一點使得 BAC CBD 。
(a)
證明 ABC ~ BDC 。
(b)
假定 AC 25 cm 、 BC 20 cm 及 BD 12 cm 。
BCD 是否一直角三角形? 試解釋你的答案。
[ HKDSE-2014-I-Q9 ]
( 5 分 )
公開試題目(卷一) 3. 圖中， ABCD 為一正方形。 E 及 F 分別為 BC 及 CD 上的點使得 AE BF 。 AE 與 BF 相交於 G 。
(a)
證明 ABE BCF 。
(b)
BGE 是否一直角三角形? 試解釋你的答案。
(c)
若 CF 15 cm 及 EG 9 cm ， 求 BG 。
[ HKDSE-2015-I-Q13 ]
( 7 分 )
公開試題目(卷一) 4. 圖中， ABC 為三角形。 D 、E 及 M 均為 BC 上的點使得 BD CE 、 ADC AEB 及 DM EM 。
(a)
證明 ACD ABE 。
(b)
假定 AD 15 cm 、 BD 7 cm 及 DE 18 cm 。 (i)
求 AM 。
(ii)
ABE 是否一直角三角形? 試解釋你的答案。
[ HKDSE-2016-I-Q13 ]
( 7 分 )
公開試題目(卷二) A.
B.
1.
1.
C.
D.
A.
B.
C.
2.
A.
B.
C.
D.
3.
圖中， AB 1 cm 、 BC CD DE 2 cm 及 EF 3 cm 。 求 A 與 F 間之距離準確至最接近的 0.1 cm 。
2.
D.
A.
7.2 cm
B.
7.4 cm
C.
8.0 cm
D.
8.1 cm
[ HKDSE-Sample-II-Q9 ]
圖中， AB 4 cm 、 BC CD DE 8 cm 及 FG 9 cm 。 求 AEH 的周界。 [ PP-DSE-2011-II-Q18 ]
3.
A.
60 cm
B.
74 cm
C.
150 cm
D.
164 cm
圖中， AB BC 且 D 為 BC 上的一點使得 CD DE 。 若 AB // CE ， 求 CDE 。 [ PP-DSE-2011-II-Q19 ]
A.
52
B.
58
C.
64
D.
76
公開試題目(卷二) A.
B.
C.
D.
4.
A. 5.
4. 圖中， ABCD
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
6.
為一正方形。 延長 BC 至 G 使得 CDG 25 。 E 為 AB 上的一點使得
AE = CG 。 若 F 為 BC 上的一點使得 CDF 20 ，則 DFE [ HKDSE-2014-II-Q16 ]
5.
A.
60 。
B.
65 。
C.
70 。
D.
73 。
根據圖中所示，下列何者必為正確? I.
a c 180
II.
a b c 180
III.
b c 360 [ HKDSE-2016-II-Q15 ]
6.
A.
只有 I
B.
只有 II
C.
只有 I 及 III
D.
只有 II 及 III
圖中， ABC 為一直線。 若 AB 24 cm 、 AD 40 cm 、 BD 32 cm 及 CD 68 cm ， 則 BC [ HKDSE-2016-II-Q16 ]
A.
43 cm 。
B.
54 cm 。
C.
55 cm 。
D.
60 cm 。
公開試題目(卷二) A.
B.
C.
D.
7.
A. 8.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
9.
7. 圖中， ABCD 為一平行四邊形。 E 為 CD 上的一點使得 BE = CE 。 若 ADC 114 ， 則 ABE [ HKDSE-2016-II-Q17 ]
8.
A.
48 。
B.
57 。
C.
62 。
D.
66 。
圖中，AB = CD， CAB ECD 及 ABC CDE。 下列何者必為正確? I.
ABC CDE
II.
ABC ~ EAC
III.
EAC 為一等腰三角形 [ HKCEE-2000-II-Q24 ]
9.
A.
只有 I
B.
只有 II
C.
只有 I 及 III
D.
只有 II 及 III
根據圖中所示，下列何者必為正確? [ HKCEE-2008-II-Q28 ]
A.
a b c
B.
a b c 90
C.
a c b 540
D.
a b c 720