Data Loading...
מבחן לנוער מוכשר קובץ הסברים Flipbook PDF
מבחן לנוער מוכשר קובץ הסברים
100 Views
47 Downloads
FLIP PDF 132.35KB
4פעולות החשבון
תלמיד\ה יקר\ה, המספרים המופיעים בתרגילי חשבון במבחנים כגון זה שאליו תיגשו אינם נבחרים באקראי .המספרים בתרגילים הם כאלו שמאפשרים לפתור את התרגילים לא בצורה של טכניקה מאונכת (חיבור מאונך, חיסור מאונך ,כפל מאונך וחילוק מאונך). אנחנו ב iQute-מאמינים שאם "תדברו" חשבון בצורה נכונה תוכלו לפתור תרגילים גם ללא טכניקה .למה אנחנו מתכוונים? חשוב להשתמש במילה "פְּעָמִים" ולא במילה "כפול". 2x7 7x2אלו 2תרגילים שונים בעלי תוצאה שווה:
7( 7x2=2+2+2+2+2+2+2פְּעָמִים )2
2( 2x7=7+7פְּעָמִים )7
ואיך זה עוזר? דוגמאות: 5( 5x108פעמים . )108 אין צורך להשתמש בכפל ארוך. 10( 10x108פעמים )108הם 1,080ולכן 5פעמים 108הם .540
תרגיל
7( 7x2.5פעמים )2.5
פתרון
7( 7x2פעמים )2הם 14 7( 7x0.5פעמים )0.5הם 3.5 תוצאת התרגיל תהיה 17.5
תרגיל
35( 35x11פעמים )11
פתרון
נשתמש בחוק החילוף. 10( 10x35פעמים )35הם 350 ועוד פעם אחת 35היא .35 תוצאת התרגיל היא 350+35=385

1 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
בבית הספר למדנו שהתרגיל 18:3משמעותו לחלק את 18ל 3 -חלקים. הפעולה נקראת "חילוק לחלקים". יש עוד סוג של חילוק הנקרא "חילוק להכלה" ,כלומר ,בתרגיל 18:3נבדוק כמה פעמים 3נכנס בתוך .)6( 18 מתי זה יכול לעזור? לדוגמא בתרגיל הבא1470:15 : אפשר להשתמש בטכניקה של חילוק ארוך ,אך זוהי דרך ארוכה ומסורבלת. המספר 15נכנס במספר 100 1500פעמים. ההפרש בין 1500ל 1470 -הוא ( 30שהם פעמיים .)85 ולכן המספר 15נכנס ב" 1470 -רק" 98פעמים. דוגמא נוספת209:11 : 11נכנס ב 20 220 -פעמים. ההפרש בין 220ל 209 -הוא .11 ולכן המספר 11נכנס ב" 209 -רק" 19פעמים. פילוג בחילוק שוב ,מתוך ידיעה שהמספרים במבחנים אינם נבחרים באקראי ,כדאי לבדוק גם את האפשרות של פילוג בתרגילי החילוק. 176:8 נשתמש בחוק הפילוג 176:8=160:8+16:8 = 22נוח וקצר יותר מתרגיל חילוק ארוך.

סדר פעולות החשבון קדימות של הפעולות: בתרגילי שרשרת הכפל והחילוק קודמים לחיבור ולחיסור .עם זאת ,הכפל והחילוק אינם קודמים אחד לשני, וכך גם החיבור והחיסור .לפיכך ,כשניגשים לפיתרון תרגיל ,מבצעים קודם כל את כל פעולות הכפל והחילוק (משמאל לימין) ,ורק אחר כך את פעולות החיבור והחיסור (גם כן משמאל לימין). לדוגמה6x8:2-4x4+7= 48:2-4x4+7= 24-16+7= 8+7 = 15 : סוגריים באמצעות הסוגריים ניתן לשנות את סדר הפעולות הרגיל ,ולאכוף סדר פעולות חדש .סוגריים קודמים ל4- פעולות החשבון. נוסיף סוגריים לתרגיל האחרון:  6x(8:2)-4x(4+7)= 6x4-4x11= 24-44= -20
2 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
סדרות מספרים
בסדרות מספרים מסודרים המספרים לפי חוקיות מסוימת ,או נוסחה .יש לקרוא את הסדרה משמאל לימין, למצוא את החוקיות של הסדרה ולהמשיך את הסדרה לפי אותה חוקיות (נוסחה) .מומלץ מאוד לסמן קשתות בין המספרים ומעל כל קשת לכתוב את "התרגיל". קראו את הדוגמאות -הן בסדר קושי עולה ואח"כ התנסו בערכה. תרגיל  פתרון
3 5 7 9 11 13 נמצא את הקשר בין שני המספרים הראשונים בסדרה 3 ,ו:5 - התרגיל בין 3ל( 5 -הפעולה הנדרשת כדי להגיע מ 3-ל )5-הוא .+2 +2
נרשום זאת כך5 :
.3 +2
+2
5
ומה ״התרגיל״ בין 5ל7 ?7-
3
נכתוב על הקשתות מהו הקשר בין יתר המספרים בסדרה: +2
11
13
7
9
+2
5
3
כדי להתקדם בסדרה ממספר למספר הסמוך לו עלינו להוסיף ,2וזאת לאורך הסדרה כולה. הנוסחה של הסדרה הזאת היא .+2 נמשיך את הסדרה לפי אותה נוסחה ונוסיף לה את שני המספרים הבאים: +2
+2
13 +2
17
+2
11 +2
15
+2
9 +2
13
11
+2
+2
7
5
3
+2
+2
+2
9
7
+2
5
3
3 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
סוגים של סדרות
הסדרות הנפוצות ביותר הן סדרות שהקשר בין המספרים הסמוכים בהן הוא קשר של חיבור ( )+וחיסור (.)- יש סדרות שהקשר בין המספרים הסמוכים הוא קשר של כפל וחילוק ,יש גם קשרים מורכבים יותר כמו ביטוי חשבוני. כאשר בסדרה יש הבדל גדול בין זוג אחד או יותר של מספרים סמוכים צריך לבדוק אם הנוסחה כוללת קשר של כפל או חילוק . x2
לדוגמא 32 -
x2
16
x2
x2
4
8
2
הנוסחה בסדרה זו היא פעמים )x2( 2 x3
+2
x3
+2
x3
+2
3 5 15 17 51 דוגמא נוספת 53 - 1 ההפרש בין 5ל 15 -ובין 17ל 51 -הוא גדול וכדאי לבדוק קשר של כפל .הנוסחה בסדרה זו היא פעמים 3 ועוד.)x3 +2( 2 כאשר בסדרה גם שברים או מספרים מעורבים ,כדאי לבדוק ,אם בסדרה קשר של כפל או חילוק. +2
+2
x2
x2
+2 1
x2 1 – 2
2–2 5 7 14 לדוגמא 16 - הנוסחה של הסדרה היא פעמים 2ועוד .)x2 +2( 2
1 – 4
ישנן סדרות מספרים הבנויות משתי סדרות או יותר לסירוגין. צריך לפתור כל סדרה לחוד לפי הנוסחה שלה . +0
לדוגמא 5 -
7 +1
4
+0
7 +1
3
+0
7
2
7
+1
הסדרה מורכבת מ 2-סדרות :סדרה אחת בנויה מהמספר ,7וסדרה שנייה מתחילה במספר 2והנוסחה שלה ועוד .)+1( 1
4 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
-1
דוגמא נוספת 5 -
5
-1
6
-1
7
4
+1
3
8
+1
גם סדרה זו מורכבת מ 2 -סדרות לסירוגין הסדרה הראשונה מתחילה במספר 8והנוסחה שלה פחות .)-1( 1 הסדרה השנייה מתחילה במספר 3והנוסחה שלה ועוד .)+1( 1 +0
דוגמא נוספת -
+0
+0
3 4 8 3 5 7 3 6 6 3 -1
-1
+1
+1
סדרה זו בנויה משלוש סדרות לסירוגין: הסדרה הראשונה מתחילה במספר 3והנוסחה שלה 0 הסדרה השנייה מתחילה במספר 4והנוסחה שלה ועוד .)+1( 1 והסדרה השלישית מתחילה במספר 8והנוסחה שלה פחות .)-1( 1 סוג נוסף של סדרות סכום (או מכפלה) של כל שני מספרים סמוכים שווה למספר שאחריהם .
9+14
לדוגמא -
1+4
1 4 5 9 14 23 5+9
4+5
בסדרה זו כל איבר שווה לסכום שני האיברים שלפניו .
5 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
שברים פשוטים -מושגים
מצורף קובץ המכיל מושגים בשברים פשוטים: • שבר פשוט • שבר מדומה • צמצום שברים • חיבור וחיסור שברים • כפל שברים פשוטים • חילוק שברים פשוטים • מציאת החלק מהשלם • מציאת השלם לפי חלקו
6 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
שבר פשוט שבר פשוט הוא מספר המייצג חילוק של מספר שלם אחד במספר שלם שני. מתחת לקו השבר נמצא המכנה -מציין לכמה חלקים חילקנו את השלם ומעל קו השבר נמצא המונה (סופר), המציין כמה חלקים יש במספר. 2 לדוגמא –3 -שלם חולק ל 3-חלקים שווים והשבר מייצג 2חלקים מתוך השלושה. חשוב להבין -קו השבר (–) והסימן חילוק ( ):הם ייצוג שונה לאותה הפעולה. כלומר, 1
–2 = 1:2חילקנו את השלם לשני חלקים ולקחנו חלק אחד . 2
–3 =2:3חילקנו את השלם לשלושה חלקים ולקחנו שניים . דוגמא לבעיה מילולית: חילקנו פיצה ל 3-חברים ,איזה חלק יקבל כל אחד?  = 1:3
1 – 3
חילקנו את הפיצה ל 3-חלקים וכל ילד יקבל שליש .
7 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מספר המורכב משלם ושבר קרוי מספר מעורב. לדוגמא 1 -ו-
1 – 3
שבר מדומה שבר מדומה הוא מספר שערכו גדול מ.1- בשבר מדומה המונה גדול מהמכנה. 3 לדוגמא -השבר –2הוא שלם אחד וחצי. לפעמים ,לצורך פיתרון תרגיל ,נעדיף להפוך את המספר המעורב לשבר מדומה. 8 6 2 2 לדוגמא 2 –3 -שווה בערכו ל 2( –3 + –3 -שלמים) כלומר ל .–3 2
דוגמא נוספת -את השבר המעורב 6 –5נהפוך לשבר מדומה. 30 —) בשלם 1יש 5חמישיות וב 6 -שלמים 6פעמים 5חמישיות שהן שלושים חמישיות ( 5 32 — 5
30
—+ = 5
2 – 5
הערה להורים- אנחנו ב iQuteלא מאמינים בלימוד של טכניקות ולכן לא נלמד את התלמיד להכפיל את השלם במכנה ולהוסיף את המונה .כאשר התלמיד מבין את משמעות הפעולה הוא לא צריך לזכור את הטכניקה.
8 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
צמצום שברים כאשר המונה והמכנה מתחלקים באותו מספר ניתן לצמצם את השבר .נעדיף שהשבר שלנו יהיה עם המספרים הקטנים ביותר האפשריים ,כך נוכל לחשב ביתר קלות. לדוגמא -
2 – 7
2 – 5
1 – 2
פחות נוח לעבוד עם שברים הנראים כך -
565 — 965
99 — 231
34 — 86
זו הסיבה שאנו מצמצמים את השבר ,נזכור שצמצום השבר אינו משנה את ערכו .פעולת הצמצום נעשית ע"י חלוקת המונה והמכנה במספר הגדול היותר האפשרי. :7 21 = 3 – — 7 49 :7
במידה ואנו מתקשים למצוא את המחלק הגדול ביותר ,ניתן לצמצם בשלבים:
4 — 5
=
8 — 10
16
—= = 20
32 — 40
ניתן לראות שחילקנו בכל שלב את המונה ואת המכנה ב 2-במקום לצמצם מיד ב 8 -שזה המחלק המשותף הגדול ביותר .
9 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
חיבור וחיסור שברים אין אפשרות לחסר או לחבר תפוחים מאגסים ,בננות מאשכוליות ו...שברים מסוגים שונים. פעולת חיבור וחיסור שברים יכולה להתבצע רק כאשר השברים הם מסוג זהה (שלישים ,חצאים ,רבעים)... כלומר -המכנה שלהם זהה. כאשר מחברים ומחסרים שברים בעלי מכנה זהה מחברים את המונים או מחסרים את המונים והמכנה נשאר כמו שהיה. לדוגמא -
1
3
–- 17– = 27
2
– 5– + 5– = 5
3 – 7
כאשר מחברים או מחסרים שברים בעלי מכנה שונה צריך להגיע למכנה זהה אפשר לעשות זאת ע"י הרחבה וצמצום. לדוגמא -
23 — 21
=
14 — 21
9
2
— = –+ 3 21 +
3 – 7
במחובר הראשון המכנה הוא ,7במחובר השני המכנה הוא ,3שניהם מספרים ראשוניים. נכפיל את שניהם ונקבל מכנה משותף .21 - כדי לשמור על ערך השבר נכפול את המונים במספר בו הגדלנו את המכנים :את המכנה 7הגדלנו פי 3ולכן נכפיל את המונה 3פי 3ונקבל .9את המכנה 3הגדלנו פי 7ולכן נכפיל את המונה 2פי 7ונקבל .14
דוגמא נוספת = -
7x4 7 — 10
+
3x5 3 — 8

המכנה המשותף של 8ו 10-הוא 40
43
—= 1 40
43 — 40
=
28 — 40
+
15 — 40
במידת הצורך נצמצם את התוצאה או נציג כשבר מעורב .
10 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
כפל שברים פשוטים כפל של שבר בשבר :בכפל שני שברים ,כופלים את המונה במונה ואת המכנה במכנה. –x 12– = 18
1 – 4
כפל של שלם בשבר :כדי להכפיל שלם בשבר נהפוך את השלם לשבר. לדוגמא -
2
6
2
3
–3 x 7– = 1– x 7– = 7
חילוק שברים פשוטים כאשר מחלקים שברים אפשר לחלק מונה במונה ומכנה במכנה כמו בכפל. –: 12– = 12
: 25– = 42– = 2
1 – 4
: 14– = 22– = 1
8 – 10
= –: 15
אבל מה נעשה במקרה כזה?
2 – 8
2 – 3
בחילוק שברים כאלו נכפיל את השבר הראשון בשבר ההופכי של השני .השיטה נקראת "כפל בהופכי". 1
לדוגמא = 33– -
10 – 3
= –: 15– = 23– x 51
2 – 3
כפל של השבר הראשון (המחולק) בהופכי של השבר השני (המחלק) . איך עושים את זה? שימו לב לדוגמא:
הופכים את המונה והמכנה של המחלק
מוציאים שלמים ומצמצמים 3
1
–– = 1 = 1 12 4
15 – 12
=
3 – 2
x
5 – 6
= –: 23
5 – 6
אבל מה נעשה במקרה שהכופל הוא שלם? זכרו ,כל מספר שלם אפשר להפוך לשבר שהמונה שלו הוא המספר והמכנה (מספר החלקים שמחלקים את השלם) הוא .1 כופלים בהופכי של דוגמא - המספר השלם
4 – 15
=
1 – 3
4 – 5
x
= –: 3 = 45– : 31
4 – 5
כופלים את השלם בשבר ההופכי
דוגמא נוספת: =6
6 – 1
2
1
= –3 : 2– = 3 x 1 11 כל הזכויות שמורות iQute © 2014
הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מציאת החלק מהשלם את הנושא נסביר בעזרת 2דוגמאות.
תרגיל
בכיתה ו' 36 2תלמידים 12 .מתלמידי הכיתה הם בנים .איזה חלק מתלמידי הכיתה הם בנים? ננסח את הבעיה 12 :הם ___ מתוך .36
פתרון
–= 39– = 13
תרגיל
בטיול מ"ים לים" עברה קבוצת הצופים 45ק"מ במשך שלושה ימים .ביום הראשון צעדו החניכים 2 – 5מהדרך ,ביום השני עברו 18ק"מ וביום השלישי סיימו את כל המסלול .כמה ק"מ עברו ביום השלישי ואיזה חלק מהדרך עברו ביום השלישי?
פתרון
12 – 36
2
1
2
ביום הראשון עברו החניכים – 5מהדרך 5– .מהדרך היא 9ק"מ ו 5– -הן 18ק"מ. 4 2 ביום השני עברו החניכים – 5מהדרך ( 18ק"מ) ,כלומר ,ביומיים עברו –. 5 1 4 אם ביומיים הראשונים עברו החניכים – 5מהדרך ,ביום השלישי עברו – 5מהדרך – 9ק"מ . 
12 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מציאת השלם לפי חלקו נושא זה נלמד בעזרת 2דוגמאות:
תרגיל פתרון
תרגיל
פתרון
2
שרון אכלה 6סוכריות שהן – 3מהסוכריות שהיו לה .כמה סוכריות היו לשרון? 2
3
1
אם 6סוכריות הן – 3מכמות הסוכריות 3– ,מהסוכריות הן 3סוכריות ו( 3– -השלם) הם 9סוכריות .
7
בתחרות השחייה השתתפו 35שחיינים מהנבחרת .השחיינים שהשתתפו מהווים – 8ממספר השחיינים בנבחרת .כמה שחיינים בנבחרת? 7
1
אם 35שחיינים הם – 8מהנבחרת 8– ,מהנבחרת היא 35:7כלומר 5 ,שחיינים. 8 בנבחרת (שלם) 8פעמים 5שחיינים ( – 40 = ) 8שחיינים.
13 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מספרים עשרוניים -מושגים
מצורף קובץ המכיל מושגים במספרים עשרוניים: • מספר עשרוני • משבר פשוט למספר עשרוני • חיבור וחיסור מספרים עשרוניים • כפל וחילוק מספרים עשרוניים ב...10,100,1000 • כפל מספר עשרוני • חילוק מספר עשרוני • אומדן 
14 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מספר עשרוני 57.325 החלק השלם (משמאל לנקודה) עשרות יחידות נקודה עשרונית 5 7 .
החלק השברי (מימין לנקודה) עשיריות מאיות אלפיות 3 2 5
גם בשבר עשרוני נקבע ערך הספרה לפי מיקומה במספר. הספרה הראשונה מימין לנקודה מייצגת עשיריות ,הספרה השנייה מימין לנקודה מייצגת מאיות וכך הלאה.. לדוגמא  - 1
1
1
— — — 35.408 = 3x10 + 5x1 + 4x כך10 + 0x 100 + 8x 1000 :
או כך 35.408 = 3x10 + 5x1 + 4x0.1 + 0x0.01 + 8x0.001 :
15 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
משבר פשוט למספר עשרוני המספר העשרוני הוא ייצוג של שבר בשיטה העשרונית ,הנקודה משמשת הפרדה בין השלמים לשברים. בשיטה העשרונית עולה ערך הספרות פי 10מימין לשמאל ויורד פי 10אחרי הנקודה משמאל לימין .הספרה הראשונה מימין לנקודה מייצגת את מספר העשיריות במספר ,הספרה מימין לה את מספר המאיות במספר, הספרה מימין לה את מספר האלפיות וכך הלאה ... 1
1
— 1000 =0.001
1 — 10 =0.1
— =0.01 100
דוגמאות נוספות: 69
221
— 1000 =0.221
8 — 10 =0.8
— =0.69 100
כיצד הופכים שבר פשוט למספר עשרוני כשהמכנה אינו ?10 נרחיב את השבר עד למכנה 10או 100או ...1000 ואח"כ נהפוך למספר עשרוני. 5
25
1
—= 100 = 0.25
— = — = 0.5 2 10
1 — 4
יש שברים בהם ניתן להרחיב את השבר עד לקבלת מכנה 10וחזקותיו ואז להפוך למספר עשרוני 2
1
= 0.125
— = — = 0.2 5 10
125 — 1000
1
—  = 8
במקרים שלא נצליח להרחיב את המכנה ל 10 -או חזקה של , 10נבצע פעולת חילוק ארוך (זכרו -קו שבר (–) וסימן חילוק ( ):הם שני ייצוגים לאותה פעולה) = 1 : 3 = 0.333...
1 — 3
= 1 : 6 = 0.1666... = 1 : 9 = 0.111...
1 — 6
1 — 9
שימו לב -במקרים אלו לא מתקבל מספר עשרוני רגיל אלא ,מספר עשרוני מחזורי אין סופי (הספרה או הספרות האחרונות חוזרות על עצמן אין סוף פעמים).
16 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
חיבור וחיסור מספרים עשרוניים חיבור וחיסור במספרים עשרוניים נעשה כמו במספרים שלמים. מחברים ומחסרים עשיריות עם עשיריות ,מאיות עם מאיות וכך הלאה. בתרגילים שומרים על הנקודה העשרונית במקומה כדי לשמור על ערך מקומה של הספרה. לדוגמא 0.64 = 0.25 + 0.39 -
ומה נעשה במקרים כאלה?
= 2.6 + 3.02
= 0.4 - 0.02
במקרים בהם "חסרה" לנו ספרת מאות ,אלפים וכו' נכתוב את הספרה 0במקום החסר . לדוגמא -
2.6 + 3.02 = 5.62
0.4 - 0.02 = 0.38
שכן 0.4 = 0.40ו2.6 = 2.60 -
17 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
כפל וחילוק מספרים עשרוניים ב1000 ,100 ,10- לפי המבנה העשרוני ,לכל ספרה יש משקל שונה לפי מיקומה במספר .המשקל גדל פי 10כאשר עוברים מיקום אחד שמאלה וההפך. נייצג36.423 : החלק השלם (משמאל לנקודה) עשרות יחידות נקודה עשרונית 3 6 .
החלק השברי (מימין לנקודה) עשיריות מאיות אלפיות 4 2 3
לכן ,אפשר להציג כפל ב 10-כהזזת מקום אחד שמאלה ,כלומר להזיז כל ספרה למקום גבוה יותר פי עשרה . במקום להזיז כל ספרה ממש ,נזיז פשוט את הנקודה מקום אחד ימינה ,וכך למעשה ייראה כאילו כל הספרות זזו מקום אחד שמאלה . לסיכום :הכפלה ב 10-שקולה להזזת הנקודה העשרונית מקום אחד ימינה . דוגמא - הכפלה ב 100-שקולה להזזת הנקודה העשרונית 2מקומות ימינה וכך הלאה . 4.24 x 10 = 42.4 3.25 x 100 = 325.0 = 325 3.25 x 1000 = 3250 כפי שראינו הכפלה ב 100-שקולה להזזת כל ספרה שני מקומות ימינה . באותו אופן ,חלוקה ב 100-שקולה להזזת כל ספרה שני מקומות שמאלה. דוגמא 483.1 : 100 = 4.831 -
18 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
כפל מספר עשרוני כפל מספרים עשרוניים נעשה גם כן כמו במספרים שלמים .בשלב הראשון נכפול כרגיל ואחר כך נציב את הנקודה העשרונית במקומה. שימו לב לדוגמא הבאה176 x 0.1 = 17.6 : כפלנו כרגיל ואחר כך קבענו את מקומה של הנקודה העשרונית . איך?  סופרים כמה ספרות יש מימין לנקודה העשרונית ,בתרגיל הזה יש רק ספרה אחת ולכן מקומה של הנקודה העשרונית בתוצאה הוא אחרי ספרה אחת . נראה דוגמא נוספת14.6 x 32.7 = 477.42 : בתרגיל הזה יש שתי ספרות מימין לנקודה העשרונית ,ולכן בתוצאה ספרנו שתי ספרות ואחריהן קבענו את מקומה של הנקודה העשרונית .
לסיכום : נקבע את מקומה של הנקודה העשרונית לפי מספר הספרות המופיעות מימין לנקודה העשרונית בגורמים שכפלנו. שימו לב! לספרה 0מימין לנקודה העשרונית אין משמעות ולפיכך לא נספור אותה ,אנו יודעים ש 6 = 6.0 ולכן6.0 x 3.1 = 18.6 : כדי להבין טוב יותר את הסיבה שימו לב להסבר הבא : = 0.258
מאתים חמישים ושמונה אלפיות
258 — 1000
=
6 — 10
x
43 — 100
= 0.43 x 0.6 ארבעים ושלוש מאיות
הפכנו לשבר פשוט וביצענו פעולת כפל שש עשיריות
19 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
חילוק מספר עשרוני חילוק מספר עשרוני בשלם :דרך אחת לעשות זאת היא לחלק כרגיל ואחר כך לשים את הנקודה העשרונית במקומה ,כמו שעשינו בחיסור ובחיבור 2.48 : 2 = 1.24 בתרגיל כמו זה ,הפעולה פשוטה אך לפעמים זה לא מסתדר וצריך להרחיב את המחלק והמחולק כדי להעלים את הנקודה העשרונית ולבצע את החילוק בדרך פשוטה. איך עושים זאת? כדי להבין מדוע זה עובד ,שימו לב לתזכורת הבאה: ערכו של השבר נשמר אם מכפילים את המונה ואת המכנה באותו מספר! 5 25 — — = 20 = 100
1 – 4
כמו כן השבר הוא גם תרגיל חילוק: =1:4
1 – 4
המחלק והמחולק הם בעצם מונה ומכנה ולכן מותר לנו לכפול את שניהם באותו מספר כדי ל"העלים" את הנקודה העשרונית -לשם כך נכפול ב 10-או בחזקותיו עד ש"תעלם" הנקודה העשרונית ואחר כך נחלק כרגיל.
שימו לב לדוגמאות הבאות: 72 : 0.5 = 720 : 5 = 144 פתרון התרגיל
כופלים את המחלק והמחולק ב10-
תרגיל חילוק שלם במספר עשרוני
53.5 : 0.05 = 5350 : 5 = 1070 פתרון התרגיל
כופלים את המחלק והמחולק ב100-
תרגיל חילוק מספר עשרוני במספר עשרוני
20 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
אומדן במספרים עשרוניים בתרגילים מסובכים נוח לעשות אומדן של הפיתרון לפני הפיתרון השלם. אם אחת מבין התשובות מתאימה על פי האומדן אין צורך לחשב במדויק. השלב הראשון באומדן הוא למצוא את השלם או המספר העשרוני השלם הקרוב ביותר למספר העשרוני בתרגיל. לדוגמא :הצגת השבר 0.19בתור 0.2 פעולה זו נקראת עיגול. איך מעגלים? עיגול כלפי מעלה -כלפי ערך גדול יותר ,ועיגול כלפי מטה לערך קטן יותר. עיגול כלפי מעלה: אם ספרת המאיות גדולה מ 5-או שווה ל 5-אז מוסיפים 1לספרת העשיריות ושמים 0בספרת המאיות. לדוגמא 0.87 :הופך ל)0.9 =( 0.90- עיגול כלפי מטה: לדוגמא 0.42 :הופך ל)0.4 =( 0.40- כאשר עושים אומדן מחפשים קודם כל את המספר השלם הקרוב ביותר לכל אחד מהמספרים העשרוניים ומעגלים כלפי מעלה או כלפי מטה. לדוגמא3.1x 4.9 = : תוצאת התרגיל תהיה קרובה לתוצאת התרגיל  3X5
21 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
שברים ,אחוזים ומה שביניהם
מצורף קובץ המכיל מושגים באחוזים: • מהו אחוז • המרת שבר פשוט לאחוזים • המרת מספר עשרוני לאחוזים • בעיות אחוזים 
22 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
מהו אחוז אחוז הוא שם אחר למאית .בשלם 100מאיות= 1 . 1
100 — 100
50
ולכן 50%הם— = – :  100 2
ו 25% -הם= 4– :
25 — 100
1
ו 10%-הם– : = 10
10 — 100
1
משתמשים באחוזים בעיקר לצורך תיאור חלק מכמות ,לדוגמא 50%מהמשתתפים 30% ,מהמחיר וכדומה . את האחוזים אפשר תמיד להפוך לשברים פשוטים אם נוח יותר .
23 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
משברים לאחוזים המרת שבר פשוט לאחוזים באחוזים אנחנו מחלקים את השלם ל 100-חלקים 1% .הוא מאית ( כל שבר פשוט שמכנהו 100אפשר להפוך לאחוזים. — 100 = 75%
= 50%
50 — 100
— 100 = 10%
= 25%
25 — 100
5
לדוגמא  -
75
10
— 100 = 5%
= 1%
1 — 100
) 2% ,הם 2מאיות (
2 — 100
) וכךהלאה.
1 — 100
אך מה נעשה במידה ויש לנו שבר שמכנהו אינו ?100 במקרה כזה ננסה להרחיב את השבר לשבר שמכנהו 100או שנהפוך אותו למספר עשרוני (על ידי פעולת חילוק) ואחר כך לאחוזים .
= 25%
25 — 100
=
1 – 4
= 40%
40 — 100
=
2 – 5
= 12%
12 — 100
=
3 – 25
24 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
המרת מספר עשרוני לאחוזים 100%הם שלם המחולק ל 100-חלקים שווים ,במילים אחרות למאיות ולכן: 0.5 = 0.50 = 50% 0.3 = 0.30 = 30% 0.05 = 5% 0.15 = 15% פי כמה גדל המספר העשרוני כשהפכנו אותו לאחוזים? אפשר לראות שהמספר גדל פי 100ולכן נזכור זאת ככלל: כדי להפוך מספר עשרוני לאחוזים נכפול ב.100- וכדי להפוך אחוזים למספר עשרוני נחלק ב.100-
25 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
בעיות באחוזים איך פותרים בעיות באחוזים? לטיול בצופים יצאו 150חניכים .מהו אחוז החניכים שלא יצאו אם בצופים 200חניכים? 
דוגמא:
דרך א' -בדרך זו נציג את הבעיה כשבר פשוט ונפתור אותה:
מספר החניכים שלא יצאו
הפכנו משבר פשוט לאחוזים
= 25%
25 — 100
=
50 — 200
מתוך כלל החניכים
צמצמנו את השבר במטרה להגיע למכנה 100
דרך ב' 20 -חניכים הם 10%מ 200-ולכן 50חניכים הם 25%מ.200- 1
1
דרך ג' 50 -מתוך 200הם – .4כאמור 4– ,באחוזים הם .25%
דוגמא נוספת :כמה הם 25%מ?28- 1
1
25%הם – 4ו 4– -של 28הוא .7
ומה נעשה בתרגיל הבא? מהם 36%של ?52 1%של 52הוא
52 — 100
( 1%הוא למעשה מאית של המספר) .ו 36%-הם 36 x 1%
כלומר, 72
— = 18 100
52 — 100
36 xשהם .18.72
26 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
דרך והספק -מושגים
מצורף קובץ המכיל מושגים בדרך והספק: • בעיות תנועה • בעיות הספק 
27 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
בעיות תנועה כל בעיות התנועה מתבססות על המשוואה: מהירות Xזמן = דרך. ממשוואה פשוטה זו ניתן לבנות בקלות בעיות תנועה קלות ומסובכות. לדעתנו ,ב iQuteאין צורך לזכור נוסחאות בעל פה ,צריך להבין .אם מבינים את העיקרון ניתן לפתור כל בעיה מסוג זה. קראו את הדוגמאות -הן בסדר קושי עולה ואח"כ התנסו בערכה.
תרגיל
מכונית נוסעת במהירות של 60קמ"ש ( 60קילומטרים בשעה) במשך שעתיים .מה הדרך שנסעה המכונית? משמעות המהירות 60קמ"ש היא שבכל שעה עוברת המכונית 60קילומטרים .אם בשעה אחת עוברת המכונית 60ק"מ ,בשעתיים עברה 2X60ק"מ ,כלומר 120ק"מ.
תרגיל
מטוס טס במהירות של 800קמ"ש .על המטוס לעבור דרך של 2800ק"מ .כמה זמן תימשך הטיסה?
פתרון
בכל שעה עובר המטוס 800קילומטרים (מהירות 800קמ"ש). כדי למצוא בכמה זמן יעבור את המרחק נמצא כמה פעמים 800נכנס ב.2800-
פתרון
כלומר 2800:800 ,או
2800 — 800
(פעולת החילוק וקו השבר הם שני ייצוגים לאותה פעולה).
נצמצם את השבר ,תחילה את 2האפסים ונקבל
28 — 8
נצמצם ב 4 -ונקבל
7 — 2
שהם .3.5
את המרחק יעבור המטוס ב 3.5 -שעות.
תרגיל
רונית רצה בכל בוקר במהירות 12קמ"ש במשך 20דקות .איזה מרחק רצה רונית?
פתרון 
רונית רצה במהירות 12קמ"ש ,כלומר 12 ,ק"מ בכל שעה. 1 1 20דקות הן —3שעה .רונית רצה 12ק"מ בשעה וב —3 -שעה 4ק"מ.
28 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
תרגיל
שתי משאיות במרחק 600ק"מ יוצאות בו-זמנית זו לקראת זו .משאית אחת נוסעת במהירות 110 קמ"ש (עוברת בכל שעה 110קילומטר) והשנייה במהירות 80קמ"ש. מה יהיה המרחק בין שתי המשאיות אחרי שעתיים?
פתרון
בשעתיים עוברת המשאית הראשונה 2X110ק"מ כלומר 220ק"מ. המשאית השנייה עוברת 2X80ק"מ ,כלומר 160ק"מ. 2המשאיות עוברות בשעתיים 220+160ק"מ שהם 380ק"מ. המרחק שנותר ביניהן 600-380ק"מ = 120ק"מ  .
תרגיל
(רמת קושי גבוהה) שרון יוצאת מביתה לכיוון בית חברתה אורית ב 8:30 -בבוקר במהירות 4קמ"ש ,רבע שעה אחריה יוצאת אורית מביתה לעבר שרון במהירות 6קמ"ש. 1 – באיזו שעה יפגשו החברות אם המרחק בין שני הבתים הוא 3 2ק״מ.
פתרון 
1
בזמן נתון ,אותו אנו מחפשים ,עוברות הבנות יחד – 32ק״מ. את הזמן ,הנעלם ,נסמן ב t -שעות .בזמן tעוברת שרון t X4ק"מ . 1
אורית יוצאת רבע שעה מאוחר יותר ולכן עד הפגישה תלך במשך ( – ) t - 4שעות. 1 הדרך שתעבור אורית היא .) t - 4– ( X 6 1
עד הפגישה עוברות שתי החברות יחד – 32ק״מ . כלומר: 1
( t X4הדרך שהספיקה לעבור שרון עד הפגישה) ( .) t - 4– ( X 6 +הדרך שעוברת אורית עד 1 הפגישה) = – 32ק״מ. 1
1
–4xt + 6x)t - 4– ( = 32 נפתח את המשוואה -נשתמש בנקודה לסימון פעולת הכפל  1
1
–4t + 6t - 12– = 32 10t = 5 1
–t = 2 1
1
הבנות יפגשו חצי שעה אחרי ששרון יוצאת לדרך .שרון תלך – 2שעה ואורית תלך – 4שעה. 29 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
בעיות הספק פתרון בעיות הספק דומה מאוד לפתרון בעיות תנועה. המהירות מוחלפת בהספק והדרך מוחלפת בכמות .משוואת ההספק היא: הספק Xזמן = כמות לדעתנו ,ב iQuteאין צורך לזכור נוסחאות בעל פה ,צריך להבין .אם מבינים את העיקרון ניתן לפתור כל בעיה מסוג זה. קראו את הדוגמאות -הן בסדר קושי עולה ואח"כ התנסו בערכה.
תרגיל
מכונת קרמבואים מייצרת 4חבילות קרמבואים בכל 5דקות. כמה זמן יידרש לשם ייצור 20חבילות? 
פתרון
ב 5 -דקות מייצרת המכונה 4חבילות 20 .חבילות הן 5פעמים 4חבילות ולכן הזמן שיידרש הוא 5פעמים 5דקות 25 = 5x5 .דקות .
תרגיל
4ילדים מרכיבים פאזל ב 30-דקות .בכמה דקות ירכיבו את הפאזל 8ילדים (בהנחה שהילדים מרכיבים את הפאזל במהירות זהה)? 
פתרון
אם 4ילדים מרכיבים פאזל ב 30 -דקות ,ל 8-ילדים יידרש חצי מהזמן ,כלומר 15דקות .
תרגיל
למשאבה לוקח 5שעות למלא בריכה .בכמה זמן ימלאו את הבריכה 10משאבות (זהות למשאבה הראשונה) ?
פתרון
אם משאבה אחת ממלאה את הבריכה בשעה ,ל 10 -משאבות יידרש עשירית מהזמן 1\10 ,שעה היא 6דקות .
תרגיל
6מדפסות בעלות הספק זהה מדפיסות 540דפים בדקה .כמה דפים ידפיסו 10מדפסות (בעלות הספק זהה) במשך 4דקות? 
פתרון
6מדפסות מדפיסות 540דפים בדקה ומדפסת אחת מדפיסה בדקה 540:6דפים שהם 90 דפים 10 .מדפסות ידפיסו בדקה 900 ,10X90דפים וב 4 -דקות 4פעמים 900דפים. 4 x 900 - 3600דפים.
30 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :
תרגיל 
תוכי ז'אקו מפצח 150גרעינים ב 30 -שניות (בקצב אחיד) ,תוכי יוסי מפצח 160גרעינים ב40 - שניות .בהנחה שז'אקו ויוסי לא מתעייפים ומפצחים כל הזמן באותו קצב ,בכמה זמן "יחסלו" שקית של 270גרעינים?
פתרון 
תוכי ז'אקו מפצח 5=150:30גרעינים בשנייה . תוכי יוסי מפצח 4 =160:40גרעינים בשנייה . 2התוכים מפצחים 9גרעינים בשנייה ובמשך 30 = 270:9שניות . ב 30-שניות יסיימו התוכים לפצח את כל השקית (חילקנו את מספר הגרעינים בכמות הגרעינים שהתוכים מפצחים בשנייה) .
31 כל הזכויות שמורות iQute © 2014 הכנה למבחני איתור מחוננים ובתי ספר יחודיים ,קורסים במתמטיקה • טל'www.iQute.co.il • [email protected] • 054-7001033 :