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Propriété : Multiplier un nombre relatif par - 1 revient à prendre son opposé.
Exemples :
Remarque : cela signifie que pour tout nombre a relatif, a x ( - 1 ) = - a.
2.Multiplication de plusieurs nombres relatifs
Propriété : (généralité de la règle des signes) Le produit de plusieurs nombres relatifs est : positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs; négatif si il y a un nombre impair de facteurs.
Remarque :
Cette propriété est la généralisation de la règle des signes.
Exemples :
Il y a trois signes - et 3 est un nombre impair donc la produit A est de signe négatif.
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Il y a 158 signes - et 158 est un nombre pair donc B est de signe positif.
3. Nombre relatif inverse Propriété : Deux nombres relatifs sont des nombres relatifs inverses si leur produit est égal à 1. Soit a et b deux nombres relatifs. a et b sont dits "inverses" si et seulement si
.
Exemples :
L'inverse de 5 est L'inverse de
est
car car
; .
IV.Division de deux nombres relatifs Propriété : Le quotient de deux nombre relatifs, si il existe, est un nombre relatif ayant pour partie numérique le quotient des deux parties numériques et pour signe : positif si les deux nombres relatifs sont de même signe; négatif si les deux nombres relatifs sont de signes différents.
Exemple :
V. Expressions numériques et enchaînements d'opérations Méthode : On effectue en premier les calculs dans les parenthèses les plus intérieures. Puis, on calcule les puissances éventuelles. On effectue ensuite les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. Si il y a plusieurs multiplications et divisions qui se suivent, on effectue les calculs dans le sens de la lecture. Si il y a plusieurs additions ou soustractions successives, on effectue les calculs dans le sens de la lecture également.
Applications : Déterminer la valeur des expressions suivantes :
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Chapitre 1
4ème
Opérations sur les nombres relatifs I – Additions et soustractions de deux nombres relatifs : a) Additions : 1er cas : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : → on additionne les distances à zéro des deux nombres. → on met au résultat le signe commun aux deux nombres. Exemples :
A = (+3) + (+4) = (+7) B = (-5) + (-1) = (-6)
; ;
A=3+4=7 B = -5 – 1 = -6
2ème cas : Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : → on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande. → on met au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Exemples :
C = (-2,5) + (+4) = (+1,5) D = (+1,5) + (-6,5) = (-5)
; ;
C = -2,5 + 4 = 1,5 D = 1,5 – 6,5 = -5
b) Soustractions : Propriété : Pour soustraire un nombre relatif on ajoute son opposé. Exemples :
E = (+8) - (+5) = (+8) + (-5) = (+3) F = (+3) - (-1) = (+3) + (+1) = (+4) G = (-10) - (-2) = (-10) + (+2) = (-8)
c) Somme algébrique : Avant d'effectuer le calcul, on transforme les soustractions en additions puis on regarde s'il y a des nombres opposés dont la somme fait 0. On peut ensuite regrouper les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux. Exemples : H = (-5) + (+2) - (+5) - (-3) + (-2) + (-7) - (-4) H = (-5) + (+2) + (-5) + (+3) + (-2) + (-7) + (+4) H = (-5) + (-5) + (-7) + (+3) + (+4) H = (-17) + (+7) H = (-10) I = - 3,5 + 7 + 1,3 – 1,5 + 3,5 I = 8,3 – 1,5 I = 6,8
M. Hannon
Année 2009/10
Chapitre 1
4ème
II – Multiplication de deux nombres relatifs : a) Cas général : Règle des signes : → Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif. → Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Méthode de calcul : Pour calculer le produit de deux nombres relatifs : → on détermine d'abord don signe en utilisant la règle des signes. → on multiplie les deux nombres sans tenir compte de leurs signes. Exemples : 12×3,1 = 37,2
facteurs
;
4,8× – 2 = - 9,6
– 3,5× – 5 = 17,5
;
produit
b) Multiplication par (-1) : Lorsqu'on multiplie un nombre relatif par (-1) on obtient son opposé. Si x désigne un nombre relatif quelconque, on a x× – 1 = - x Exemples :
7× – 1 = - 7 ;
– 1×– 2,5 = 2,5
;
– 1×– 1 = 1
III – Multiplication de plusieurs nombres relatifs : Règle des signes : → Le produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair. → Le produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair. Méthode de calcul : Pour calculer le produit de plusieurs nombres relatifs : → on détermine d'abord son signe en utilisant la règle des signes. → on multiplie les nombres sans tenir compte de leurs signes. Exemples : – 25×12×– 4 = 1 200. Il y a deux facteurs négatifs donc on obtient « + » et 4×25×12 = 1 200 – 3× – 5×10× – 2 = - 300 Il y a trois facteurs négatifs donc on obtient « - » et 3×5×10×2 = 300
M. Hannon
Année 2009/10
Chapitre 1
4ème
Remarques : 1) Le produit de nombres relatifs ne dépend pas de l'ordre des facteurs et ne dépend pas de l'ordre des calculs. 2) Si l'un des facteurs est nul alors le produit est nul – 7,5×0 = 0
;
2,32×– 1,598×0× – 3 = 0
IV – Division de deux nombres relatifs : a) Règle des signes : Définition : Soient a et b deux nombres relatifs avec b≠0 . Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a. On le note Donc
a ou a÷b b
a ×b = a b
Attention : On n'a pas le droit de diviser par 0. Le quotient de (-35) par 5 est – 7 car – 7×5 = - 35. – 35 – 35÷5 = =-7 5
Exemple :
→ Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif. → Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Exemples :
– 3÷4 =
–3 3 = – = - 0,75 4 4
– 12,6÷ – 0,3 =
x =x ; 1 x ; =1 x
Si x est un nombre relatif, et si x≠0 :
0 =0 x
– 12,6 12,6 = = 42 – 0,3 0,3 x =-x –1
b) Valeurs approchées et encadrements : –4 4 ou encore – 3 3 Ce n'est pas un nombre décimal, la division ne s'arrête jamais. Le quotient de (-4) par 3 est négatif. Il se note – 4÷3 ou
M. Hannon
Année 2009/10
Chapitre 1
4ème
4 au centième est 1,33. 3 4 4 → Un encadrement de au dixième est 1,3 < < 1,4. 3 3 → Une valeur approchée de
4 au centième est – 1,33. 3 4 4 → Un encadrement de – au dixième est – 1,4 < – < - 1,3. 3 3 → Une valeur approchée de –
Sur une droite graduée cela donne :
Valeur sur l'axe 1
1,3
1,4
4
5,2
5,6
Valeur en cm
M. Hannon
×4
Année 2009/10