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Métodos de linealización Flipbook PDF
Métodos de linealización
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Métodos de linealización. Linealización por logaritmación. Puede ser:
Exponencial. Potencial.
Una función exponencial a primera vista puede reconocerse cuando hay un rápido crecimiento de una variable a medida que aumenta la otra (exponencial creciente), o porque una variable tiende asintóticamente hacia un cierto valor constante a medida que se incrementa indefinidamente la otra (exponencial decreciente). (Aristizábal, 2010). Una gran variedad de fenómenos físicos curiosamente obedece a la base =2.71828..., el cual es conocido como número de Euler. Este número irracional es la base de los logaritmos neperianos o naturales. El logaritmo natural toma como base el número de Euler, esto se puede expresar como loge=ln. Al definirse el logaritmo como el número al cual debe elevarse la base para obtener la potencia, puede observarse que
y ln x son funciones
inversas, porque se cumple: Loge e = ln e = 1 Linealización de la función exponencial. La función 𝑦 = 𝑏𝑒 𝑎𝑥 Se linealiza a través del logaritmo natural: 𝐿𝑛 𝑦 = 𝑎𝑥 + ln 𝑏 Cambiando variables, 𝐿𝑛 𝑦 = 𝑦`
𝐿𝑛 𝑏 = 𝑏`
Se obtiene: 𝑦` = 𝑎𝑥 + 𝑏` Es decir, si en la función exponencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta.
Linealización de la función potencial.
La función 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑎 Se linealiza a través de los logaritmos: 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑥 + log 𝑏 Cambiando variables, 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑦`
log 𝑥 = 𝑥`
𝑙𝑜𝑔𝑏 = 𝑏`
Se obtiene: 𝑦` = 𝑎𝑥` + 𝑏` Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta.
Ejemplo práctico. Ecuación de Arrhenius. 𝐸𝑎
𝐾 (𝑇) = 𝐴𝑒 −𝑅𝑇
(Para la descomposición del acetaldehído).
Gráfica.
Al aplicar logaritmo natural:
ln(𝑘) = (−
𝐸𝑎 1 ) ( ) + ln 𝐴 𝑅 𝑇
Obtenemos una ecuación lineal (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏) Aplicando logaritmo natural a los datos de la tabla anterior, e invirtiendo los valores de T, obtenemos:
Y al graficar:
Ejercicio #1. Linealizar la ecuación dada. 𝑓(𝑥) = 4𝑒 𝑥
a) b) c) d)
y= x2 + 2 y= x – 8 y= lnx +7. y = x + 4.
Gráfica:
Resolución: ln 𝑦 = 𝑙𝑛4𝑒 𝑥 ln 𝑦 = 𝑥 + 𝑙𝑛4 𝑙𝑛 = 𝑦`
𝑙𝑛4 = 4
𝑦 =𝑥+4
Gráfica linealizada.
Ejercicio #2.
Linealizar la ecuación dada. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5
a) b) c) d)
y= 3x2 y= 4x +3 y= 2x+5 y=2
Gráfica:
log 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 2 + log 5 log 𝑦 = 2 log 𝑥 + log 5 log 𝑦 = 𝑦` 𝑦 = 2𝑥 + 5 Gráfica.
2𝑙𝑜𝑔𝑥 = 2𝑥`
log 5 = 5