Data Loading...

MODUL MATEMATIK TAJUK JANJANG Flipbook PDF

MODUL MATEMATIK TAJUK JANJANG


152 Views
32 Downloads
FLIP PDF 1.29MB

DOWNLOAD FLIP

REPORT DMCA

KOLEJ VOKASIONAL PASIR PUTEH JALAN PASIR PUTEH-SEMERAK, 16800 PASIR PUTEH, KELANTAN

KERTAS PENERANGAN 1 JANJANG DIPLOMA VOKASIONAL MALAYSIA (DVM) KOD KURSUS NAMA KURSUS

UMH1112 MATEMATIK

SEMESTER

1

NO. DAN TAJUK

1

ISI KANDUNGAN / CONTENT OUTLINE

1.1 Menggunakan konsep janjang aritmetik 1.2 Menggunakan konsep janjang geometri

- JANJANG

1.1.1 1.1.2 1.1.3

1.1.4

1.2.1

SUBTOPIK

1.2.2

1.2.3

1.2.4

NAMA PELAJAR PROGRAM NO. KAD PENGENALAN KELAS TARIKH

Mengenalpasti ciri-ciri janjang aritmetik. Menentukan sama ada jujukan yang diberi merupakan janjang aritmetik. Menentukan dengan menggunakan rumus: a) sebutan tertentu dalam suatu janjang aritmetik, b) bilangan sebutan dalam sesuatu janjang aritmetik. Mencari hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang aritmetik.

Menentukan sama ada sesuatu jujukan yang diberi merupakan janjang aritmetik. Menentukan : a) sebutan tertentu dalam sesuatu janjang geometri. b) sebutan tertentu dalam sesuatu janjang geometri. Mencari : a) hasil tambah 𝑛 sebutan pertama dalam suatu janjang geometri. b) hasil tambah 𝑛 sebutan tertentu dalam suatu janjang geometri. c) bilangan sebutan bila hasil tambah n sebutan pertama diberi. Mencari : a) hasil tambah sebutan-sebutan sesuatu janjang geometri hingga ketakterhinggaan (-1< nisbah sepunya < 1). b) sebutan pertama atau nisbah sepunya apabila hasil tambah sebutan sesuatu janjang geometri hingga ketakterhinggaan diberi.

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

JANJANG ARITMETIK 1.1 Menggunakan konsep janjang aritmetik. ο‚·

Janjang aritmetik ialah satu jujukan nombor dengan keadaan beza di antara setiap sebutan dengan sebutan yang sebelumnya ialah satu pemalar. Pemalar ini dikenali sebagai beza sepunya, d.

ο‚·

Beza sepunya, d, diperoleh dengan menolak suatu sebutan dengan sebutan sebelumnya. d = Tn+1 βˆ’ Tn ATAU d = Tn βˆ’ Tnβˆ’1 yang mana Tn+1 = sebutan ke βˆ’ (n + 1), Tnβˆ’1 = sebutan ke βˆ’ (n βˆ’ 1) Tn = sebutan ke – n

1.1.1 Mengenalpasti ciri-ciri janjang aritmetik. Suatu jujukan ialah satu susunan nomborT1, T2, T3,…,Tn,... yang mengikut peraturan tertentu.

T1 merupakan sebutan pertama, T2 merupakan sebutan kedua, T3 merupakan sebutan ketiga dan Tn merupakan sebutan ke-n. Perhatikan jujukan 4,11, 18,25,... Sebutan kedua – sebutan pertama = T2 – T1= 11 – 4 =7 Sebutan ketiga – sebutan kedua = T3 – T2= 18 -11 = 7 Sebutan keempat – sebutan ketiga = T4 – T3 = 25 – 18 = 7 Didapati bahawa beza antara suatu sebutan dengan sebutan sebelumnya adalah sama,iaitu 7. Maka beza sepunya = 7. Jujukan di atas dinamakan Janjang Aritmetik.

2

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Janjang Aritmetik ialah satu jujukan yang beza di antara setiap sebutan dengan sebutan sebelumnya adalah satu pemalar. Pemalar itu dinamakan beza sepunya, d. (𝒅 = 𝑻𝒏 - π‘»π’βˆ’πŸ ATAU 𝒅 = 𝑻𝒏+𝟏 - 𝑻𝒏 ) *Beza sepunya, d,boleh bernilai positif atau negatif tetapi bukan sifar. *Sebutan ke-n, Tn= a + (n – 1) d a = sebutan pertama d = beza sepunya

Contoh 1 a)

+5

+5

3,

8,

T1

T2

+5

13,

T3

b) 18, …

–3 16,

T4 ... Tn

–3 13,

–3 10,

–3 7,

4, …

T1 T2 T3 T4 T5 ... TPerhatikan n bahawa setiap sebutan selepas

Perhatikan bahawa setiap sebutan selepas sebutan pertama diperoleh dengan menambahkan 5 kepada sebutan sebelumnya.

sebutan pertama diperoleh dengan menambahkan –3 kepada sebutan sebelumnya.

1.1.2 Menentukan sama ada jujukan yang diberi merupakan janjang aritmetik. Contoh 2 Tentukan sama ada setiap jujukan nombor berikut merupakan janjang aritmetik atau tidak. a)

4, 7, 10, 13, …

b)

Penyelesaian :

1, -0.8, 0.6, -0.4, 0.2, . . . Penyelesaian :

d1 = T2 – T1 = 7 – 4 = 3 d2 = T3 – T2 = 10 – 7 = 3 d3 = T4 – T3 = 13 – 10 = 3

d1 = T2 – T1 = -0.8 – 1 = -1.8 d2 = T3 – T2 = 0.6 – (-0.8) = 1.4 d3 = T4 – T3 = -0.4 – 0.6 = -1.0 d4 = T5 – T4 = 0.2 – (-0.4) = 0.6

Jujukan nombor adalah janjang aritmetik kerana beza antara setiap sebutan dengan sebutan sebelumnya adalah sama iaitu 3. (Beza sepunya = 3)

Jujukan nombor adalah bukan janjang aritmetik kerana beza antara setiap sebutan dengan sebutan sebelumnya adalah tidak sama.

3

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 1 Tentukan sama ada setiap jujukan nombor berikut merupakan janjang aritmetik atau tidak. a) 15, 13, 11, 9, …

b) 1, 112 , 2, 212 , 3, …

c) 4, – 2, 8, – 6, 12, – 9, …

d) βˆ’10, βˆ’6, βˆ’2, …

e)

3 5

3, 2 , 4 , …

f)

8 12 16 5

,

5

,

5

,…

h) 2m – 3n, 3m – 2n, 4m – n, …

g) 4, βˆ’1, 6, βˆ’11

4

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

1.1.3 Menentukan dengan menggunakan rumus : a) sebutan tertentu dalam suatu janjang aritmetik, b) bilangan sebutan dalam sesuatu janjang aritmetik Andaikan a sebutan pertama dan d beza sepunya bagi suatu janjang aritmetik. Sebutan-sebutan bagi janjang aritmetik boleh ditulis seperti di bawah: Sebutan pertama, sebutan kedua, sebutan ketiga, ……..sebutan ke – n

T1 a

T2

T3

a + 2d

... Tn

a + 3d

a + (n – 1)d

Maka. rumus bagi sebutan ke- n dalam janjang aritmetik diberi sebagai

Tn= a + (n – 1) d yang mana Tn = sebutan ke – n a = sebutan pertama d= beza sepunya Contoh 3 1.

Cari sebutan ke – 8 bagi janjang Aritmetik berikut : 16, 18, 20, 22, 24, …

3.

Cari bilangan gandaan 7 di antara 100 dengan 200. Penyelesaian :

Penyelesaiaan : Langkah 1 : Tentukan nilai a: a = sebutan pertama = 16 Langkah 2 : Cari nilai d d = T2 – T1 = 18 – 16 = 2 Langkah 3 : Gunakan rumus,𝑇𝑛 = π‘Ž + (𝑛 – 1) 𝑑

2.

T8 = 16 + (8 – 1) (2) T8 = 30 Cari bilangan sebutan bagi janjang aritmetik 10, 4, – 2, ... , – 38 Penyelesaian :

5

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 2 1. Cari sebutan ke – 16 bagi setiap janjang aritmetik berikut : (a) – 3, 0, 3, 6, …

(b) – 8, – 14, – 20, …

(c) 8.5, 8.1, 7.7, 7.3, …

2. Cari bilangan sebutan dalam setiap janjang aritmetik berikut :

(a) – 11, – 7, – 3, …, 125

1

(b) 6, 72 , 9, …, 21

3. Cari bilangan gandaan 7 antara 200 dengan 300.

(c) 2.3, 2.1, 1.9, …, – 1.7

4. Cari bilangan nombor ganjil antara 120 dengan 350.

6

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

1.1.4

JANJANG

Mencari hasil tambah n sebutan pertama bagi sesuatu janjang aritmetik. ο‚·

Hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi janjang aritmetik diberi oleh :

𝑛 [2π‘Ž + (𝑛 βˆ’ 1)𝑑] 2 yang mana a = sebutan pertama d = beza sepunya 𝑆𝑛 =

ATAU Sn = =

n a  a  (n ο€­ 1)d  2

n a  Tn  , Tn= sebutan ke – n (sebutan 2

terakhir)

Contoh 4 1.

Hitungkan hasil tambah 20 sebutan pertama bagi janjang aritmetik – 8, – 3, 2, …

2.

Carikan hasil tambah semua gandaan 11 di antara 120 dan 300. Penyelesaian :

Penyelesaian :

7

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 3

1.

Cari hasil tambah janjang aritmetik berikut :

a)

– 7, – 2, 3, 8, … hingga 30 sebutan pertama.

c)

– 1, 3, 7, … hingga 47 sebutan pertama.

b) 6.6, 6.9, 7.2, 7.5, … hingga 15 sebutan pertama.

d)

1 2

1 4

1 , 1 , 1, … hingga 11 sebutan pertama

3. Cari hasil tambah integer-integer dari 1

2. Hitungkan hasil tambah 9 sebutan pertama bagi janjang aritmetik 7, 11, 15, …

hingga 200.

8

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112 4.

Cari hasil tambah semua nombor genap

5.

dari 201 hingga 401.

JANJANG

Cari hasil tambah gandaan 11 dari 1 hingga 500.

Latihan 4 Contoh: 1. Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 5𝑛. Cari (i) Hasil tambah 10 sebutan pertama (ii) Sebutan ke-8 bagi janjang itu.

Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu 𝑛 2

janjang aritmetik diberi oleh 𝑆𝑛 = [1.5𝑛 + 4.5], cari (i)

𝑇10

(ii)

hasil tambah dari 𝑇4 hingga 𝑇10 bagi janjang itu. Tip :

Jawapan:

a) Sebutan pertama, π‘Ž = 𝑇1 = 𝑆1 b) Sebutan ke-n, 𝑇𝑛 = 𝑆𝑛 βˆ’ π‘†π‘›βˆ’1 c) d)

9

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

2. Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh 𝑆𝑛 = 6𝑛2 βˆ’ 𝑛. Cari (i) Hasil tambah 8 sebutan pertama (ii) Sebutan ke-5 bagi janjang itu.

JANJANG

3. Sebutan ke – 8 bagi suatu janjang aritmetik ialah 5 dan hasil tambah bagi 16 sebutan pertama ialah 84. Hitungkan hasil tambah bagi 10 sebutan pertama janjang aritmetik itu.

10

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

JANJANG GEOMETRI 1.2 Menggunakan konsep janjang geometri ο‚·

Janjang geometri ialah satu jujukan yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperolehi dengan mendarabkan sebutan sebelumnya dengan satu pemalar tak sifar, yang dikenali sebagai nisbah sepunya, r. Contoh 5

Jujukan nombor 2, 6, 18, 54, . . . di mana setiap sebutan kecuali sebutan pertama diperolehi dengan mendarabkan sebutan sebelumnya dengan pemalar 3. Perhatikan jujukan berikut :

ο‚΄2

ο‚΄2 3,

6,

ο‚΄ 3a

ο‚΄2

12,

2a,

24, . . .

Jujukan ini mempunyai nisbah sepunya, r = 2. ο‚·

6a 2,

ο‚΄ 3a

ο‚΄ 3a

18a 3,

54a 4, . . .

Jujukan ini mempunyai nisbah sepunya, r = 3a.

Nisbah sepunya, r, diperoleh dengan membahagikan suatu sebutan dengan sebutan sebelumnya. Nisbah sepunya,r

=

Tn 1 Tn

ATAU

Tn Tn ο€­1

1.2.1 Menentukan sama ada sesuatu jujukan yang diberi merupakan janjang geometri. Contoh 6 Antara jujukan berikut, yang manakah merupakan janjang geometri? (a) 16, 12, 9, 6

3 ,… 4

(b) 4, 12, 24, 72, . . .

Latihan 5

11

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Tentukan sama setiap yang berikut merupakan satu janjang geometri atau tidak. a) 12 , βˆ’6 ,

c)

2 ,

b) 2, 5,12.5, 31.25, …

3 , …

3 , 12 , 48 , 192 , …

d) 1458 , 486 , 162 , 54 , …

12

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

1.2.2 Menentukan: a) sebutan tertentu dalam sesuatu janjang geometri. b) bilangan sebutan dalam sesuatu janjang geometri. a)

Satu janjang geometri boleh ditulis dalam bentuk π‘Ž, π‘Žπ‘Ÿ, π‘Žπ‘Ÿ 2 , π‘Žπ‘Ÿ 3 , … dengan keadaan π‘Ž = π‘ π‘’π‘π‘’π‘‘π‘Žπ‘› π‘π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘šπ‘Ž π‘Ÿ = π‘›π‘–π‘ π‘π‘Žβ„Ž π‘ π‘’π‘π‘’π‘›π‘¦π‘Ž

b)

Sebutan ke-n, iaitu 𝑇𝑛 , bagi suatu janjang geometri diberi oleh rumus

𝑇𝑛 = π‘Žπ‘Ÿ (π‘›βˆ’1) di mana

𝑇n π‘Ž π‘Ÿ 𝑛

= = = =

sebutan ke-n sebutan pertama nisbah sepunya nombor turutan

Contoh 7 Diberi suatu janjang geometri 36 , 12 , 4 , … , a) b)

4 . 81

Tentukan sebutan ke-9 Cari bilangan sebutan bagi janjang geometri tersebut

Penyelesaian :

13

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112 Latihan 7 Cari sebutan ke-n bagi janjang geometri berikut. a) 0.1 , 0.01 ,

0.001 , …

b)

Cari sebutan ke-6

c)

2 ,

2 3

,

1 3

3 , 12 , 48 , 192 , …

,

1 6

4

,

1 2

, 1 , …

Cari sebutan ke-13

d) 4 , 2 , 1, …

Cari sebutan ke-15

e)

1

Cari sebutan ke-11

f) 2 , 4 , 8 , …

, …

Cari sebutan ke-12

Cari sebutan ke-9

14

JANJANG

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 8 Cari bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri berikut.

a) 4 , 2 ,

c)

2 ,

1 , … ,

1

b)

512

4 , 8 , … , 256

1 16

,

1 4

, 1 , … . 1024

d) 256 , 128 , 64, … ,

e) 7 , 1.4 , 0.28 , … , 0.000448

1 2

f) βˆ’3 , 9 , βˆ’27 , … , βˆ’19 683

15

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 9

1) Suatu janjang geometri mempunyai sebutan ketiga dan keempat masing-masing 75 dan 375. Cari nisbah sepunya dan sebutan pertama.

2) Sebutan ke-n bagi JG yang diberi ialah 𝑇𝑛 = 22π‘›βˆ’1 . Cari (i) Sebutan pertama (ii) Nisbah sepunya

3) Sebutan ke-n bagi JG yang diberi ialah 𝑇𝑛 = 33π‘›βˆ’2 . Cari (i) Sebutan pertama (ii) Nisbah sepunya

16

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

1.2.3 Mencari: a) hasil tambah n sebutan pertama dalam suatu janjang geometri. b) hasil tambah n sebutan tertentu dalam suatu janjang geometri. c) bilangan sebutan bila hasil tambah n sebutan pertama diberi. Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri diberi sebagai

a(1 ο€­ r n ) a(r n ο€­ 1) Sn = untuk r< 1 ATAUSn = 1ο€­ r r ο€­1

untuk r> 1

di mana a = sebutan pertama r = nisbah sepunya n = bilangan sebutan

Contoh 8

1. Bagi janjang geometri 25, 125, 625, … , cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama. Penyelesaian :

2. Cari hasil tambah 6 sebutan pertama bagi janjang geometri berikut. 9, 3, 1, … Penyelesaian :

17

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

3. Cari hasil tambah bagi setiap janjang geometri berikut. (a) 2, 6, 18, …1458

(b) 4, -12, 36, … -108

Penyelesaian:

Penyelesaian:

3

3

4. Cari bilangan sebutan dalam janjang geometri 3, 2 , 4 , … , jika hasil tambah semua sebutan dalam janjang tersebut ialah 5

13

.

16

Penyelesaian :

18

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

5.Cari hasil tambah dari sebutan ke-4 hingga sebutan ke-7 bagi janjang geometri Penyelesaian :

S7

T1 + T2+ T3+

T4+ T5+ T6 + T7

S3

aο€½

1 , rο€½2 2 𝑆3 =

𝑆7 =

Hasil tambah dari sebutan ke-4 hingga sebutan ke-7 = 𝑆7 βˆ’ 𝑆3

19

1 , 2

1, 2, 4, . ..

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

Latihan 10 1.

Cari hasil tambah 6 sebutan pertama bagi JG berikut.

a)

7, 14, 28, …

b)

72, 36, 18, …

c)

8, ΜΆ 4, 2, …

d)

48, 24, 12, …

2.

Cari hasil tambah bagi setiap JG berikut.

a)

2, 6, 18, … , 4374

b)

3, 12, 48, …, 3072

c)

1458, 486, 162, …, 2

d)

192, βˆ’96, 48, …,

20

3 4

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

3.

Cari hasil tambah sebutan dari sebutan ke-3 hingga sebutan ke-8 bagi JG berikut.

a)

1 1 , , 4 2

c)

3, 12, 48, …,

4.

Suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama

1, …

b)

243, 81, 27, …

d)

2, 16, 18, 54, …

hasil tambah n sebutan pertama ialah 93. Cari nilai n..

21

1 dan nisbah sepunya 2. Diberi 11

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

5.

Sebutan kedua dan sebutan keenam bagi suatu JG dengan nisbah sepunya, π‘Ÿ > 1 , 8 9 masing-masing ialah dan . Cari sebutan ketiga. 9

6.

JANJANG

2

Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu diberi oleh 10 βˆ’

10 . 2𝑛

Cari

(i) Sebutan ke-4 (ii) Sebutan pertama (iii) Nisbah sepunya

7.

Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu diberi oleh 𝑆𝑛 = 6(3𝑛 βˆ’ 1). Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya bagi JG tersebut.

22

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

8.

JANJANG

Cari bilangan sebutan dalam JG 64, 96, 144, ... jika hasil tambah semua sebutan ialah 2059.

9. Kira bilangan sebutan bagi janjang geometri 22, 66, 198, … supaya hasil tambahnya ialah 72 160.

23

KERTAS PENERANGAN 1 MATEMATIK I – UMH 1112

JANJANG

1.2.4 Mencari: a) hasil tambah sebutan-sebutan sesuatu janjang geometri hingga ketakterhinggaan (-1< nisbah sepunya < 1). b) sebutan pertama atau nisbah sepunya apabila hasil tambah sebutan sesuatu janjang geometri hingga ketakterhinggaan diberi. Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri apabila -1