MODUL POLINOMIAL-dikonversi Flipbook PDF

MODUL POLINOMIAL-dikonversi

---

108 Views
59 Downloads
FLIP PDF 491.08KB

DOWNLOAD FLIP

REPORT DMCA

Modul Pembelajaran SMA

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI

MGMP MATEMATIKA LOMBOK TIMUR 2021

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 1

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ................................................................................................... 1 DAFTAR ISI ................................................................................................................ 2 PETA KONSEP............................................................................................................ 3 GLOSARIUM ............................................................................................................. 2 PENDAHULUAN ........................................................................................................ 5 A. IDENTITAS MODUL ...................................................................................... 5 B. KOMPETENSI DASAR .................................................................................. 5 C. DESKRIPSI SINGKAT MATERI ................................................................... 5 D. MATERI PRASYARAT .................................................................................. 5 E. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL.......................................................... 6 F. UJI KEMAMPUAN PRASYARAT ................................................................ 6 KEGIATAN PEMBELAJARAN ................................................................................. 8 A. TUJUAN .......................................................................................................... 8 B. URAIAN MATERI .......................................................................................... 8 C. RANGKUMAN .............................................................................................. 13 D. LATIHAN SOAL ........................................................................................... 14 E. PEMBAHASAN LATIHAN SOAL .............................................................. 14

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 2

PETA KONSEP

Pengertian Polinomial

Nilai Polinomial

Pengertian dan Nilai Polinomial Penjumlahan Polinomial

Hasil Kali Akar-Akar Polinomial

Pengurangan Polinomial

Jumlah Akar-Akar Polinomial

Akar-Akar Persamaan Polinomial

POLINOMIAL

Operasi Aljabar Polinomial Perkalian Polinomial

Menentuk an AkarAkar Polinomial

Pembagian Polinomial

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema Faktor

Teorema Sisa

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 3

GLOSARIUM Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas, variabel disebut juga peubah. Eksponen adalah bentuk perpangkatan. Bilangan Asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat yang merupakan bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1, yaitu {1, 2, 3, 4, ...}. Ahli matematika menggunakan simbol ℕ. Bilangan Pecahan adalah bilangan yang terdiri atas dua angka, yakni angka sebagai pembilang dan angka sebagai pembagi atau penyebut. Bilangan pecahan mempunyai 𝑎

bentuk 𝑏. Bilangan Realadalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol ℝ

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 4

PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Peminatan Kelas

: XI MIPA

Alokasi Waktu : 20 JP Judul Modul

: Polinomial

B. Kompetensi Dasar 3.2 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial. 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial.

C. Deskripsi Singkat Materi Modul ini disusun sebaga satu alternatif sumber bahan ajar peserta didik untuk memahami materi polinomial di kelas XI MIPA. Modul ini terdiri atas 5 bagian proses. Kalian bisa mempelajari modul ini dengan tahapan berikut. •

Kegiatan Pembelajaran 1 akan membahas tentang : Konsep polinomial, operasi aljabar polinomial, dan kesamaan dua polinomial.

•

Kegiatan Pembelajaran 2 akan membahas tentang : Menentukan nilai polinomial dan pembagian polinomial.

•

Kegiatan Pembelajaran 3 akan membahas tentang : Teorema Sisa.

•

Kegiatan pembelajaran 4 akan membahas tentang : Teorema Faktor.

•

Kegiatan Pembelajaran 5 akan membahas tentang : Menentukan faktor polinomial berderajat tinggi, dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial.

D. Materi Prasarat Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah: 1. Terampil dalam operasi hitung bilangan real 2. Terampil dalam operasi hitung Aljabar 3. Terampil dalam operasi substitusi dan eliminasi 4. Terampil dalam operasi eksponen 5. Terampil dalam memfaktorkan bentuk kuadrat

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 5

E. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Penjelasan Bagi Peserta Didik a. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan kemampuan prasyarat, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya. b. Setelah Anda menyelesaikan kemampuan prasyarat, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang mampu menyelesaikan semua soal tes kemampuan prasyarat tersebut. c. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Andaberkembang dengan baik. d. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-pengertiandalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembarlatihan. e. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. f. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda. 2. Peran Guru antara lain a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar. b. Menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. c. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. d. Melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik. e. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

F. Kemampuan Prasyarat Untuk mengetahui dan mengukur kemampuan dasar Anda, jawablah beberapa pertanyaan berikut ini. 1. Sederhanakan bentuk berikut. a. (5𝑥 + 7) − 3(2𝑥 − 5) b. 2𝑥 2 − 3𝑥 + 5 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 9

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 6

2. Tentukan hasil kali berkut. a. (2𝑥 − 1)(−3𝑥 + 4)

b. −2𝑥(𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)

3. Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2, tentukan nilai 𝑓untuk𝑥 = −3 4. Jika diketahui 𝑝(𝑥) = 2𝑥 2 − 3 dan 𝑞(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , ttentukan a. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)

c. 𝑝(𝑥) × 𝑞(𝑥)

b. 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)

d. 𝑞(𝑥)

𝑝(𝑥)

5. Suatu bilangan jika dibagi 8 hasilnya 6 dan bersisa 3. Bilangan berapakah itu? 6. Tentukan semua faktor dari 𝑥 2 (2 − 𝑥)(𝑥 2 − 7𝑥 + 12) = 0 Setelah Anda dapat menjawab soal-soal di atas dengan benar, barulah Anda lanjutkan mempelajari isi modul ini.

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 7

KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini, peserta didikdiharapkan mampu: 1. Menjelaskan konsepdan bentuk umum polinomial 2. Menentukan hasil operasi aljabar polinomial. 3. Memahami kesamaan dua polinomial.

B. Uraian Materi Definisi Polinomial Polinomial (Suku Banyak) merupakan ekspresi aljabar yang dapat diperoleh dari konstanta (angka/bilangan) dan variabel hanya dengan menggunakan operasi penjumlahan/pengurangan dan perkalian. Untuk lebih memahami definisi polinomial dan bentuk umumnya, perhatikan kasus berikut. Ketika di bangku SMP, kita diajarkan menentukan volume sebuah balok. Perhatikan Gambar 1.1. Panjang

rusuk-susuk

sebuah

balok

(dalam

cm)

merupakan tiga bilangan asli berurutan. Bagaiman model matematika volume balok tersebut? Langkah apa yang harus kita lakukan? Gambar 1.1 Balok

Alternatif Penyelesaian: Mari kita selesaikan bersama.Misalkan panjang rusuk terpendek dari balok tersebut adalah 𝑥, maka dua rusuk berikutnya panjangnya 𝑥 + 1 dan 𝑥 + 2. Dengan menggunakan rumus volume balok (𝑉) adalah 𝑉 = 𝑝×𝑙×𝑡 = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = (𝑥 2 + 𝑥)(𝑥 + 2) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 Bentuk di atas dapat juga ditulis 𝑉(𝑥) = (1)𝑥 3 + (3)𝑥 2 + (2)𝑥 + 0.

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 8

Bentuk ini merupakan bentuk polinomial berderajat 3, dengan koefisien 𝑥 3 adalah 1, koefisien 𝑥 2 adalah 3, koefisien 𝑥 adalah 2, dan konstanta (suku tetap) adalah 0. Sehingga secara umum, bentuk umum polinomial sebagai berikut. Misalkan 𝑓(𝑥) adalah polinomial dengan variabel 𝑥. Bentuk umum polinomial dituliskan 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 dengan𝑛 anggota bilangan asli dan 𝑎𝑛 ≠ 0. Derajat polinomial merupakan pangkat tertinggi pada variabelnya, dan 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 , … , 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0

berturut-turut

adalah

koefisien

dari

𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛−2 , … , 𝑥 2 , 𝑥1 , 𝑥 0 . Ingat 𝑥 0 = 1 sehingga 𝑎0 𝑥 0 = 𝑎0 .

Contoh 1 Diantara ekspresi aljabar berikut, manakah yang bukan merupakan polinomial? Jelaskan! a. 3𝑥 20 − 3𝑥 2 + 𝑥√3 − 2

d. 𝑥 sin 𝑥

2

e. 2𝑥 2 + √𝑥 + 2

b. 𝑥 + 𝑥 − 1 c.

1

𝜋

𝑥 5 − (cos 3 ) 𝑥 3 + (tan 600 )𝑥 − 1 3

Alternatif Penyelesaian a. 3𝑥 20 − 3𝑥 2 + 𝑥√3 − 2, merupakan polinomial 2

b. 𝑥 + 𝑥 − 1, bukan merupakan polinomial karena ada variabel 𝑥 berpangkat 2

negatif, yaitu 𝑥 = 2𝑥 −1 . c.

1

𝜋

𝜋

1

𝑥 5 − (cos 3 ) 𝑥 3 + (tan 600 )𝑥 − 1, merupakan polinomial karena cos 3 = 2 3 dan tan 600 = √3. Keduanya merupakan bilangan real.

d. 𝑥 sin 𝑥, bukan merupakan polinomial karena ada variabel 𝑥 yang berada dalam fungsi trigonometri. e. 2𝑥 2 + √𝑥 + 2, bukan merupakan polinomial karena ada variabel 𝑥 berpangkat 1

bilangan pecahan, yaitu √𝑥 = 𝑥 2 .

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 9

Contoh 2 Tentukan derajat, koefisien 𝑥 2 dan konstanta dari polinomial berikut. a. 5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 2 b. 𝑥(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

Alternatif Penyelesaian a. Polinomial 5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 2 Suku dengan pangkat tertinggi adalah 5𝑥 3 , sehingga polinomial tersebut berderajat 3. Koefisien 𝑥 2 adalah −3 diperoleh dari −3𝑥 2 . Konstantanya adalah 2 b. Polinomial 𝑥(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) = (𝑥 2 − 3𝑥)(2𝑥 + 1) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 3𝑥 Suku dengan pangkat tertinggi adalah 2𝑥 3 , sehingga polinomial tersebut berderajat 3. Koefisien 𝑥 2 adalah −5 diperoleh dari −5𝑥 2 . Konstantanya adalah 0

Polinomial dengan derajat rendah mempunyai nama khusus, yatu jika mempunyai: •

derajat nol disebut polinomial konstan atau konstanta,

•

derajat satu disebup polinomial linear,

•

derajat dua disebut polinomial kuadratik atau kuadratik,

•

derajat tiga disebut polinomial kubik atau kubik,

•

derajat empat disebut polinomial kuartik atau kuartik. Jika sebuah polinomial ditulis dengan suku berderajat tinggi ditulis sebagi

suku pertama dan suku selanjutnya dalam derajat menurun, maka polinomial tersebut disebut polinomial dengan urutan menurun (descending order), dan sebaliknya disebut polinomial urutan naik (ascending order).

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 10

Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial Menjumlahkan ataupun mengurangi suku-suku polinomial bisa dilakukan jika sukunya sejenis. Suku sejenis adalah suku yang memiliki derajat 𝑥 yang sama. Dalam melakukan penjumlahan ataupun pengurangan polinomial, kita bisa menggunakan sifat distributif. Sifat Distributif: 𝒂 × 𝒄 + 𝒃 × 𝒄 = (𝒂 + 𝒃) × 𝒄 𝒂 × 𝒄 − 𝒃 × 𝒄 = (𝒂 − 𝒃) × 𝒄 Untuk mempermudah perhitungan, biasakanlah menyusun tiap polinomial dalam urutan menurun. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 3 Jika diketahui 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 5, tentukan: a. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) b. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) Alternatif Penyelesaian a. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (−4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6) + (2𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 5) = (−4𝑥 3 + 2𝑥 3 ) + (2𝑥 2 − 𝑥 2 ) + (−7𝑥 + 5𝑥) + (6 − 5) = −2𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 b. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (−4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6) − (2𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 5) = (−4𝑥 3 − 2𝑥 3 ) + (2𝑥 2 + 𝑥 2 ) + (−7𝑥 − 5𝑥) + (6 + 5) = −6𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 11

Perkalian Polinomial Misalkan terdapat dua buah polinomial, yaitu 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥), yang akan ditentukan hasil perkaliannya. Setiap suku dari 𝑓(𝑥) harus dikalikan dengan setiap suku dari 𝑔(𝑥). Ketika mengalikan dua suku polinomial, kita menerapkan sifat perkalian eksponen, yaitu 𝑥 𝑚 . 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚+𝑛 . Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 11

Contoh 4 Tentukan hasil perkalian polinomial-polinomial berikut. jika diketahui 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 5, tentukan: a. (2𝑥 2 + 3𝑥 + 1)(𝑥 + 3) b. (2𝑥 2 + 5𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1)

Alternatif Penyelesaian a. (2𝑥 2 + 3𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = 2𝑥 2 . 𝑥 + 2𝑥 2 . 3 + 3𝑥. 𝑥 + 3𝑥. 3 + 1. 𝑥 + 1.3 = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 2 + 9𝑥 + 𝑥 + 3 = 2𝑥 3 + 9𝑥 2 + 10𝑥 + 3 b. (2𝑥 2 + 5𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1) = 2𝑥 2 . 𝑥 2 + 2𝑥 2 . 1 + 5𝑥. 𝑥 2 + 5𝑥. 1 − 3. 𝑥 2 − 3.1 = 2𝑥 4 + 2𝑥 2 + 5𝑥 3 + 5𝑥 − 3𝑥 2 − 3 = 2𝑥 4 + 5𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = 2𝑥 4 + 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 3

Kesamaan Dua Polinomial Dua polinomial dikatakan sama jika keduanya berderajat sama dan koefisien dari variabel dengan pangkat yang bersesuaian adalah sama. Secara matematis dapat ditulis sebagi berikut. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0 𝑔(𝑥) = 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏0 Fungsi 𝑓(𝑥) ≡ 𝑔(𝑥) jika dan hanya jika 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 , 𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 = 𝑏𝑛−2 , … , 𝑎0 = 𝑏0

Contoh 4 Tentukan nilai 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 dari kesamaan dua polinomial berikut. a. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 4𝑥 2 − 3𝑥 + 10 b. 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 5𝑥 + 10 ≡ (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) + 𝑐

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 12

Alternatif Penyelesaian a. Karena 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 4𝑥 2 − 3𝑥 + 10, maka diperoleh 𝑎𝑥 2 = 4𝑥 2 ⇔ 𝑎 = 4 𝑏𝑥 = −3𝑥 ⇔ 𝑏 = −3 𝑐 = 10 b. Kita nyatakan (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) + 𝑐 ke dalam bentuk umum polinomial. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) + 𝑐 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) + 𝑐 = 𝑎𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 2 − 3𝑏𝑥 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 3𝑏𝑥 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑥 3 + (−3𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + (2𝑎 − 3𝑏)𝑥 + (2𝑏 + 𝑐) Karena 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 5𝑥 + 10 ≡ (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) + 𝑐 ⇔ 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 5𝑥 + 10 ≡ 𝑎𝑥 3 + (−3𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + (2𝑎 − 3𝑏)𝑥 + (2𝑏 + 𝑐) Sehingga diperoleh 𝑎𝑥 3 = 2𝑥 3 ⇔ 𝑎 = 2 (−3𝑎 + 𝑏)𝑥 2 = −3𝑥 2 − 3𝑎 + 𝑏 = −3 ⇔ −3.2 + 𝑏 = −3 ⇔ −6 + 𝑏 = −3 ⇔𝑏=3 2𝑏 + 𝑐 = 10 ⇔ 2.3 + 𝑐 = 10 ⇔ 6 + 𝑐 = 10 ⇔𝑐=4

C. Rangkuman 1. Polinomial (Suku Banyak) merupakan ekspresi aljabar yang dapat diperoleh dari konstanta (angka/bilangan) dan variabel hanya dengan menggunakan operasi penjumlahan/pengurangan dan perkalian. 2. Menjumlahkan ataupun mengurangi suku-suku polinomial bisa dilakukan jika sukunya sejenis. 3. Dalam mengalikan dua polinomial harus mengalikan setiap suku-sukunya, dan ketika mengalikan dua suku polinomial, kita menerapkan sifat perkalian eksponen, yaitu 𝑥 𝑚 . 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚+𝑛 . 4. Dua polinomial dikatakan sama jika keduanya berderajat sama dan koefisien dari variabel dengan pangkat yang bersesuaian adalah sama.

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 13

D. Latihan Soal Soal Essay 1. Tentukan derajat, koefisien 𝑥 2 dan konstanta dari polinomial berikut. a. 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 3𝑥 + 3 b. 6𝑥 4 − 2𝑥 3 − 𝑥 c. 2𝑥(𝑥 − 1)(2𝑥 + 2) 2. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dua buah polinomial berikut. a. 𝑓(𝑥) = 8𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 8 b. 𝑓(𝑡) = 6𝑡 3 + 4𝑡 2 − 9 dan 𝑔(𝑡) = 2𝑡 3 + 4𝑡 2 − 𝑡 + 3 3. Tentukan hasil kali dari polinomial berikut. a. (𝑥 2 + 4)(𝑥 + 5) b. (𝑥 2 + 5𝑥 + 5)(2𝑥 2 − 𝑥) c. (6𝑥 2 + 𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 4. Tentukan nilai 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 dari setiap kesamaan berikut. a. 2𝑥 2 + 9 − 5𝑥 ≡ 𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)2 b. 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝑐(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ≡ 𝑥 2 − 5𝑥 − 2

E. Pembahasan Latihan Soal 1. Menentukan derajat, koefisien x2 dan konstanta dari polinomial berikut. a.

2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 3𝑥 + 3 Berderajat 3, koefisien x2 adalah -6, dan konstantanya adalah 3

b.

6𝑥 4 − 2𝑥 3 − 𝑥 = 6x4 – 2x3 + 0x2 – x + 0 Berderajat 4, koefisien x2 adalah 0, dan konstantanya adalah 0

c.

2𝑥(𝑥 − 1)(2𝑥 + 2) = (2x2 – 2x)(2x + 2) = 4x3 + 4x2 – 4x2 – 4x = 4x3 + 0x2 – 4x + 0 Berderajat 3, koefisien x2 adalah 0, dan konstantanya adalah 0

2. Hasil penjumlahan dan pengurangan dua buah polinomial berikut. a.

𝑓(𝑥) = 8𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 8 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (8𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1) + (2𝑥 2 + 3𝑥 − 8) = 8x3 + 7x – 7 𝑓(𝑥)- 𝑔(𝑥) = (8𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1) - (2𝑥 2 + 3𝑥 − 8)

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 14

= 8𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 9 b.

𝑓(𝑡) = 6𝑡 3 + 4𝑡 2 − 9 dan 𝑔(𝑡) = 2𝑡 3 + 4𝑡 2 − 𝑡 + 3 𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡) = (6𝑡 3 + 4𝑡 2 − 9) + (2𝑡 3 + 4𝑡 2 − 𝑡 + 3) = 8𝑡 3 + 8𝑡 2 − 𝑡 − 6 𝑓(𝑡) - 𝑔(𝑡) = (6𝑡 3 + 4𝑡 2 − 9) - (2𝑡 3 + 4𝑡 2 − 𝑡 + 3) = 4𝑡 3 + 𝑡 − 12

3. Hasil kali dari polinomial berikut. a.

(𝑥 2 + 4)(𝑥 + 5) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 9

b.

(𝑥 2 + 5𝑥 + 5)(2𝑥 2 − 𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 10𝑥 3 − 5𝑥 2 + 12𝑥 2 − 5𝑥 = 2𝑥 4 + 9𝑥 3 + 5𝑥 2 − 5𝑥

c.

(6𝑥 2 + 𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = (6𝑥 2 + 𝑥 − 1)( 𝑥 2 + 𝑥 − 2) = 6𝑥 4 + 6𝑥 3 − 12𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 6𝑥 4 + 7𝑥 3 − 12𝑥 2 − 4𝑥 + 2

4. Nilai 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 dari setiap kesamaan berikut. a. 2𝑥 2 + 9 − 5𝑥 ≡ 𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)2 Kita nyatakan 𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)2 kedalam bentuk umum polinomial. 𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)2 =(ax + 2a) + b(x2 + x - 2) + c(x2 – 2x + 1) = (ax + 2a) + (bx2 + bx - 2b) + (cx2 – 2cx + c) = (bx2 + cx2) + (ax + bx – 2cx) + (2a – 2b + c) = (b + c) x2 + (a + b – 2c)x + (2a – 2b + c) Karena 2𝑥 2 + 9 − 5𝑥 ≡ 𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)2 ↔ 2𝑥 2 − 5𝑥 + 9 ≡(b + c) x2 + (a + b – 2c)x + (2a – 2b + c) Sehingga diperoleh b+c=2

….(per 1)

a + b – 2c = -5

…(per 2)

2a – 2b + c = 9

….(per 3)

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 15

Eliminasi a dari persamaan 2 dan 3 a + b – 2c = -5

x2

2a + 2b – 4c = -10

2a – 2b + c = 9

x1

2a – 2b + c = 9

-

4b – 5c = -19

….(per 4)

Eliminasi c dari persamaan 1 dan 4 b+c=2

x5

5b + 5c = 10

4b – 5c = -19

x1

4b – 5c = -19

+

9b = -9 b = -1 Substitusi

b = -1 ke persamaan 1 atau 4

b+c=2

-1 + c = 2 c =3

Substitusi

b = -1 dan c = 3 ke persamaan 2 atau 3

a + b – 2c = -5

a + 1 – 2 (3) = -5 a – 7 = -5 a=2

Jadi dari persamaan polinomial tersebut diperoleh nilai a = 2, b = -1 dan c = 3 b. 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝑐(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ≡ 𝑥 2 − 5𝑥 − 2 Kita nyatakan 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝑐(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) kedalam bentuk polinomial. 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝑐(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = a (x2 – 3x + 2) + b (x2 – 4) + c (x2 + x - 2) = (ax2 – 3ax + 2a) + (b x2 – 4b) + (c x2 + cx – 2c) = (ax2 + b x2 + c x2) + (– 3ax + cx) + (2a - 4b – 2c) = (a + b +c)x2 + (-3a + c)x + (2a - 4b – 2c) Karena 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝑏(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + 𝑐(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ≡ 𝑥 2 − 5𝑥 − 2 ↔(a + b +c)x2 + (-3a + c)x + (2a - 4b – 2c) ≡ 𝑥 2 − 5𝑥 − 2 Sehingga diperoleh a + b +c =1

…(per 1)

-3a + c = -5

…(per2)

2a - 4b – 2c = -2

…(per3)

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 16

Eliminasi b dari per1 dan 3 a +b+c=1

x4

4a + 2b + 4c = 4

2a – 4b -2c = -2 x 1

2a – 4b -2c = -2

+ ….(per 4)

6a + 2c = 2 Eliminasi c dari persamaan 2 dan 4 6a +2c = 2

x1

6a + 2c = 2

-3a + c = -5

x2

-6a + 2c = -10

-

12a = 12 a =1 Substitusi

a = 1 ke persamaan 2 atau 4

6a +2c = 2

6(1) + 2c = 2 c = -2

Substitusi

a = 1 dan c = -2 ke persamaan 1 atau 3

a +b+c=1

1 +b–2=1 b–1=1 b=2

Jadi dari persamaan polinomial tersebut diperoleh nilai a = 1, b = 2 dan c = -2

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 17

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 18

Modul Pembelajaran Matematika Peminatan XI

Page 19