modul transformasi geometri. Flipbook PDF

modul transformasi geometri.

---

114 Views
36 Downloads
FLIP PDF 1.07MB

DOWNLOAD FLIP

REPORT DMCA

Modul Transformasi

Geometri

Untuk SMA Kelas XI Semester Ganjil Aviv Puji Indah Sari, S.Pd

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah, kami ucapkan kepada Allah SWT, yang telah mengizinkan kami menyelesaikan modul ini. Modul ini membahas tentang transformasi geometri. Dengan adanya modul ini, diharapkan dapat bermanfaat dan menambah pengetahuan bagi pembaca. Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang membantu terselesaikannya modul ini. Pihak- pihak yang telah memberikan dukungan moral maupun materi, yang selalu memberi masukan demi kemajuan berpikir kami dan banyak memberi bantuan kepada kami. Kami sampaikan rasa syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik, dan hidayahNya sehingga modul ini dapat terselesaikan dengan baik. Kepada orang tua kami yang tak pernah berhenti memberikan dukungan kepada kami. Kepada dosen- dosen kami yang membimbing kami menyelesaikan modul ini. Dan kepada teman- teman kami yang selalu siap sedia membantu kami. Banyak upaya telah dilakukan untuk menyelesaikan modul ini. Namun, sebagai manusia biasa, mustahil apabila tidak ada kesalahan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan agar dapat dijadikan masukan di masa yang akan datang. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penggunanya sebagai bahan rujukan dan menambah pengetahuan.

Surabaya, 20 Oktober 2020

Penulis

i

DAFTAR ISI

Contents KATA PENGANTAR ................................................................................................................................. i DAFTAR ISI ............................................................................................................................................ ii KOMPETENSI DASAR MATERI TRANSFORMASI GEOMETRI ...................................................................iii INDIKATOR PENCAPAIAN SETIAP KOMPETENSI DASAR ........................................................................iv Petunjuk Penggunaan Modul............................................................................................................... v PENDAHULUAN .....................................................................................................................................vi TRANSFORMASI GEOMETRI ................................................................................................................. 1 A.

Translasi (pergeseran) ............................................................................................................... 1

B.

Refleksi (Pencerminan) ............................................................................................................. 6

C.

Rotasi (Perputaran) ................................................................................................................. 10

D.

Dilatasi .................................................................................................................................... 13

KUNCI JAWABAN ................................................................................................................................ 17 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................... 22

ii

KOMPETENSI DASAR MATERI TRANSFORMASI GEOMETRI

Rumusan KI 1, KI2, KI3, KI4, Kompetensi Dasar Materi Transformasi Geometri Rumusan Kompetensi Sikap Spiritual yaitu, “Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya”, adapun rumusan Kompetensi Sikap Sosial yaitu, “menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia”. Kedua kompetensi tersebut dicapai melalui pembelajaran tidak langsung (interect teaching), yaitu keteladanan, pembiasaan, dan budaya sekolah dengan memperhatikan karakteristik mata pelajaran, serta kebutuhan dan kondisi peserta didik. Penumbuhan dan pengembangan kompetensi sikap dilakukan sepanjang proses pembelajaran berlangsung, dan dapat digunakan sebagai pertimbangan guru dalam mengembangkan karakter peserta didik lebih lanjut. Kompetensi Inti 3 (pengetahuan) Kompetensi Inti 4 (Keterampilan) 3. Memahami menerapkan, dan 4. Kompetensi keterampilan, yaitu menganalisis pengetahuan faktual, Mengolah, menalar dan menyaji konseptual, prosedural dan meta dalam ranah konkret dan ranah kognitif berdasarkan rasa ingin tahunya abstrak terkait dengan tentang ilmu pengetahuan, teknologi, pengembangan dari yang seni, budaya, dan humaniora dengan dipelajarinya di sekolah secara wawasan kemanusiaan, kebangsaan, mandiri dan mampu menggunakan kenegaraan, dan peradaban terkait metode sesuai kaidah keilmuan penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar KI3 Kompetensi Dasar KI 4 3.5 menganalisis dan membandingkan 4.5 menyelesaikan masalah yang berkaitan transformasi dan komposisi transformasi dengan matriks transformasi geometri dengan menggunakan matriks (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi)

iii

INDIKATOR PENCAPAIAN SETIAP KOMPETENSI DASAR a. Indikator pencapaian kompetensi dasar 3.5 1) Memahami jenis-jenis transformasi (translasi, rotasi, dan dilatasi) yang berkaitan dalam kehidupan sehari-hari 2) Menemukan sifat-sifat translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi berdasarkan pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang koordinat 3) Menganalisis konsep translasi dengan menggunakan matriks 4) Menganalisis konsep refleksi dengan menggunakan matriks 5) Menganalisis konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat O(0,0) atau pusat P(p,q) dengan menggunakan matriks 6) Menganalisis konsep dilatasi pada faktor skala k dan pusat O(0,0) atau pusat P(p,q) dengan menggunakan matriks 7) Membandingkan keempat jenis transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) dengan menggunakan matriks 8) Menganalisis konsep komposisi transformasi (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi) dengan menggunakan matriks b. Indikator pencapaian kompetensi dasar 4.5 1) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri jenis translasi 2) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri jenis refleksi 3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri jenis rotasi 4) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri jenis dilatasi 5) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi matriks transformasi geometri

iv

Petunjuk Penggunaan Modul Agar Anda berhasil menguasai dan memahami materi dalam modul ini, lalu dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari, maka bacalah dengan cermat dan ikuti petunjuk berikut dengan baik, antara lain:  Bacalah basmalah terlebih dahulu agar diberikan kemudahan dalam mempelajari materi ini  Kerjakan lembar cek kemampuan untuk mengingat bilangan bulat yang sudah disediakan sebelum mempelajari materi pola bilangan.  Pahami materi dan selesaikan penugasan dengan seksama, sehingga isi materi ini dapat dipahami dengan baik  Kerjakan latihan-latihan dengan sungguh-sungguh sesuai dengan pemahaman yang sudah didapat pada materi

v

PENDAHULUAN Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, Yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan Eropa abad ke-18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola memberi dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi. Menurt sejarah, transformasi mulai dipelajari ketika seorang ilmuwan yang bernama Felix Klein mengemukakan sebuah teori dalam sebuah paper berjudul Erlangen Program. Felix Kelin mengatakan bahwa geometri adalah sebuah ilmu yang mempelajari tentang bangun yang bisa ditransformasikan ke dalam sebuah bentuk yang berbeda dan sifat-sifat bangun tidak tepengaruh karena perubahan yang dilakukan. Komposisi transformasi geometri ialah materi yang cukup untuk melatih kemampuan menggambar dan kemampuan matematika kita, sebab dengan perhitungan matematika yang tepat, kita bisa melakukan sesuatu terhadap bangun-bangun yang ada pada matematika ataupun didalam kehidupan sehari-hari. Transformasi geometri terdiri dari 4 jenis yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (penskalaan/perkalian). Apabila dalam proses transformasi melibatkan lebih dari satu transformasi maka disebut komposisi transformasi geometri. Beberapa bagian inilah yang menjadi inti pembahasan pada media pembelajaran kali ini. Berikut peta konsep materi transformasi geometri.

vi

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi adalah suatu operasi yang memetakan setiap titik pada bidang cartesius ke titik lainnya pada bidang tersebut. Misalnya suatu transformasi t titik P(x,y) dipetakan ke titik P’(x’,y’) dan ditulis P(x,y) → P’(x’,y’), maka titik P(x,y) disebut titik asal dan titik P’(x’,y’) disebut bayangan. Transformasi tersebut dapat juga dituliskan dalam bentuk (x’,y’) = t(x,y) A. Translasi (pergeseran) Coba amati benda-benda yang bergerak disekitar kamu. Benda-benda terseut hanya berubah posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Sebagai contoh, pergeseran buahbuah catur pada papan catur dalam permainan catur, misalnya kuda bergerak dua langkah ke kiri lalu tiga langkah ke atas/bawah. Kendaraan yang begerak dijalan raya, pesawat terbang yang yang melintas diudara, bahkan diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Nah, sekarang kita asumsikan bahwa pergerakan kearah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke arah sumbu x negatif adalah ke kiri, pergerakan ke arah sumbu y positif adalah ke atas, dan pergerakan ke arah sumbu y negatif adalah ke bawah. Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang tetap. Titik A(x,y) ditranslasikan oleh T= (𝑎𝑏) menghasilkan bayangan A’(x’,y’), ditulis 𝑥′ dengan (𝑦′ ) = (𝑦𝑥)+ (𝑎𝑏)

Contoh : 1. Dari gambar motif batik kuwung di bawah maka bagaimana bentuk translasinya ?

Gambar 1.1 Motif batik kawung 1

Penyelesaian : Motif kawung tersusun dari unsur berupa empat elips dengan suatu pusat. Unsur motif kawung disusun dengan melakukan translasi setiap titik pada suatu elips sehingga terbentuk motif kawung. Misalkan elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 dengan ) hasil translasi titik A= (3,1) adalah (31) + (−4 ) = (−1 ) sehingga vektor geseran u = (−4 −4 −4 −3 ). Hasil translasi pada titik A dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut ini titik A’ = (−1 −3

Gambar 2.2 Hasil translasi titik A Setiap titik yang terletak pada elips T ditranslasikan seperti translasi yang dilakukan terhadap titik A sehingga diperoleh hasil elips T’ dengan persamaan 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 8𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0. Seperti

pada gambar dibawah ini

Gambar 2.3 Hasil Translasi elips elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 2

Latihan soal 1.1: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! ), tentukan bayangan titik 1. Titik A(2,3) ditranslasikan dengan matriks translasi T = (−3 4 A! 2. Diketahui P’(-5,8) adalah bayangan dari titik P(-12,3) oleh translasi T= (𝑎𝑏). Tentukan nilai a dan b yang memenuhi! 3. Segitiga ABC dipetakan ke bayangan oleh suatu translasi yang memetakan titik A ke titik B. Koordinat-koordinat titik A,B, dan C berturut-turut adalah (2,5), (3,1) dan (2,4). a. Tentukan pemetaan yang mewakili translasi itu. b. Carilah koordinat-koordinat dari A’, B’, dan C’ yang merupakan bayanganbayangan dari A,B, dan C 1 ). Tentukan 4. Garis k dengan persamaan x + 2y = 8 ditranslasikan dengan T = (−3

bayangan titik tersebut ! 3 ) 5. Suatu lingkaran L : (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 dipetakan oleh translasi T = (−1

tentukan bayangan lingkaran tersebut!

4

Pengayaan : Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Tentukan koordinat hasil pergeseran titik A(-4, 7) oleh translasi T(6,-3)! 2. Tentukan hasil translasi ruas garis AB dengan A(-1,1) dan B(2,-3) ditranslasi oleh T(2,4)! 3. Diketahui segitiga ABC dengan A(-3, -1), B(-1,2), dan C(0, -4) ditranslasikan oleh T(5,3).tentukan hasil translasi segitiga terseut dan gambarkan hasil translasinya!

5

B. Refleksi (Pencerminan)

coba amati dirimu pada saat bercermin (pada cermin datar). Tentu saja, kamu pernah melihat bayangan dirimu dicermin, seperti contoh bayangan dirimu dipermukaan air, bayangan dirimu dikaca dan lain-lain. Kalau kamu amati, jarak dirimu ke cermin akan sama dengan jarak bayanganmu ke cermin. Sekarang akan dipelajari konsep pencerminan dengan pendekatan koordinat. Kita akan mengamati pencerminan (refleksi) objek pada bidang koordinat, dengan itu diasumsikan bahwa titik O(0,0) dan garis (sumbu x, sumbu y, y = x, y = -x) adalah cermin titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan A’ (y’,x’), ditulis 𝑥′ dengan (𝑦′ ) = (0−1 −10) (𝑦𝑥)

Contoh : 1. Dari gambar motif batik kuwung di bawah maka bagaimana bentuk refleksinya ?

Gambar 1.1 Motif batik kawung

Penyelesaian : Motif kawung tersusun dari unsur berupa empat elips dengan suatu pusat. Unsur motif kawung disusun dengan melakukan refleksi setiap titik pada suatu elips sehingga terbentuk

motif

kawung.

Misalkan

elips

𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0

direfleksikan terhadap sumbu x. hasil refleksi titik A= (3,1) adalah (31) (01

0 ) −1

3 ) = (−1

6

3 ). Hasil refleksi pada titik A dapat dilihat pada gambar 1.2 sehingga titik A’ = (−1

berikut ini

Gambar 2.4 Hasil refleksi titik A Setiap titik yang terletak pada elips T direfleksikan seperti refleksi yang dilakukan terhadap titik A sehingga diperoleh hasil elips T’ dengan persamaan 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 8𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0. Seperti

pada gambar dibawah ini

Gambar 2.5 Hasil refleksi elips elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 terhadap sumbu x 7

Latihan soal 1.2: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Tentukan bayangan titik A(-5,7) oleh pencerminan terhadap sumbu x! 2. Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat masing-masing A(1,2), B(4,4), dan C(5,1). Tentukan bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadap sumbu x dan lukislah segitiga dan bayangannya! 3. Tentukan bayangan garis 3x-2y = 6 yang dicerminkan terhadap sumbu x! 4. Tentukan bayangan titik A(4,-7) oleh pencerminan tehadap sumbu y! 5. Diketahui bangun datar trapesium dengan titik koordinat masing-masing A(1,1). B(6,1), C(5,4) dan D(2,4). Tentukan bayangan trapesium ABC jika dicerminkan terhadap sumbu y dan lukislah trapesium dan bayangannya!

8

Pengayaan: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Tentukan bayangan titik koordinat A(-4,5) dan B(7, -3) oleh refleksi terhadap garis y=x! 2. Diketahui jajar genjang dengan titik koordinat masing-masing A(3,1), B(7,1), C(9,4), dan titik D(5,4). Tentukan bayangan jajar genjang tersebut oleh refleksi terhadap garis y=x dan lukislah jajar genjang dan bayangannya! 3. Tentukan bayangan persamaan garis 4x-y = 12 oleh refleksi terhadap garis y = x ! 4. Tentukan bayangan titik P(-6,4) oleh pencerminan terhadap garis y = -x! 5. Dketahui bangun datar segilima dengan titik koordinat masing-masing A(-3,-3), B(1,-3), C(-1,-1), D(-3, 1) dan E(-4,-1). Tentukan bayangan bangun datar segilima oleh pencerminan terhadap garis y = -x dan tunjukkan gambar segilima dan bayangannya!

9

C. Rotasi (Perputaran) Coba kamu amati lingkungan sekitarmu! Objek apa yang bergerak berputar? Banyak contoh objek yang bergerak berputar, seperti: bumi berputar setiap hari pada porosnya, jarum jam bergerak berputar menunjukkan angka, kincir angin, kipas angin, dan lain-lain. Sekarang, kita akan membahas gerak berputar (rotasi) suatu objek dengan sudut putaran dan pusat putaran pada bidang koordinat. Rotasi adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar dengan pusat titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut titik pusat dan biasanya digunakan titik asal O(0,0). Rotasi dengan arah berlawanan arah jarum jam disebut dengan rotasi positif dan searah jarum jam disebut rotasi negatif. Jadi, dalam transformasi rotasi perlu diperhatikan titik pusat rotasi, besarnya sudut rotasi, dan arah rotasi Titik A(x,y) di rotasi sebesar 𝛼 dan pusat rotasi O(0,0) menghasilkan bayangan 𝑥′ A’(y’,x’), ditulis dengan (𝑦′ )= (𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠in α

−𝑠in α ) (𝑦𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝛼

Contoh : 1. Dari gambar motif batik kuwung di bawah maka bagaimana bentuk refleksinya ?

Gambar 1.1 Motif batik kawung

Penyelesaian : Motif kawung tersusun dari unsur berupa empat elips dengan suatu pusat. Unsur motif kawung disusun dengan melakukan rotasi setiap titik pada suatu elips sehingga terbentuk motif kawung. Misalkan elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 direfleksikan terhadap sumbu x kemudian dirotasi terhadap titik O(0,0). Hasil rotasi dapat dilihat pada gambar 2.6 berikut.

10

Gambar 2.6 Hasil Rotasi Latihan soal 1.3: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Jika titik A(4,-5) dirotasi dengan pusat O (0,0) dan sudut 90° berlawanan arah jarum jam maka tentukanlah bayangan titik tersebut! 2. Jika titik M(-3,7) dirotasi dengan pusat P(1,3) dan sudut 180° berlawanan arah jarum jam, maka tentukan bayangan titik tersebut! 3. Jika garis x-2y-4 = 0 dirotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut 90° berlawanan arah jarum jam maka tentukanlah bayangan garis terseut, kemudian gambarlah garis dan hasil rotasinya! 4. Jika lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 dirotasi dengan pusat P(2,-1) dan sudut 180° searah jarum jam maka tentukan bayangan lingkaran tersebut!

11

Pengayaan: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Tentukan bayangan persamaan-persamaan berikut oleh rotasi : a. 2y-3x+6 = 0 dengan sudut 𝛼 90° searah jarum jam pada pusat rotasi O(0,0) b. 2x+y = 10 dengan sudut 𝛼 90° searah jarum jam pada pusat rotasi P(1,1) c. y = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dengan sudut 𝛼 180° berlawanan arah jarum jam pada pusat rotasi P(2,-1)

12

D. Dilatasi Coba kamu berikan contoh perkalian (dilatasi) yang terjadi di lingkungan sekitarmu? Sebagai contoh, balon yang di tiup akan mengembang, karet gelang dapat direnggang, bila pada air kolam dijatuhkan sebuah batu ke dalamnya maka pada air terseut akan berbentuk gelombang yang semakin membesar. Semua itu membicarakan perkalian ukuran objek. Tetapi, pada pembahasan ini, konsep perkalian objek dengan pendekatan koordinat. Dilatasi adalah suatu transformasi dengan sebarang titik P dan banyangan P’ terletak pada satu garis lurus dari sebuah titik tetap. Titik A(x,y) didilatasi dengan pusat P(p,q) dan skala k menghasilkan bayangan 𝑥−𝑝 𝑝 𝑥′ A’(x’,y’) ditulis dengan ( ) = k (𝑦 − 𝑞)+(𝑞) 𝑦′ 1. Dari gambar motif batik kuwung di bawah maka bagaimana bentuk dilatasinya ?

Gambar 1.1 Motif batik kawung Penyelesaian : Motif kawung tersusun dari unsur berupa empat elips dengan suatu pusat. Unsur motif kawung disusun dengan melakukan dilatasi setiap titik pada suatu elips sehingga terbentuk motif kawung. Misalkan elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 didilatasikan terhadap titik O(0,0) dengan perbesaran -1. Hasil dilatasi dapat dilihat pada gambar 2.7 berikut.

13

Gambar 2.7 Hasil dilatasi elips 𝑇: 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 

Pada titik A(3,1) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala -1 maka diperoleh 𝑥 𝑥′ 3 −3 bayangan titik tersebut ( ) = k (𝑦) = (-1) ( ) = ( ) 𝑦′ 1 −1



Pada titik D’ (1,3) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala -1 maka diperoleh 𝑥 𝑥′ 1 −1 bayangan titik tersebut ( ) = k (𝑦) = (-1) ( ) = ( ) 𝑦′ 3 −3 Setiap titik yang terletak pada elips T dilatasikan seperti dilatasi yang dilakukan terhadap titik A dan D’

14

Latihan soal 1.4: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Jika titik A(-4,1) dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 3 maka tentukanlah bayangan titik tersebut! 2. Jika titik B(-1,6) dilatasi dengan pusat P(4,-3) dan skala 2 amka tentukanlah bayangan titik tersebut! 3. Jika garis 2x-4y+3 = 0 dilatasi dengan pusat P(1,-1) dan skala -2 maka tentukanlah bayangan garis tersebut!

15

Pengayaan: Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan baik dan benar! 1. Tentukan bayangan persamaan-persamaan berikut oleh dilatasi masing-masing : a. 2y-3x+6 = 0 dengan faktor skala k = 2 pada pusat O(0,0) b. 2x+y = 10 dengan faktor skala k = -2 pada pusat P(1,1) c. y = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dengan faktor skala k = 3 pada pusat P(2,-1)

16

KUNCI JAWABAN Latihan 1.1 𝑥 𝑎 𝑥′ 1. ( ) = (𝑦)+( ) 𝑏 𝑦′ ′ 𝑥 2 −3 ( ′) = ( ) + ( ) 𝑦 3 4 𝑥′ −1 ( )= ( ) 𝑦′ 7 Bayangan titik A adalah A’ (-1,7) 𝑥 𝑎 𝑥′ 2. ( ) = (𝑦)+( ) 𝑏 𝑦′ 𝑎 −12 −5 ( ) =( )+( ) 𝑏 3 8 𝑎 −12 −5 ( )= ( )−( ) 𝑏 3 8 𝑎 −7 ( )=( ) 𝑏 −5 Jadi, nilai a dan b yang memenuhi adalah -7 dan -5 3. Karena titik B merupakan bayangan dari titik A maka translasinya adalah 𝑎 3 2 ( )=( )+ ( ) 𝑏 1 5 𝑎 2 3 ( ) = ( )−( ) 𝑏 5 1 𝑎 −1 ( )= ( ) 𝑏 4 −1 Bayangan koordinat dari A,B dan C oleh translasi T = ( ) adalah 4 𝒙 𝒂 𝒙′ Titik Translasi Bayangan Titik ( ) = (𝒚)+( ) 𝒃 𝒚′ A(2,5) B(3,1) C(-2,4)

−1 ) 4 −1 ( ) 4 −1 ( ) 4 (

2 −1 1 ( )+( ) = ( ) 5 4 9 3 −1 2 ( )+( ) = ( ) 1 4 5 −2 −1 −3 ( )+( ) = ( ) 4 4 8

A’ (1,9) B’(2,5) C’(-3,8)

4. Secara aljabar dengan bentuk matriks Misalkan titik tersebut A(x,y) memenuhi persamaan k sedemikian sehingga: 𝑥 𝑥+1 𝑥′ 1 ( ) = (𝑦) + ( ) = ( ) 𝑦−3 𝑦′ −3 x’ = x+1 ↔ 𝑥 = 𝑥 ′ − 1 … … … … … … … … (1) y’ = y – 3 ↔ y = y’ + 3..............................(2) substitusi persamaan (1) dan (2) ke garis k maka ditemukan persamaan garis k setelah ditranslasi yaitu (x’ – 1) + 2(y+3) = 4 x-1 + 2y + 6 = 4 x + 2y = -1 jadi bayangan garis tersebut adalah x + 2y = -1 17

secara geometri dengan geogebra

5.

Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan L sedemikian sehingga: 𝑥 𝑥+3 𝑥′ 3 ( ) = (𝑦) + ( ) = ( ) 𝑦−1 𝑦′ −1 𝑥 ′ = 𝑥 + 3 ↔ 𝑥 = 𝑥 ′ − 3 … … … … … … … … … . (1) y’ = y-1 ↔ y= y + 1..............................................(2) Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan lingkaran L (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 maka ditemukan bayangan persamaan lingkaran setelah ditranslasi, yaitu: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 (𝑥 − 3 − 3)2 + (𝑦 + 1 − 1)2 = 9 (𝑥 − 6)2 + 𝑦 2 = 9 3 Jadi bayangan lingkaran oleh translasi T = ( ) adalah (𝑥 − 6)2 + 𝑦 2 = 9 −1 Secara geometri dengan geogebra

18

Latihan 1.2 𝒙′ 𝟏 1. ( ) = ( 𝒚′ 𝟎

𝟎 −𝟓 −𝟓 + 𝟎 −𝟓 )( ) = ( )=( ) −𝟏 𝟕 𝟎−𝟕 −𝟕

Jadi bayangan titik A(-5,7) adalah A’(-5,-7) 2. Bayangan segitiga ABC dengan koordinat masing-masing dapat dilihat pada tabel berikut Titik

Proses

Bayangan

A(1,2)

𝑥′ 1 0 1 1 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 2 −2

A’ (1,-2)

B(4,4)

𝑥′ 1 0 4 4 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 4 −4

B’(4,-4)

C(5,1)

𝑥′ 1 0 5 5 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 1 −1

C’(5,-1)

3. Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan garis 3x-2y = 6 sedemikian sehingga 𝒙 𝒙 𝒙+𝟎 𝟎 ) (𝒚 ) = ( ) = (−𝒚) 𝟎 − 𝒚 −𝟏

𝒙′ 𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

x’ = x ↔ 𝑥 = 𝑥 ′ … … … … … … (1) y’ = -y ↔ 𝑦 = −𝑦 … … … … … (2) jika persamaan (1) dan (2) disubstitusi ke persamaan garis 3x – 2y = 6 maka diperoleh

bayangan garis yaitu: 3x-2y=6 3(x)-2(-y)=6 3x+2y=6 𝒙′ 𝟏 4. ( ) = ( 𝒚′ 𝟎

𝟎 𝟒 𝟒+𝟎 −𝟒 )( ) = ( )=( ) −𝟏 −𝟕 𝟎−𝟕 −𝟕

Jadi bayangan titik A(4,-7) oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah A’(-4,-7) 5. Bayangan trapesium ABCD yang dicerminkan tehadap sumbu y dengan koordinat masing-masing dapat dilihat pada tabel berikut: Titik

Proses

Bayangan

A(1,1)

𝑥′ 1 0 1 1 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 1 −1

A’(-1,1)

B(6,1)

𝑥′ 1 0 6 −6 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 1 1

B’(-6,1)

C(5,4)

𝑥′ 1 0 5 −5 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 4 4

C’(-5,4)

D(2,4)

𝑥′ 1 0 2 −2 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦′ 0 −1 4 4

D’(-2,4)

19

Latihan Soal 1.3 1. Dengan menggunakan bentuk matriks, diperoleh 𝒙′ 𝒄𝒐𝒔90° ( )=( 𝒚′ 𝒔in90° 𝒙′ 𝟎 ( )=( 𝒚′ 𝟏

−𝒔in90° 𝟒 )( ) 𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° −𝟓

−𝟏 𝟒 )( ) 𝟎 −𝟓

𝒙′ 𝟎+𝟓 𝟓 ( )=( )( ) 𝒚′ 𝟒+𝟎 𝟒 Jadi, bayangan titik A(4,-5) oleh rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut 90° adalah A’(5,4) 𝒙′ 𝒄𝒐𝒔180° 2. ( ) = ( 𝒚′ 𝒔in180° 𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

−𝒔in180° −𝟑 − 𝟏 𝟏 )( )+( ) 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎° 𝟕−𝟑 𝟑

𝟎 −𝟒 𝟏 )( ) + ( ) −𝟏 𝟒 𝟑

𝒙′ 𝟒 𝟏 ( )= ( )+( )= ( 𝟓 ) 𝒚′ −𝟒 𝟑 −𝟏 Jadi bayangan titik M(-3,7) oleh rotasi tersebut adalah M’(5,-1) 𝒙′ 𝒄𝒐𝒔90° 3. ( ) = ( 𝒚′ 𝒔in90° 𝒙′ 𝟎 ( )=( 𝒚′ 𝟏

−𝒔in90° 𝒙 )( ) 𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° 𝒚

𝒙 −𝟏 ) = ( 𝒚) 𝟎

−𝒚 𝒙′ ( )=( ) 𝒙 𝒚′ x’ = -y ↔ y = -x’...........................(1) y’ = x ↔ x = y...............................(2) substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis x-2y-4=0 mala diperoleh x-2y-4=0 y’-2(x) -4 = 0 y’+2x’-4=0 2x’-y’-4=0 Jadi bayangan garis x-2y-4 = 0 oleh rotasi tersebut adalah 2x-y-4=0 𝒄𝒐𝒔(−180°) 𝒙′ 4. ( ) = ( 𝒚′ 𝒔in(−180°) 𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

−𝒔in(−180°) 𝒙 − 𝟐 𝟐 )( )+( ) 𝒄𝒐𝒔(−𝟏𝟖𝟎°) 𝒚 + 𝟏 −𝟏

𝒙−𝟐 𝟎 𝟐 )+( ) )( −𝟏 𝒚 + 𝟏 −𝟏

−𝒙 + 𝟒 −𝒙 + 𝟐 𝒙′ 𝟐 ( )=( )+( )=( ) −𝒚 − 𝟏 −𝒚 −𝟐 𝒚′ −𝟏 x’ = -x +4↔ x = -x’+4...........................(1) 20

y’ = -y-2 ↔ y’ = -y-2...............................(2) substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 mala diperoleh 𝑥2 + 𝑦2 = 4 (−𝑥 + 4)2 + (−𝑦 − 2)2 = 4 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 + 16 = 0 Jadi bayangan lingkaran adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 + 16 = 0

Latihan 1.4 𝒙 𝒙′ −𝟒 −𝟏𝟐 1. ( ) = 𝒌 (𝒚) = 𝟑 ( ) = ( ) 𝒚′ 𝟏 𝟑 Jadi bayangan titik A adalah A’(-12,3) 𝑥 𝑝 𝑝 𝑥′ 2. ( ) = 𝑘 ((𝑦) − (𝑞)) + (𝑞) 𝑦′ 𝑥′ −1 4 4 ( ) = 2 (( ) − ( )) + ( ) 𝑦′ 6 −3 −3 𝑥′ −𝟏𝟎 𝟒 −𝟔 ( )=( )+( ) =( ) 𝑦′ 𝟏𝟖 −𝟑 𝟏𝟓 Jadi bayangan titik B adalah B’(-6,15) 𝑥 𝑥′ 1 1 3. ( ) = −2 ((𝑦) − ( )) + ( ) 𝑦′ −1 −1 𝑥−1 −𝟐𝒙 + 𝟑 𝑥′ 𝟏 ( ) = 2( )+( )= ( ) 𝑦+1 −𝟐𝒚 − 𝟑 𝑦′ −𝟏 𝑥 ′ = −2𝑥 + 3 ↔ 𝑥 =

3−𝑥

𝒚′ = −𝟐𝒚 − 𝟑 ↔ 𝒚 =

−𝟑−𝒚′

2

..............(1)

𝟐

...............(2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan 2x-4y+3=0 diperoleh –x’+2y+12 = 0

21

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama Program PA. Jakarta: Yudistira Manulang Sudianto, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

22

23