Data Loading...

sample maths lout Flipbook PDF

sample maths lout

109 Views
8 Downloads
FLIP PDF 1.88MB

(c)

pada garis lurus penyuaian terbaik mestilah sama di kedua-dua belah garis lurus itu.

y

9 8

Contoh 1

7

5 4

12

1 –2

–1

0

1

2

3

8

E

–3

10 x

6

Graf hubungan linear kerana graf yang diperoleh ialah garis lurus

(d)

y

4

2

PL

16 12

M 4

–2

–1

0

1

2

3

x

SA

–3

–4

0

(b)

8

TINGKATAN 4

2

6

y

3

BAB

Tentukan sama ada setiap graf yang berikut ialah graf garis lurus penyuaian terbaik atau bukan. Berikan justifikasi anda. (a)

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

x

y

12 10 8

–8

6

–12

4 2

Graf hubungan tak linear kerana graf yang diperoleh berbentuk lengkung.

0

x

Penyelesaian (a) Graf garis lurus penyuaian terbaik kerana garis lurus itu melalui seberapa banyak titik yang mungkin, iaitu empat titik. Bilangan titik yang tidak terletak pada garis lurus juga seimbang di

Melukis Garis Lurus Penyuaian Terbaik bagi Graf Hubungan Linear 1 Suatu garis lurus penyuaian terbaik mestilah melalui seberapa banyak titik yang mungkin dan bilangan titik yang tidak terletak Isti la h Penti ng • Garis lurus penyuaian terbaik – Line of best fit

81

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 81

14/03/2022 2:19 PM

pemboleh ubah x dan y. Jadual berikut menunjukkan hasil eksperimen itu. x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

2.6

4.0

5.4

6.8

8.2

Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala yang sesuai pada paksi-x dan paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

Contoh 2

Jadual berikut menunjukkan nilainilai yang melibatkan dua pemboleh ubah, x dan y.

Penyelesaian y

x

0

10

20

30

y

32

56

78

112 160 210

50

70 9

E

BAB

6

TINGKATAN 4

kedua-dua belah garis lurus itu. (b) Bukan graf garis lurus penyuaian terbaik kerana kedua-dua titik yang tidak dilalui oleh garis lurus itu terletak di sebelah yang sama iaitu di sebelah bawah garis lurus itu.

8

Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala yang sesuai pada paksi-x dan paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

PL

7

6

5

4

M

Penyelesaian y 200

SA

180

120

80 60 40 20 30

40

50

60

70

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

1 Persamaan bagi garis lurus penyuaian terbaik dalam bentuk Y = mX + c boleh ditulis dengan menentukan nilai kecerunan, m dan pintasan-Y, c daripada mana-mana dua titik yang terletak pada garis lurus itu.

100

20

1

Membentuk Persamaan bagi Garis Lurus Penyuaian Terbaik

140

10

2

0

160

0

3

x

m=

Contoh 3

y2 – y1 2

2 X dan Y dalam persamaan Y = mX + c mewakili fungsi x atau y atau kedua-duanya

Satu eksperimen dijalankan untuk menentukan hubungan antara 82

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 82

14/03/2022 2:19 PM

Rajah berikut menunjukkan graf garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot y melawan x. y 8.0 (0.8, 7.0)

6.0 4.0

0

x

0.2 0.4 0.6 0.8

Contoh 3

Ungkapkan y dalam sebutan x.

E

Jadual berikut menunjukkan nilainilai pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen.

Penyelesaian 7.0 – 2.8 0.8 – 0.2 4.2 = 0.6 =7

PL

m=

SA

M

Daripada graf, pintasan-y = 1.4 Maka, persamaan garis lurus itu ialah 7 y = 7x + atau y = 7x + 1.4 5 Contoh 2

Rajah berikut menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot k2 melawan x2.

x

2

3

4

5

6

y

4.0

4.5

4.8

5.6

6.0

TINGKATAN 4

(0, 1.4)

6

(0.2, 2.8)

2.0

BAB

Penyelesaian 8–3 m= 6–1 5 = 6 =1 Dengan menggunakan titik (6, 8), Y = mX + c 8 = (1)(6) + c c=2 Y=X+2 k2 = x2 + 2 k = x2 + 2

Contoh 1

(a) Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf di (a), cari pintasan-y dan kecerunan garis lurus itu. (c) Tulis persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. Penyelesaiann (a)

k2

y

• (6, 8)

6 5 4

• (1, 3) 0

3 x2

2 1

Ungkapkan k dalam sebutan x.

0

1

2

3

4

5

6

x

83

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 83

14/03/2022 2:19 PM

log y 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

log10, y = 4

0.4

Mentafsir Maklumat Berdasarkan Garis Lurus Penyuaian Terbaik

0.3 0.2

E

1 Suatu garis lurus penyuaian terbaik boleh digunakan untuk menentukan nilai pemboleh ubah x atau y yang tiada dalam eksperimen tanpa perlu mengulangi eksperimen itu.

0.1

0

x=4

1

2

3

4

5

x = 5.3 x = 6.5

6

7

x

PL

TINGKATAN 4

6 BAB

Penyelesaian (a) Graf log10 y melawan x

(b) Daripada graf, pintasan-y = 3. Untuk mengira kecerunan, dua titik dipilih: (2, 4) dan (6, 6) 6–4 m = 6–2 2 = 4 1 = 2 Persamaan garis lurus penyuaian 1 terbaik ialah y = x + 3 2

Contoh 1

(b) (i) Apabila x = 4, log10 y = 0.5 (ii) Apabila log10 = 0.7, x = 6.5 (iii) Apabila y = 4, log10 4 = 0.6. Maka, x = 5.3 (c) Daripada graf, pintasan-log10 y = 0.18 Untuk mengira kecerunan, dua titik dipilih daripada graf, iaitu (1.5, 0.30) dan (4.5, 0.54). 0.54 – 0.30 m = 4.5 – 1.5 0.24 = 3.0

SA

M

Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan log10 y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. x

1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

y

0.30

0.42

0.54

0.66

0.78

(a) Plot graf log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf di (a), cari nilai (i) log10 y apabila x = 4, (ii) x apabila log10 y = 0.7, (iii) x apabila y = 4. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik.

= 0.08 Oleh itu, persamaan garis lurus penyuaian terbaik ialah log10 y = 0.08x + 0.18 Contoh 2

Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, 1 dan 1 yang x y diperoleh daripada suatu eksperimen. 84

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 84

14/03/2022 2:19 PM

1 x

0.68 0.50 0.33 0.26 0.20 0.17

1 y

0.55 1.50 2.35 2.81 3.05 3.25

Maka, 1 = 1.5 y y = 0.67 Apabila y = 0.4, 1 = 2.5 y 1 Maka, = 0.31 x x = 3.226 (c) Daripada graf, pintasan- 1 = 4.1 y Untuk mengira kecerunan, dua titik dipilih daripada graf, iaitu (0.4, 2.0) dan (0.31, 2.5). 2.5 − 2.0 m = 0.31−0.40 0.5 = –0.09 = −5.56 Oleh itu, persamaan garis lurus penyuaian terbaik ialah 1 = –5.56 1 + 4.1 (x) y

E

PL

SA

M

SEMAK CEPAT 6.1

4.0

1 Plot graf Y melawan X bagi setiap jadual nilai berikut. Seterusnya, tentukan sama ada graf itu ialah graf hubungan linear atau graf hubungan tak linear. Berikan justifikasi bagi jawapan anda. (a)

3.5 3.0

(b)

2.5

2.0

1.0 0.5 0

x

–2

–1

0

1

2

3

y

−7

−5

−3

−1

1

3

x

–3

–2

–1

0

1

2

y

6

1

−2

–3

–2

1

2 Satu eksperimen dijalankan untuk menentukan hubungan antara pemboleh ubah x dan y. Jadual berikut menunjukkan hasil eksperimen yang diperoleh.

1.5

TINGKATAN 4

1 y

6

Penyelesaian (a) Graf 1 melawan 1 y x

BAB

1 1 melawan , dengan y x menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi- 1 dan 2 cm x 1 kepada 0.5 unit pada paksi- . y Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf di (a), cari nilai (i) 1 apabila 1 = 0.4, y x (ii) y apabila x = 2, (iii) x apabila y = 0.4. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik. (a) Plot graf

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1 x

(b) (i) Apabila 1 = 0.4, 1 = 2.0 x y 1 Apabila x = 2, = 0.5 x

x

1

y

7.0

2

3

4

5

6

9.0 11.0 13.2 15.0 16.8

Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala yang sesuai pada paksi-x dan paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

85

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 85

14/03/2022 2:19 PM

Contoh 1

3 Rajah berikut menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh y dengan memplot log10 melawan x log10 x.

Tukarkan persamaan tak linear b y = ax + x kepada bentuk linear, Y = mX + c. Seterusnya, nyatakan Y, X, m dan c. b Persamaan tak linear y = ax + x Darabkan kedua-dua belah b y(x) = ax(x) + x (x) persamaan dengan x Bandingkan persamaan yx = ax2 + b

log10 y x

•

(0, 3)

•

log10 x

dengan Y = mX + c

Ungkapkan y dalam sebutan x. 4 Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan log10 y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. x log10

1

4

9

16

Y

=

m

X

+

c

yx

=

a

x

+

b

Maka, Y = xy, X = x2, m = a dan c = b

25

Kaedah Alternatif

0.12 0.25 0.45 0.74 1.11

y = ax +

(a) Plot graf log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 4 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf di (a), cari nilai (i) log10 y apabila x = 8, (ii) y apabila x = 0, (iii) x apabila log10 y = 1.0. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik yang telah dilukis.

b x

Persamaan tak linear Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan x

PL

y ax b = + 2 x x x y b = 2 +a x x y 1 =b 2 +a x x

M

( )

SA

6.2

2

E

BAB

6

TINGKATAN 4

(0, 8)

Y y x

Bandingkan persamaan dengan Y = mX + c

=

m

=

a

X 1 x2

+

c

+

b

y 1 Maka, Y = , X = 2 , m = b dan c = a x x

Contoh 2

Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear

Tukarkan persamaan tak linear y = abx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar kepada bentuk linear Y= mX + c. Seterusnya, tentukan Y, X, m dan c.

Mengaplikasikan Hukum Linear kepada Hubungan Tak Linear

Penyelesaian y = abx Persamaan tak linear log y = log a + x log b log y = x log b + log a

1 Suatu hubungan tak linear boleh ditukarkan kepada bentuk linear, Y = mX + c dengan menggunakan hukum linear. 2 Proses ini dilakukan supaya satu graf garis lurus dapat dilukis. 3 Daripada garis lurus, kecerunan dan pintasan-Y dapat diketahui.

Y

=

m

X

log y = log b x2

+

Ambil log pada kedua-dua belah persamaan

c

Bandingkan persamaan dengan Y = mX + c

+ log a

Maka, Y = log y, X = x, m = log b dan c = log a 86

RCAddMaths Tg4&5_B06(80-95)_vim1p.indd 86

14/03/2022 2:19 PM

Penyelesaian Contoh 1 menggunakan kalkulator saintifik. Langkah 1: Tekan butang MODE sehingga keluar paparan EQN MAT VCT. Kemudian tekan butang 1 . Langkah 2: Tekan butang anak panah ke kanan 1 kali sehingga keluar paparan DEGREE kemudian tekan butang 2 . Langkah 3: Masukkan nilai a kemudian tekan butang = . Ulangi langkah ini bagi nilai b dan c. Langkah 4: Faktor bagi persamaan kuadratik akan dipaparkan. Tekan butang = untuk melihat faktor seterusnya (jika ada). Jawapan: x = –0.2910 atau x = 2.2910

Contoh 2

Info Dinamik

E

Selesaikan persamaan kuadratik x2 – 2x – 3 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus.

René Descartes menerbitkan La Géométrie pada tahun 1637 yang mengandungi rumus kuadratik seperti yang dipelajari kini.

PL

BAB

2

TINGKATAN 4

Sudut Kalkulator

M

Penyelesaian x2 – 2x – 3 = 0 a = 1, b = –2, c = –3 2 –(–2) ± (–2) – 4(1)(–3) x= 2(1) Tentukan nilai bagi a, b dan 4 + 12 2± c dengan membandingkan = persaman yang diberi 2(1) dengan persamaan bentuk am 2 ± 4 + 12 = 2 Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus 2 ± 16 –b ± b – 4ab = x= 2a 2 2±4 Selesaikan untuk mendapat = nilai punca x 2 2±4 2±4 x= , x = 2 2 6 –2 = = 2 2 = 3 = –1

Contoh 3

SA

Selesaikan persamaan kuadratik –3x2 + 6x + 2 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus. Penyelesaian

2

–3x2 + 6x + 2 = 0 a = –3, b = 6, c = 2

Tentukan nilai bagi a, b dan c dengan membandingkan persaman yang diberi dengan persamaan bentuk am

–(6) ± (6)2 – 4(–3)(2) Masukkan nilai a, b dan c ke dalam 2(–3) rumus –b ± b – 4ab –(6) ± 36 + 24 x= 2a = –6 –6 ± 60 Selesaikan untuk = mendapat nilai punca x –6 –6 ± 60 –6 – 60 x= , x = –6 –6 = –0.291 = 2.291

x=

2

Maka, penyelesaian bagi persamaan x2 – 2x – 3 = 0 ialah x = 3 dan x = –1.

Maka, penyelesaian bagi persamaan –3x2 + 6x + 2 = 0 ialah x = 2.2291 dan x = –0.291. 20

RCAddMaths Tg4&5_B02(19-28)_vim1p.indd 20

14/03/2022 2:20 PM

3

2

Contoh 1

Cari julat nilai x bagi ketaksamaan kuadratik x (x – 1)  20 dengan menggunakan kaedah (a) lakaran graf, (b) garis nombor, (c) jadual.

()

PL

E

Oleh itu, punca-punca bagi persamaan 2 4 ini dan . 3 3 c Hasil darab punca: (α)(2α) = a p–1 2α2 = 3 6α2 = p – 1 6α2 + 1 = p 22 p=6 +1 3 4 =6 +1 9 11 = 3 11 ∴ 3p = 3 3 = 11

TINGKATAN 4

(a) kaedah lakaran graf (b) kaedah garis nombor (c) kaedah jadual Bagi persamaan kuadratik dalam bentuk ( x – a)( x – b) = 0, dengan keadaan a , b, (a) jika x , a atau x  b, maka ( x – a)( x – b)  0 (b) jika a , x , b, maka ( x – a)( x – b) , 0

BAB

Penyelesaian Susun persamaan kuadratik 3x2 – 6x = 1 – p kepada bentuk am: 3x2 – 6x + p – 1 = 0 a = 3, b = –6, c = p – 1 Katakan punca pertama ialah α. Maka, punca kedua ialah 2α. Oleh itu, b Hasil tambah punca: α + 2α = – a (–6) 3α = – 3 3α = 2 2 α= 3 2 4 = Punca kedua, 2α = 2 3 3

SA

M

() ()

( )

Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik

1 Ketaksamaan kuadratik menggunakan tanda ketaksamaan , ,  atau  dan bukannya =. Contohnya, x2 – 11x + 18  0 2 Kaedah-kaedah yang lazim digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah

Penyelesaian (a) Lakaran graf x (x –1  2 x2– x –2  0 ( x – 5)( x + 4)  0 Apabila ( x – 5)( x + 4) = 0, x = 5 atau x = –4. Daripada punca-punca ini, graf akan menyilang paksi-x pada titik x = 5 dan x = –4. Oleh sebab (x – 5)(x + 4)  0, maka julat nilai x akan ditentukan pada lengkung graf yang berada di bawah paksi-x.

–4

5

x

Maka, penyelesaian bagi ketaksamaan kuadratik ini ialah –4  x  5.

Isti la h Penti ng • Ketaksamaan kuadratik – Quadratic inequality

23

RCAddMaths Tg4&5_B02(19-28)_vim1p.indd 23

14/03/2022 2:20 PM

b2 – 4ac = 0

a

a

• Tidak mempunyai punca nyata • Graf tidak menyilang paksi-x

a

a

Contoh 1

E

Tentukan jenis punca bagi setiap fungsi kuadratik berikut apabila f(x) = 0. Kemudian, lakar graf fungsi tersebut dan buat satu generalisasi tentang kedudukan graf tersebut pada paksi-x. (a) f(x) = 2x2 + 7x – 22 (b) f(x) = –x2 + 6x – 9

a a , 0, maka graf f(x) merupakan satu parabola yang mempunyai satu titik maksimum dan menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja.

PL

BAB

2

TINGKATAN 4

b2 – 4ac  0

• Dua punca nyata yang sama • Graf menyentuh paksi-x hanya pada satu titik

Diberi paksi-x ialah tangen kepada graf fungsi kuadratik f(x) = x2 (h – 3)x + 3 – h. Cari nilai-nilai h.

SA

M

Penyelesaian (a) f(x) = 2x2 + 7x – 22 a = 2, b = 7, c = –22 b2 – 4ac = (7)2 – 4(2)(–22) = 225 ( 0) Oleh sebab nilai pembezalayan, b2 – 4ac . 0, maka fungsi kuadratik f(x) mempunyai dua punca nyata dan berbeza. Nilai a . 0, maka graf f(x) merupakan satu parabola yang mempunyai satu titik minimum dan menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. (b) f(x) = –x2 + 6x – 9 a = –1, b = 6, c = –9 b2 4ac = (6)2 – 4(–1(–9) = 0 Oleh sebab nilai pembezalayan, b2 – 4ac = 0, maka fungsi kuadratik f(x) mempunyai dua punca nyata yang sama. Nilai

Contoh 2

Penyelesaian Paksi-x ialah tangen kepada graf fungsi kuadratik f(x) = x2 + (h – 3)x + 3 – h bermaksud fungsi tersebut menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja. Maka, fungsi itu mempunyai dua punca nyata yang sama. a = 1, b = h – 3, c = 3 – h b2 – 4ac = 0 (h – 3)2 4(1)(3 – h) = 0 h2 – 6h + 9 – 12 + 4h = 0 h2 – 2h – 3 = 0 (h – 3)(h + 1) = 0 h = 3 atau h = –1

a

Contoh 3

Cari julat nilai m jika graf fungsi kuadratik f(x) = (m – 1)x2 – 2x + 6 tidak menyilang paksi-x. 28

RCAddMaths Tg4&5_B02(19-28)_vim1p.indd 28

14/03/2022 2:20 PM

Contoh 3

Titik P(3, 1) membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik M(6, 2) dan titik N(–6, –2). Cari nisbah MP : PN. Penyelesaian

y n

m

P(3, 1)

P(6, 2) x

N(–6, –2)

Diberi koordinat-x bagi P ialah 3. n(–6) + m(6) =3 m+n –6n + 6m = 3m + 3n 6m – 3m = 3n + 6n 3m = 9n m 9 3 = = n 3 1 Oleh itu, nisbah MP : PN ialah 1 : 3.

E

TINGKATAN 4

7 BAB

Penyelesaian C(x, y) ialah titik yang membahagikan AB dengan nisbah 3 : 1. Koordinat-x bagi C: y 1(–7) + 3(9) x= 3+1 A(–7, 3) –7 + 27 = 3 3+1 x =5 O Koordinat-y bagi C: (x, y) 1(3) + 3(–5) B(9, –5) y= 3+1 3 – 15 = 4 = –3 Maka, koordinat titik C ialah (5, –3). Contoh 2

PL

Diberi titik A(2, 4), P(2, 6), B dan M adalah segaris dengan keadaan AP : PB = 2 : 5 dan M ialah titik tengah bagi AB. Cari (a) koordinat titik B, (b) koordinat titik M.

Contoh 4

M

Satu garis lurus melalui titik P(–1, –4) dan Q(7, 8). Titik R membahagi tembereng garis itu dengan keadaan RQ = 3PR. Cari koordinat titik R.

SA

Penyelesaian (a) Andaikan titik B ialah (x, y). Koordinat-x bagi B: y 2(x) + 5(2) B(x, y) =2 7 2x + 10 = 14 m(x, y) 2x = 4 P(2, 6) x = 2 Koordinat-y bagi B: A(2, 4) 2(y) + 5(4) x =6 O 7 2y + 20 = 42 2y = 22 y = 11 Maka, koordinat titik B ialah (2,11). x1 + x2 y1 + y2 (b) M = 2 , 2 2 + 2 4 + 11 = 2 , 2 = (2,7.5) Oleh itu, koordinat titik M ialah (2, 7.5).

( (

)

Penyelesaian y RQ 3 = Q(7, 8) PR 1 Koordinat-x bagi R: 3 3(–1) + 1(7) x= x O 1+3 R(x, y) 1 –3 + 7 = 4 P(–1, –4) =1 Koordinat-y bagi R: 3(–4) + 1(8) y= 1+3 –12 + 8 = 4 =1 Maka, koordinat titik R ialah (1, –1).

)

98

RCAddMaths Tg4&5_B07(96-113)_vim1p.indd 98

14/03/2022 2:21 PM

(b) Nisbah jarak dari dua titik tetap adalah sentiasa malar (i) Lokus yang terbentuk bagi suatu titik bergerak P(x, y) dengan nisbah jarak m : n dari dua titik tetap A(x1, y1) dan B(x2, y2) ialah sebuah bulatan.

Contoh 1

Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P dengan keadaan jaraknya dari titik M(2, –2) ialah sentiasa 5 unit. Penyelesaian Katakan koordinat titik P ialah (x, y). Jarak P dari M = 5 (x – 2)2 + (y – (–2))2 = 5 (x – 2)2 + (y–(–2))2 = 25 x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 25 x2 + y2 – 4x + 4y – 17 = 0

7

P(x, y) n

BAB

m

Oleh itu, persamaan lokus bagi titik bergerak P ialah x2 + y2 – 4x + 4y – 17 = 0.

B(x2, y2)

Contoh 2

E

TINGKATAN 4

Lokus P

A(x1, y1)

Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(1,4) dan B(0,6) dalam nisbah 2 : 3. Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P.

(ii) Oleh itu, persamaan lokus itu boleh ditentukan dengan menggunakan rumus berikut: PA m = PB n

PL

(x – x2)2 + (y – y2)2

=

(x – x1)2 + (y – y1)2 m2 = (x – x2)2 + (y – y2)2 n2

=

2 3

(x – 1)2 + (y – 4)2 4 = (x – 0)2 + (y – 6)2 9 9[(x – 1)2 + (y – 4)2] = 4[(x – 0)2+ (y – 6)2] 9(x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16) = 4(x2 + y2 – 12y + 36) 9x2 – 18x + 9 + 9y2 – 72y + 144 = 4x2+ 4y2 – 48y + 144 5x2 + 5y2 – 18x – 24y + 9 = 0

(iii) Apabila PA : PB = 1 : 1, bentuk lokus yang terbentuk ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis AB. Maka, persamaan lokus bagi titik bergerak P ialah

(x – 1)2 + (y – 4)2

(x – 0)2 + (y – 6)2

SA

m n

M

(x – x1)2 + (y – y1)2

Penyelesaian Katakan koordinat titik P ialah (x, y). PA 2 = PB 3

PA = PB

(x – x1)2 + (y – y1)2 =

Contoh 3

Cari persamaan lokus bagi titik bergerak D(x, y) dengan keadaan jaraknya dari titik P(3, 4) dan titik Q(7, 10) adalah sentiasa sama.

(x – x2)2 + (y – y1)2 (x – x1)2 + (y – y1)2 = (x – x2)2 + (y – y2)2 Isti la h Penti ng • Persamaan lokus – Equation of a locus

108

RCAddMaths Tg4&5_B07(96-113)_vim1p.indd 108

14/03/2022 2:21 PM

3 Diberi titik A(p, 25) dan titik B(q, 1) ialah dua titik yang terletak pada 10 lengkung y = . x Cari (a) nilai p dan nilai q, [2 markah] (b) persamaan garis lurus AB, [2 markah] (c) cari persamaan-persamaan tangen kepada lengkung yang selari dengan garis lurus AB. [2 markah] Bahagian B

E

BAB

7

TINGKATAN 4

Cari (a) persamaan garis lurus PQ, [1 markah] (b) persamaan garis lurus OR, [1 markah] (c) koordinat titik R, [2 markah] luas segi tiga OPR. [3 markah]

PL

4 Rajah 3 menunjukkan kedudukan balai bomba, zoo dan sekolah pada satu satah Cartes. y

Balai bomba • A(–4, 9)

1 unit : 1 km

M

Zoo B(x, y) •

SA

2y

=–

x–

6

x Sekolah

•

C(2, –4)

Rajah 3

Diberi bahawa AB dan BC ialah dua batang jalan raya yang berserenjang di titik B. (a) Cari (i) persamaan jalan raya AB, (ii) koordinat zoo, (iii) jarak terdekat di antara balai bomba dengan sekolah. [8 markah] (b) Sebuah syarikat pemaju ingin membina laluan khas untuk basikal di sekeliling kawasan sekolah dengan keadaan jarak laluan basikal dari pusat kawasan sekolah adalah sentiasa 6 km. Cari persamaan lokus bagi laluan basikal itu. [2 markah]

112

RCAddMaths Tg4&5_B07(96-113)_vim1p.indd 112

14/03/2022 2:21 PM

Contoh 1

E

PL

Penyelesaian (a) y = f(x) = 4x2 δy = f(x + δx) – f(x) = 4(x + δx)2 – 4x2 = 4(x2 + 2xδx) + (δx)2] – 4x2 = 4x2 + 8xδx) + 4(δx)2 – 4x2 = 8xδx + 4(δx)2 δy = 8x + 4δx δx had δy δx → 0 δx = 8x + 4(0) dy Maka, = 8x dx (b) y = f(x) = 5 − 3x2 δy = f(x + δx) – f(x) = 5 – 3((x + δx)2 – (5 – 3x2) = 5 – 3[x2 + 2xδx + (δx)2] – 5 + 3x2 = 5 – 3x2 – 6xδx – 3(δx)2 – 5 + 3x2 = –6xδx – 3(δx)2 δy δx = –6x – 3δx had δy δx → 0 δx = –6x – 3(0) dy Maka, = –6x dx 3 (c) y = f(x) = 2 x δx = f(x + δx) – f(x) 3 3 – = (x + δx)2 x2 3x2 – 3(x + δx)2 = x2(x + δx)2 3x2 – 3[x2 + 2xδx + (δx)2] = x2(x + δx)2 2 3x – 3x2 – 6xδx + 3(δx)2 = x2(x + δx)2

SEMAK CEPAT 2.1

SA

M

2

TINGKATAN 5

Cari terbitan pertama bagi setiap fungsi berikut dengan menggunakan prinsip pertama. (a) y = 4x2 (b) y = 5 − 3x2 3 (c) y = 2 x (d) y = 6x3

BAB

–6xδx – 3(δx)2 x2(x + δx)2 δy –6x – 3δx = 2 δx x (x + δx)2 had δy –6x – 3(0) δx → 0 δx = x2(x + 0)2 dy –6x Maka, = 4 dx x 3 (d) y = f(x) = 6x δy = f(x + δx) – f(x) = 6(x + δx)3 – 6x3 = 6[x3 + 3x2δx + 3x(δx)2 + (δx)3] – 6x3 = 6x3 + 18x2δx + 18x(δx)2 + 6(δx)3 – 6x3 = 18x2δx + 18x(δx)2 + 6(δx)3 δy = 18x2 + 18xδx + 6(δx)2 δx had δy 2 2 δx → 0 δx = 18x + 18x(0) + 6(0) dy Maka, = 18x2 dx =

1 Nilaikan setiap yang berikut. (a) xhad → 3 (20 − 4x) 3x (b) xhad → 2 5x + 6 x–2 (c) xhad → 5 3x + 6 x+2 (d) xhad → –2 x2 – 4 x–1 (e) xhad → 1 x2 + 3x – 4 2 Cari nilai bagi setiap had yang berikut. 5 n (a) xhad →∞ 6 had 4x + 6 (b) x → ∞ 8x + 3

()

3x2 – 2 (c) xhad → ∞ 4x2 + 24 (d) xhad → 0 (5x + 7) 16x2 – x2 (e) xhad → 0 x2 + 4x 4+x –2 (f ) xhad →0 x

178

RCAddMaths Tg5_B02(175-xxx)_vim1p.indd 178

14/03/2022 2:25 PM

4 x = 4x–1 dy = (–1)(4x–1–1) dx = –4x–2 = – 42 x 5x3 (c) y = 18 dy 5 x3 – 1 =3 dx 18 5x2 = 6 4 (d) y = 2 x = –4x–2 dy = (–2)(4x–2 – 1) dx = –8x–3 8 = 3 x

(b) y =

dy bagi setiap fungsi y = f(x) yang dy berikut dengan menggunakan prinsip pertama. (a) y = 9x2 − 5 (b) y = 7x2 + 3x 1 (c) y = x 5 (d) y = 2 + 4 x

3 Cari

( )

Pembezaan Peringkat 2.2 Pertama

PL

SA

M

Contoh 2

(a)

(b) (c) (d)

dy bagi setiap fungsi berikut. dx y =5x2 4 y= x 5x3 y= 18 4 y= 2 x

Penyelesaian (a) y = 5x2 dy = (2)(5x2 – 1) dx = 10x

Cari f'(x) bagi setiap fungsi yang berikut. 2 (a) f(x) = 3 x (b) f(x) = 3 x 8 (c) y =

TINGKATAN 5

Cari

2

Contoh 1

BAB

1 Terbitan pertama bagi fungsi dy y = f(x) ditulis sebagai atau dx f'(x) dy = 0, dengan 2 Jika y = a, maka dx keadaan a ialah pemalar. dy 3 Jika y = ax, maka = a, dengan dx keadaan a ialah pemalar. dy 4 Jika y = axn maka = anxn – 1, dx dengan keadaan a dan n ialah pemalar.

E

Rumus Terbitan Pertama bagi Fungsi y = axn

x

(d) y = 6 Penyelesaian 2 (a) f(x) = 3 x = 2x–3 f'(x) = (–3)(2x–3 – 1) = –6x–4 6 =– 4 x (b) f(x) = 3 x 1

= x 3 1 1 –1 f'(x) = 3 (x 3 ) 1 –2 = x 3 3 1 = 2 3x 3 1 = 33 x 2

()

179

RCAddMaths Tg5_B02(175-xxx)_vim1p.indd 179

14/03/2022 2:25 PM

dv dv du =u +v dx dx dx = (x2 + 1)(3x2 + 4)+(x3 + 4x – 1)(2x) = 3x4 + 4x2 + 3x2 + 4 + 2x4 + 8x2 – 2x = 5x4 + 15x2 – 2x + 4 Apabila x = 1, dy = 5(14) + 15(12) – 2(1) + 4 dx = 22 (b) u = 2x – 3 dan v = (3x – 2)4 du dv = 2 = 4(3x – 2)4 – 1 (3) dx dx = 12(3x – 2)3 dv du f '(x) = u +v dx dx = (2x – 3)[12(3x – 2)3] + (3x – 2)4 (2) = (3x – 2)3 [12(2x – 3) + 2(3x – 2)] = (3x – 2)3 (24x – 36 + 6x – 4) = (3x – 2)3 (30x – 40) f '(1) = (3(1) – 2)3 (30(1) – 40) = –10

E

M

SA Contoh 2

(a) Diberi y = (x2 + 1)(x3 + 4x – 1), cari dy nilai apabila x = 1. dx (b) Diberi f(x) = (2x – 3) (3x – 2)4, cari f '(1).

TINGKATAN 5

(c) u = 2x + 1 dan v = (3x – 7)5 du dv = 2 = 5(3x – 7)5 – 1(3) dx dx = 15(3x – 7) = 4 dy dv du =u +v dx dx dx = (2x + 1)[15(3x – 7)4] + (3x – 7)5(2) = (3x – 7)4 [15(2x + 1) + 2(3x – 7)] = 3x – 7)4 (30x + 15 + 6x – 14) = (3x – 7)4 (36x + 1)

2

Jika suatu fungsi mudah untuk dikembangkan, maka pembezaan secara terus boleh dilakukan. y = x3(3x – 5)2 = x3(9x2 – 30x + 25) = 9x5 − 30x 4 + 25x3 dy = 45x5 − 120x4 + 75x2 dx

BAB

Kaedah Alternatif

Penyelesaian (a) u = x2 + 1 dan v = x3 + 4x – 1 du dv = 2x = 3x2 + 4 dx dx

PL

(b) u = x3 dan v = x2 – 2 du dv = 3x2 = 6x dx dx dy dv du =u +v dx dx dx = (2x2 + 1)(6x) + (3x2 – 2)(4x) = 12x3 + 6x + 12x3 – 8x = 24x3 – 2x (b) u = x3 dan v = (3x – 5)2 du du = 3x2 = 2(3x – 5)2 – 1(3) dx dx = 6(3x – 5) = 18x – 30 dy dv du =u +v dx dx dx = (x3)(18x – 30) + (3x – 5)2 (3x2) = 18x4 – 30x3 + 3x2 (9x2 – 30x + 25) = 18x4 – 30x3 + 27x4 – 90x3 + 75x2 = 45x4 – 120x3 + 75x2

Contoh 3

Bezakan setiap fungsi berikut terhadap x. (a) y = 8x 2x – 1 (b) y = 2x + 5 2 (3x – 2) Penyelesaian (a) u = 8x dan v = 2x – 1 du dv = 8 =2 dx dx du dv v –u dy dx dx = v2 dx = = 16x – 8 – 16x (2x – 1)2 8 = (2x – 1)2

183

RCAddMaths Tg5_B02(175-xxx)_vim1p.indd 183

14/03/2022 2:25 PM