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Tarea sobre Columnas Flipbook PDF

Tarea del curso de resistencia de materiales 2, de la carrera de ingeniería civil, septimo ciclo. Universidad de San Car

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Centro Universitario del Norte-CUNOR

Carrera de Ingeniería Civil Resistencia de Materiales II Ing. Byron Ligorría

“COLUMNAS”

Boris Humberto Rafael Tení Pinot 201440689

Octubre de 2016

ÍNDICE Carga Crítica ........................................................................................................................... 1 Razón de Esbeltez................................................................................................................... 1 Longitud Real ..................................................................................................................... 2 Factor de fijación en los extremos, K ................................................................................. 2 Longitud Efectiva Le .......................................................................................................... 2 Radio de giro r .................................................................................................................... 3 Clasificación de Columnas ..................................................................................................... 3 Razón de esbeltez de transición .......................................................................................... 3 Columnas cortas ................................................................................................................. 3 Columnas intermedias ........................................................................................................ 4 Columnas Largas ................................................................................................................ 4 Formula de Euler para Columnas Largas ............................................................................... 4 Formula de J.B. Johnson para columnas cortas ...................................................................... 7 Algoritmo de Solución ........................................................................................................... 8 Bibliografía ............................................................................................................................. 11

INTRODUCCIÓN Las columnas son elementos, relativamente largos, sometidos a carga axial de compresión; generalmente los estudiantes, y la mayoría de personas, están acostumbradas a ejemplificar, la compresión de un cuerpo, siempre con miembros cortos, ya que comúnmente se piensa que los elementos cargados a compresión fallan únicamente por cedencia. Las columnas fallan dependiendo, principalmente, de la relación existente entre la longitud y su radio de giro, llamada relación de esbeltez. La relación de esbeltez es determinante para seleccionar el tipo de análisis se le dará a la columna al ser evaluada su carga crítica. Los tipos de columnas son: Largas, Intermedias y Cortas, las columnas largas fallan por pandeo, las intermedias fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento, y las cortas fallan por aplastamiento. Los métodos de análisis existentes son: La fórmula de Euler para columnas y La fórmula de J.B. Johnson. La fórmula de Euler sirve únicamente para columnas consideradas de esbeltez larga y la formula de J.B. Johnson se utiliza en columnas de esbeltez corta e intermedia, principalmente para el diseño de las mismas. Las columnas, entre más largas, tienden a fallar por pandeo, una deformación lateral en las columnas, que es producida por la inestabilidad de la columna al soportar cierta carga, llamada carga crítica. 𝑃

Las columnas cortas se analizan fácilmente como un esfuerzo axial 𝜎 = 𝐴 con la fórmula de J.B. Johnson se puede calcular una carga crítica muy semejante a la calculada con la ecuación de esfuerzo axial, por lo que se utiliza esta ecuación principalmente en columnas intermedias y las largas, considerando el pandeo que sufrirían al fallar, con la ecuación de Euler.

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OBJETIVOS    

Definir una columna. Describir las columnas por sus dimensiones como largas, cortas e intermedias. Definir y calcular la relación de esbeltez. Describir los métodos de análisis matemático de las columnas dependiendo de sus relaciones de esbeltez.

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Columnas Las columnas son elementos estructurales largos y delgados que tienen como función principal soportar cargas axiales a compresión. Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. Algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresión y si dichos elementos son largos y delgados, son llamados columnas, la carga puede ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexión lateral o se ladee. En específico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresión axial y la deflexión lateral que se Figura 1. produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramática de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse.

Carga Crítica La carga axial máxima que puede soportar una columna cuando está al borde del pandeo se llama carga crítica. Cualquier carga adicional hará que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexión lateral, un colapso.

Razón de Esbeltez La medida de esbeltez de una columna ha de tener en cuenta la longitud, el perfil de la sección transversal y las dimensiones de la columna, y la manera de sujetar la misma en sus extremos, en los cuales se genera la carga y se dan reacciones. La medida de esbeltez más utilizada es la razón de esbeltez, que se define como: 𝑆𝑅 =

𝐾𝐿 𝐿𝑒 = 𝑟 𝑟

Donde 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

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𝐿𝑒 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎, 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐾 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑗𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 Longitud Real En una columna simple con carga aplicada en un extremo y la reacción creada en el otro, la longitud real es, obviamente, la longitud entre sus extremos, para columnas con medios de sujeción laterales se considera la longitud real entre los puntos de restricción, dados por los elementos. Factor de fijación en los extremos, K Mide que tanto los extremos rotarán. Por lo general se consideran tres tipos de extremos: extremo de pasador, extremo fijo y el extremo libre.

Soportes Columnas con extremo de pasador Columnas con extremos fijos Columnas con extremos libres Columnas con pasador y soporte fijo

Valor K 1 0.65 2.10 0.8

Longitud Efectiva Le Definida como la combinación de la longitud real con el factor de fijación en los extremos.

𝐿𝑒 = 𝐾𝐿

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Radio de giro r El radio de giro de una sección transversal está definido con la ecuación siguiente: 𝑟=√

𝐼 𝐴

Donde 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐴 = 𝑎́ 𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 Se debe utilizar el radio de giro menor, por lo que debe seleccionarse el eje sobre al cual se genere ese radio de giro, ya que sería el más probable para que se pandee la columna, el cual se encuentra en el que pasa la dimensión mínima, perpendicular a la misma.

Clasificación de Columnas Razón de esbeltez de transición Llamada también constante de columna, da una pauta para la clasificación de las columnas, por medio de su cálculo y el de la relación de esbeltez. 𝐶𝑐 = √

2𝜋 2 𝐸 𝑆𝑦

Donde: 𝐸 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑆𝑦 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

Se compara con 𝐿𝑒 de la siguiente forma: Si 𝐿𝑒 > 𝐶𝑐 la columna se considera larga. Si 𝐿𝑒 < 𝐶𝑐 la columna se considera corta. Además de ser un método para clasificar las columnas en largas o cortas, con el mismo se puede determinar el método que se utilizará para el cálculo de su carga crítica Columnas cortas Columnas de longitud corta que cumplen con la especificación de la razón de esbeltez y que fallan por aplastamiento al ser sometidas a compresión.

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Columnas intermedias Columnas que no pueden ser clasificadas como largas o cortas, fallan en una combinación de aplastamiento y pandeo. Columnas Largas Columnas de longitudes largas, que cumplen con la especificación de la relación de esbeltez como largas y que al ser cargadas a compresión fallan por pandeo.

Formula de Euler para Columnas Largas Base teórica publicada en 1757 por Leonard Euler, un matemático suizo. Ecuación valida únicamente para columnas largas calcula la carga crítica de una columna, dependiendo de sus propiedades físicas y geométricas. Se considera una viga apoyada con extremos articulados, como la mostrada en la figura 2a, que es una columna ideal lo que significa que es perfectamente recta antes de la carga, está fabricada de un

Figura 2.

Figura 3.

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material homogéneo y la carga se le aplica a través del centroide de su sección transversal. Además, se supone que el material se comporta de forma elástico lineal y que la columna se pandea o se dobla en un solo plano. En la realidad, las condiciones de rectitud de la columna y aplicación de la carga no se cumplen; sin embargo, el análisis realizado sobre una “columna ideal” es similar al usado para estudiar columnas inicialmente torcidas o aquellas en las que la carga se aplica en forma excéntrica. La columna mostrada en la figura 2a. se muestra deformada en la figura 3 en la que se muestra el momento interno generado en la columna al sufrir pandeo. En donde 𝒗 representa la distancia recta perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el eje original de la columna, la deformación de la columna, 𝒙 es la distancia recta medida desde uno de los extremos al punto que se analizará, 𝑷 es la carga aplicada a la columna y 𝑳 es la longitud equivalente de la columna. El sistema presentado anteriormente se puede modelar con la siguiente ecuación:

𝑑2𝑣 𝐸𝐼 2 = 𝑀 𝑑𝑥 Para la cual sabiendo que el momento de 𝑷 respecto al eje inicial es −𝑷𝒗 La ecuación se convierte en:

𝐸𝐼

𝑑2 𝑣 = −𝑃𝑣 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑣 𝑃 𝐸𝐼 2 + 𝑣 = 0 𝑑𝑥 𝐸𝐼 La anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. Mediante el uso de los métodos de ecuaciones diferenciales, o por sustitución directa en la ecuación anterior puede determinarse y demostrarse que la solución es: 𝑃 𝑃 𝑣 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 √ ) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 √ ) 𝐸𝐼 𝐸𝐼 La cual se reduce al utilizar las condiciones de frontera 𝑣 = 0 en 𝑥 = 0 entonces 𝐶2 = 0 y puesto que 𝑣 = 0 en 𝑥 = 𝐿 𝑃 )=0 𝐸𝐼

𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (𝐿√

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𝐶1 = 0 no puede cumplirse debido a que esto implicaría que la columna se encontrar siempre recta en todos sus puntos, lo cual sería inestable. Lo cual deja como solución:

𝑃 𝑠𝑒𝑛 (𝐿√ ) = 0 𝐸𝐼 Que se cumple siempre que: 𝐿√

𝑃 = 𝑛𝜋 𝐸𝐼

𝑃=

𝑛2 𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿2

En donde: 𝑛 = 1,2,3,4 … 𝑛 es el número de ondas que tendrá la forma flexionada de la columna, la cual solo es una en la práctica, por lo que se asume: 𝑛=1 Por lo que la ecuación para calcular la carga crítica es:

𝑃𝑐𝑟 =

𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿𝑒 2

Donde: 𝑃𝑐𝑟 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐸 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝐿𝑒 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎

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Al estar la carga crítica modelada por la ultima ecuación mostrada la ecuación de la deformación sería la siguiente:

𝑣 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋𝑥 ) 𝐿𝑒

En esta ecuación 𝐶1 representaría la deformación máxima de la columna.

Formula de J.B. Johnson para columnas cortas La ecuación de J.B. Johnson sirve para calcular la carga crítica en columnas cortas, ya que si se utilizara la ecuación de Euler esta arrojaría resultados no válidos.

𝑠𝑦 (𝑆𝑅 )2 𝑃𝑐𝑟 = 𝐴𝑠𝑦 [1 − ] 4𝜋 2 𝐸 Donde: 𝑃𝑐𝑟 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐸 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑆𝑅 = 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧 𝑆𝑦 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

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Algoritmo de Solución

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CONCLUSIONES  Las columnas son elementos estructurales largos y delgados que tienen como función principal soportar cargas axiales a compresión.  Las columnas largas fallan por pandeo, las cortas por aplastamiento y las intermedias por una combinación de ambos casos.  La relación de esbeltez es una medida de la esbeltez de una columna y se calcula con la razón de la longitud efectiva de una columna entre el radio de giro de la misma.  Existen las ecuaciones de Euler y J.B. Johnson para calcular la carga a compresión crítica de las columnas, las cuales se deben utiliza considerando la clasificación de las mismas, para columnas largas se usa la ecuación de Euler y para columnas cortas e intermedias se utiliza la ecuación de J.B. Johnson.

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BIBLIOGRAFÍA Fitzgerald, R. W. (1996). Mecánica de Materiales. México D.F.: Alfaomega grupo editor. Hibbeler, R. C. (2008). Mecánica de Materiales. Naucalpan de Juarez, México: Pearson Educación. Mott, R. L. (1996). Resistencia de Materiales Aplicada. Naucalpan de Juarez, México: Pearson Educación.

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