Data Loading...
Tema 4.-Cálculo de probabilidades Flipbook PDF
Tema 4.-Cálculo de probabilidades
237 Views
218 Downloads
FLIP PDF 1.51MB
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Tema 4.- Cálculo de probabilidades 1. Sucesos elementales equiprobables y no equiprobables . Diremos que los sucesos de un espacio muestral son equipropables cuando todos los elementos que lo conforman tienen igual oportunidad de ser elegidos , y en consecuencia tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo en el lanzamiento de un dado los seis resultado s posibles tienen la misma posi bilidad de aparecer. O el lanzamiento de una moneda, cada resultado (cara o cruz) tiene la misma probabilidad de ocurrencia (un 50%). Sucesos no equiprobables son aquellos que no tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, la probabilidad de sacar una bola d e la siguiente urna: El espacio muestral sería: = {rojo1, rojo2, azul1, azul2, azul3}. La probabilidad de sacar una bola roja o azul no es la misma, es mayor la de sacar bola azul, puesto que hay una más. Otro ejemplo sería el lanzamiento de un dado trucado. Un dado mellado o lijado por uno de sus bordes tendrá tendencia a caer con una determinada orientación y mostrar con más frecuencia unas caras que otras, entonces ya tod os los resultados no tienen la misma probabilidad de sa lir. Veremos que la regla de Laplace que utilizaremos parar hacer cálculos de probabilidad, sólo se puede aplicar cuando los sucesos del espacio muestral sean todos equiprobables.
2. Espacio muestral en experimentos sencillos. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Sacar una pelota de un baúl con pelotas rojas, amarillas, negras: = {Pelota amarilla, Pelota negra, Pelota Roja} Ejemplo: Girar una rueda de la fortuna con números del uno al 15: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Ejemplo: Lanzar una pelota a una canasta: ={La pelota entra, La pelota no entra} Ejemplo: Lanzar un dado de doce caras. Espacio muestral: = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
3. Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles (el espacio muestral). Si llamamos casos favorables a los resultados que forman el suceso A y casos posibles a los resultados posibles del experimento aleatorio, tenemos: Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 1
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
P( A)
Casos favorables a A Casos posibles
Ejemplo: Lanzamiento de un dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso A= Sacar un uno. P(A)= 1/6 Suceso B= Sacar un número par. P(B)= 3/6= 1/2 Ejemplo: Al girar una ruleta como la de la figura, ¿cuál es la probabilidad de cada color? Al encontrarnos en una situación de equiprobabilidad, aplicamos la Regla de Laplace para poder calcular la probabilidad de cada color, teniendo en cuenta que la ruleta se encuentra dividida en 12 partes. Los sucesos elementales presentan la misma probabilidad.
Ejemplo: Si extraemos una bola al azar de una urna que contiene 3 bolas verdes, 5 bolas blancas y 2 bolas azules, calcula la probabilidad de los suc esos A={obtener una bola verde}, B={obtener una bola blanca} y C={obtener una bola azul}.
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 2
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Ejemplo: Si lanzamos un dado al aire, calcula la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos: a) Sacar un número primo. b) Sacar un número menor que 5. Definimos en primer lugar el espacio muestral de mi experimento: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Aplicando la regla de Laplace, calculamos ahora las probabilidades de cada uno de los sucesos.
Ejemplo: De la baraja de cartas española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) b) c) d) e)
Sacar Sacar Sacar Sacar Sacar
un múltiplo de 2. un rey. un oro. una figura. una carta que no sea figura.
Aplicando la regla de Laplace, calculamos ahora las probabilidades de cada uno de los sucesos.
4. Tablas y diagramas de árbol sencillos. Hay veces en que escribir el espacio muestra l es algo complicado, por que tenemos un experimento compuesto. En esos casos utilizamos un diagrama de árbol para ver todos los resultados posibles. Por ejemplo el espacio muestral de lanzar tres veces una moneda: Si lo pongo “a ojo” como lo venimos haciendo: = {(C, C, C); (C, X, X); (C, C, X); (X, X, X)…}. Aunque intente poner todas las posibilidades, quizás me deje alguna. Para hacerlo de una forma sistemática , con la seguridad de no olvidar ningún resultado:
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 3
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Cada rama del árbol me da un suceso del experimento, sabemos con certeza que el espacio muestral en este caso consta de 8 elementos. Podemos calcular sin problemas cualquier probablidad sabiendo el espacio muestral: P(sacar al menos una cara)= 7/8 P(sacar al menos dos caras)= 4/8= 1/2 P(sacar ninguna cara)= 1/8 Si lanzamos la moneda 4 veces intentarlo ya “a ojo” es prácticamente imposible, pero con el diagrama de árbol se saca fácilmente .
También puedo multiplicar las probabilidades en una rama para llegar al resultado de la probabilidad. Es decir, la probabilidad de un camino es igual al Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 4
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
producto de las probabilidades de las ramas de ese camino. En el ejemplo del lanzamiento de la moneda 3 veces: Quiero calcular la probabilidad del suceso M: obtener tres caras.
Lo puedo hacer de dos formas: a) Por conteo: P(M)= 1/8. b) Multiplicando las probabilidades en cada rama: La rama que quiero es la marcada en azul (3 caras): 1/2·1/2·1/2= 1/8. Si me piden la probabilidad de un suceso en el que intervengan resultados de ramas diferentes tendré en cuenta que la probabilidad de un suceso es la s uma de las probabilidades de cada uno de los caminos que conduc en a la verificación del suceso (o sea, dentro de una rama se multiplican las probabilidades y entre ramas distintas se suman). Ejemplo: Una bolsa contiene tres bolas rojas y dos bolas azules . Extraemos, sucesivamente y con reposición, dos bolas y observamos su color. ¿Cuál es la probabilidad del suceso S: obtener una bola roja y una bola azul, sin importar el orden? Sólo tenemos que elaborar el diagrama de árbol con los diferentes result ados posibles en el que señalaremos los caminos favorables al proceso S.
La probabilidad de cada camino, aplicando Laplace, es:
Santiago Simón del Moral
3 2 6 P(R, A) · 5 5 25 2 3 6 P( A, R) · 5 5 25 6 6 12 P( S ) 25 25de la25 Escala de Cabos y Guardias Guardia Civil
Página 5
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected] 3 2 6
P(R, A) · 5 5 25 Finalmente, si sumamos las probabilidades de cada camino, obtenemos la 2 3 suceso 6 probabilidad S: P( A, R) del · 5 5 25 6 6 12 P( S ) 25 25 25
4. Probabilidad condicionada. Independencia. Imaginemos que tengo una urna con 5 bolas blancas y 3 negras. Si me piden la probabilidad de sacar una bola blanca por ejemplo, sería 5/8. Ahora la bola la dejo fuera (no la vuelvo a meter en la urna) y saco otra, calculando de nuevo la probabilidad.
En este caso los sucesos son dependientes, por que el resultado de la segunda probabilidad (4/7), depende de la primera. Serían independientes cuando hubiese reemplazamiento de la bola. Dos sucesos son independientes cuando el conocimiento de la ocurrencia de uno no mod ifica la probabilidad de aparición del otro. Ejemplo: Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las dos sean bastos en los casos siguientes: a) Sin reemplazamiento de la primera carta extraída. b) Con reemplazamiento de la primera carta extraída. Definimos los sucesos. Por ejemplo: C 1 : la 1ª carta es de bastos. C 2 : la 2ª carta es de bastos.
P(C1 )
12 48
Ahora calculamos la probabilidad de que la 2ª carta sea de bastos condicionada a que lo sea la primera. Pero ahora debemos tener en cuenta si la primer a carta se devuelve al mazo o no, antes de extraer la segunda. a) Tras la primera extracción, en el mazo quedan sólo 47 cartas, una menos que al principio. Además, si la carta extraída ha sido un basto, sólo quedan 11 de ellos:
P(C2 / C1 )
11 47
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 6
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
12 11 P( C12 )/ C1 ) · = 0,0585 48 47
b) Tras la primera extracción, en el mazo hay las mismas cartas que al principio. Luego el resultado de la primera extracción no afecta al resultado de la segunda. Así pues, C1 y C2 son sucesos independientes:
P(C2 / C1 ) P(C2 )
12 48
P(C1 ) · P(C2 / C1 ) P(C1 ) · P(C2 )
12 12 · 0,0625 48 48
Matemáticamente, los sucesos A y B son independientes, cuando: P(A
B) = P(A) · P(B).
En caso contrario se dice que son dependientes. Es muy importante no confundir independencia con incompatibilidad. Una cosa no implica otra. Incompatibles: A B = P(A B) = 0. Independientes: P(A B) = P(A) · P(B). Ejemplo: En una clase, el 60% son chicas y el 40% chicos. S i se sabe que el 10% de los alumnos de la clase escriben con la mano izquierda. ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente una chica que escriba con la mano izquierda? F={ser chica}. P(F)= 0,6. M={ser chico}. P(M)= 0,4. D={escribir con la mano izquierda}. P(D)= 0,1. Admitiendo que los sucesos D y F son independientes, (no depende el sexo para que se sea diestro o zurdo), la probabilidad solicitada es: P(F/D) = P(F)·P(D) = 0,6 · 0,1 = 0,06. Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 7
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 8
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Ejercicios 1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Cuál sería el espacio muestral de: a) b) c) d)
Se extraen sucesivamente tres bolas. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
Solución: a) b) c) d)
= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} A = {(b,b,b); (n, n,n)} B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
2. Un estudiante de Estadística se dispone a realizar un estudio sobre el tipo y las condiciones de la comida que le sirven en el comedor a diario. Para ello establece las siguientes clasificaciones:
Obtener, utilizando un diagrama de árbol, el espacio muestral del tipo y condiciones de las comidas. Solución:
3. Tenemos los sucesos A, B y C. Expresar en lenguaje de la teoría de conjuntos las siguientes operaciones entre ellos: a) Ocurren A y al menos uno de los otros dos. b) Ocurre, al menos, uno de los tres. c) Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B. d) No ocurre ninguno de los tres. Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 9
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Solución: a) A (B C). b) A B C.
(A d) A B c) C
B ). C.
4. Represente el espacio muestral resultante de lanzar dos dados de distinto color y calcular la probabilidad de obtener una suma de siete puntos. Solución:
5. Represente el espacio muestral resultante al lanzar dos dados del mismo color y calcular la probabilidad de obtener una suma de siete puntos. Comparar el resultado con el obtenido en el ejercicio anterior. Solución:
6. Representar el espacio muestral resultante al lanzar un dado dos veces. Calcular todas las probabilidades. ¿Cuánto suman las probabilidades de obtener todos los puntos posibles? Solución: = { ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 1, 6 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 2, 6 ), ( 3, 1 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ), ( 3, 6 ), ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ), ( 4, 5 ), ( 4, 6 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 ), ( 5, 5 ), ( 5, 6 ), ( 6, 1 ), ( 6, 2 ), ( 6, 3 ), ( 6, 4 ), ( 6, 5 ), ( 6, 6 ) }
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 10
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Suceso
Casos favorables
Nº de casos favorables
Probabilidad
{2}
( 1, 1)
1
1 / 36
{3}
( 1, 2 ), ( 2, 1 )
2
2 / 36
{4}
( 1, 3 ), ( 3, 1 ), ( 2, 2 )
3
3 / 36
{5}
( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 4, 1 )
4
4 / 36
{6}
( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 3, 3 ), ( 4, 2 ), ( 5, 1 )
5
5 / 36
{7}
( 1, 6 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ), ( 4, 3 ), ( 5, 2 ), ( 6, 1)
6
6 / 36
{8}
( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 )
5
5 / 36
{9}
( 3, 6 ), ( 4, 5 ), ( 5, 4 ), ( 6, 3 )
4
4 / 36
{ 10 }
( 4, 6 ), ( 5, 5 ), ( 6, 4 )
3
3 / 36
{ 11 }
( 5, 6 ), ( 6, 5 )
2
2 / 36
{ 12 }
( 6, 6 )
1
1 / 36
La suma de todas las probabilidades da lógicamente 1.
7. Un jugador lanza tres veces una moneda, si obtiene tres caras gana 10.000 €, si obtiene una o dos caras gana 1000 €, y si no obtiene ninguna cara pierde 16.000 €. ¿Es justo el juego? Solución:
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 11
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
8. Juan y Pedro juegan a una variante del juego de los chinos. Cada uno de ellos tiene tres chinos pudiendo seleccionar en una mano ninguno, uno, dos o los tres. A una señal los dos muestran los chinos seleccionados. Juan gana 100 € si sus chinos coinciden con los de Pedro o hay una diferencia de un único chino, mientras que Pedro gana 150 € en el resto de casos. a) Calcule la probabilidad de que gane Juan. b) ¿Qué cantidades deben ganar cada uno para que el juego sea justo?.
9. Se parte de que P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 y P(A a) P ( A b) P ( A
B) = 0,1. Obtener:
B ). B).
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 12
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
9. Una factoría produce un cierto artículo en tres cadenas de montaje. La cadena A fabrica el 50% del total, la cadena B el 30% y la C el 20%, con porcentajes defectuosos 0’03, 0’04 y 0’05 respectivamente. Un cliente decide analizar la calidad del producto para lo que selecciona una unidad al azar, ¿qué probabilidad hay de que dicha unidad resulte ser defectuosa?
10. Los alumnos de una determinada carrera se encuentran distribuidos en 5 cursos, de forma que en cada uno de los dos últimos cursos hay la mitad de alumnos que en cada uno de los tres primeros. Se pide que se calcule la probabilidad de que al escoger al azar a un alumno: a) Éste sea de cuarto. b) Le queden menos de tres cursos para acabar.
11. En una bolsa hay 3 dados. Uno de ellos es un dado normal, en otro dado la probabilidad de salir par es el doble de la de salir impar y, en el tercero, siempre sale par. Se elige un dado al azar y se lanza: a) Calcular la probabilidad de obtener número par. b) Calcular la probabilidad de obtener un cinco.
Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 13
C/Ferrocarril 22-35 San Fernando (Cádiz) Tfnos. 956 892224 – 627455755 [email protected]
Bibliografía: Apuntes T-4 Santiago Simón del Moral “Introducción a la Estadística”. Apuntes deProbabilidad, Dpto Estadística e Investigación Operativa, UCA Matemáticas II aplicadas a las Ciencias Sociales Guadiel. Tema 12. Santiago Simón del Moral
Escala de Cabos y Guardias de la Guardia Civil
Página 14