E-MODUL TRANSFORMASI GEOMETRI-converted Flipbook PDF

E-MODUL TRANSFORMASI GEOMETRI-converted

---

106 Views
63 Downloads
FLIP PDF 2.2MB

DOWNLOAD FLIP

REPORT DMCA

E-MODUL MATEMATIKA

E-MODUL

TRANSFORMASI GEOMETRI Berbasis Pendidikan Matematika Realistik SMA/MA

XI

E-MODUL MATEMATIKA

TRANSFORMASI GEOMETRI Berbasis Pendidikan Matematika Realistik Untuk SMA/MA Kelas XI

Oleh

: Della Frawidana

Dosen Pembimbing

: Dra. Hj. Fitrani Dwina, M.Ed.

Validator

: 1. Dr. Armiati, M.Pd 2. Dr. Suherman, S.Pd, M.Si

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2021

E-MODUL MATEMATIKA

Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT. Berkat

rahmat

dan

hidayah-Nya

penulis

dapat

menyelesaikan E-modul berbasis Pendidikan Matematika Realistik untuk SMA/MA. E-modul ini bertujuan untuk membantu peserta didik dalam memahami pembelajaran matematika materi. E-modul ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar matematika untuk membantu peserta didik agar mampu belajar mandiri. Dalam e-modul ini disajikan materi transformasi geometri kelas XI SMA/MA. Penulis menyadari sepenuhnya e-modul ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang ada relevansinya dengan e-modul ini senantiasa penulis harapkan.

Semoga

e-modul

ini

mampu

memberikan

manfaat dan mampu memberi nilai tambah kepada pemakainya. Padang,

Penulis

2021

E-MODUL MATEMATIKA

KATA PENGANTAR..................................................................................

i

DAFTAR ISI.............................................................................................

ii

PENDAHULUAN.....................................................................................

iii

Petunjuk Penggunaan E-Modul......................................................

iii

Deskripsi E-Modul........................................................................

iv

Kompetensi Dasar........................................................................

v

Indikator Pencapaian....................................................................

v

Peta Konsep..................................................................................

vi

Deskripsi Singkat Materi...............................................................

vii

KEGIATAN 1............................................................................................

1

TRANSLASI (Pergeseran).......................................................................

1

Uraian Materi................................................................................

2

Contoh Soal...................................................................................

8

Rangkuman...................................................................................

11

Latihan..........................................................................................

12

Pembahasan..................................................................................

13

Penilaian Diri.................................................................................

17

KEGIATAN 2............................................................................................

18

REFLEKSI (Pencerminan).......................................................................

18

Uraian Materi ...............................................................................

19

Contoh Soal..................................................................................

23

Rangkuman...................................................................................

38

Latihan..........................................................................................

39

Pembahasan..................................................................................

40

Penilaian Diri................................................................................

43

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................

45

PROFIL PENULIS...................................................................................

46

E-MODUL MATEMATIKA

Petunjuk Penggunaan E-modul

Untuk mempelajari E-modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari E-modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang

mendahului

merupakan

prasyarat

untuk

mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. 3. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Kerjakanlah soal latihan dan evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal latihan dan evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 5. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi E-modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

E-MODUL MATEMATIKA

E-modul berbasis pendidikan matematika realistik ini disusun dengan harapan dapat membarikan penjelasan materi

transformasi

khususnya

materi

Translasi

(pergeseran) dan Refleksi (pencerminan). Tujuan penyusunan e-modul berbasis pendidikan matematika realistik ini untuk memfasilitasi peserta didik dalam

memahami

materi

transformasi.

Selain

itu

diharapkan, dengan mengunakan e-modul ini peserta didik dapat belajar dengan mandiri, sehingga peserta didik dapat melakukan pembelajaran tanpa tergantung dengan penjelasan dari pendidik.

E-MODUL MATEMATIKA

Kompetensi Dasar

Indikator Pencapaian

3.5 Menganalisis dan 3.5.1 membandingkan transformasi komposisi

Menjelaskan

matriks

pada

pemakaian

transformasi

dan geometri dengan 3.5.2

mengunakan matriks

pada

Mengidentifikasi sifat-sifat

fakta

transformasi

geometri dengan menggunakan matriks 3.5.3

Menganalisis

dan

membandingkan

transformasi

dan

transformasi

komposisi

dengan menggunakan matriks 4.5

Menyelesaikan 4.5.1

Menyajikan masalah yang

masalah yang berkaitan berkaitan dengan matriks dengan

matriks 4.5.2

transformasi geometri untuk (translasi,

Menggunakan menyelesaikan

masalah

berkaitan

dengan

refleksi, yang

dilatasi dan rotasi)

prosedur

penggunaan

matriks

transformasi geometri

pada

E-MODUL MATEMATIKA

TRANSFORMASI

TRANSLASI (PERGESERAN)

REFLEKSI (PENCERMINAN)

Translasi Titik

Refleksi Terhadap Sumbu X

Translasi Kurva

Refleksi Terhadap Sumbu Y

Refleksi Terhadap Titik Asal O(0, 0)

Refleksi Terhadap Garis 𝒚=𝒙

Refleksi Terhadap Garis 𝒚=−𝒙

E-MODUL MATEMATIKA

Anak-anak, yuk disimak video pada link berikut ini !

Adapun pada E-modul ini kita hanya mempelajari materi Translasi dan Refleksi. Untuk mempelajari lebih

dalam

jenis

transformasi

geometri

tersebut, yuk kita belajar melalui kegiatan per kegiatan pada e-modul ini. “ Jika kamu tidak tahan lelahnya belajar, maka kamu harus sanggup menahan perihnya sebuah kebodohan” (imam syafi’i)

E-MODUL MATEMATIKA

1

Tujuan Pembelajaran Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 1 ini kalian diharapkan dapat : 1. Memahami pengertian translasi 2. Menentukan translasi pada titik 3. Menentukan translasi pada kurva

Petunjuk Mempelajari Kegiatan 1 1. Awali belajar dengan berdoa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada kegiatan 1 secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada buku tulis yang telah kamu siapkan

untuk

menjawab

pertanyaan-

pertanyaan yang ada 4. Kerjakan latihan soal pada kegiatan belajar 1 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu 5. Akhiri belajar dengan doa

“ILMU TIDAK AKAN SAMPAI PADA TUBUH YANG MALAS” -JAMAMI’ U BAYAANIL ‘ILMI WA FADHLIHI I/384 NO. 553DARUL IBNU JAUZI-

E-MODUL MATEMATIKA

Kali ini kita akan belajar lewat permainan yang sudah ada sejak 6M, apa itu ?

Ananda sudah pernah belajar bidang cartesius kan, coba ingat lagi gimana bentuk bidang cartesius?

Selain kita bisa menstranslasi titik tenyata bidang juga bisa di translasikan. Kira-kira Bagaimana ya ? Untuk menambah pemahaman, Silahkan translasi ke halaman selanjutnya

E-MODUL MATEMATIKA Interaktifitas Dari ilustrasi tadi apa yang kamu pahami dari translasi? Coba kamu tulis pada buku yang kamu siapkan

MASALAH 1 Jihan ingin berangkat ke sekolah. Jika Jihan berangkat dari rumah maka untuk sampai ke sekolah, Jihan harus berjalan 8 satuan ke arah barat dan berjalan 4 satuan ke arah selatan. Coba kamu sketsa pergerakan Jihan pada bidang cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakan Jihan dari rumah menuju sekolah?

Anak-anak, untuk mempermudah memahami konsep translasi kita bisa menggunakan bidang Cartesius. Gambarlah bidang cartesius pada buku yang sudah kamu siapkan

Dari titik-titik yang ada pada bidang cartesius, pilih satu titik sebagai posisi awal Jihan. Jawab pada buku tulis yang kamu siapkan Selanjutnya asumsikanlah pergeseran ke arah barat atau arah selatan jihan sesuai dengan arah mata angin pada sumbu x atau sumbu y pada bidang cartesius tersebut Jawab pada buku tulis yang kamu siapkan

Bagimana hasil gambar yang kamu peroleh ? Dan dimana posisi jihan pada koordinat kartesius tersebut? Jawab pada buku tulis yang kamu siapkan

E-MODUL MATEMATIKA Diskusi Kita dapat mengasumsikan untuk pergeseran ke kanan pada bidang cartesius merupakan sumbu X positif, pergeseran ke kiri merupakan sumbu X negatif, pergeseran ke atas merupakan sumbu Y positif dan pergeseran ke bawah merupakan sumbu Y negatif. Jika Masalah 1 kita sajikan dalam bidang Cartesius maka diperoleh gambar 2. Yuk kita perhatikan gambar 2 !

Jihan bergeser 8 satuan ke kiri Rumah Jihan

Jihan bergeser 4 satuan ke bawah

Sekolah

Jika kita melihat posisi rumah Jihan pada bidang Cartesius berada pada koordinat (3,2). Untuk menuju ke sekolah Jihan harus berjalan ke arah barat 8 satuan artinya posisi Jihan bergeser 8 satuan ke kiri dari posisi rumah pada bidang Cartesius. Selanjutnya Jihan harus berjalan lagi ke arah selatan 4 satuan artinya posisi Jihan bergeser 5 satuan ke bawah. Jika kita melihat pada bidang Cartesius pada saat tiba di sekolah posisi Jihan berada pada koordinat(−5,−2). Hal ini berarti: 3 −8 −5 ( )+( )=( ) 2 −4 −2 Jadi, posisi Jihan di sekolah terletak pada koordinat (−5,−2).

E-MODUL MATEMATIKA

MASALAH 2 Harris akan memindahkan laptop yang terletak pada meja dengan menggeser ke kanan sejauh 4 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan. Coba kamu sketsakan pergerakan laptop pada bidang cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakan laptop dari posisi awal ke posisi akhir?

Anak-anak dapatkah kalian mengilustrasikan masalah diatas dalam bidang cartesius? Ilustrasikan pada buku yang sudah kamu siapkan Anak-anak, jika perpindahan laptop diilustrasikan dalam bidang Cartesius maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Posisi awal laptop

Posisi akhir laptop

Anak-anak, untuk mempermudah kita memahami perpindahan laptop yang terjadi, kita bisa memisalkan laptop tersebut sebagai persegi panjang ABCD dan hasil perpindahan laptop kita misalkan sebagai persegi panjang A’B’C’D’. Agar mudah memahami yuk kita perhatikan gambar.

E-MODUL MATEMATIKA

Anak-anak, jika kita perhatikan persegi panjang A’B’C’D’ merupakan bayangan dari persegi panjang ABCD setelah ditranslasi. Dari hasil translasi tersebut diperoleh 𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′=𝐷𝐷′. Pergeseran 1 : Posisi awal titik 𝐴 adalah 𝐴(−7,1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐴′(1,4) Hal ini berarti : −7 8 1 ( )+( ) = ( ) 1 3 4 Pergeseran 2 : Posisi awal titik 𝐵 adalah 𝐵(−2,1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐵′(6,4) Hal ini berarti : −2 8 6 ( )+( ) = ( ) 1 3 4 Pergeseran 3 : Posisi awal titik 𝐶 adalah 𝐶(−2,4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐶′(6,7) Hal ini berarti : −2 8 6 ( )+( ) = ( ) 4 3 7

E-MODUL MATEMATIKA Pergeseran 4 : Posisi awal titik 𝐷 adalah 𝐷(−7,4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐷′(1,7) Hal ini berarti : −7 8 1 ( )+( ) = ( ) 4 3 7

Pergeseran setiap titik pada uraian di atas dapat disajikan secara lebih sederhana dalam Tabel. Tulis pada buku yang sudah kamu siapkan

Titik awal

Titik akhir

Proses

Hasil

Berdasarkan pengamatan pada Tabel dan ilustrasi pada video di atas, secara umum diperoleh konsep : Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak yang sama. 𝑎 Titik 𝐴(𝑥,𝑦) ditranslasikan oleh 𝑇( ) menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑥′,𝑦′) ditulis 𝑏 dengan: 𝑎 𝑇( ) 𝑏 A′ (x ′ , y ′ )

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′

𝑎 Catatan : Titik A’ disebut bayangan titik A oleh translasi 𝑇= ( ) 𝑏

E-MODUL MATEMATIKA Anak-anak, untuk lebih memahami konsep translasi, mari kita simak contoh soal berikut: CONTOH SOAL 1 Terdapat motif batik pada suatu bidang kartesius

yaitu

A(1,2),

dilakukan

translasi

bayangan

motif

A

motif

T(6,4), dari

tersebut

dimana hasil

letak

translasi

tersebut? Alternatif penyelesaian : 6 𝑇=( ) 4

6 𝑇( ) 4

𝐴’(7,6)

A′ (x ′ , y ′ )

𝐴(1,2)

𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′

𝐴(2.1)

𝑥′ 1 6 ( )=( )+( ) 𝑦′ 2 4 𝑥′ 7 ( )=( ) 𝑦′ 6

CONTOH SOAL 2

Sebuah bidak catur berada pada titik A(6,1) ditranslasikan T(3,4), tentukan hasil translasi bidak tersebut?

Alternatif penyelesaian: Pada soal diketahui koordinat titik 𝐴(6,1) artinya 𝑥=6 dan 𝑦=1 akan ditranslasikan oleh 𝑇(3,4) artinya 𝑎=3 dan 𝑏=4 sehingga dapat dituliskan:

E-MODUL MATEMATIKA 3 𝑇( ) 4 A′ (x ′ , y ′ )

𝐴(6,1) 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 𝑥′ 6 3 ( ′) = ( ) + ( ) 𝑦 1 4 𝑥′ 9 ( )=( ) 𝑦′ 5 Hasil translasi bidak adalah A’(-1,7) CONTOH SOAL 3

Pada layar HP terdapat beberapa aplikasi pada menu, ikon facebook berada pada titik (2,4), akan 2 ditranslasikan ke posisi ( ). Bagaimana hasil −2 translasi ikon facebook tersebut?

Alternatif penyelesaian : 2 𝑇( ) −2 A′ (x ′ , y ′ )

𝐴(2,4)

𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 𝑥′ 2 2 ( )=( )+( ) 𝑦′ 4 −2 𝑥′ 4 ( )=( ) 𝑦′ 2 Jadi hasil translasi ikon facebook tersebut adalah (4,2)

E-MODUL MATEMATIKA

CONTOH SOAL 4 Terdapat sebuah motif yang membentuk garis pada kain songket. Apabila kain tersebut kita ketahui persamaannya 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 jika −2 di translasi oleh T =( ). Dimana letak bayangan dari garis tersebut? 3 Alternatif penyelesaian: Pada soal diketahui persamaan garis 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 akan ditranslasikan oleh −2 T=( ) artinya 𝑎 = −2 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3 3 Misal titik 𝐴(𝑥,𝑦) memenuhi persamaan 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 sehingga ; −2 𝑇( ) 3 A′ (x ′ , y ′ )

𝐴(−2,3) 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 𝑥 𝑥′ −2 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) 𝑦 3 𝑥−2 𝑥′ ( )=( ) 𝑦 +3 𝑦′ Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh:

𝑥′ = 𝑥 − 2 → 𝑥 = 𝑥′ + 2 𝑦′ = 𝑦 + 3 → 𝑦 = 𝑦′ − 3 Subsitusi 𝑥 = 𝑥 ′ + 2 dan 𝑦 = 𝑦 ′ − 3 ke persamaan garis 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 2(𝑥 ′ + 2) + 3(𝑦 ′ − 3) − 6 = 0 2𝑥 ′ + 4 + 3𝑦 ′ − 9 − 6 = 0 2𝑥 ′ + 3𝑦 ′ + 4 − 9 − 6 = 0 2𝑥′ + 3𝑦′ − 11 = 0 Jadi persamaan bayangan garis adalah 2𝑥 + 3𝑦 − 11 = 0

E-MODUL MATEMATIKA

“ sesungguhnya orang-orang yang beriman, dan

orang-orang

yang

berhijrah

dan

berjihad dijalan Allah, mereka itulah yang mengharapkan rahmat Allah. Allah Maha Pengampun, Maha Penyayang” Q.S Al-Baqarah:218

1. Translasi

(pergeseran)

adalah

transformasi

yang

memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. 2. Titik

𝐴(𝑥, 𝑦)

ditranslasikan

oleh

𝑇(𝑎, 𝑏)

menghasilkan

bayangan 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan 𝑎 𝑇( ) 𝑏 𝐴(𝑥, 𝑦)

A′ (x ′ , y ′ )

𝑥 𝑎 𝑥′ 3. Bentuk persamaan matriks translasi : ( ′ ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦 𝑎 4. 𝑇( ) disebut komponen translasi, 𝑎 merupakan pergeseran 𝑏 secara horizontal dan 𝑏 merupakan pergeseran secara vertikal. 5. Titik 𝐴′ disebut bayangan titik 𝐴 yang telah ditranformasi.

E-MODUL MATEMATIKA

1. Sebuah bidak pada catur ada pada posisi 𝐴(3,5) kemudian ditranslasi 2 𝑇( ) Maka translasinya adalah? 4 2. Diketahui sebuah motif berbentuk titik berada pada posisi 𝑃′(4,−12) −9 ) Koordinat titik 𝑃 8

adalah bayangan motif titik P oleh translasi 𝑇( adalah..

1 ). Persamaan hasil −2

3. Garis 𝐿: 2𝑥 − 3𝑦 + 12 = 0 ditranslasikan oleh 𝑇( translasi garis L adalah …

−1 ) menghasilkan garis 𝑔′: 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 3

4. Garis 𝑔 ditranslasikan oleh 𝑇( 0. Persamaan garis 𝑔 adalah …

5. Diketahui translasi kurva oleh 𝑇(

1 ) menghasilkan bayangan 𝑦 − 𝑥 2 − −2

1 = 0. Tentukan persamaan kurva awal.

E-MODUL MATEMATIKA

No 1.

Pembahasan soal

Skor

2 koordinat titik 𝐴(3,5) akan ditranslasikan oleh 𝑇( ) 4 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ ′ 𝑥 3 2 ( ′) = ( ) + ( ) 5 4 𝑦

2 3

′

𝑥 3+2 ) ( ′) = ( 5+4 𝑦 𝑥′ 5 ( ′) = ( ) 9 𝑦 Jadi, koordinat bidak setelah di translasikan adalah A’(5, 9) 2.

−9 Diketahui titik 𝑃′(4,−12) ditranslasikan 𝑇 = ( ) 8 Untuk mencari koordinat titik P kita gunakan konsep translasi 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 𝑥 4 −9 ( ) = (𝑦) + ( ) −12 8 𝑥 4 −9 ( ) — ( ) = (𝑦) −12 8 𝑥 (−9) (4 − ) = (𝑦 ) −12 − 8

2

3

𝑥 13 ( ) = (𝑦) −20 Jadi, koordinat titik 𝑃(13,−20) 3.

Diketahui persamaan garis 2𝑥 − 3𝑦 + 12 = 0 ditranslasikan 1 oleh 𝑇( ) −2 Misal titik 𝐴(𝑥,𝑦) memenuhi persamaan 2𝑥−3𝑦+12=0 sehingga 2

E-MODUL MATEMATIKA

1 𝑇( ) −2

𝐴(𝑥, 𝑦)

A′ (x ′ , y ′ )

𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 𝑥 𝑥′ 1 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) −2 𝑦 𝑥+1 𝑥′ ( )=( ) 𝑦−2 𝑦′ Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh: 𝑥′ = 𝑥 + 1 → 𝑥 = 𝑥′ − 1 𝑦′ = 𝑦 − 2 → 𝑦 = 𝑦′ + 2 Subsitusi 𝑥 = 𝑥 ′ − 1 dan 𝑦 = 𝑦 ′ + 2 ke persamaan garis 2x − 3y + 12 = 0 2x − 3y + 12 = 0 2(𝑥 − 1) − 3(𝑦 ′ + 2) + 12 = 0 2𝑥 ′ − 2 − 3𝑦 ′ − 6 + 12 = 0 2𝑥 ′ − 3𝑦 ′ − 2 − 6 + 12 = 0 2𝑥 ′ − 3𝑦 ′ + 4 = 0 Jadi, persamaan bayangan garis 𝑙 adalah 2𝑥−3𝑦+4=0 ′

4.

3

2

3

−1 Garis 𝑔 ditranslasikan oleh 𝑇( ) menghasilkan garis 𝑔′: 3𝑥 − 3 2𝑦 − 6 = 0 Misal titik 𝐴’(𝑥’,𝑦’) memenuhi persamaan 𝑔′ : 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 sehingga −1 𝑇( ) 3 𝐴(𝑥, 𝑦)

2

A′ (x ′ , y ′ )

𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ ′ 𝑥 𝑥 −1 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) 3 𝑦 𝑥−1 𝑥′ ( )=( ) 𝑦+3 𝑦′ Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh: 𝑥′ = 𝑥 − 1 𝑦′ = 𝑦 + 3 Subsitusi 𝑥 ′ = 𝑥 − 1 dan 𝑦 ′ = 𝑦 + 3 ke persamaan garis 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0

3

2

E-MODUL MATEMATIKA 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 3(𝑥 − 1) − 2(𝑦 + 3) − 6 = 0 3𝑥 − 1 − 2𝑦 − 6 − 6 = 0 3𝑥 − 2𝑦 − 1 − 6 − 6 = 0 3𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0

3

Jadi persamaan garis 𝑔 adalah 3𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0 5.

1 Diketahui translasi kurva oleh 𝑇( )menghasilkan bayangan −2 𝑦 − 𝑥 2 − 1 = 0. Tentukan persamaan kurva awal Karena kurva 𝑦 − 𝑥 2 − 1 = 0 adalah bayangan dari kurva awal, maka kita bisa menuliskan persamaannya dengan: 𝑦′ − (𝑥 ′ )2 − 1 = 0 𝑥 𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ ′ 𝑥 𝑥 1 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) −2 𝑦 Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh: 𝑥′ = 𝑥 + 1 𝑦′ = 𝑦 − 2 Subsitusi 𝑥 ′ = 𝑥 + 1 dan 𝑦 ′ = 𝑦 − 2 ke persamaan garis 𝑦′ − (𝑥 ′ )2 − 1 = 0 𝑦′ − (𝑥 ′ )2 − 1 = 0 𝑦 − 2 − (𝑥 + 1)2 − 1 = 0 𝑦 − 2 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 − 1 = 0 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 − 2 − 1 − 1 = 0 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 Jadi persamaan kurva awalnya adalah 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

2

3

2

3

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒌𝒐𝒓

Rumus tingkat penguasaan=𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝟏𝟎𝟎%

E-MODUL MATEMATIKA Kriteria: 90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran

E-MODUL MATEMATIKA

Anak-anak, isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.

N0 1. 2. 3.

Kemampuan diri Apakah kalian memahami pengertian translasi? Apakah kalian dapat menentukan translasi dari suatu titik? Apakah kalian dapat menentukan translasi dari suatu kurva?

Ya

Tidak

Catatan: Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Berlindung dari sifat lemah dan malas “Allahumma inni a’udzu bika minal hammi wal hazan, wa a’udzu bika minal ‘ajzi wal kasal. Wa a’udzu bika min ghalabatid daini wa qahrir rijal” Ya Allah aku berlindung kepada-Mu dari bimbang dan sedih, aku berlindung kepada-Mu dari lemah dan malas, aku berlindung kepada-Mu dari sifat pengecut dan kikir, aku berlindung kepada-Mu dari lilitan Hutang dan tekanan orang-orang kuat.

E-MODUL MATEMATIKA

Tujuan Pembelajaran Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 2 ini kalian diharapkan dapat: 1. Memahami pengertian refleksi (pencerminan) 2. Memahami sifat-sifat refleksi 3. Menentukan refleksi terhadap sumbu X 4. Menentukan refleksi terhadap sumbu Y 5. Menentukan refleksi terhadap titik O(0, 0) 6. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=𝑥 7. Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=−𝑥

Petunjuk Belajar Kegiatan 2

1.

Awali belajar dengan berdoa

2.

Baca dan pahami uraian materi yang ada pada kegiatan 2 secara runtut halaman per halaman

3.

siapkan buku tulis untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang ada

4.

Kerjakan latihan soal pada kegiatan belajar 1 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu 6. Akhiri belajar dengan doa

E-MODUL MATEMATIKA

Pada gambar diatas, terlihat hasil foto yang sangat cantik dengan bayangannya. Coba kamu perhatikan bagaimana penampakan bayangan pada foto tersebut, apakah ukurannya sama dengan bangunan aslinya? Jika iya, berikan penjelasan bagaimana cara kamu menentukannya? Coba kamu amati benda/objek yang ada disekitar mu yang mengunakan konsep pencerminan, dengan berfokus pada bentuk dan ukurannya, tersebut?

menurutmu

bagaimana

sifat

pencerminan

objek

E-MODUL MATEMATIKA

Seperti terlihat pada foto, hasil bayangan arsitektur terhadap air, untuk menjawab pertanyaan pertama kita dapat mengilustrasikan arsitektur kedalam bidang cartesius. Jawab pada buku yang telah kamu siapkan

Berdasarkan ilustrasi tersebut, apakah yang dapat kamu pahami dari konsep refleksi secara umum dan sifat-sifatnya?

Tulis pada buku yang sudah kamu siapkan

E-MODUL MATEMATIKA Jadi dapat kita simpulkan : Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin.

Sifat-sifat Refleksi: 1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan 2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin 3. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan saling sejajar

Jenis-jenis Refleksi : 1. Refleksi terhadap sumbu 𝒙 Kita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu x dengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Perhatikan gambar berikut: KONTEKS

E-MODUL MATEMATIKA MODEL Kita pindahkan gambar gedung tersebut kedalam bidang kartesius pada pencerminan terhadap sumbu x

Objek awal

C

B

A

B’ A’ Hasil refleksi

C’

INTERAKTIFITAS Coba kamu amati beberapa titik terhadap sumbu x pada koordinat kartesius diatas, kemudian kamu tuliskan titik-titik tersebut beserta bayangannya seperti pada tabel dibawah ini pada buku yang sudah kamu siapkan! Titik Koordinat bayangan A(2,2) A’(1,-2) B(..,..) B’(..,..) C(..,..) C’(..,..) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x akan mempunyai koordinat bayangan A(x,-y), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu x. Misalkan 𝑎 𝑐

matriks transformasinya adalah 𝐶 = (

𝑏 ) sehingga, 𝑑

Sumbu x

𝐴′ (𝑥, −𝑦)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝒙 𝒂 (−𝒚) = ( 𝒄

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒃 𝒙 ) ) (𝒚) = ( 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 𝒅

Dengan kesamaan matriks : 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↔ 𝑎 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 0 −𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ↔ 𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑑 = −1

E-MODUL MATEMATIKA 𝟏 𝟎

Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah ( Titik

𝟎 ) −𝟏

𝐴 = (𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan

bayangan 𝐴′ = (𝑥, −𝑦), ditulis dengan, C sumbu x

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝒙 𝟏 (−𝒚) = ( 𝟎

𝐴′ (𝑥, −𝑦) 𝒙 𝟎 ) (𝒚 ) −𝟏

Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap sumbu x, mari simak contoh soal berikut: CONTOH SOAL 1

Jika titik A(-3,3) dicerminkan terhadap sumbu x maka tentukan bayangan titik tersebut! Alternatif penyelesaian: C sumbu x

𝐴(−3,3)

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦′) 𝒙′ 𝟏 𝟎 −𝟑 ( ′) = ( )( ) 𝒚 𝟎 −𝟏 𝟑 𝟏(−𝟑) + 𝟎(𝟑) 𝒙′ ( ′) = ( ) 𝒚 𝟎(−𝟑) + −𝟏(𝟑) 𝒙′ −𝟑 ( ′) = ( ) 𝒚 −𝟑

Lakukan perkalian matriks

Jadi bayangan titik A adalah 𝐴’(−3, −3) CONTOH SOAL 2

Apabila terdapat berbagai motif pada baju yang membentuk sebuah garis 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x maka dimanakah letak bayangan garis tersebut?

E-MODUL MATEMATIKA Alternatif penyelesaian: Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga, C sumbu x

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦′) 𝒙 𝒙 𝒙′ 𝟏 𝟎 ( )=( ) (𝒚) = (−𝒚) 𝒚′ 𝟎 −𝟏 𝒙’ = 𝒙 ↔ 𝒙 = 𝒙′ 𝒚’ = −𝒚 ↔ 𝒚 = −𝒚′ Dengan mensubsitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 2(−𝑦) − 5 = 0 atau 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 𝐴(𝑥, 𝑦)

3(𝑥) −

2. Refleksi terhadap sumbu y Perhatikan gambar berikut ini! KONTEKS

MODEL Kita pindahkan gambar gedung kedalam bidang kartesius terhadap sumbu y C B D E

A

3 2 1

A’

B’

C’ D’ E’

E-MODUL MATEMATIKA INTERAKTIFITAS Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap sumbu y pada koordinat kartesius diatas, kemudian kamu tuliskan titik-titik tersebut beserta bayangannya pada buku yang sudah kamu siapkan seperti pada tabel berikut! Titik Koordinat bayangan A(-1,3) A’(1,3) B(..,..) B’(..,..) C(..,..) C’(..,..) D(..,..) D’(..,..) E(..,..) E’(..,..) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan A(-x,y). 𝑎 𝑏 Misalkan matriks transformasinya adalah 𝐶 = ( )sehingga, 𝑐 𝑑 C sumbu y

𝐴′ (−𝑥, 𝑦) −𝒙 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒂 𝒃 𝒙 ) ( 𝒚 )=( ) (𝒚) = ( 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 𝒄 𝒅 Dengan kesamaan matriks, −𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↔ 𝑎 = ⋯ dan 𝑏 = ⋯ 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ↔ 𝑐 = ⋯ dan 𝑑 = ⋯ … Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah (…

𝐴(𝑥, 𝑦)

… …)

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan 𝐴’(𝑥’, 𝑦’), ditulis dengan, C sumbu y

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

𝟎 𝒙 )( ) 𝟏 𝒚

Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap sumbu y, mari simak contoh soal berikut:

E-MODUL MATEMATIKA CONTOH SOAL 1 Jika terdapat sebuah objek pada titik 𝐴(−3, −4) dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukanlah bayangan titik tersebut!

Alternatif penyelesaian: C sumbu y

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(−3, −4)

𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

𝟎 𝒙 )( ) 𝟏 𝒚

𝒙′ −𝟏 𝟎 −𝟑 ( )=( )( ) 𝒚′ 𝟎 𝟏 −𝟒 −𝟏(−𝟑) + 𝟎(−𝟒) 𝒙′ ( )=( ) 𝒚′ 𝟎(−𝟑) + 𝟏(−𝟒) 𝒙′ 𝟑 ( )=( ) 𝒚′ −𝟒

Lakukan perkalian matriks

Jadi bayangan titik A adalah 𝐴’(3, −4)

CONTOH SOAL 2 Jika terdapat sebuah motif berupa garis 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukan bayangan garis tersebut! Alternatif penyelesaian:

Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga, C sumbu y 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝒙′ −𝟏 𝟎 𝒙 Lakukan perkalian matriks ( ′) = ( )( ) 𝒚 𝟎 𝟏 𝒚 −𝒙 𝒙′ ( ′) = ( 𝒚 ) 𝒚 𝒙’ = −𝒙 ↔ 𝒙 = −𝒙′ 𝒚′ = 𝒚 ↔ 𝒚 = 𝒚′ Dengan mensubsitusikan x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 3(−𝑥) − 2(𝑦) − 5 = 0 atau 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0

E-MODUL MATEMATIKA 3. Refleksi terhadap titik asal O(0, 0) Kamu amati gambar berikut! KONTEKS

Kita akan mengambil motif tersebut untuk diterapkan dalam bidang kartesius sebagai pengambilan contoh pencerminan terhadap titik 𝑂(0,0) MODEL

A

B

B’

A’

INTERAKTIFITAS Perhatikan koordinat titik motif dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap titik 𝑂(0,0) pada gambar tersebut! Hasil koordinat dapat ditulis pada buku yang sudah kamu siapkan seperti pada tabel berikut: Titik A(-3,2) B(...,...)

Koordinat bayangan A’(...,...) B’(...,...)

E-MODUL MATEMATIKA Berdasarkan pengamatan yang kamu peroleh pada tabel, secara umum jika 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap titik 𝑂(0,0) akan mempunyai koordinat bayangan 𝐴′(−𝑥, −𝑦) bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap titik 𝑂(0,0). Misalnya 𝑎 𝑏 matriks transformasinya adalah 𝐶 = ( ) sehingga, 𝑐 𝑑 𝐶𝑂(0,0)

𝐴′ (−𝑥, −𝑦)

𝐴(𝑥, 𝑦)

−𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 ) (−𝑦) = ( ) (𝑦) = ( 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑐 𝑑 Dengan kesamaan matriks, −𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↔ 𝑎 = −1 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 0 −𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ↔ 𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑑 = −1 Dengan demikian matriks pencerminan terhadap titik 𝑂(0,0) adalah −1 0 ( ) 0 −1 Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap titik 𝑂(0,0) menghasilkan bayangan 𝐴′ (𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan, 𝐶𝑂(0,0)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑥 𝑥′ −1 0 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ 0 −1 Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap titik asal (0,0), mari simak contoh soal berikut: CONTOH SOAL 1 Pada gambar diatas, kita akan mencoba mencari bayangan dari titik A(−3,2) dicerminkan terhadap titik asal 𝑂(0,0), tentukan bayangan

A? Alternatif penyelesaian: 𝐶𝑂(0,0) 𝐴(−3,2)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

E-MODUL MATEMATIKA

𝑥 𝑥′ −1 0 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ 0 −1 𝑥′ −1 0 −3 ( ′) = ( )( ) 𝑦 0 −1 2 𝑥′ 3 ( )=( ) 𝑦′ −2

Lakukan perkalian matriks

Jadi bayangan A adalah 𝐴’(3, −2)

CONTOH SOAL 2 Jika kita temukan sebuah garis pada editan foto dan diketahui persamaannya −2𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 dicerminkan terhadap titik asal. Dimana letak bayangan dari persamaan garis tersebut?

Alternatif penyelesaian: Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan −2𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 sehingga, 𝐶𝑂(0,0)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑥 𝑥′ −1 0 ( ′) = ( ) (𝑦) 𝑦 0 −1 −𝑥 𝑥′ ( ) = (−𝑦) 𝑦′ 𝑥 ′ = −𝑥 ↔ 𝑥 = −𝑥′ 𝑦 ′ = −𝑦 ↔ 𝑦 = −𝑦′ Jika x dan y disubsitusikan kegaris maka ditemukan bayangannya yaitu : −2(−𝑥) + 4(−𝑦) − 1 = 0 atau 2𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0

E-MODUL MATEMATIKA 4. Refleksi terhadap garis 𝒚=𝒙 Perhatikan gambar berikut! KONTEKS

MODEL Dari gambar tersebut kita terapkan kedalam bidang kartesius sebagai berikut:

INTERAKTIFITAS Dapatkah kalian mengamati hasil refleksi titik-titik terhadap garis y=x tersebut? Hasil pengamatan dapat ditulis pada buku yang sudah kamu siapkan seperti pada tabel berikut:

E-MODUL MATEMATIKA Titik awal A(1,4) B(..,..) C(..,..) D(..,..) E(..,..) F(..,..)

Koordinat bayangan A’(4,1) B’(..,..) C’(..,..) D’(..,..) E’(..,..) F’(..,..)

Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x akan mempunyai koordinat bayangan A’(y,x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis y=x. Misalkan 𝑎 𝑏 matriks transformasinya adalah 𝐶 = ( ) sehingga, 𝑐 𝑑 𝐶𝑦=𝑥

𝐴′ (𝑦, 𝑥)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 ) ( )=( ) (𝑦) = ( 𝑥 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑐 𝑑 Dengan kesamaan matriks, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↔ 𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 1 𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ↔ 𝑐 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑑 = 0 0 1 ) 1 0

Dengan demikian matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah (

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 menghasilkan bayangan 𝐴′ (𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan, 𝐶𝑦=𝑥

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑥′ 0 ( )=( 𝑦′ 1

1 𝑥 )( ) 0 𝑦 0 1 Dimana matriks pencerminan terhadap garis y=x adalah ( ) 1 0 Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap garis y=x, mari simak contoh soal berikut:

E-MODUL MATEMATIKA CONTOH SOAL 1

Jika terdapat suatu motif pada diagram kartesius dengan titik A(-1,2) dicerminkan terhadap garis y=x maka dimanakah letak bayangan dari titik tersebut? Alternatif penyelesaian : 𝐶𝑦=𝑥

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(−1,2)

𝑥′ 0 1 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 1 0 𝑦 𝑥′ 0 1 −1 ( )=( )( ) 𝑦′ 1 0 2 0(−1) + 1(2) 𝑥′ ( )=( ) 𝑦′ 1(−1) + 0(2) 𝑥′ 2 ( )=( ) 𝑦′ −1

Lakukan perkalian Matriks

Jadi bayangan titik A adalah A’(2,-1) CONTOH SOAL 2

Jika terdapat motif yang menyerupai sebuah garis dengan persamaan 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 dicerminkan terhadap garis y=x maka tentukan bayangan garis tersebut!

Alternatif penyelesaian : Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 sehingga, 𝐶𝑦=𝑥 𝐴(𝑥, 𝑦)

′

𝑥 0 1 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 1 0 𝑦 0(𝑥) + 1(𝑦) 𝑥′ ( ′) = ( ) 𝑦 1(𝑥) + 0(𝑦) 𝑦 𝑥′ ( )=( ) 𝑥 𝑦′ 𝑥 ′ = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥′ 𝑦 ′ = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦′

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′) Lakukan perkalian Matriks

Jika x dan y disubsitusikan kegaris maka ditemukan bayangannya yaitu : 4(𝑦) − 3(𝑥) + 1 = 0 atau −3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

E-MODUL MATEMATIKA 5. Refleksi terhadap garis 𝒚=−𝒙 Perhatikan gambar berikut! KONTEKS

MODEL Dari gambar tersebut kita terapkan kedalam bidang kartesius sebagai berikut:

INTERAKTIFITAS Dapatkah kalian mengamati hasil refleksi titik-titik terhadap garis y=-x tersebut? Hasil pengamatan dapat ditulis pada buku yang sudah kamu siapkan seperti pada tabel berikut:

E-MODUL MATEMATIKA Titik awal Koordinat bayangan A(-5,4) A’(-4,5) B(..,..) B’(..,..) C(..,..) C’(..,..) D(..,..) D’(..,..) E(..,..) E’(..,..) F(..,..) F’(..,..) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 akan mempunyai koordinat bayangan 𝐴’(−𝑦, −𝑥), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑎 𝑏 −𝑥. Misalkan matriks transformasinya adalah 𝐶 = ( ) sehingga, 𝑐 𝑑 𝐶𝑦=−𝑥

𝐴′ (−𝑦, −𝑥)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 ) ( )=( ) (𝑦) = ( 𝑥 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑐 𝑑 Dengan kesamaan matriks, −𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↔ 𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = −1 −𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ↔ 𝑐 = −1 𝑑𝑎𝑛 𝑑 = 0 Dengan demikian matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah 0 −1 ( ) −1 0 Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 bayangan 𝐴′ (𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan,

menghasilkan

𝐶𝑦=−𝑥 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ −1 0 0 −1 Dimana matriks pencerminan terhadap garis y=-x adalah ( ) −1 0 Untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap garis y=-x, mari simak contoh soal berikut:

E-MODUL MATEMATIKA

CONTOH SOAL 1

Jika titik A(1,2) dicerminkan terhadap garis y=-x maka tentukanlah bayangan titik tersebut! Alternatif penyelesaian : 𝐶𝑦=−𝑥

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑥′ 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ −1 0 𝑥′ 0 −1 1 ( ′) = ( )( ) 𝑦 −1 0 2 0(1) + −1(2) 𝑥′ ( )=( ) 𝑦′ −1(1) + 0(2) 𝑥′ −2 ( )=( ) 𝑦′ −1 Jadi bayangan titik A adalah A’(-2,-1)

Lakukan perkalian matriks

E-MODUL MATEMATIKA

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2,1) B(7,3) dan C (4,5). Gambarlah bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadap : a. Titik O(0,0)

c. Sumbu y

b. Sumbu x

d. Garis y=x

e. Garis y=-x

Dari beberapa gambar yang dibuat, maka dapat disimpulkan terdapat beberapa jenis pencerminan. Antara lain: a.

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑂(0,0), maka bayangan 𝐴’(. . . , . . )

b.

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu x, maka bayangan 𝐴’(. . . , . . . )

c.

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 maka bayangan 𝐴’(. . . , . . )

d.

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 = 𝑥 maka bayangan 𝐴’(… , . . )

E-MODUL MATEMATIKA e.

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 = −𝑥 maka bayangan 𝐴’(. . . , . . )

1. Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin. 2.

Sifat-sifat Refleksi:

a.

Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik

bayangan b.

Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak

lurus terhadap cermin c.

Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik

bayangan akan saling sejajar 3. Jenis-jenis refleksi Misalkan koordinat titik asal 𝐴(𝑥, 𝑦) akan direfleksikan tehadap sumbu X, sumbu Y, titik asal 𝑂 (0,0), garis 𝑦=𝑥, garis 𝑦=−𝑥, garis 𝑥=ℎ, garis 𝑦=𝑘, dan garis 𝑦=𝑥 tan 𝛼 akan menghasilkan bayangan sebagai berikut: Refleksi

Titik bayangan

Persamaan matriks transformasi

Sumbu x

𝑨′ (𝒙, −𝒚)

𝒙′ 𝟏 ( )= ( 𝒚′ 𝟎

Sumbu y

𝑨′ (−𝒙, 𝒚)

𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎

Titik asal O(0,0)

𝑨′ (𝒙, −𝒚)

Garis y = x Garis y = -x

𝑨′ (𝒚, 𝒙)

𝑨′ (−𝒚, −𝒙)

𝒙′ −𝟏 ( )=( 𝒚′ 𝟎 𝒙′ 𝟎 ( )=( 𝒚′ 𝟏 𝒙′ 𝟎 ( )=( 𝒚′ −𝟏

𝒙 𝟎 )( ) −𝟏 𝒚 𝟎 𝒙 )( ) 𝟏 𝒚 𝒙 𝟎 ) (𝒚) −𝟏 𝟏 𝒙 )( ) 𝟎 𝒚 −𝟏 𝒙 ) (𝒚) 𝟎

E-MODUL MATEMATIKA

1. Titik 𝐴(3, −5) dicerminkan terhadap titik asal 𝑂(0,0). Koordinat bayangan titik A adalah .. 2. Titik 𝑃(5, −4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Koordinat bayangan titik P adalah .. 3. Titik 𝑄 (−3,7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Koordinat bayangan Q adalah .. 4. Tentukan koordinat titik asal pada titik 𝐵’(5,2) setelah direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 2 .. 5. Jika garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y, maka persamaan bayangannya adalah ..

E-MODUL MATEMATIKA

No 1.

Pembahasan soal Titik 𝐴(3,5) dicerminkan terhadap titik asal 𝑂(0,0) 𝐶𝑂(0,0) 𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(3, −5)

𝑥 𝑥′ −1 0 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ 0 −1

Skor

2

3

𝑥′ −1 0 3 ( ′) = ( )( ) 𝑦 0 −1 −5 −1(3) + 0(−5) 𝑥′ ( ′) = ( ) 𝑦 0(3) + (−1)(−5) 𝑥′ −3 ( ′) = ( ) 𝑦 5 Jadi koordinat bayangan titik A adalah 𝐴’(−3,5)

2.

Titik 𝑃(5, −4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 𝐶𝑦=𝑥 𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

𝐴(5, −4)

2

𝑥′ 0 1 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 1 0 𝑦 𝑥′ 0 1 5 ( ′) = ( )( ) 𝑦 1 0 −4 0(5) + 1(−4) 𝑥′ ( ′) = ( ) 𝑦 1(5) + 0(−4) 3

𝑥′ −4 ( ′) = ( ) 𝑦 5 Jadi koordinat bayangan titik P adalah 𝑃’(−4,5)

3.

Titik 𝑄 (−3,7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 𝐶𝑦=−𝑥 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′ (𝑥′, 𝑦′)

2

E-MODUL MATEMATIKA 𝑥′ 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ −1 0 𝑥′ 0 −1 −3 ( ′) = ( )( ) 𝑦 −1 0 7 0(−3) + −1(7) 𝑥′ ( )=( ) 𝑦′ −1(−3) + 0(7)

3

𝑥′ −7 ( )=( ) 𝑦′ 3 Jadi koordinat bayangan titik Q adalah 𝑄’(−7,3) 4.

Titik 𝐵(𝑥, 𝑦) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 2 menghasilkan bayangan titik 𝐵’(5,2). Dengan mengunakan

2

refleksi pada garis 𝑥 = 2 𝑀𝑥=2 𝐵′ (5,2)

𝐵(𝑥, 𝑦)

𝑥′ −1 0 𝑥 2ℎ ( ′) = ( )( ) + ( ) 𝑦 0 1 𝑦 0 −1 0 𝑥 2.2 5 ( )=( ) (𝑦)+( ) 0 1 0 2 −𝑥 4 5 ( ) = ( 𝑦 )+( ) 0 2

3

−𝑥 + 4 5 ( )=( ) 𝑦 2 Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 5 = −𝑥 + 4 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 2 𝑥 = 4 − 5 = −1 Jadi koordinat titik asal B adalah 𝐵’(−1, 2)

5.

garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 sehingga, 𝑀𝑦 𝐵(𝑥, 𝑦)

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦′) 𝑥′ −1 0 𝑥 ( ′) = ( )( ) 𝑦 0 1 𝑦 −𝑥 𝑥′ ( ′) = ( 𝑦 ) 𝑦

2

E-MODUL MATEMATIKA Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh: 𝑥 ′ = −𝑥 ↔ 𝑥 = −𝑥 ′ 𝑦 ′ = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑦′ Subsitusi 𝑥 = −𝑥 ′ dan 𝑦 = 𝑦′ ke persamaan garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 3=0 −𝑥′ − 2(𝑦′) − 3 = 0 Kalikan persamaan – 𝑥′ − 2(𝑦′) − 3 = 0 dengan -1. Sehingga diperoleh 𝑥’ + 2𝑦’ + 3 = 0 atau 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒌𝒐𝒓

Rumus tingkat penguasaan=𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 × 𝟏𝟎𝟎%

Kriteria: 90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran.

E-MODUL MATEMATIKA

Anak-anak, isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.

N0 1.

Kemampuan diri Apakah ananda memahami pengertian dari refleksi?

2.

Apakah ananda memahami sifat-sifat refleksi ? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap sumbu x dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap sumbu y dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=𝑥 dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=−𝑥 dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap titik O(0,0) dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑥=𝑎 dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=𝑏 dari suatu titik? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap sumbu x dari suatu kurva? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap sumbu y dari suatu kurva? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦=𝑥 dari suatu kurva?

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Ya

Tidak

E-MODUL MATEMATIKA Apakah ananda dapat menentukan 13.

refleksi terhadap garis 𝑦=−𝑥 dari suatu kurva? Apakah ananda dapat menentukan refleksi terhadap titik O(0,0) dari suatu kurva?

14.

Catatan: Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Tau kah Kamu?

Para ulama/orang-orang cerdas, dalam memahami pelajaran mengulang-ulang pelajaran paling sedikit 60 kali. Kamu?

E-MODUL MATEMATIKA

Manullang, Sudianto, dkk. 2017. Matematika SMA Kelas XI Edisi Revisi. Jakarta : Kemendikbud. Istiqomah. 2020. Modul Matematika Umum. Jakarta : Kemendikbud Direktor Jenderal Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah Direktorat Sekolah Menengah Atas. Baroroh, ummu. 2020. Modul Transformasi Geometri dengan Pendekatan Ethnomathematics SMA/MA Kelas XI. Surakarta : Universitas Negeri Surakarta.

E-MODUL MATEMATIKA

NAMA

: DELLA FRAWIDANA

NIM

: 17029009

JURUSAN

: PENDIIDIKAN MATEMATIKA

PT

: UNIVERSITAS NEGERI PADANG

ALAMAT

: JL. BELANTAI NO 64 PASAR AMPING PARAK, KECAMATAN SUTERA, PESISIR SELATAN, SUMATERA BARAT

SOSIAL MEDIA

: IG @dellafrawidana, YT : Kak A Official

EMAIL

: [email protected]

E-MODUL MATEMATIKA

TRANSFORMASI GEOMETRI Berbasis Pendidikan Matematika Realistik E-modul ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar matematika untuk membantu peserta didik agar mampu belajar mandiri. Dalam buku ini disajikan materi Transformasi Geometri Kelas XI SMA. Selain itu e-modul ini dilengkapi gambar dan video untuk menunjang peserta didik dalam belajar.