Data Loading...
E Modul Vektor Flipbook PDF
E Modul Vektor
118 Views
30 Downloads
FLIP PDF 1.54MB
LEMBAR PENGESAHAN
MODUL
MATA PELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN (UNTUK KALANGAN SENDIRI)
VEKTOR
Telah disahkan dan disahkan pada : Hari Tanggal
: Senin : 18 Januari 2021
MENGETAHUI
MOYO UTARA, JANUARI 2021
KEPALA SMAN 1 MOYO UTARA,
GURU MATEMATIKA (MINAT),
HERDIYANTO, S.Pd, M.Si.
KUNTHI KARMIYANI
NIP. 19810113 200801 1 013
NIP. 19840411 201101 2 021
KATA PENGANTAR Modul pembelajaran vektor ini dirancang untuk membimbing peserta didik kelas X SMAN 1 Moyo Utara yang harus melaksanakan Belajar Dari Rumah (BDR) dalam memahami kompetensi dasar 3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vector dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga, dan 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vector dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Semoga modul sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya serta dapat bermanfaat bagi semua. Kritik dan saran membangun sangat diharapkan untuk perbaikan modul ini kedepannya.
Penyusun
GLOSARIUM Vektor
Besaran yang mimiliki nilai dan arah.
Vektor Pada R2
Vektor pada bidang cartesius yang memiliki dua komponen yaitu komponen horizontal dan komponen vertikal.
Vektor Pada R3
Disebut juga vektor pada ruang (dimensi tiga) yaitu vektor yang memiliki komponen yang sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z.
Aturan segituga
Menghimpitkan pangkal vektor kedua dengan ujung vektor pertama.
Aturan jajargenjang
Menghimpitkan pangkal kedua vektor. Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisi nya merupakan kedua vektor tersebut.
Resultan vektor
Jumlah dua vektor atau lebih
Vektor Satuan
Vektor yang panjangnya satu.
Vektor Posisi
Vektor yang menyatakan posisi atau titik terhadap titik pangkal koordinat.
Proyeksi Skalar
Memproyeksikan vektor dalam besaran skalar.
Proyeksi orthogonal
Suatu gambar proyeksi yang bidang proyeksinya mempunyai sudut tegak lurus terhadap proyektornya.
Kolinear
Segaris
DAFTAR ISI Halaman Judul ................................................................................................................... Lembar Pengesahan .......................................................................................................... Kata Pengantar .................................................................................................................. Glosarium ........................................................................................................................... Daftar isi ............................................................................................................................. Peta Konsep ...................................................................................................................... Bab I. Pendahuluan ........................................................................................................... A. Deskripsi ............................................................................................................... B. Prasyarat .............................................................................................................. C. Petunjuk Penggunaan Modul ................................................................................ D. Tujuan Akhir .......................................................................................................... BAB II. Pembahasan ......................................................................................................... A. Konsep Vektor ...................................................................................................... B. Operasi Vektor ..................................................................................................... C. Panjang Vektor ..................................................................................................... D. Perkalian Skalar Dua Vektor ................................................................................. E. Proyeksi Vektor .................................................................................................... F. Contoh Soal .......................................................................................................... G. Latihan Soal .......................................................................................................... H. Evaluasi ................................................................................................................ BAB III. Penutup ................................................................................................................ Daftar Pustaka ...................................................................................................................
PETA KONSEP
Konsep Vektor Operasi Vektor
Penjumlahan Pengurangan Perkalian Bilangan dengan vektor Perbandingan Vektor
VEKTOR
Panjang Vektor
Jarak Antara Dua Titik Vektor Satuan
Perkalian Skalar Dua Vektor
Hasil Kali Skalar Besar Sudut Antara Vektor
Proyeksi
Proyeksi Skalar
Vektor
Orthogonal Proyeksi Vektor Orthogonal
BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini, akan dipelajari konsep vektor, operasi vektor, panjang vektor, perkalian skalar dua vektor, dan proyeksi vektor. Semua materi yang akan disajikan mengacu pada kompetensi dasar yang harus dicapai oleh peserta didik. B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ini, peserta didik harus mempelajari dan memahami tentang operasi bilangan real, dasar trigonometri, dan matriks. C. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Petunjuk Bagi Orang Tua Dalam setiap kegiatan belajar, orang tua berperan untuk: Membantu peserta didik dalam mengingatkan jadwal belajarnya. Mempersiapkan atau memfasilitasi peserta didik dalam proses belajarnya. Melakukan pengawasan dan bimbingan pada peserta didik mengenai proses belajarnya. 2. Petunjuk Bagi Peserta Didik Membaca dan mempelajari tujuan dan materi pembelajaran dalam modul. Menandai atau membuat ringkasan dari materi yang terdapat dalam modul. Mengulang contoh soal dalam modul, hingga benar-benar dipahami. Mengerjakan latihan soal yang terdapat dalam modul Berdiskusi dengan teman, orang tua, atau guru jika terdapat kendala dalam proses belajar. 3. Petunjuk Bagi Guru Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar Menegaskan kembali tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. Melaksanakan penilaian dan mencatat kemajuan peserta didik. Menjelaskan pada peserta didik mengenai bagian yang perlu dibenahi kembali.
4. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini, peserta didik diharapkan dapat: Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki nilai dan arah. Mengenal vektor satuan. Menentukan operasi aljabar vektor. Menentukan panjang vektor. Menggunakan rumus perbandungan vektor Menentukan hasil kali skalar dua vektor. Menentukan proyeksi vektor
BAB II PEMBAHASAN A. Konsep Vektor 1. Pengertian Vektor Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah dan nilai. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukkan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B, bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang di atasnya ada tanda garis atau panah seperti 𝑢 ⃗ atau dapat pula di ⃗⃗⃗⃗⃗ . tulis seperti 𝐴𝐵 B A
2. Vektor di R2 (Dimensi Dua) Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara vertikal atau horizontal. Bilangan pertama menyatakan arah ke kanan (nilainya positif) atau ke kiri (nilainya negatif). Bilangan kedua menyatakan arah ke atas (nilainya positif) atau ke bawah nilainya negatif. Pada gambar di samping dapat kita lihat bahwa dari titik A
B
(pangkal vektor) menuju titik B (ujung vektor) berpindah 5 satuan ke kanan dan 6 satuan ke atas, dapat ditulis dengan:
A
⃗⃗⃗⃗⃗ = (5) atau 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 6) 𝐴𝐵 6
3. Vektor di R3 (Dimensi Tiga) Vektor di R3 dinyatakan dengan tiga bilangan yang dituliskan secara vertikal atau horizontal. Bilangan pertama menyatakan arah kedepan atau belakang, bilangan kedua menyatakan arah kanan atau kiri, dan bilangan ketiga menyatakan arah atas atau bawah.
4. Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang menyatakan posisi atau titik terhadap titik pangkal koordinat. Jika suatu vektor 𝑎 yang titik awalnya O(0, 0, 0) dan titik ujungnya titik 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) disebut 𝑎1 𝑎 vektor posisi dari A, maka 𝑎 = ( 2 ), dan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 merupakan komponen-komponen dari 𝑎3 vektor posisi 𝑎. 5. Kesamaan Vektor Dua vektor dikatakan sama jika panjangnya dan arahnya juga sama. 𝑥1 𝑥2 Pada dimensi dua, vektor 𝑢 ⃗ = (𝑦 ) dan 𝑣 = (𝑦 ) dikatakan sama jika 𝑥1 = 𝑥2 dan 1 2 𝑥1 𝑥2 𝑦 𝑦1 = 𝑦2 . Pada dimensi tiga, vektor 𝑢 ⃗ = ( 1 ) dan 𝑣 = (𝑦2 ) dikatakan sama jika 𝑥1 = 𝑥2 𝑧1 𝑧2 , 𝑦1 = 𝑦2 , dan 𝑧1 = 𝑧2 . B. Operasi Vektor 1. Penjumlahan Vektor Jumlah dua vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan. Untuk menjumlahkan dua buah vektor, dapat digunakan dua cara berikut: a. Cara Segitiga
Hasil dari vektor diperoleh dari menempatkan titik awal salah satu vektor (misalnya 𝑏⃗ pada titik ujung vektor lainnya. Dari gambar, dapat kita lihat bahwa : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐴𝐶
b. Cara Jajargenjang
Hasil dari 𝑎 dan 𝑏⃗ diperoleh dari diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh kedua buah vektor, setelah kedua buah vektor tersebut diletakkan secara berimpit. 2. Pengurangan Vektor
Jika 𝑏⃗ + 𝑥 = 𝑎 seperti pada gambar di atas, maka 𝑥 = 𝑎 − 𝑏⃗. 3. Perkalian Bilangan dengan Vektor 𝑥 ⃗ = ( 𝑘 ) ada pada dimensi dua, maka : Jika terdapat 𝑚 dan vektor 𝑘 𝑦𝑘 𝑥 𝑚 . 𝑥𝑘 ⃗ = 𝑚 . ( 𝑘) = ( 𝑚 .𝑘 𝑦𝑘 𝑛 . 𝑦𝑘 ) 𝑥𝑘 ⃗ = (𝑦𝑘 ) ada pada dimensi tiga, maka : Jika terdapat 𝑚 dan vektor 𝑘 𝑧𝑘 𝑥𝑘 𝑚 . 𝑥𝑘 ⃗ 𝑦 𝑚 𝑚 . 𝑘 = 𝑚 . ( 𝑘 ) = ( . 𝑦𝑘 ) 𝑧𝑘 𝑚 . 𝑧𝑘 Beberapa sifat pada perkalian skalar dengan vektor: (𝑚 ± 𝑛) . 𝑢 ⃗ = 𝑚. 𝑢 ⃗ ± 𝑛. 𝑢 ⃗ (𝑚 . 𝑛) . 𝑢 ⃗ = 𝑚. (𝑛 . 𝑢 ⃗) 𝑚 . (𝑢 ⃗ ± 𝑣) = 𝑚. 𝑢 ⃗ ± 𝑚. 𝑣 1 .𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗
4. Perbandingan Vektor Jika terdapat titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m dan n dan titik P berada di antara titik A dan B, maka kita dapat menentukan koordinat titik P dengan menggunakan persamaan 𝑝 =
𝑚 .𝐵+𝑛 .𝐴 𝑚+𝑛
C. Panjang vektor Panjang sebuah vektor adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Secara aljabar, titik pangkal vektor dalam titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik dalam dimensi dua maupun dalam dimensi tiga. Panjang vektor dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Pada dimensi dua, misalkan vektor 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2 ), maka panjang vektor: 𝑎 = |𝑎| = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 . Pada dimensi tiga, misalkan vektor 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 ), maka panjang vektor: 𝑎 = |𝑎| = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 . ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah : Apabila terdapat titik 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 ) dan titik 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 ), maka panjang vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑏1 )2 . |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah Pada dimensi tiga jika titik 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan titik 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), maka panjang vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑏1 )2 + (𝑐2 − 𝑐1 )2. |𝐴𝐵 Suatu vektor yang panjangnya satu satuan disebut dengan vektor satuan. Vektor satuan⃗⃗⃗𝑎 sama dengan vektor 𝑎 dibagi dengan panjangnya. Vektor satuan sumbu 𝑋 adalah 𝑖, vektor satuan sumbu 𝑌 adalah 𝑗, dan vektor satuan sumbu 𝑍 ⃗. adalah 𝑘 ⃗ disusun sehingga membentuk suatu himpunan sumbu putaran kanan. Dalam bentuk 𝑖, 𝑗, dan 𝑘 1 0 0 ⃗ komponen : 𝑖 = (0) , 𝑗 = (1) , 𝑑𝑎𝑛 𝑘 = (0). 0 0 1
𝑎⃗
Jika ⃗⃗⃗𝑎 vektor dengan panjang |𝑎| ≠ 0, maka 𝑒 = |𝑎⃗| adalah vektor satuan yang searah dengan 𝑎. D. Vektor Perkalian Skalar Dua Vektor 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor Perkalian skalar dari 𝑎 dan 𝑏⃗ adalah bilangan nyata yang ditentukan oleh 𝑎 . 𝑏⃗ = |𝑎| . |𝑏⃗| . cos 𝜃 2. Besar Sudut Antara Dua Vektor Pada pembahasan hasil kali skalar dua vektor telah diketahui bahwa 𝑎 . 𝑏⃗ = |𝑎| . |𝑏⃗| . cos 𝜃 Maka sudut yang terbentuk dari dua vektor dapat dicari dengan : ⃗ 𝑎⃗ .𝑏
cos 𝜃 = |𝑎⃗| .|𝑏⃗| 3. Dua Vektor Saling Tegak Lurus Dua vektor dikatakan tegak lurus ketika sudut yang terbentuk antara dua vektor tersebut adalah sudut 90°. Apabila sudut yang terbentuk antara dua vektor adalah 90° maka 𝑎 . 𝑏⃗ = 0. E. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi Skalar Orthogonal Proyeksi skalar orthogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar atau panjang proyeksi saja. Hasilnya berupa bilangan real baik bilangan negatif, bilangan nol, maupun bilangan positif. Panjang proyeksi suatu vektor pada vektor lain, dirumuskan sebagai berikut: Proyeksi skalar 𝑎 ⃗⃗⃗ pada 𝑏⃗ =
𝑎⃗ .⃗⃗⃗𝑏 ⃗| |𝑏
𝑎⃗ .⃗⃗⃗𝑏 Proyeksi skalar ⃗⃗⃗ 𝑏 pada 𝑎 = |𝑎⃗|
2. Proyeksi Vektor Orthogonal Proyeksi vektor orthogonal atau vektor proyeksi 𝑎 ⃗⃗⃗ pada 𝑏⃗ ditentukan oleh proyeksi skalar dikalikan dengan vektor satuan dari 𝑏⃗. Vektor proyeksi suatu vektor pada vektor lain dirumuskan sebagai : Proyeksi vektor orthogonal 𝑎 ⃗⃗⃗ pada 𝑏⃗ =
𝑎⃗ .⃗⃗⃗𝑏 2
⃗| |𝑏
. 𝑏⃗
𝑎⃗ .⃗⃗⃗𝑏 Proyeksi vektor orthogonal ⃗⃗⃗ 𝑏 pada 𝑎 = |𝑎⃗|2 . 𝑎
F. Contoh Soal 1. Konsep Vektor Soal Nyatakan dalam bentuk vektor : 𝑎 𝑑
𝑏⃗ 𝑐 ⃗⃗⃗𝑒
Jawab No 1
Vektor 𝑎
Kiri / Kanan 3 ke kanan
Atas / Bawah Tidak berubah
2
𝑏⃗
Tidak berubah
4 ke bawah
3
𝑐
3 ke kiri
6 ke bawah
4
𝑑
5 ke kanan
2 ke bawah
5
𝑒
1 ke kanan
4 ke atas
3 𝑎=( ) 0 0 𝑏⃗ = ( ) −4 −3 𝑐=( ) −6 5 𝑑=( ) −2 1 𝑒=( ) 4
Soal Diketahui titik 𝐴(2, −1, 1), 𝐵(1, 0, 3), 𝐶(𝑝, 1, 3), dan 𝐷(−1, 𝑞, 𝑟). Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷, maka tentukan: a. Koordinat titik C dan D b. Nilai 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 Jawab ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷
CATATAN :
𝐵−𝐴=𝐷−𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
𝑝 1 2 −1 (0) − (−1) = ( 𝑞 ) − (1) 3 3 1 𝑟 −1 − 𝑝 −1 ( 1 )=( 𝑞−1 ) 2 𝑟−3 −1 − 𝑝 = −1 ⇒ 𝑝 = 0 q−1 =1⇒ q= 2 r−3= 2⟹ r=5 a. Koordinat titk 𝐶(0, 1, 3) dan koordinat titik 𝐷(−1, 2, 5) b. p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 2. Operasi Vektor Soal Diberikan 𝑝 = 2𝑎 − 3𝑏⃗ dan 𝑞 = 𝑎 + 𝑏⃗ . Nyatakan dalam vektor 𝑎 ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ 𝑏 setiap operasi vektor berikut: a. 𝑝 + 3𝑞 b. 𝑝 − 3𝑞 − 2(2𝑝 − 𝑞 ) Jawab a. 𝑝 + 3𝑞 = 2𝑎 − 3𝑏⃗ + 3(𝑎 + 𝑏⃗ ) = 2𝑎 − 3𝑏⃗ + 3𝑎 + 3𝑏⃗ = 5𝑎
b. 𝑝 − 3𝑞 − 2(2𝑝 − 𝑞 ) = 2𝑎 − 3𝑏⃗ − 3(𝑎 + 𝑏⃗) − 4(2𝑎 − 3𝑏⃗) + 2(𝑎 + 𝑏⃗) = 2𝑎 − 3𝑏⃗ − 3𝑎 − 3𝑏⃗ − 8𝑎 + 12𝑏⃗ + 2𝑎 + 2𝑏⃗ = −7𝑎 + 8𝑏⃗ Soal Diketahui koordinat titik 𝐴(1, 2, 3), 𝐵(2, 4, 5), 𝐶(4, 4, 2) dan 𝐷(3, 2, 0). Tunjukkan bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 sejajar dan sama panjang ! Jawab ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎 2 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (4) − (2) 𝐴𝐵 5 3 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2) ... (1) 𝐴𝐵 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − 𝑑 𝐷𝐶 4 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 = (4) − (2) 2 0 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 = (2) ... (2) 2 Dari (1) dan (2) terlihat bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 sama, yang berarti ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 sejajar ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 dan memiliki panjang yang sama. Soal Diketahui titik 𝑃(6, 4, 10) dan 𝑅(−2, 4, 2). Jika 𝑄 membagi garis 𝑃𝑅 sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ∶ 1. Tentukan koordinat titik 𝑄 ! 𝑃𝑄
Jawab ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ∶ 1 𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 3. (−2) + 1.6 = 0 3+1 3. (4) + 1.4 𝑦𝑄 = = 4 3+1 3. (2) + 1.10 𝑧𝑄 = = 4 3+1 𝑥𝑄 =
Jadi koordinat titik 𝑄 (0, 4, 4) 3. Panjang Vektor Soal ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan 𝑃(0, 0, 1) dan 𝑄(1, 1, 2) ! Hitunglah panjang vektor 𝑃𝑄 Jawab ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄 − 𝑃 𝑃𝑄 1 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (1) − (0) 2 1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (1) 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √12 + 12 + 12 |𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √3 |𝑃𝑄 Soal ⃗ dan 𝑏⃗ = 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘 ⃗ . Jika 𝑐 = 3𝑎 − 2𝑏⃗, tentukan Diketahui vektor 𝑎 = 2𝑖 − 3𝑗 − 𝑘 panjang vektor 𝑐 !
Jawab 𝑐 = 3𝑎 − 2𝑏⃗ 2 1 𝑐 = 3 (−3) − 2 (−2) −1 2 6 2 𝑐 = (−9) − (−4) −3 4 4 𝑐 = (−5) −7 |𝑐| = √42 + 52 + (−7)2 |𝑐| = √16 + 25 + 49 |𝑐| = √90 |𝑐| = 3√10 4. Perkalian Skalar Dua Vektor Soal 𝑃 adalah titik (0, 0, 0), 𝑄 adalah titik (−1, 1, 0) dan 𝑅 adalah titik (3, −2, −1). Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vektor 𝑎 dan 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ 𝑏 , hitunglah 𝑎 ⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗ 𝑏 ! Jawab ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑄𝑃 = 𝑃 − 𝑄 0 −1 = (0) − ( 1 ) 0 0 1 = (−1) 0 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 − 𝑄 𝑏 = 𝑄𝑅 3 −1 = (−2) − ( 1 ) −1 0 4 = (−3) −1
1 4 ⃗⃗⃗ . 𝑏⃗ = (−1) . (−3) 𝑎 0 −1 =4+3+0 =7 Jadi 𝑎 ⃗⃗⃗ . 𝑏⃗ = 7 Soal ⃗ , 𝑏⃗ = 4𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 ⃗ , dan 𝑐 = 2𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘 ⃗ . Hitunglah nilai Diketahui 𝑎 = 3𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘 𝑏⃗ . (𝑐 − 𝑎 ) ! Jawab 3 4 2 𝑎 = (−2) ; 𝑏⃗ = ( 3 ) ; 𝑐 = ( 5 ) 6 −2 −3 4 2 3 ⃗𝑏 . (𝑐 − 𝑎 ) = ( 3 ) . [( 5 ) − (−2)] −2 −3 6 4 −1 = (3) . (7) −2 −9 = −4 + 21 + 18 = 35 Jadi, 𝑏⃗ . (𝑐 − 𝑎 ) = 35 Soal Diketahui koordinat titik 𝑃(4, 3, 5), 𝑄(−2, 3, 5), dan 𝑅(4, 3, −1). Tentukan besar sudut 𝑃𝑄𝑅 ! Jawab ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 = 𝑃 − 𝑄 4 −2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃 = (3) − ( 3 ) 5 5 6 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0) 𝑄𝑃 0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 − 𝑄 𝑄𝑅 4 −2 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 ) − ( 3 ) 𝑄𝑅 −1 5 6 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 0 ) 𝑄𝑅 −6 6 6 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃. 𝑄𝑅 = (0) . ( 0 ) 0 −6 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 36 + 0 + 0 = 36 𝑄𝑃. 𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62 + 0 + 0 |𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 6 |𝑄𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62 + 0 + (−6)2 |𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 6√2 |𝑄𝑅
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑃. 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑄𝑃 36
6 .6√2 1 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = √2 2 1 𝜃 = 𝐴𝑟𝑐 cos √2 2 𝜃 = 45° Jadi besar sudut 𝑃𝑄𝑅 adalah 45°.
5. Proyeksi Vektor Soal ⃗ dan 𝑏⃗ = 4𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 ⃗ . Tentukan: Diketahui 𝑎 = 2𝑖 − 6𝑗 − 3𝑘 a. Panjang proyeksi 𝑎 pada 𝑏⃗, b. Proyeksi skalar orthogonal 𝑏⃗ pada 𝑎, c. Proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏⃗. Jawab a. Panjang proyeksi 𝑎 pada 𝑏⃗ =
𝑎 . 𝑏⃗ |𝑏⃗|
2 4 (−6) . ( 2 ) −3 −4 = 2 2 √4 + 2 + (−4)2 =
8 − 12 + 12
√16 + 4 + 16 8 3 = = 6 4 b. Proyeksi skalar orthogonal 𝑏⃗ pada 𝑎 =
𝑎 . 𝑏⃗ |𝑎|
2 4 (−6) . ( 2 ) −3 −4 = 2 2 √2 + (−6) + (−3)2 =
8 − 12 + 12
√14 + 36 + 9 8 = 7
c. Proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏⃗ =
𝑎 . 𝑏⃗ |𝑏⃗|
2
. 𝑏⃗ 2 4 (−6) . ( 2 ) −3 −4
=
2
.
|√√42 + 22 + (−4)2 | 8 − 12 + 12 ⃗ .) . (4𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 36 2 ⃗ ) = (4𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 9 8 4 8 ⃗ = 𝑖+ 𝑗− 𝑘 9 9 9 =
G. Latihan Soal 1. Latihan Soal I Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar: 1. Nyatakan dalam vektor: 𝑎 𝑐
𝑑
𝑏⃗ ⃗⃗⃗𝑒
2. Jika jajar genjang PQRS memiliki koordinat titik 𝑃(1, −2, 0), 𝑄(3, 1, −2), 𝑅(5, 7, 1), tentukan koordinat titik S ! 2 0 3. Diketahui vektor 𝑢 ⃗ = ( 5 ) dan 𝑣 = (−3). Jika 𝑤 ⃗⃗ = 3𝑢 ⃗ + 5𝑣 , tentukan hasil dari −8 4 𝑢 ⃗ − 3𝑣 − 2𝑤 ⃗⃗ ! 4. Diketahui koordinat titik 𝑇(−4, 2), 𝑈(−1,1) dan 𝑉(8, −2). Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇𝑉 = 𝑘 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇𝑈, tentukan nilai 𝑘 !
5. Titik 𝑃 terletak pada garis AB. Jika koordinat titik 𝐴(11, 3, −2) dan koordinat titik ⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝐵𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 5 ∶ −2, tentukan koordinat titik P ! 𝐵(6, 8, 3) serta perbandingan 𝐴𝐵 2. Latihan Soal II Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 1 3 ⃗ −5 ), 𝑏 = ( ) dan 𝑐 = ( ), hitunglah panjang vektor 𝑑 = 𝑎 + 𝑏⃗ − 𝑐 ! 0 −2 4
1. Jika 𝑎 = (
2. Diketahui |𝑎|, |𝑏⃗|, |𝑎 − 𝑏⃗| berturut-turut adalah 4, 6, dan 2√19. Tentukan nilai |𝑎 + 𝑏⃗ | ! ⃗ dan 3. Hitunglah besar sudut yang dibentuk antara vektor 𝑎 = 4𝑖 + 𝑗 − 𝑘 ⃗ ! 𝑏⃗ = 6𝑖 + 6𝑗 + 3𝑘 2 1 ⃗ 4. Diketahui vektor 𝑎 = ( 3 ) , 𝑏 = ( 6 ). Vektor 𝑎 ⊥ 𝑏⃗, tentukan nilai 𝑥 ! −4 𝑥−1 3 2 4 5. Diketahui vektor 𝑝 = (−6) , 𝑞 = (−1) dan 𝑟 = (−2). Hitunglah hasil dari −4 𝑥 1 𝑝 − 2𝑞 + 3𝑟 ! 3. Latihan Soal III Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 2 2 1. Diketahui vektor 𝑎 = (−6), dan 𝑏⃗ = ( 1 ), tentukan proyeksi skalar 𝑎 pada 𝑏⃗ ! −3 −2 2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, -1, -2), B(-1, 4, -2), dan C(5, 0, -3). Tentukan proyeksi vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 pada ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ! 3. Diketahui segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan titik 𝑃(0, 0, 0), 𝑄(0, 2, 2) dan 𝑅(2, 2, 0). Tentukan : a. Proyeksi vektor orthogonal ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 pada ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 , b. Luas segitiga 𝑃𝑄𝑅 H. Evaluasi 1. Evaluasi I Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 1. Ditentukan titik-titik 𝑃(−1, 5, 2) dan 𝑄(5, −4, 17). Jika 𝑇 pada ruas garis 𝑃𝑄 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2: 1, tentukan vektor posisi dari 𝑇 ! ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑇: 𝑄𝑇 2. Jika diketahui titik 𝐴(1, 2, 4), 𝐵(5, 3, 6), 𝐶(13, 5, 𝑝) segaris. Tentukan nilai 𝑝 !
2 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0) dan 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗ = 1 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ , tentukan 𝑅𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ ! ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1). Jika 𝑃𝑆 3. Vektor 𝑃𝑄 2 1 2 4. Jika diketahui 𝐴(1, 2, 3), 𝐵(3, 3, 1) dan 𝐶(7, 5, −3), dan 𝐴, 𝐵, 𝐶 segaris. Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ! rasio dari 𝐴𝐵 1 2 5. Diketahui vektor 𝑢 ⃗ = (−4) dan 𝑣 = ( 5 ). Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 2𝑎 − 3𝑏⃗ dengan koordinat 3 −1 titik 𝑄(4, 1, 6), tentukan koordinat titik 𝑃 ! 2. Evaluasi II Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 1. Diketahui koordinat titik-titik sudut suatu segitiga ABC adalah 𝐴(1, −2, 1), 𝐵(4, −1, 3) ⃗⃗⃗⃗⃗ ! dan 𝐶(3, 2, −1). Hitunglah nilai dari perkalian ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 . 𝐵𝐶 2.
1 0 ⃗ Bila vektor 𝑎 = (1) dan 𝑏 = (1), carilah sudut yang terbentuk dari kedua vektor 0 0 tersebut !
3. Diketahui titik 𝑃(5, 7, −5), 𝑄(4, 7, −3) dan 𝑅(2, 7, −4). ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 diwakili oleh vektor 𝑎 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 diwakili oleh vektor 𝑏⃗. Tentukan nilai cosinus yang terbentuk antara vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ ! 4. Diketahui |𝑎| = 6, |𝑏⃗| = 4 dan |𝑎 + 𝑏⃗| = 2√7. Tentukan besar sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ ! ⃗ , 𝑏⃗ = −𝑡𝑖 ⃗ , dan 𝑐 = 3𝑡𝑖 ⃗ . Jika ⃗⃗ − 𝑗 + 3𝑘 ⃗⃗ + 2𝑗 − 5𝑘 ⃗⃗ − 𝑡𝑗 − 𝑘 5. Diketahui vektor 𝑎 = 2𝑡𝑖 (𝑎 + 𝑏⃗) ⊥ 𝑐 , tentukan nilai 2𝑡 ! 3. Evaluasi III Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! ⃗ dan 𝑐 = 5𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 ⃗ , dan 𝑏⃗ berlawanan arah Diketahui vektor-vektor 𝑎 = 2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘 dengan 𝑐 . Tentukan : a. Proyeksi skalar orthogonal 𝑏⃗ pada 𝑎, b. Proyeksi skalar orthogonal 𝑎 pada 𝑏⃗, c. Proyeksi vektor orthogonal 𝑏⃗ pada 𝑎, d. Proyeksi vektor orthogonal 𝑎 pada 𝑏⃗.
BAB III PENUTUP Materi vektor pada mata pelajaran matematika peminatan kelas X, dipelajari tidak sedalam mempelajari materi vektor pada mata pelajaran fisika. Dengan membaca materi dan contoh soal yang telah disajikan secara sederhana, diharapkan peserta didik juga mampu menyelesaikan latihan-latihan soal yang ada. Dalam modul ini juga telah diberikan berbagai jenis contoh dan latihan soal tentang materi vektor, sehingga diharapkan dapat membatu proses belajar peserta didik pada masa pandemi ini. Dalam modul ini, tentunya masih banyak terdapat kelemahan, sehingga sangat diharapkan ada kritik yang membangun dari semua pihak, sehingga kedepannya modul ini dapat dikembangkan lagi.
DAFTAR PUSTAKA Muklis, Ngapiningsih, Miyanto. 2016. PR Matematika Pwminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten : PT. Intan Pariwara. Sujatmiko, Eko, Ruli Bramasti. 2012. Bank Soal Matematika. Surakarta : PT. Aksarra Sinergi Media. Sukino. 2016. Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan IlmuIlmu Alam. Jakarta : Penerbit Erlangga.