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Hanrahashiv9-3-gev Flipbook PDF

Hanrahashiv9-3-gev


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вÜð²Ð²ÞÆì 9-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù ê. Ø. ÜÆÎàÈêÎÆ, Ø. Î. äàî²äàì, Ü. Ü. èºÞºîÜÆÎàì, ². ì. ÞºìÎÆÜ ºñ¨³Ý §²Ýï³ñ»ë¦ 2012


гÝñ³Ñ³ßÇí, 9-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù/óñ·Ù³ÝÇã ¨ ËÙµ³·Çñ` èáõµ»Ý ²í»ïÇëÛ³Ý- ºñ.£ ²Ýï³ñ»ë, 2012 - 280 ¿ç£ Ðî¸ ¶Ø¸ Ð Ð ISBN ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñª - ³é³í»É ¹Åí³ñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ - ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ µ³Ý³íáñ ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¸³ë³·ÇñùÁ ѳٳå³ï³ë˳ݻóí³Í ¿ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý Íñ³·ñÇÝ, ϳï³ñí³Í »Ý ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ£ ³ñ·Ù³ÝáõÃÛáõÝÁ, ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ËÙµ³·ñáõÙÁª è. ²í»ïÇëÛ³ÝÇ ¸³ë³·ÇñùÁ ѳëï³ïí³Í ¿ г۳ëï³ÝÇ Ð³Ýñ³å»ïáõÃÛ³Ý ÏñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó Ðî¸ ¶Ø¸ © ¸³ë³·ñù»ñÇ ßñç³Ý³éáõ ÑÇÙݳ¹ñ³Ù, 2012 © §²Ýï³ñ»ë¦ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, 2012 © Èçäàòåëüñòâî §Ïðîñâåùåíèå¦, 2005 ´áÉáñ Çñ³íáõÝùÝ»ñÁ å³ßïå³Ýí³Í »Ý Âñå ïðàâà çàùèùåíû Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. è äð. Àëãåáðà: ó÷åáíèê 8-ãî êëàññà


Âí³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ 1.1 Âí³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·³Õ³÷³ñÁ üáõÝÏódzÛÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ ³ñ¹»Ý ͳÝáà »ù 7-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóÇó£ ÐÇß»óÝ»Ýù ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ²ÛÝ ïñí»É ¿ éáõë ٳûٳïÇÏáë Ü.Æ. Èáµ³ã¨ëÏáõ (1792-1856) ¨ ·»ñٳݳóÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë È. ¸ÇñÇËÉ»Ç (1805-1859) ÏáÕÙÇó: ºÝó¹ñ»Ýùª ïñí³Í ¿ Ãí»ñÇ ÇÝã-áñ X µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ¨ ÇÝã-áñ áñáß³ÏÇ (f) ûñ»ÝùÇ ßÝáñÑÇíª X µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳- Ý»óí³Í ¿ Ù»Ï áñáß³ÏÇ y ÃÇí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ X-Ç íñ³ ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏódz: X µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ: x0 ∈ X-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù x0 Ï»- ïáõÙ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ f (x0): f (x) ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ: ºñµ»ÙÝ, áñå»ë½Ç Áݹ·ÍíÇ, áñ y-Á ϳËí³Í ¿ x-Çó, ·ñáõÙ »Ý y(x), ÇëÏ (1) ·ñ³éÙ³Ý Ïñ׳ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ñáõÙ »Ý f (x): x-Á ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ݳ¨ ³ñ·áõÙ»Ýï ϳ٠³ÝÏ³Ë ÷á÷á˳ϳÝ, ÇëÏ y-Áª ϳËÛ³É ÷á÷á˳ϳݣ ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ïñíÇ ýáõÝÏódz, å»ïù ¿ Ýᯐ ÙÇçáó (ûñ»Ýù, ϳÝáÝ), áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ x ∈ X ³ñ·áõÙ»ÝïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É y-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ñÅ»ù: êáíáñ³µ³ñ ³Û¹ ûñ»ÝùÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Ù»Ï ï³éáí, ûñÇݳÏ` f ï³éáí, ¨ ·ñáõÙ. y = f (x)£ (1) Üß»Ýù, áñ x ¨ y ï³é»ñÇ ½áõÛ·Ç ÷á˳ñ»Ý ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç ϳñáÕ »Ý Ù³ëݳÏó»É ï³é»ñÇ áõñÇß ½áõÛ·»ñ: úñÇݳÏ` X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ÇÝãå»ë y = f (x), x ∈ X , ³ÛÝå»ë ¿Éª 3 ¶ÈàôÊ I


∞): 4) ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í ÙǨÝáõÛÝ c Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿ R áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí y = c ýáõÝÏódzÝ, áñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ, {c} Ù»Ï Ï»ïÇó µ³Õϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ²ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ 1-4 ûñÇݳÏÝ»ñáõÙ ýáõÝÏódzݻñÁ ïñí³Í »Ý y = 3x, y = x2, 1 y = −−, y = c µ³Ý³Ó¨»ñáí: x ´³óÇ µ³Ý³Ó¨Çó, ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É ݳ¨ ·ñ³ýÇÏáí: ´³Ý³Ó¨áí ïñí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ýáõÝÏódz ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ áõÝÇ Çñ ·ñ³- ýÇÏÁ: 4


y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý xOy Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý (x, f (x)) ï»ëùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x-Á ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: 1 ¸áõù ³ñ¹»Ý ϳéáõó»É »ù y = x (áõÕÇÕ ·ÇÍ), y = x2 (å³ñ³µáÉ), y = −− (ÑÇå»ñ- x µáÉ) y = |x| ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ (ÝÏ. 8 ³, µ, ·, ¹)£ ³ µ · ¹ ÜÏ. 8 1. ³) Ò¨³Ï»ñå»ù ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ´»ñ»ù ýáõÝÏódzݻñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ: µ) ƱÝãÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ: O x y y |x| = y 1 x y x = 5


∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿, ·) y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; 0] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿£ 6 ÊÙµ³·ñÇ ÏáÕÙÇó ³í»É³óñ³Í ï»ùëï³ÛÇÝ ¨ ËݹÇñÝ»ñÁ ëÏëíáõÙ »Ý  ¨ ³í³ñïíáõÙ  Ýß³ÝÝ»ñáí£


∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ã³×áÕ ¿: ²×áÕ, Ýí³½áÕ, ã³×áÕ ¨ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏódzݻñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzݻñ: y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ x0 ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ½ñá, »Ã» f (x0) = 0: àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ½ñáÝ»ñÁ, å»ïù ¿ ·ïÝ»Ýù f (x) = 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ: y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ X ÙÇç³Ï³ÛùÝ ³Ýí³- ÝáõÙ »Ý ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù, »Ã» ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ: àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, å»ïù ¿ ÉáõÍ»Ýù f (x) > 0 ¨ f (x) < 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ºÃ» ·ïÝí³Í »Ý y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ·ïÝí³Í ¿ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ µ³ßËáõÙÁ: êïáñ¨ µ»ñí³Í ÝϳñÝ»ñáõÙ ÑáÍ Ï»ï»ñáí å³ïÏ»ñí³Í »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÁ, ÇëÏ ßñç³ÝÇÏÝ»ñáí` ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝóáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í ã¿: 7


∞) (x − 3)2 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙdzíáñÙ³Ý íñ³, áõÝÇ »ñ»ù x1 = 1, x2 = 2 ¨ x3 = 5 ½ñáÝ»ñ: ²Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ µ³ßËáõÙÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 103 Ýϳ- ñáõÙ: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ A ≤ f (x) Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇݳϪ y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý R ïÇñáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ x2 ≥ 0 Ï³Ù³Û³Ï³Ý x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ µ³½- ÙáõÃÛ³Ý íñ³ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ B ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f (x) ≤ B Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇݳϪ y = − x2 ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ x ∈ R µ³½ÙáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ − x2 ≤ 4 Ï³Ù³Û³Ï³Ý x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ µ³½- ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M > 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ |f (x)| ≤ M Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇݳϪ y = x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ x ∈ [−1; 1] ïÇñáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ [−1; 1] ÃíÇ Ñ³Ù³ñ |x| ≤ 1: ²ëáõÙ »Ý, áñ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ³Ù»Ý³- ÷áùñ ³ñÅ»ùÁ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» x0 ∈ X ¨ f (x0) ≤ f (x) ó³Ýϳó³Í x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: f (x0) ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f (x)-Ç ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³£ ²ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ³Ù»- Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» x0 ∈ X ¨ f (x0) ≥ f (x) ó³Ýϳó³Í x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: f (x0) ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f (x)-Ç Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³£ ÜÏ. 102 1 2 3 5 ÜÏ. 103 8


b ýáõÝÏóÇ³Ý ³) ³×áÕ, µ) Ýí³½áÕ: 9


1 15.° ƱÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙ. ³) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ, µ) ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ: 16.° ¸Çóáõùª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: à±ñ ¹»åùáõÙ »Ý ³ëáõÙ, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:´»ñ»ù ûñÇݳÏÝ»ñ: 17. ²å³óáõó»ù, áñ y = 1 − x ýáõÝÏóÇ³Ý X = [−1; 1] µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 18. ²å³óáõó»ù, áñ ³ÙµáÕç áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿: 19.* ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨° í»ñ¨Çó, ¨° Ý»ñù¨Çó, ³å³ ³ÛÝ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏódz 1.3 y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý y = ax2 (a > 0) (1) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ x-Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùݪ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ Üñ³ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ß³ï ÝÙ³Ý »Ý Ù»½ ³ñ¹»Ý ѳÛïÝÇ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ¨ ³å³óáõóíáõÙ »Ý ѳٳÝÙ³Ý Ó¨áí£ Âí³ñÏ»Ýù ¹ñ³Ýù. 10


∞ ¨ x → −∞£ 5. (1) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, ³Û¹ ÇëÏ å³ï׳éáí Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ y ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ£ 6. (1) ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, áõëïÇ, Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝÁݹѳï Ïáñ ¿, ³ÛëÇÝùݪ ³ÛÝ ÃÕÃÇ íñ³ ϳñ»ÉÇ ¿ å³ïÏ»ñ»É Ù³ïÇïáíª ³é³Ýó Ó»éùÁ ÃÕÃÇó Ïïñ»Éáõ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ýáõÝÏódzݻñª y = x2 ¨ y = 2x2£ ¸ñ³Ýù »ñÏáõëÝ ¿É áñáßí³Í »Ý x-Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ÀÝïñ»Ýù x0y ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³- ϳñ·Á ¨ x0 Ï»ïÁ£ A(x0; x0 2) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ÇëÏ ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ A1(x0; 2x0 2) Ï»ïÁª y = 2x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ (ÝÏ. 57)£ A1 ¨ A Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳñ³µ»- ñáõÙ »Ý, ÇÝãå»ë 2 £ 1, ³ÛëÇÝùݪ A0A1 ѳïí³ÍÁ ëï³óíáõÙ ¿ A0A 2 ³Ý·³Ù Ó·»Éáí£ ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ñ ï³Ý»É y = x2, ¨ y = 2x2 ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³- ýÇÏÝ»ñÇ ÙǨÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ¸ñ³ ѳٳñ ¿É ³ëáõÙ »Ý, áñ y = 2x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª í»ñçÇÝë Ó·»Éáí 2 ³Ý·³Ù Oy ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ (»ñϳÛÝùáí)£ ¸³ï»Éáí ÝáõÛÝ Ï»ñåª Ï³ñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (»Ã» a > 1) ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª í»ñçÇÝë a ³Ý·³Ù Ó·»- 1 Éáí y ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí, ÇëÏ »Ã» 0 < a < 1, ³å³ª −− -ñ¹ ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí£ a Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÝÙ³Ý ¿ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ. ³ÛÝ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³µáÉ£ 58. ³ ÝϳñáõÙ ÙǨÝáõÛÝ xOy ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = x2, y = 2x2, y = 3x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ, ÇëÏ 58. µ ÝϳñáõÙª y = x2, 11 y x = 2 2 1 1 A ( ; 0) 0 0 x A ( ; 2 ) 10 0 x x 2 A( ; ) x0 0 x 2 y x = 2 ÜÏ. 57


1 1 y = −− x2, y = −− x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ£ 2 3 ³) µ) ÜÏ. 58 20.° ÆÝãå»±ë »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ 21.° ÆÝãå»±ë ëï³Ý³É y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó£ 22.° ƱÝã ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¿ ûÅïí³Í y = ax2(a > 0) ýáõÝÏódzݣ 23. ³) üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = 5x2 µ³Ý³Ó¨áí£ ²Ýí³Ý»ù ϳËÛ³É ¨ ³ÝÏ³Ë ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ гßí»ù y(0), y(1), y(2), y(3), y(−1), y(−2), y(−3) Ãí»ñÁ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ úñÇݳÏ. µ) üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = 0,25x2 µ³Ý³Ó¨áí£ Ð³ßí»ù y(−2), y(−4), x 0 1 2 3 −1 −2 −3 y 0 5 1 2 123 1 1 y x = 2 y x = 2 2 y x = 3 2 y x = 2 1 2 1 3 12


1 1 y(10), y(−−), y(−10), y(− −−) Ãí»ñÁ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³Ï»ñå»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ 3 3 ï»ëùáí£ 3 24. üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = −− x2 µ³Ý³Ó¨áí£ ÖDZßï »Ý ³ñ¹Ûáù ѳí³- 5 ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) y (5) = 15; µ) y (−10) = 80; ·) y (3) = 5,6; ¹) y (−2) = 2,4: 25. ³) гßí»ù y = 2x2 ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −3-Çó ÙÇÝ㨠3 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,5 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ 1 µ) гßí»ù y = −− x2 ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −1-Çó 1 ³ñ- 5 Å»ùÝ»ñ 0,2 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ 26. ³) îí³Í ¿ y = 5x2 ýáõÝÏódzݣ x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 5; 0,2; −2; 0£ 1 µ) îí³Í ¿ y = −− x2 ýáõÝÏódzݣ x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏ- 7 ódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý −7; 7; 0; 1£ 27.° ³) γñá±Õ ¿ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝ»É µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ µ) ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ ϳñáÕ ¿ ÁݹáõÝ»É y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý x-Ç ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ£ 28. îí³Í »Ý y = x2 ¨ y = 3x2 ýáõÝÏódzݻñÁ. ³)x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý áñáßí³Í ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÁ£ µ) ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ »Ý ÁݹáõÝáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÁ x > 0, x < 0, x = 0 ¹»åùáõÙ£ 1 1 ·) гßí»ù ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −−; − −−; 0,5; 3 3 1 1 −0,5; 1; −1; 1−−; −1−−; 2; −2 ³ñÅ»ùÝ»ñ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõ- 3 3 ë³ÏÇ ï»ëùáí£ ¹) à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ »Ý ¹³ë³íáñí³Í ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ») ¼á±õÛ· »Ý ³ñ¹Ûáù ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÁ£ ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ë˳ÝÇ ¹»åùáõÙ Ýß»ù ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ£ ½) γéáõó»ù (x; x2) ¨ (x; 3x2) Ï»ï»ñÁ£ 13


¿) γéáõó»ù ³Û¹ ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª ѳßíÇ ³éÝ»Éáí Ýñ³Ýó ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ£ Á) ¶ñ³ýÇÏÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ 1 áñáß»ù y(1,5), y(−2−−), y(−0,3)-Á)£ 3 Ã) ¶ñ³ýÇÏÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ áñáß»ùª DZÝã x-»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏ2 ódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ Çñ³ñ 1; 1 −−; 4,5£ 3 ²ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ëïáõ·»ù ýáõÝÏódzݻñÁ ïñíáÕ µ³Ý³Ó¨»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ Å) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ù»Í ½ñáÛÇó, ÷áùñ ½ñáÛÇó, ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ£ Ç) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ù»Í 1-Çó, ÷áùñ 2-Çó, ÷áùñ −1-Çó£ 29. îñí³Í »Ý y = x2 ¨ y = 0,5x2 ýáõÝÏódzݻñÁ£ ä³ï³ë˳ݻù ݳËáñ¹ í³ñÅáõÃÛ³Ý Ñ³ñó»ñÇÝ£ 30. Üß»ù ÑÇÝ· Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñ, áñáÝó ѳٳñ ³í»ÉÇ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ѳßí»É ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ. 1 1 ³) y = 4x2; µ) y = −− x2; ·) y = −− x2; 4 3 ¹) y = 1,5x2; ») y = 0,1x2; ½) y = 5x2; 2 ¹) y = 10x2; ») y = 1−−− x2; ½) y = 2,5x2: 15 γéáõó»ù ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ÁÝïñ»Éáí ѳñÙ³ñ Ùdzíáñ ѳïí³ÍÝ»ñ (31-32). 1 31. ³) y = 4x2; µ) y = 0,25x2; ·) y = −− x2; 3 1 ¹) y = 1,5x2; ») y = −−− x2; ½) y = 5x2£ 10 32. ³) y = 20x2; µ) y = 400x2; ·) y = 1000x2; ¹) y = 0,01x2; ») y = 0,001x2; ½) y = 0,0001x2£ 33. ä³ïϳÝá±õÙ »Ý ³ñ¹Ûáù ³) A(2; 32), B(−3; 72), C(2,5; 18) Ï»ï»ñÁ y = 8x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³- ýÇÏÇÝ, 14


µ) A(5; 1,8), B(−10; 5), C(−8; 3,2) Ï»ï»ñÁ y = 0,05x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³- ýÇÏÇÝ£ 34. ³) îñí³Í ¿ y = 3x2 ýáõÝÏódzݣ ¶ï»ù a-Ý, »Ã» (−2; a) Ï»ïÁ å³ïϳ- ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ µ) îñí³Í ¿ y = 3x2 ýáõÝÏódzݣ (b; 12) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù b-Ý£ ·) (1; 8) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù a-Ý£ 35. γéáõó»ù y = 0,1x2 å³ñ³µáÉÁ. ³) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ µ) à±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 2£ ·) ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁݹáõÝáõÙ y-Á, »Ã» x > 0,5; ¹) à±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¨ Ýí³½áõÙ£ 36. γéáõó»ù y = 2x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁݹáõÝáõÙ y-Á, »Ã» x > 0, x < 0, x > 1, x > −2£ µ) ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁݹáõÝáõÙ x-Á, »Ã» y ≥ 0, y ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 1 < y < 4£ 37. ÜÏ. 59-áõÙ Ý»ñϳ۳óí³Í »Ý y = x2 ¨ y = ax2 ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ¶ï»ù a-Ý£ ³) µ) ÜÏ. 59 1 2 123 1 1 y x = 2 2,5 y x = 2 y ax = 2 y ax = 2 15


38. ÜÏ. 60-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ú·ï³·áñÍ»Éáí ÝϳñáõÙ µ»ñí³Í ïíÛ³ÉÝ»ñÁª ·ï»ù a-Ý£ ³) µ) ÜÏ. 60 39. ÜÏ. 61-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ï»ù a-Ý£ ³) µ) ·) ÜÏ. 61 1 1 1 1 1 1 8 8 2 4 2 1 4 1 1 1 18 16


1.4 y = ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý (a ≠ 0) y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ ¸Çï³ñÏ»Ýù y = x2 ¨ y = −x2 ýáõÝÏódzݻñÁ£ Üñ³Ýó ÙǨÝáõÛÝ x0, x0 ≠ 0 ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÁ µ³- ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùáí Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý, µ³Ûó áõÝ»Ý Ñ³Ï³¹Çñ Ýß³ÝÝ»ñ, áõëïÇ, Ýñ³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ£ Üñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, »ñÏñáñ¹Áª Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ O(0; 0) Ï»ïÇó)£ ÜÏ. 62-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = x2; y = −x2 ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ÖÇßï ÝáõÛÝ Ó¨áíª y = ax2 ¨ y = −ax2 ýáõÝÏódz- Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ, áñï»Õ a-Ý ïñí³Í, ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÃÇí ¿, ѳٳã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ£ a > 0 ¹»åùáõÙ Ýñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, »ñÏñáñ¹Áª Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ O(0; 0) Ï»ïÇ)£ a < 0 ¹»åùáõÙ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, ÇÝãå»ë ¨ a > 0 ¹»åùáõÙ ¿ñ, å³ñ³µáÉ ¿£ ÜÏ. 63-áõÙ ÙǨÝáõÛÝ xOy ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ 1 1 å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = 2x2, y = −2x2, y = −− x2, y = − −− x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ£ 2 2 a-Ç ó³Ýϳó³Í ïñí³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ (a ≠ 0) y = ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, áñáíÑ»ï¨ ó³Ýϳó³Í x-Ç Ñ³- Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ a (−x)2 = ax2 ѳí³ë³- ñáõÃÛáõÝÁ£ ¸³ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ Oy ³é³ÝóùÁ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇ Ñ³- Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ ¿. y = ax2 å³- ñ³µáÉÇ ¨ Çñ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³- ñ³µáÉÇ ·³·³Ã, ÇëÏ å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³- ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁª å³ñ³µáÉÇ ³é³Ýóù£ y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý a > 0 ¹»åùáõÙ x = 0 Ï»ïáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, ÇëÏ a < 0 ¹»åùáõÙª ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ£ 17 1 1 1 1 ÜÏ. 62 1 1 1 1 y x = 2 2 y x = 2 2 1 2 1 2 ÜÏ. 63


40.° ³) ÆÝãå»±ë »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª (a ≠ 0)£ µ) àñ áõÕÇÕÝ ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÁ£ ÆÝãá±õ£ ·) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇ ·³·³Ã, ³é³Ýóù£ 41. ¶ñ»ù y = ax2 (a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇÝ Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ ѳٳã³÷ å³ñ³µáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 42. ³) à±ñÝ ¿ y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ µ) àñï»±Õ ¿ ¹³ë³íáñí³Í y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ·) ²å³óáõó»ù, áñ y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿£ Üß»ù ýáõÝÏódz- ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ£ ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù Ï»ï»ñ, áñáÝù å³ïϳÝáõÙ »Ý y = ax2(a ≠ 0) ï»ëùÇ µáÉáñ å³ñ³µáÉÝ»ñÇÝ£ ») ÀݹáõÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ£ ½) à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ¹³ë³íáñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. 1) y = 10x2; 2) y = −5x2; 3) y = −0,5x2; 4) y = 0,5x2: 43. à±ñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ. ³) y = 10x2; µ) y = −5x2; ·) y = −0,5x2; ¹) y = 0,5x2: 44. ³) гßí»ù y = −2x2 ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí 0-Çó 2 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,2 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ µ) гßí»ù y = −0,5x2 ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −2-Çó 2 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,5 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ 45. Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ÁÝïñ»Éáí ѳñÙ³ñ Ùdzíáñ ѳïí³ÍÝ»ñª ϳéáõó»ù ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = −3x2; µ) y = −0,5x2; 1 ·) y = −0,1x2; ¹) y = −2 −− x2; 2 ») y = −200x2; ½) y = −400x2; ¿) y = −1000x2; Á) y = −4200x2: 46. îñí³Í ¿ y = −x2 ýáõÝÏódzݣ γéáõó»ù ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ áñáß»ùª á±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿. ³) y > 0; µ) y ≤ 0; ·) y < −1; ¹) y ≤ −4£ 18


y å³ñ³µáÉÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ |y0| Ùdzíáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É í»ñ¨, »Ã» y0 > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» y0 < 0£ 19


³) µ) ÜÏ. 64 ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÁ (ÝÏ. 65. ³)£ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ 2 Ùdz- íáñ ï»Õ³÷áË»É ³ç£ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (2; 0) ·³·³Ãáí å³- ñ³µáÉ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ x = 2 áõÕÇÕÝ ¿ (ÝÏ. 65. µ)£ ³) µ) ÜÏ. 65 Æñáù, »Ã» A-Ý y = ax2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ÇëÏ B-ݪ ÝáõÛÝ ûñ¹ÇݳïÝ áõÝ»óáÕ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï, ³å³ B Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ 2 Ùdzíáñáí Ù»Í ¿ A Ï»ïÇ ³µëóÇëÇó£ úñÇݳϪ y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý O ³ñÅ»ù ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ y = 2(x − 2)2 ýáõÝÏódzݪ x = 2 Ï»ïáõÙ, y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý 2 ³ñÅ»ù ÁݹáõÝáõÙ ¿ 1 2 1 2 A B A B 1 1 y ax = 2 y ax = ( 2)2 y x = 2 2 1 2 1 2 2 1 8 2 1 y x = 2 2 2 2 2 B A 20


y0 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý x = x0 ¹»åùáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³- ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» a > 0, ¨ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» a < 0£ 1 1 1 1 2 3 2 3 B C B C 21


9)2; ·) y = −2(x − 5)2; ¹) y = −4(x − 9)2: y x = 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 y x = ( )2 3 y x = ( )2 3 y x = ( )2 3 2 22


3)2£ 59. îñí³Í ¿ y = 2(x − 3)2 ýáõÝÏódzÝ. ³)γéáõó»ù ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ µ) Üß»ù ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ ·) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù£ ÀݹáõÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù x-Ç áñ¨¿ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ£ ¹) à±ñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ£ ») ƱÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁݹáõÝáõÙ ýáõÝÏódzÝ, »Ã» x > 3, x < −1, 0 < x < 1£ 23


1 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y = x2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó£ ») Üß»ù ïñí³Í å³ñ³µáÉÝ»ñÇ ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£ ½) ²ñ·áõÙ»ÝïÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ£ ¿) y-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ѳ- ïáõÙ Oy ³é³ÝóùÁ£ Á) γéáõó»ù ïñí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ 24


2000: 25


1 − 4 = (x − 1)2 − 4, Ïëï³Ý³Ýù, áñ (4) µ³Ý³Ó¨Á ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ³Ûëå»ë. y = (x − 1)2 − 4£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ (4) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ñ³µáÉ ¿, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 å³ñ³µáÉÇ ³ÛÝåÇëÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, áñ Ýñ³ ·³·³Ã ¹³éݳ (1; −4) Ï»ïÁ (ÝÏ. 68)£ ÜáõÛÝ ·ñ³ýÇÏÁ ϳñ»ÉÇ ¿ñ ëï³Ý³Éª ѳßí»Éáí å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ ¨ Ýñ³ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ. 26


15 = 0 (6) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ, ¨ ѻ勉µ³ñª (6) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁ å»ïù ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ÉÇÝÇ£ Æñáù. D = b2 − 4ac = 144 − 180 = −36 < 0£ x0 −1 0 1 2 3 y0 0 −3 −4 −3 0 27 1 1 2 3 4 y x = 2 y x = ( )2 1 4 ÜÏ. 68


3 2 1 2 1 28


6x − 3: 29


ä³ïÙ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ ä³ñ³µáÉÇ Ù³ëÇÝ ·Çï»ñ ¹»é ²ñùÇÙ»¹Áª (Ù.Ã.³. 287-212Ã.) ÐÇÝ Ðáõݳëï³ÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¨ ٻ˳ÝÇÏÁ£ ܳ å³ñ³µáÉÁ ÏÇñ³éáõÙ ¿ñ Ý³í³·Ý³óáõÃÛ³Ý ¨ é³½Ù³Ï³Ý ·áñÍÇ ÙÇ ß³ñù åñ³ÏïÇÏ ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»- ÉÇë£ ²ñùÇÙ»¹ÇÝ, ûñÇݳÏ, ѳñÏ »Õ³í ѳßí»É å³ñ³µáÉáí ¨ Ýñ³ áñ¨¿ ɳñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (ÝÏ. 83. ³)£ ºÕ³Ý³ÏÁ (Ù»Ãá¹Á), áñ ݳ ÏÇñ³é»ó ³Û¹ ËݹÇñÁ ÉáõÍ»ÉÇë, ѻﳷ³ÛáõÙª »ñÏáõ ѳ½³ñ ï³ñÇ Ñ»ïá, ÑÇÙù ¹³ñÓ³í ϳñ¨áñ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ·ÇïáõÃ۳ݪ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ¨ ÇÝï»·ñ³É ѳßíÇ ½³ñ·³óÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ ²ñùÇÙ»¹Ý Çñ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ã¿ñ û·ïíáõÙ£ ܳ ·Çï»ñ, áñ å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇ íñ³ ϳ å³ñ³µáÉÇ ýáÏáõë ÏáãíáÕ ÙÇ ÑdzݳÉÇ Ï»ï, áñÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ, áñ »Ã» ³ÛÝï»Õ ï»Õ³¹ñ»Ý ÉáõÛëÇ ³ÕµÛáõñ, ³å³ å³ñ³µáÉÇ íñ³ ÁÝÏÝáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ (å³ñ³µáÉÁ Ïѳٳñ»Ýù ѳۻÉÇ) ³Ý¹ñ³¹³ñÓí»Éáí Ïϳ½Ù»Ý å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨ ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ ·Ý³óáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷áõÝç£ ÆëÏ »Ã» ѳٳñ»Ýù, áñ å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ׳鳷³ÛÃÝ»ñÇ ÷áõÝçÁ (ûñÇݳϪ ³ñ»·³ÏÇó »ÏáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ) ÁÝÏÝáõÙ ¿ å³ñ³µáÉÇ íñ³, ³å³ Ïå³ñ½íÇ, áñ µáÉáñ ³Ý¹ñ³¹³ñÓíáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ Ïѳïí»Ý å³ñ³µáÉÇ ýáÏáõëáõÙ (ÝÏ. 83. µ)£ ¶áñÍݳϳÝáõÙ ¹ñ³ÝÇó ϳñ»ÉÇ ¿ û·ïí»É ýáÏáõëáõÙ µ³ñÓñ ç»ñÙ³ëïÇ×³Ý ëï»ÕÍ»Éáõ ѳٳñ£ ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ É»·»Ý¹ ³ÛÝ Ù³ëÇÝ, áñ ²ñùÇÙ»¹Á ѳϳé³Ïáñ¹Ç ݳí³ïáñÙÝ ³Ûñ»ó å³ñ³µáɳïÇå ѳۻÉÇÝ»- ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ ÜáõÛÝ ¿ý»ÏïÇ íñ³ ¿ ÑÇÙÝí³Í §ÆÝŻݻñ ¶³ñÇÝÇ ÑÇå»ñµáÉáǹ¦-Ç ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ ².Ü. îáÉëïáÛÇ Ñ³Ù³ÝáõÝ í»åÇó£ гñÏ ¿ ÙdzÛÝ Ýß»É, áñ Çñ³Ï³ÝáõÙ ³Û¹ ë³ñùÁ å»ïù ¿ñ ³Ýí³Ý»É å³ñ³µáÉáǹ, áñáíÑ»ï¨ ÙdzÛÝ ²ñùÇÙ»¹ (Ù.Ã.³. 287-212Ã.) ³) µ) ÜÏ. 83 30


å³ñ³µáÉÝ ¿ ûÅïí³Í Ýßí³Í ѳïÏáõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ ÑÇå»ñµáÉÝ ³Û¹åÇëÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ£ Æï³É³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý ¶³ÉÇÉ»á ¶³ÉÇÉ»ÛÁ (1564-1642), áõëáõÙݳëÇñ»Éáí Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ³½³ï ³ÝÏáõÙÁ, ѳݷ»ó ³ÛëåÇëÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ£ ºñÏñÇ íñ³ ÁÝÏÝáÕ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ (1) ß³ñÅíáõÙ ¿ 1 s = −− g · t 2 (t ≥ 0, g ≈ 9,81) (1) 2 ûñ»Ýùáí, áñï»Õ s-Á t í-áõÙ Ù³ñÙÝÇ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÝ ¿ (Ù-áí ѳßí³Í), g-ݪ ³½³ï ³ÝÏÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÁ (Ù/í2)1£ (1) ýáõÝÏóÇ³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý t Ãí»ñÇ µ³½- ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¹Çï³ñÏíáÕ S = at 2 ýáõÝÏódzÛÇ g Ù³ëݳíáñ ¹»åùÝ ¿, »ñµ a = −−£ Üñ³ ë˻ٳïÇÏ 2 ·ñ³ýÇÏÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ÝÏ. 84-áõÙ£ ú·ïí»Éáí (1) µ³Ý³Ó¨Çó ϳñáÕ »Ýù ѳßí»É ïñí³Í t ųٳݳÏáõÙ Ù³ñÙÝÇ ³Ýó³Í s ׳ݳ- å³ñÑÁ£ гϳé³ÏÁª ïñí³Í s ≥ 0 Ãíáí t-Ý áñáßíáõÙ ¿ $2s t = /−−− g µ³Ý³Ó¨áí£ ú·ïí»Éáí ·ñ³ýÇÏÇóª (ï»°ë ÝÏ. 84) ϳñáÕ »Ýù ³é³Ýó ѳßí³ñÏÝ»ñ ϳï³ñ»Éáõ ·ïÝ»É s-Áª ïñí³Í t-Ç Ñ³Ù³ñ ¨ t-ݪ ïñí³Í s-Ç Ñ³Ù³ñ£ ºÃ» Ï»ïÁ H µ³ñÓñáõÃÛáõÝÇó »ñÏñÇ íñ³ ÁÝÏ»É ¿ T ųٳݳÏáõÙ, ³å³ª 1 $2H H = −− gT2 ¨ T = /−−−: 2 g ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ÜÏ. 84-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ·ñ³ýÇÏÇó û·ïí»ÉÇë ëË³É ÏÉÇÝ»ñ Ùï³Í»É, áñ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ ·ñ³ýÇÏáí£ ä»ïù ¿ ѳٳñ»É, áñ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ Os ³é³Ýóùáí, ³ÛëÇÝùݪ Ýñ³ ѻﳷÇÍÁ Os ³é³ÝóùÝ ¿£ ¶ñ³ýÇÏÝ û·- ÝáõÙ ¿ ÇٳݳÉ, û ųٳݳÏÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïñí³Í t å³ÑÇÝ Os ³é³ÝóùÇ íñ³ áñï»Õ ¿ ·ïÝíáõÙ Ù³ñÙÇÝÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏñÇ Ó·áÕ³Ï³Ý ¹³ßïáõÙ Ù³ñÙÝÇ ß³ñÅÙ³Ý ¨ë Ù»Ï ûñÇݳϣ ¸Çóáõù, »ñÏñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ O Ï»ïÇó áõÕÕ³·ÇÍ í»ñ Ññ³ó³ÝÇó Ïñ³Ï ¿ ³ñÓ³Ïí»É£ ¶Ý¹³ÏÁ Ññ³ó³ÝÇ ÷áÕÇó ¹áõñë ¿ ÃáÕ»É Å³Ù³Ý³ÏÇ t = 0 å³ÑÇÝ 31 t 1 s gt 2 2 s t T s ÜÏ. 84 (1) »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ Ï»ïÝ ÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Ýû¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç£ Æñ³Ï³ÝáõÙ å»ïù ¿ ѳßíÇ ³éÝ»É Ý³¨ û¹Ç ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ£


32000 ï»ëùáí£ ØïóÝ»Ýù tOs áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³- ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (ÝÏ. 85)£ ²Û¹ ÝϳñáõÙ ·Ý¹³ÏÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ ³ÛÝ å³ñ³µáÉÇ ÙÇ Ù³ëÝ ¿, áñÁ ëï³óí»É ¿ s = −5t 2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó ³ÛÝå»ë, áñ ·³·³ÃÁ ¹³ñÓ»É ¿ (80; 32000) Ï»ïÁ£ ÜÏ. 85-áõÙ µ»ñí³Í ë˻ٳïÇÏ ·ñ³ýÇÏÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ t-Ý 0-Çó 80 ³×»ÉÇë ·Ý¹³ÏÇ s Ñ»- é³íáñáõÃÛáõÝÁ »ñÏñÇó ٻͳÝáõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝ㨠32000 Ù (32 ÏÙ), ³ÛÝáõÑ»ï¨ [80; 160] ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ·Ý¹³ÏÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »ñÏñÇó ÷áùñ³ÝáõÙ ¿ ¨ ųٳݳÏÇ t = 160 å³ÑÇÝ ·Ý¹³ÏÁ ÝáñÇó ѳëÝáõÙ ¿ »ñÏñÇÝ£ 1.7 üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÁ 1. гٳã³÷áõÃÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ: y = f (x) ¨ y = −f (x) ýáõÝÏódzݻñÝ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ: ¸ñ³Ýó ·ñ³- ýÇÏÝ»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ (ÝÏ. 106), áñáíÑ»ï¨ (x, f (x)) ¨ (x, −f (x)) Ï»ï»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ: 32 t s t 80 s 160 32000 ÜÏ. 85


B ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódz- ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí |B| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáõ ÙÇçáóáí, ¹»åÇ í»ñ¨, »Ã» B > 0, ¨ ¹»åÇ Ý»ñù¨, »Ã» B < 0: ÜÏ. 106 ÜÏ. 107 33


B, ѻ勉µ³ñ, áñå»ë½Ç ëï³Ý³Ýù M1 Ï»ïÁ, å»ïù ¿ M0 Ï»- ïÁ Oy ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí ï»Õ³ß³ñÅ»Ýù |B| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ¹»åÇ í»ñ¨, »Ã» B > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» B < 0: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí ϳéáõó»Ýù y = x2 − 4 (ÝÏ. 109) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. 3. ¶ñ³ýÇÏÇ Ó·áõÙ ¨ ë»ÕÙáõÙ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳÛÝùáí: y = f (x) ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏódzݻñÁ, áñï»Õ B > 0, áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ: y = Bf (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ 1 ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí B ³Ý·³Ù Ó·»Éáí, »Ã» B > 1 ¨ −−− ³Ý·³Ù B ë»ÕÙ»Éáí, »Ã» 0 < B < 1: Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): ì»ñóÝ»Ýù M1 (x0; By0) Ï»ïÁ: ø³ÝÇ áñ By0 = Bf (x0), ѻ勉µ³ñ, M1 Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = Bf (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù B ÃíÇó ϳËí³Í Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñÁ: ³) B > 1: M1 (x0; By0) Ï»ïÁ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÇ Ùá¹áõÉÁ B ³Ý·³Ù ٻͳóÝ»Éáí, ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ B ³Ý·³Ù ٻͳóÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùݪ Oy ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ B ³Ý·³Ù Ó·»- Éáí: µ) 0 < B < 1: M1 (x0; By0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) 1 Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÇ Ùá¹áõÉÁ −− ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏ- B ódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª µáÉáñ 1 Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ −− ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùݪ B ÜÏ. 108 ÜÏ. 109 34


Oy ³é³ÝóùÇ »ñϳÛÝùáí y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ B ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí: ºÃ» B < 0, ³å³ B = − |B| ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ïñáÑíáõÙ ¿ »ñÏáõ ù³ÛÉÇ. 1) y = |B|f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí, 2) y = −|B|f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = |B|f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí ϳéáõó»Ýù y = − 2x2 (ÝÏ. 111) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: y = f (kx) ýáõÝÏódzÝ, áñï»Õ k > 0, áñáßí³Í ¿ª µáÉáñ ³ÛÝåÇëÇ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñ kx ÃÇíÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ: y = f (kx) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³Ýó1 ùÇÝ k ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí, »Ã» k > 1, ¨ −− ³Ý·³Ù Ó·»Éáí ³é³ÝóùÇó, »Ã» 0 < k < 1: k Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇ- x0 ÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): M1 (−−; y0) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = f (kx) ýáõÝÏódzÛÇ y x0 ·ñ³ýÇÏÇÝ, ù³ÝÇ áñ ¹ñ³ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý y0 = f (k −−) å³Û- k Ù³ÝÇÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñÁª ϳËí³Í k ÃíÇó: x0 ³) k > 1: M1(−−; y0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ k ³µëóÇëÇ Ùá¹áõÉÁ k ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ¨ y = f (kx) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ª y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ k ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùݪ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇÝ k ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí: x0 µ) 0 < k < 1: M1 (−−; y0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ k ³µëóÇëÇ Ùá¹áõÉÁ k ³Ý·³Ù ٻͳóÝ»Éáí, ¨ y = f (kx) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³- ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿, y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ k ³Ý·³Ù ٻͳóÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùݪ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇó k ³Ý·³Ù Ó·»Éáí: ºÃ» k < 0, ³å³ k = − |k| ¨ y = f (kx) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ïñáÑíáõÙ ¿ »ñÏáõ ù³ÛÉÇ. 1) y = f (|k|x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí, 35 ÜÏ. 111


y0 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ ³Ý- x − x0 k Ññ³Å»ßï ¿ ϳéáõó»É y = −− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³éáõóí³Í x ·ñ³ýÇÏÁ ݳ˪ ï»Õ³ß³ñÅ»É |x0| Ùdzíáñ ³ç, »Ã» x0 > 0, ¨ Ó³Ë, »Ã» x0 < 0, ³ÛÝáõѻ飯 |y0| Ùdzíáñ í»ñ¨, »Ã» y0 > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» y0 < 0£ ¸Çï³ñÏ»Ýù k, x0 ¨ y0 Ãí»ñÇ ×ß·ñÇï ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. 4 ³) γéáõó»Ýù y = −− − 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x 4 ܳ˪ ϳéáõó»Ýù y = −− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª ѳßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ x Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñª ÜÏ. 116 36


4 y = −− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý I x 4 ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ y = −− − 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ x ϳéáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ å»ïù ¿ 2 Ùdzíáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É Ý»ñù¨ (ÝÏ.71)£ ÜÏ. 71 ÜÏ. 72 −3 µ) γéáõó»Ýù y = −−−−− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x − 2 −3 ܳ˪ ϳéáõó»Ýù y = −−−ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª ѳßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ x Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ. −3 y = −−− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý x −3 II ¨ IV ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ y = −−−−− ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ x − 2 ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ϳéáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É 2 Ùdzíáñ ³ç (ÝÏ.72)£ 3 1 1 4 4 B A y = 2 4 x 4 x 2 3 1 1 4 B A x = 2 3 x 3 x 2 x −3 −2 −1,5 −1 1 1,5 2 3 y 1 1,5 2 3 −3 −2 −1,5 −1 x −4 −2 −1 1 2 4 y −1 −2 −4 4 2 1 37


3 1 3 2 1 x = 1 3 x 1 3 x = 1 3 3 1 x = 2 2x 5 x 3 x −4 −2 −1 −0,5 0,5 1 2 4 y −0,5 −1 −2 −4 4 2 1 0,5 38


3 1 3 y x = | | ÜÏ. 51


1| − 3 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 54. µ)£ O x O x y y 1 1 1 1 B A B A y |x| = y |x = 2| y |x| = 40 O x y 3 3 y |x = 3| y |x| = ÜÏ. 53


= 1| 41


1: 1.8* Øá¹áõÉ å³ñáõݳÏáÕ ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ¹ñ³ ÙÇçáóáí ϳéáõó»É y = |f (x)| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 42


ºÃ» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁݹáõÝáõÙ ¿ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ (f (x) ≥ 0), ³å³ X-Ç íñ³ y = |f (x)| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳÙÁÝÏáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: ÆëÏ »Ã» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁݹáõÝáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñª (f (x) < 0), ³å³ X1-Ç íñ³ y = |f (x)| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ ѳٳã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»Éáí, ù³ÝÇ áñ X1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ |f (x)| = −f (x): ²ÛëåÇëáí, y = |f (x)| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ å»ïù ¿ å³Ñå³Ý»É y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ ϳ٠¹ñ³ÝÇó í»ñ¨, ¨ ѳٳã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»É Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (ÝÏ. 126): Üϳï»Ýù, áñ y = |f (x)| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ Ï»ï»ñ ãáõÝÇ: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí ϳéáõó»Ýù y = |x2 − 1| (ÝÏ. 127) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ²ÛÅÙ, ¹Çóáõùª ïñí³Í ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³- ýÇÏÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ¹ñ³ ÙÇçáóáí ϳéáõó»É y = f (|x|) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: Üϳï»Ýù, áñ »Ã» x Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ y = f (|(x)|) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ, ³å³ −x Ï»ïÁ ÝáõÛÝå»ë å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ ïÇñáõÛÃÇÝ, áñáíÑ»ï¨ |−x|=|x|: y = f (|x|) ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ó³Ýϳó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ f (|−x|) = f (|x|), ³ÛëÇÝùݪ y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ºñµ x ≥ 0, x ∈ X, y = f (|x|) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳÙÁÝÏáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ»ï, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ f (|x|) = f (x): ¸³ y = f (|x|) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ç Ù³ëÝ ¿, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ ѳٳã³÷ ¿ ³çÇÝ Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ, áñáíÑ»ï¨ y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ²ÛëåÇëáí, y = f (|x|) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ å»ïù ¿ å³Ñå³Ý»É y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Oy ³é³ÝóùÇ íñ³ ϳ٠¹ñ³ÝÇó ³ç, ¨ ѳٳã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»É ³Û¹ Ù³ëÁ Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ (ÝÏ. 129): ÜÏ. 126 ÜÏ. 127 ÜÏ. 129 43


1 − x − 1 = −2x: y = −2x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ x < −1 ¹»åùáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 76. · ÝϳñáõÙ£ ÜÏ. 76 O x y 1 ³) µ) ·) 1 O x y 1 1 O x y 1 1 44 1 1 1 y = |x| x ÜÏ. 75


1| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÙµáÕç Ox Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ÝÏ. 77-áõÙ£ úðÆܲΠ3. γéáõó»Ýù y = ||x| − 2| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: Ü³Ë Ï³éáõó»Ýù y = |x| − 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 78. ³)£ x ≥ 2 ¨ x ≤ −2 ¹»åùáõÙ |x| − 2 ≥ 0, ѻ勉µ³ñª ||x| − 2| = |x| − 2£ ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ x ≥ 2 ¨ x ≤ −2 ¹»åùáõÙ y = ||x| − 2| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ y = |x| − 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ −2 < x < 2 ¹»åùáõÙ |x| − 2 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, áõëïǪ ||x| − 2| = −(|x| − 2)£ ¸ñ³ ѳٳñ ¿É 78. ³ ÝϳñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ·ñ³- ýÇÏÇ Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ Ù³ëÁ å»ïù ¿ ѳٳã³÷ ³ñï³å³ïÏ»- ñ»É Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ (³ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª ·ñ³ýÇÏÇ ³Û¹ Ù³ëÁ å»ïù ¿ §Í³É»É¦ Ox ³é³Ýóùáí ¹»åÇ í»ñ)£ y = ||x| − 2| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 78. µ ÝϳñáõÙ£ ³) µ) ÜÏ. 78 úðÆܲΠ4. γéáõó»Ýù y = x2 − 2|x| ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Üϳï»Ýù, áñ x ³ñ·áõÙ»ÝïÇ Ýß³ÝÁ ѳϳ¹Çñáí ÷á˳ñÇÝ»ÉÇë ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíáõÙ, ù³ÝÇ áñ (−x)2 − 2 · |−x| = x2 − 2 |x|£ ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ y = x2 − 2|x| ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ£ y |x| = 2 O x O x y y 1 1 1 1 2 2 y |x| = | 2| 45 1 1 ÜÏ. 77-Á£


2|x| − 1|: 4 2 4 4 2 4 1 1 yx x = – 2| | 2 yx x = – 2| | 2 3 3 8 8 x 0 x 0 1 2 3 4 y 0 −1 0 3 8 46


1 | 86. Üϳñ 125-áõÙ ³-½ å³ïÏ»ñí³Í ¿ å³ñ³µáÉ: ²Û¹ å³ñ³µáÉÝ ³ñ¹Ûá±ù y = f (x) ϳ٠x = ϕ (y) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ ¿: ºÃ» ³Ûá, ³å³ ·ñ»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý µ³Ý³Ó¨áí: ¹) ») ½) ÜÏ. 125 ³) µ) ·) 47


1 »)* y = −−−−−−, ½)* y = −−−−−−, |3 − x| 2 − x ³) µ) ÜÏ. 138 48


1.9* àõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 7-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóáõÙ Ýᯐ »Ýù, áñ, ûñÇݳÏ, y = 2x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáí ¨ B(1; 2) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ l áõÕÇÕ ·ÇÍ ¿£ ²Ûëï»Õ ÏÑÇÙݳíáñ»Ýù ³Û¹ åݹáõÙÁ£ 1) ÜÏ. 81-áõÙ Ýßí³Í ¿ l áõÕÕÇÝ å³ïϳÝáÕ A(x; y) Ï»ïÁ, áñÇ x ³µëóÇëÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿£ ÜÏ. 81 ÜÏ. 82 A ¨ B Ï»ï»ñáí ï³Ý»Ýù Oy ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ, ¹ñ³Ýù Ox ³é³ÝóùÁ Ïѳï»Ý A1 ¨ B1 Ï»ï»ñáõÙ£ àõÝ»Ýù OB1 = 1, BB1 = 2, OA1 = x, AA1 = y£ OBB1 ¨ OAA1 áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý, áñáíÑ»ï¨ áõÝ»Ý BOB1 ÁݹѳÝáõñ ³ÝÏÛáõÝ, áõëïÇ, ¹ñ³Ýó ѳٳå³ï³ëË³Ý ¿ç»ñÁ ѳٻٳ- ï³Ï³Ý »Ý. AA1 OA1 7 x −−−− = −−−− ϳ٠−− = −−, BB1 OB1 2 1 áñï»ÕÇó ¨ y = 2x£ л勉µ³ñ, A Ï»ïÁ y = 2x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ïÝ ¿£ 2) ÜÏ. 82-áõÙ l áõÕÕÇ íñ³ Ýßí³Í ¿ A(x; y) Ï»ïÁ, áñï»Õ x < 0£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõ٠ݳ¨ y < 0 ¨ ѻ勉µ³ñª OB1 = 1, BB1 = 2, OA1 = −x, AA1 = −y£ OBB1 ¨ OAA1 áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ BOB1 ¨ AOA1 ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý (áñå»ë ѳϳ¹Çñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ)£ àõëïÇ, ³Û¹ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý, ¨ ¹ñ³Ýó ѳٳå³ï³ëË³Ý ¿ç»ñÁª ѳٻٳï³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùݪ O x y B1 1 2 A1 B(1; 2) 1 A( ; ) x y l O x y B1 1 2 A1 B(1; 2) 1 A( ; ) x y l 49


b2 ≠ 0) ï»ëùÇ ó³Ýϳó³Í ѳí³ë³ñáõÙáí xOy Ïááñ¹Çݳ- ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ áõÕÇÕ ·ÇÍ£ 50