Srednje vrijednosti 1

Vrste srednjih vrijednosti

à

Srednje vrijednosti ili mjere centralne tendencije

à

Vrste srednjih vrijednosti:

1. POTPUNE SREDNJE VRIJEDNOSTI 2. POLOŽAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI 3. SPECIFIČNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

2

Potpune srednje vrijednosti

à

Aritmetička sredina – ( A.S.) X R aritmetička sredina relativnih brojeva strukture – P R aritmetička sredina relativnih brojeva koordinacije – R

à

Harmonijska sredina – H

à

Geometrijska sredina – G

à

Aritmetička sredina aritmetičkih sredina X

3

Položajne srednje vrijednosti à

medijan – Me (ordinalni niz)

à

mod - Mo (nominalni niz, ordinalni niz)

Specifične srednje vrijednosti à

momenti distribucije frekvencija

4

Osnovne značajke srednjih vrijednosti à

Utjecaj ekstremnih obilježja na srednje vrijednosti

à

Utjecaj frekvencija u distribuciji frekvencija na srednje vrijednosti

à

Utjecaj svih obilježja koja su različita od srednje vrijednosti na tu srednju vrijednost

à

Odnos promatrane srednje vrijednosti i drugih obilježja

5

Zahtjevi srednjih vrijednosti

à

Mogućnost utvrđivanja srednje vrijednosti objektivnim računskim pravilom na jedinstven način

à

Srednja vrijednost mora biti sadržana između najmanje i najveće vrijednosti obilježja

à

Ako su sve srednje vrijednosti obilježja jednake, i srednja vrijednost mora biti jednaka toj vrijednosti

6

Aritmetička sredina 7

Aritmetička sredina (MEAN), X, x à

prosjek

à

N-ti dio totala

à

vrijednosti N.O. osnovnog skupa (N – broj jedinica osnovnog skupa) X1,X2,Xi,...XN

à

i=1,2,...,N

vrijednosti N.O. uzorka (n – broj jedinica uzorka) x1,x2,xi,...xn

i=1,2,...n

8

Aritmetička sredina osnovnog skupa suma vrijednosti num. obilježja osnovnog skupa

X=

broj jedinica osnovnog skupa

Total

=

N

Aritmetička sredina uzorka suma vrijednosti num. obilježja uzorka

x=

total

= broj jedinica uzorka

n

9

Jednostavna aritmetička sredina à

Jednostavna, neponderirana A.S. osnovnog skupa

à

Koristi se za negrupirani niz podataka

Ako obiježje X od N elemenata ima vrijednosti mjerene na svakom elementu:

X: X1,X2,X3,...XN k

X=

X1+X2+X3+...+Xk N

å Xi =

i =1 N

10

Ponderirana, vagana aritmetička sredina à

A.S. vagana frekvencijama

à

Koristi se za grupirani niz podataka

Ako je zabilježeno k modaliteta obilježja, podaci predstavljaju distribuciju frekvencija sa:

k

X=

f1X1+ f2X2+ f3X3+ ... + fkXk f1 + f2 + f3 + ... + fk

å fiXi =

i =1

k

å fi i =1

11

Ponderirana aritmetička sredina relativnih frekvencija Relativne i apsolutne frekvencije

à

su upravno proporcionalne! R X: X1,X2,Xi, ... , Xk i= 1,2, ..., k R p: p1,p2, pi, ..., pk i=1,2, ..., k

k

å piXi X=

p1X1 + p2X2 + piXi+ ... +pkXk f1 + f2 + f3 + ... + fk

i =1

=

k

å pi i =1

12

Svojstva aritmetičke sredine 1. svojstvo Algebarski zbroj odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je nuli Σ(Xi – X) = 0

2. svojstvo Zbroj kvadrata odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je minimumu Σ(Xi – X)2 = min.

13

3. svojstvo Aritmetička sredina uvijek se nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježja varijable Xi Xmin £ X £ Xmax

4.svojstvo Ako je vrijednost numeričke varijable Xi jednaka konstanti c, aritmetička sredina te varijable jednaka je konstanti c. X=c X1 = X2 = ... = Xk = c

5. svojstvo Aritmetička sredina je sklona ekstremima 14

Medijan

15

Medijan à

Medijan (Me) je srednja pozicijska vrijednost numeričkog obilježja ili redoslijednog obilježja

à

Medijan je srednja vrijednost redoslijednog ili numeričkog obilježja koja elemente osnovnog skupa (statističkog niza) dijeli na dva jednaka dijela, tako da se u jednom dijelu nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja manju ili jednaku Me ,a u drugom dijelu se nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od Me

16

Određivanje medijana Određivanje medijana moguće je kod: à

Individualnog numeričkog obilježja

à

Redoslijednog numeričkog obilježja

à

Diskontinuiranog numeričkog obilježja i=1

Izračunavanje medijana Medijan se izračunava kod: à

Kontinuiranog numeričkog obilježja

à

Diskontinuiranog numeričkog obilježja gdje su razredi različiti od 1

Grafičko određivanje medijana Medijan se može grafički odrediti uz pomoć: à

Kumulativnog niza “manje od”

à

Kumulativnog niza “manje od” i kumulativnog niza “više od” 17

Određivanje medijana za individualne vrijednosti Ako je broj elemenata u skupu:

a)

NEPARAN

b)

PARAN

N=(2k+1) onda je Me=k+1 N=2k onda je Me= polusuma

dva srednja elementa

POSTUPAK: à

vrijednosti obilježja poredati po veličini

à

odrediti centralnu jedinicu

18

Izračunavane Me kod grupiranih vrijednosti à

Medijan se ne može odrediti nego se mora izračunati prilikom: R Kontinuiranog numeričkog obilježja R Diskontinuiranog numeričkog obilježja kada je i>1

à

jer nije poznata vrijednost NO za svaki element, odnosno statističku jedinicu

POSTUPAK:

KORAK 1: Formirati kumulativni niz KORAK 2: Naći N/2 KORAK 3: Odrediti medijalni razred

19

KORAK 4a: Uvrstiti podatke u formulu za korištenje kumulativnog niza “manje od”

Me= l1 + N/2 - Sfi fmed

l1

*i

– donja granica medijalnog razreda

Sfi – zbroj frekvencija odozgo prema dolje

do medijalnog razreda i

– veličina medijalnog razreda

fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda

20

KORAK 4b: Uvrstiti podatke u formulu za korištenje kumulativnog niza “više od”

Me= l2 -

l2

N/2 - Sfi fmed

*i

– gornja granica medijalnog razreda

Sfi – zbroj frekvencija odozgo prema dolje

do medijalnog razreda i

– veličina medijalnog razreda

fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda

21

Grafičko određivanje medijana

Aritmetičko mjerilo za frekvencije

N/2

Me

Aritmetičko mjerilo za obilježje 22

Uporaba medijana à

Kod redoslijednog obilježja medijan je prihvatljivija mjera od aritmetičke sredine

à

Za vrlo asimetrične distribucije, te distribucije s ekstremno visokim i/ili niskim krajnjim vrijednostima

à

Za distribucije s otvorenim razredima gdje procjena donje odnosno gornje granice bitno utječe na aritmetičku sredinu

23

Mod 24

MOD (Mo) à

Mod je vrijednost redoslijednog ili numeričkog obilježja koja se najčešće javlja u statističkom nizu

à

Mod je vrijednost obilježja oko koje se elementi statističkog skupa najgušće gomilaju

à

Mod dijeli distribuciju frekvencija na lijevu (rastuću-uzlaznu) i desnu (opadajuću-silaznu) stranu

25

Utvrđivanje moda à

Mod se utvrđuje ako su jedinice

numeričkog obilježja grupirane u razrede veličine 1, tada je modalna vrijednost, vrijednost razreda koji ima najveću frekvenciju

àPrimjer:

Ocjena na ispitu

Br. studenata

1

12

2

18

3

31

4

11

5

9

S

81 26

Izračunavanje moda à

Mod se izračunava kada su elementi statističkog skupa (niza) grupirani prema: R diskontinuirnom numeričkom obilježju s razredima i>1 R kontinuiranom numeričkom obilježju

à

Kod distribucija koje su grupirane u razrede nejednakih veličina, izračunavanju moda prethodi korigiranje frekvencija:

fc=

fi i

27

à

Na temelju određenog Mo razreda (b)

te dva susjedna razreda: lijevog (a) i desnog (c), izračunava se vrijednost Mo

( b - a) Mo = l1 + i (b - a ) + (b - c) l1 – donja granica modalnog razreda b – frekvencija modalnog razreda (najveća frekvencija)

a – frekvencija razreda ispred Mo razreda

c – frekvencija razreda iza Mo razreda

i – veličina modalnog razreda 28

U distribuciji frekvencija može postojati:

R

jedna Mo vrijednost - UNIMODALNA DISTRIBUCIJA

R

dvije Mo vrijednosti - BIMODALNA DISTRIBUCIJA

R

više Mo vrijednosti - MULTIMODALNA DISTRIBUCIJA

à

Grafički se Mo može odrediti kada se na krivulji

distribucije

frekvencija

(poligon

frekvencija) pronađe najveća ordinata (ili tjeme)

iz

kojeg

se

spušta

okomica

na

apscisu, gdje se potom pročita vrijednost Mo

29

Nedostaci i prednosti Mo R

NEDOSTACI

à

ovisan je načinu formiranja razreda

à

nema smisla ako se distribucija približava pravokutnoj

à

sporan je kod bimodalne ili multimodalne distribucije

R

PREDNOSTI

à

kod distribucija s ekstremno malim ili velikim vrijednostima NO Me i x imaju težnju njihovom približavanju, pri čemu će primicanje Me biti značajno manje od primicanja x

à

Mo neće imati tu tendenciju jer ga određuje najveća frekvencija 30