KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI BADAN STANDAR, KURIKULUM, DAN ASESMEN PENDIDIKAN PUSAT PERBUKUAN

Matematika Sekolah Menengah Pertama

Tim Gakko Tosho

SMP KELAS VIII

Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia. Dilindungi Undang-Undang. Disclaimer: Buku ini disiapkan oleh Pemerintah dalam rangka pemenuhan kebutuhan buku pendidikan yang bermutu, murah, dan merata sesuai dengan amanat dalam UU No. 3 Tahun 2017. Buku ini digunakan secara terbatas pada Sekolah Penggerak. Buku ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis atau melalui alamat surel [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII Judul Asli: “Junior High School Mathematics: 2” Penulis Tim Gakko Tosho Chief Editor Masami Isoda Penerjemah Al Jupri Penyadur Mochammad Hafiizh Fitriana Yuli Saptaningtyas Penelaah Budi Poniam Yudi Satria Iva Sarifah Penyunting Uly Amalia Penyelia/Penyelaras Supriyatno Singgih Prajoga Erlina Indarti Eko Budiono Wuri Prihantini Berthin Sappang Penata Letak (Desainer) Erwin Ilustrator Kuncoro Dewojati Moch. Isnaeni Sendy Thoriq Alamsyah Fotografer Denny Saputra Dewi Pratiwi Penerbit Pusat Perbukuan Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Komplek Kemdikbudristek Jalan RS. Fatmawati, Cipete, Jakarta Selatan https://buku.kemdikbud.go.id Cetakan pertama, 2021 ISBN 978-602-244-514-2 (no.jil.lengkap) ISBN 978-602-244-798-6 (jil.2) Isi buku ini menggunakan huruf Linux Libertine 12/17 pt., Vernon Adams, Cyreal. xviii, 262 hlm.: 21 × 29,7 cm.

Kata Pengantar Pusat Perbukuan; Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan; Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi mempunyai tugas dan fungsi, yaitu mengembangkan kurikulum yang mengusung semangat merdeka belajar mulai dari satuan Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Kurikulum ini memberikan keleluasaan bagi satuan pendidikan dalam mengembangkan potensi yang dimiliki oleh peserta didik. Untuk mendukung pelaksanaan kurikulum tersebut, sesuai Undang-Undang Nomor 3 Tahun 2017 tentang Sistem Perbukuan, pemerintah dalam hal ini Pusat Perbukuan memiliki tugas menyiapkan buku teks utama sebagai salah satu sumber belajar utama pada satuan pendidikan. Penyusunan buku teks utama mengacu pada Keputusan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 958/P/2020 tentang Capaian Pembelajaran pada Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Sajian buku dirancang dalam bentuk berbagai aktivitas pembelajaran untuk mencapai kompetensi dalam Capaian Pembelajaran tersebut. Dalam upaya menyediakan buku-buku teks utama yang berkualitas, selain melakukan penyusunan buku, Pusat Perbukuan juga membeli hak cipta atas buku-buku teks utama dari penerbit asing maupun buku-buku teks utama dari hasil hibah dalam negeri, untuk disadur disesuaikan dengan Capaian Pembelajaran/Kurikulum yang berlaku. Penggunaan buku teks utama pada satuan pendidikan ini dilakukan secara bertahap pada Sekolah Penggerak sebagaimana diktum Keputusan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 162/M/2021 tentang Program Sekolah Penggerak. Sebagai dokumen hidup, buku teks utama ini secara dinamis tentunya dapat diperbaiki dan disesuaikan dengan kebutuhan. Semoga buku ini dapat bermanfaat, khususnya bagi peserta didik dan guru dalam meningkatkan mutu pembelajaran.

Jakarta, Oktober 2021 Plt. Kepala Pusat,

Supriyatno NIP 19680405 198812 1 001

iii

Prakata Seri "Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama" yang diterbitkan GAKKO TOSHO.Co.LTD, Tokyo-Japan bertujuan mengembangkan peserta didik belajar matematika oleh dan untuk diri mereka sendiri dengan pemahaman yang komprehensif, apresiasi, dan perluasan lebih lanjut dalam penerapan matematika. Penemuan matematika adalah harta berharga matematikawan dan kadang-kadang aktivitas heuristik seperti itu dianggap bukan masalah belajar peserta didik di kelas, karena seseorang percaya bahwa hanya orang-orang hebat yang dapat menemukannya. Seri buku teks ini memberikan terobosan untuk kesalahpahaman anggapan ini dengan menunjukkan kepada peserta didik untuk memahami konten pembelajaran baru dengan menggunakan matematika yang telah dipelajari sebelumnya. Untuk tujuan ini, buku-buku pelajaran dipersiapkan untuk pembelajaran di masa depan serta merenungkan dan menghargai apa yang dipelajari peserta didik sebelumnya. Pada buku teks ini, setiap bab memberi dasar yang diperlukan untuk pembelajaran kemudian. Pada setiap kali belajar, jika peserta didik belajar matematika secara berurutan, mereka dapat membayangkan beberapa ide untuk tugas/masalah baru yang tidak diketahui berdasarkan apa yang telah mereka pelajari. Jika peserta didik mengikuti urutan buku ini, mereka dapat menyelesaikan tugas/masalah yang tidak diketahui sebelumnya, dan menghargai temuan baru, temuan dengan menggunakan apa yang telah mereka pelajari. Dalam hal jika peserta didik merasa kesulitan untuk memahami konten pembelajaran saat ini pada buku teks, itu berarti bahwa mereka kehilangan beberapa ide kunci yang terdapat dalam bab dan/atau kelas sebelumnya. Jika peserta didik meninjau isi pembelajaran yang ditunjukkan dalam beberapa halaman pada buku teks sebelum belajar, itu memberi mereka dasar yang diperlukan untuk membuat belajar lebih mudah. Jika guru hanya membaca halaman atau tugas untuk mempersiapkan pembelajaran esok hari, mungkin akan salah memahami dan menyalahi penggunaan buku teks ini karena tidak menyampaikan sifat dasar buku teks ini yang menyediakan urutan untuk memberi pemahaman di halaman atau kelas sebelumnya. "Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama" menyediakan komunikasi kelas yang kaya di antara peserta didik. Memahami orang lain tidak hanya isi pembelajaran matematika dan pemikiran logis, tetapi juga konten yang diperlukan untuk pembentukan karakter manusia. Matematika adalah kompetensi yang diperlukan untuk berbagi gagasan dalam kehidupan kita di Era Digital AI ini. "Bangun argumen yang layak dan kritik nalar orang lain (CCSS.MP3, 2010)" tidak hanya tujuan di AS, tetapi juga menunjukkan kompetensi yang diperlukan untuk komunikasi matematika di era ini. Editor percaya bahwa buku teks yang diurutkan dengan baik ini memberikan kesempatan untuk komunikasi yang kaya di kelas pembelajaran matematika di antara peserta didik. Oktober, 2021 Prof. Masami Isoda Director of Centre for Research on International Cooperation in Educational Development (CRICED) University of Tsukuba, Japan iv

Monumen Batu dari Jinko-ki (Candi Jojakko-ji, Kyoto) Sumber: travelcaffeine.com

M i t s u yo s h i Yo s h i d a

Mitsuyoshi Yoshida 1598 - 1672 Orang Jepang memiliki matematika sendiri yang disebut "wa-san". Dua ratus lima puluh tahun setelah mereka mengimpor matematika Eropa "Yo-San", Mitsuyoshi Yoshida dikenal mengarang buku 'Jinkoki', yang merupakan buku teks yang populer selama era Edo. Buku ini digunakan sebagai buku teks pengantar matematika selama 250 tahun.

Sangaku Papan Buletin Matematika Sumber: www.princeton.edu

v

Berbagai Bentuk di Sekitar Kita Bentuk apa yang digunakan di sekitar kita? Jika kita amati dengan saksama, kita akan menemukan sesuatu di luar dugaan kita. Banyak sekali bentuk di sekitar kita yang terkait dengan konsep Matematika. Dapatkah kamu mengaitkannya? Museum Purna Bhakti Pertiwi Sumber: tamanmini.com

Rumah Segitiga Sumber: furnishing.com

Sumber: republika.co.id

vi

Jam Gadang (Sumber: rri.go.id)

Sumber: m.republika.co.id

Sumber: nasional.sindonews.com

vii

Kepada Peserta Didik SMP Kelas VIII Pengguna Buku Matematika Ini Petunjuk Bagaimana Belajar Matematika Menggunakan Buku Ini Materi apa yang telah kita pelajari pada buku Matematika SMP Kelas VII? Jika kita bandingkan dengan pelajaran matematika sekolah dasar, kita mungkin akan merasa kesulitan. Namun, kita juga akan senang dengan gagasan-gagasan baru, merasa mengakui kegunaan matematika yang kita pelajari dari kehidupan nyata, dan akan merasa terkagum-kagum dalam beberapa kasus. Pada buku Matematika SMP Kelas VIII, kita akan belajar lebih mendalam tentang bentukbentuk aljabar, bentuk-bentuk geometri, dan fungsi dengan menggunakan pengetahuan yang sudah dipelajari di kelas VII, serta akan mempelajari konsep peluang sebagai sesuatu yang baru. Pada saat yang sama, kita akan terus mengajukan pertanyaan untuk melakukan penemuan dan menyelesaikannya berdasarkan hal yang sudah kita ketahui di kelas VII. Untuk menggunakan hal-hal yang sudah kita pelajari, buku Matematika SMP Kelas VII dan catatannya perlu tetap kita miliki agar kita dapat merenungkan hal-hal yang sudah kita pelajari. Untuk itu, di SMP Kelas VIII, kita akan mempelajari kembali materi yang sudah dipelajari di kelas VII dan menghargai pengalaman yang mungkin tidak kita sadari saat kita berada di kelas VII. Matematika yang dikenal sebagai ‘Bahasa Ilmu Pengetahuan’, merupakan pelajaran yang diperlukan agar kita berhasil dalam kehidupan sebagai manusia di lingkungan masyarakat. Melalui proses menjelaskan, berbagi, dan mengomunikasikan temuan-temuan, kita akan memperoleh pengetahuan dan gagasan-gagasan baru yang merupakan Bahasa Ilmu Pengetahuan. Mari kita belajar matematika menggunakan buku SMP Kelas VIII ini. Petunjuk untuk Orang Tua

Buku ini disusun untuk membantu putra/putri Anda belajar matematika dengan cara menyenangkan agar dapat menerapkan kompetensi yang dicapai. Diagram berikut ini dapat membantu peserta didik belajar mandiri di rumah sesuai dengan kebutuhan dan minat mereka. Diagram tersebut juga bermanfaat bagi guru untuk mengajar di kelas.

Pengayaan

Soal Ringkasan Pendalaman Materi

Akhir Buku

Cermati

Akhir bab

Teks utama dalam bab

Mari Mencoba

Matematika Lanjut Matematika Sekolah Dasar Ulasan Topik SMP Kelas VII

Tingkatkan

Tugas yang ditandai dengan merupakan tugas yang di luar kurikulum. Artinya, peserta didik dapat mempelajari sebagai pengayaan untuk lebih memperdalam. Buku ini dirancang untuk menjawab kebutuhan peserta didik yang memiliki minat tinggi dalam belajar matematika. Diharapkan peserta didik dapat mengembangkan kemampuan matematika sebagai landasan untuk mencapai keberhasilan dalam hidupnya di kemudian hari.

viii

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Ini Pembukaan Bab Dari Aritmetika ke Matematika.

Ulasan

Ulasan materi yang telah dipelajari, akan dipergunakan pada bab yang sedang dibahas.

1

Hlm.16

Pertanyaan mendasar untuk mengenalkan materi baru pada bab yang sedang dibahas. Pertanyaan lebih lanjut yang akan dijawab pada halaman yang tertera.

Teks Utama pada Bab Tujuan

Tujuan pembelajaran pada materi ajar baru. Pertanyaan utama untuk memahami materi ajar baru.

Contoh 1 Contoh tugas untuk memahami materi.

Cara

Akhir Bagian

Mari Kita eriksa Tugas untuk menguji pemahaman materi yang harus dikuasai semua peserta didik. Apabila belum mampu menyelesaikan dengan baik, disarankan untuk mempelajari lagi materi pada halaman-halaman yang terkait.

Penguatan Tugas belajar mandiri untuk menambah pengetahuan dan keterampilan.

Akhir Bab Soal Ringkasan Tugas untuk mengulas dan merangkum apa yang telah dipelajari. Gagasan Utama

Tugas mendasar un tuk men gonfi rmasi pemahaman.

Penerapan

Penerapan pengetahuan dan keterampilan yang telah diperoleh.

Metode, gagasan, dan cara berpikir untuk menyelesaikan masalah. Penyelesaian untuk tugas yang diberikan.

Penyelesaian

Penggunaan Praktis Soal 1

Adaptasi pada berbagai situasi sehari-hari.

Latihan untuk memahami penyelesaian.

Tugas untuk memperdalam pemahaman.

man P e n d a la M a te ri

Mari Mencoba

Soal dan materi lanjut yang Cer m

a ti

terkait.

Soal-soal terkait untuk aktivitas matematis.

Penemuan

Menemukan sifat-sifat bilangan dan bangun geometri berdasarkan materi yang telah dipelajari.

Menjelaskan cara-cara belajar misalnya dengan menulis laporan tentang apa yang telah dipelajari dan yang memerlukan eksplorasi lebih lanjut

Akhir Buku Matematika Lanjut Menjelaskan cara-cara belajar misalnya dengan menulis laporan tentang apa yang telah dipelajari dan yang memerlukan eksplorasi lebih lanjut. Matematika Sekolah Dasar Mempelajari ulang tugas tentang operasi dan hitungan yang telah dipelajari di Sekolah Dasar.

Menerapkan konten yang telah dipelajari dalam Penerapan

Komunikasi

Diskusi_

berbagai situasi di kehidupan sehari-hari.

Ulasan: Sekolah Menengah Pertama Ulasan tugas-tugas yang telah dipelajari dalam buku ini.

Menjelaskan ide sendiri agar dapat dipahami orang lain, dan bertukar ide supaya dihasilkan ide baru yang dapat dipahami bersama.

Tugas yang tepat untuk menyampaikan dan mendiskusikan gagasan dengan orang lain. Tugas tentang penggunaan kalkulator untuk menyelesaikan soal.

Pekerjaan Terkait

Pekerjaan yang menggunakan jenisjenis tugas yang dibahas.

Tugas yang tepat untuk menggunakan komputer dan internet dalam penyelesaian tugas. Tingkatkan

Tugas dan materi yang melampaui cakupan Matematika SMP Kelas VIII yang diharapkan dapat dipelajari sesuai dengan minat peserta didik.

ix

D a ft a r I s i

SMP Kelas VII

• Bentuk Aljabar • Menyederhanakan Bentuk Aljabar • Persamaan Linear • Menggunakan Persamaan Linear

Kata Pengantar Prakata Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Ini Daftar Isi Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Catatan Mari Persiapkan Laporan dan Presentasi Cara Berpikir Matematis

Ulasan BAB

1

iii iv ix x xii xiii xiv

xvi

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1

1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

4

Penguatan 1

15

2 Menggunakan Bentuk Aljabar

16

Pendalaman Materi

BAB

2

Apa yang Terjadi Jika Kita Melilitkan Sebuah Tali pada Ekuator Bumi?

27

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

29

1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 32 Penguatan 2

43

2 Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua 46 Variabel (SPLDV) Pendalaman Materi

CT Scan dan Matematika

SMP Kelas VII

• Pengertian Fungsi • Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai • Penerapan Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai

Tingkatkan

57

Ulasan

BAB

3

56

Fungsi Linear

59

1 Fungsi Linear

62

2 Persamaan dan Fungsi Linear

78

3 Penerapan Fungsi Linear

86

Pendalaman Materi

Mobil Manakah yang Lebih Murah?

x

96

SD

Ulasan

• Segitiga Sama Sisi, Sama Kaki, dan Siku-Siku • Persegi, Persegi Panjang, Jajargenjang, Belah Ketupat, Trapesium • Gambar Simetris

BAB

4

97

Menyelidiki Sifat-Sifat Bangun Geometri 1 Garis Sejajar dan Segi Banyak 2 Kekongruenan Bangun-Bangun Geometri

99 102 116

Pendalaman Materi

SMP Kelas VII

• Transformasi Bangun Geometri • Memanfaatkan Konstruksi BAB

5

Mencari Jumlah Lima Sudut dari Bintang Segi Lima (Pentagon)

133

Segitiga dan Segi Empat

135

1 Segitiga 2 Segi Empat

138

3 Garis Sejajar dan Luas

161

149

Pendalaman Materi

Mari Pikirkan dengan Mengubah Syaratnya

SD

167

Ulasan

169

• Banyaknya Kemungkinan SMP Kelas VII

• Frekuensi Relatif

BAB

Peluang

171

6

1 Peluang

174

Pendalaman Materi

Manakah yang Memiliki Keuntungan?

193

Matematika Lanjut –Halaman untuk Belajar Berkelompok– Menyajikan Hasil Penyelidikan Menyiapkan Laporan Contoh Laporan Cara Presentasi Mari Menyelidiki

195 195 196 198 200

194

Misteri Luas Daerah Menggambar Garis Tambahan Pada Waktu Kapan Kedua Jarum Jam Saling Berimpit? Isu-Isu Lingkungan Menggunakan Fungsi Sudut Segi Banyak Bintang Beraturan Mengubah Segi Empat Mari Menjadi Pascal dan Fermat Mari Menggunakan Metode Monte Carlo untuk Menemukan Nilai π Mari Menyelidiki Sistem Braille Apa yang Dimaksud Nilai Ekspektasi?

204 207 208 210 212 214 215 216 218 220

Perhitungan SMP Kelas VIII Tinjau Ulang SMP Kelas VIII Kunci Jawaban Indeks Pelaku Perbukuan

222 223 229 239 247

Tingkatkan

Eksplorasi Matematika Misteri Bilangan pada Baris ke-17 Tsurukame-Zan (Masalah Bangau dan Kura-Kura)

202 202 203

Tingkatkan

xi

Petunjuk Penggunaan Buku Catatan Buku catatan matematika dipergunakan untuk mencatat kegiatan belajar. Kamu diharapkan menggunakan buku catatan tersebut untuk menuliskan dan merefleksikan pemikiranmu, bagaimana kamu menyelesaikan soal, dan bernalar selama pembelajaran di kelas. Mari menulis di buku catatanmu. Tanggal Tugas dan permasalahan Gagasan temanku Ringkasan

Pada bagian ‘kesan’, mari kita menuliskan rincian berikut ini. Apa yang kamu pahami dan apresiasi? Apa saja yang kamu pergunakan? Apa yang kamu pikirkan dan kamu amati di kelas? Apa dan bagaimana kamu melihat gagasan temanmu? Apa rencanamu selanjutnya? Masalah yang terkait, dugaan, dan masalah yang belum terpecahkan.

Tujuan Gagasanku Hasil pengamatan Kesan

○ Hari, ○Bulan

SMP Kelas VIII, hal. 16-17

Tujuan Perhatikan bagaimana menyederhanakan bentuk suku banyak dengan 2 variabel.

Gunakan warna dan berikan tanda untuk hal yang penting, seperti kotak. Tuliskan temuan kamu di catatan tambahan. Buatlah diagram dan tuliskan ekspresi/ bentuknya secara jelas.

Tuliskan kata-katamu dengan jelas.

Kita ingin membeli 3 apel masing-masing berharga a rupiah, dan 4 jeruk mandarin yang masing-masing berharga b rupiah. Namun, kita tidak memiliki cukup uang, sehingga kita harus mengurangi apel sebanyak 2 dan menambah sebanyak 2 jeruk mandarin. Nyatakan total harga pembelian dengan menggunakan sebuah bentuk aljabar. Mari berpikir tentang cara menyederhanakan 3a + 4b – 2a + 2b

Di SMP Kelas VII, kita menyederhanakan bentuk aljabar untuk satu variabel. Kita menggunakan gagasan yang sama di sini. Ideku

Ide Temanku

Jika kita bedakan apel dan jeruk mandarin,

Jika kita menyederhanakan suku dengan

Apel

huruf yang sama

–

Jeruk mandarin ∆∆∆∆ + ∆∆

Ringkasan Bila kita menyederhanakan bentuk aljabar dua

3a + 4b – 2a + 2b

variabel, kita sederhanakan suku-suku sejenis.

= (3 – 2)a + (4 + 2)b

Kita sebut menyederhanakan suku-suku sejenis.

= a + 6b

Soal 2

(6) –3x2 – 7x + 3x2 + 2x

Jangan hapus yang salah, tetapi jelaskan kenapa salah dan di mana salahnya.

= (–3 + 3)x2 – (7 + 2)x

= (–3 + 3)x2 + (–7 + 2)x

= –9x

= –5x Hati-hati dengan tanda positif dan negatif

Kesan Meskipun bentuk aljabar memiliki dua variabel, kita juga dapat menyederhanakannya dengan sifat distributif yang telah dipelajari di SMP Kelas VII.

xii

Mari Persiapkan Laporan dan Presentasi Untuk menyampaikan gagasanmu pada orang lain secara meyakinkan, akan sangat bermakna apabila disampaikan tidak hanya secara lisan, tetapi juga dalam bentuk laporan tertulis yang jelas. Mempersiapkan laporan merupakan kesempatan yang bagus untuk menyusun ulang dan merangkum gagasan secara sistematis karena harus dapat dimengerti orang lain. Marilah kita mempersiapkan laporan, kemudian mempresentasikannya. Lihat contoh di halaman 195-199.

Persiapkan laporanmu pada kesempatan-kesempatan berikut ini. Rangkumlah materi yang telah dipelajari. Rangkumlah kegiatan matematika.

Penem uan

Rangkumlah diskusi yang berlangsung pada tugas.

Men e r apkan

Komunikasi

Diskusi

Rangkumlah pertanyaan-pertanyaan dan tugas.

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Satuan Pengukuran Buku teks ini menggunakan satuan pengukuran secara umum sebagai berikut. Panjang dan jarak

mm

milimeter

cm

sentimeter

m

meter

km

kilometer

Luas

cm2

sentimeter persegi

m2

meter persegi

km2

kilometer persegi

Berat

g

gram

kg

kilogram

t

ton

Isi (Volume)

cm3

sentimeter kubik

m3

meter kubik

Kapasitas

mℓ ℓ

milliliter liter

* Huruf untuk menyajikan liter adalah ℓ. Dianjurkan untuk menggunakan ℓ untuk membedakan dengan angka 1 (satu).

Kecepatan

cm/dtk

sentimeter per detik

m/mnt

meter per menit

km/jam

kilometer per jam

* Per ‘/’ menyajikan pembagian: ‘a/b’ artinya nilai a : b. ’cm/detik’ adalah besaran kecepatan yang merupakan hasil bagi besaran dalam cm dengan besaran dalam detik. Dapat juga disajikan sebagai (cm) : (detik).

xiii

Cara Berpikir Matematis Berpikir Matematis

1

Bernalar Analogi

Menggunakan aturan dan sifat-sifat yang sudah diketahui terhadap situasi yang serupa, tetapi tidak sama persis. Soal

gambar spasial (SMP Kelas VII)

Carilah luas juring pada gambar di samping kanan.

p cm

r cm

1

a°

2

O

Berpikir Matematis

2

Gunakan apa yang sudah dipelajari tentang luas lingkaran.

Bagilah lingkaran ke dalam beberapa juring. Terapkan rumus mencari luas daerah juring.

Penalaran Induktif

Menduga aturan umum dan sifat-sifatnya melalui eksplorasi pada sejumlah contoh konkret yang terbatas. Soal

Bentuk Aljabar (SMP Kelas VII)

Persegi-persegi dibuat dengan cara menggabungkan sedotan yang berukuran sama. Selidiki hubungan antara banyaknya persegi dan banyaknya sedotan yang digunakan, kemudian tulis bentuk aljabar untuk menentukan banyaknya sedotan yang digunakan bila banyaknya persegi sudah diketahui.

Berpikir Matematis

3

5

persegi 6

persegi

Penalaran Deduktif

Tuliskan argumentasi berdasarkan aturan dan sifat-sifat yang sudah diketahui dan informasi yang diberikan. Soal

Bidang Datar (SMP Kelas VII)

Bagian dari sebuah cermin tembaga ditemukan dan dipandang sebagai bagian sebuah lingkaran. Prosedur berikut digunakan untuk mengkonstruksi lingkaran mula-mula. Jelaskan mengapa prosedur berikut merupakan cara untuk mengkonstruksi lingkaran mula-mula. 1 Ambil tiga titik A, B, dan C pada keliling cermin tembaga. 2 Konstruksi garis ℓ, merupakan garis bagi tegak lurus segmen AB. 3 Konstruksi garis m, yaitu garis bagi tegak lurus segmen BC. 4 Gambarlah sebuah lingkaran dengan menggunakan titik potong antara ℓ dan m sebagai titik pusat lingkaran O dan OA sebagai jari-jarinya.

xiv

1

Untuk menghitung luas lingkaran, bagilah lingkaran ke dalam juring-juring dan susunlah sehingga membentuk persegi panjang.

2

Pikirkan tentang luas satu juring menggunakan ide ketika memperoleh rumus luas lingkaran dan sudut pusat.

r cm r cm

Bagi sama besar

r cm

dan susun ulang

a° L cm2

1 p cm 2

p cm

Luas daerah L cm2 untuk satu juring dengan jarijari r cm dan panjang busur p cm, adalah L=

O

1 pr 2

Luas daerah L cm 2 untuk juring, bila diketahui jari-jari r cm dan besar sudut pusatnya a°, adalah L = πr2 ×

a 360

Perhatikan untuk kasus 1 persegi, 2 persegi, 3 persegi, dan seterusnya. Dari urutan kasus tersebut, bentuk aljabar untuk menentukan banyaknya sedotan dapat ditemukan. [ persegi ]

[ Cara menentukan banyaknya jumlah sedotan ]

1

1 + (1 × 3)

2

1 + (2 × 3)

3

1 + (3 × 3)

4

1 + (4 × 3)

a

1 + (a × 3) a persegi

Jelaskan dengan menggunakan sifat-sifat berikut: Titik-titik berjarak sama dari titik A dan B adalah garis bagi tegak lurus segmen AB. I

A

B

Hubungan antara banyaknya persegi dan banyaknya sedotan ditunjukkan pada diagram di samping.

Bentuk aljabar yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya sedotan untuk sebanyak a persegi adalah 1 + (a × 3)

Jika titik O adalah pusat lingkaran dan titik A dan B terletak pada keliling lingkaran O, maka OA = OB, dan titik O terletak pada garis bagi tegak lurus ℓ dari segmen AB. Secara serupa, jika titik B dan C terletak pada keliling lingkaran O, maka O terletak pada garis bagi tegak lurus m pada segmen BC. Perpotongan antara garis ℓ dan m adalah titik O sebab itulah satu-satunya titik yang memiliki jarak yang sama ke titik A, B, dan C. Jadi, lingkaran dapat dikonstruksi dengan titik perpotongan, yaitu titik pusat O dan OA adalah jari-jarinya.

xv

4

Ulasan Terdapat beraneka macam bentuk linear.

–6x

–a – 8

4x 5y 7a + 5

3x + 9

–8

2a – 5

3 –(–5a – 4) Coba buat aneka soal matematika menggunakan bilangan dan bentuk aljabar di bagian kanan atas.

Untuk bentuk aljabar, kita dapat melakukan perhitungan dengan empat operasi.

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Apa yang telah kita pelajari sejauh ini?

Bagaimana menulis bentuk-bentuk aljabar 3 × a = 3a b × a = ab 1×a=a a × a × a = a3 a a:4= 4 Suku dan Koefisien Kita dapat menyatakan 3a – 7 dengan 3a + (–7) dengan menggunakan tanda penjumlahan. Pada contoh di atas, 3a dan –7 dinamakan suku-suku aljabar. Suku 3a memuat sebuah huruf atau variabel, dan bagian bilangannya dinamakan koefisien a.

xvi

Bentuk Linear Suatu suku dinyatakan sebagai hasil kali dari sebuah variabel dan sebuah bilangan positif atau negatif disebut suku linear. Jumlah suatu suku linear dan suku konstan atau bentuk aljabar dengan hanya suatu suku linear dinamakan bentuk linear. Nilai dari Bentuk Aljabar Mengganti suatu variabel dengan sebuah bilangan dinamakan mensubstitusi nilai pada suatu variabel. Hasil dari substitusi ini dinamakan nilai dari bentuk aljabar. Bentuk Linear Meskipun suku-sukunya dipindah ruas dan disusun ulang urutannya, persamaan dengan bentuk ax + b = 0 merupakan persamaan linear. Nilai x yang membuat persamaan menjadi pernyataan yang benar dinamakan penyelesaian atau solusi dari persamaan. Mencari penyelesaian atau solusi dari suatu persamaan dinamakan menyelesaikan persamaan.

Pada taman bermain, harga tiket masuk untuk tiga peserta didik SMP sama dengan harga tiket satu peserta didik SMP dan satu orang dewasa. Jika harga tiket satu orang dewasa Rp10.000,00 rupiah, berapa harga tiket masuk untuk satu peserta didik SMP?

Jika kita misalkan harga tiket masuk peserta didik SMP adalah x, kita bisa membuat persamaan.

Meskipun suku-sukunya dipindah ruas dan disusun ulang urutannya, persamaan dengan bentuk ax + b = 0 merupakan persamaan linear.”

Kembali ke SMP Kelas VII, kita gunakan persamaan linear untuk mencari bilangan yang tidak diketahui.

Bab 2 Sistem Persamaan Linear

Sifat-sifat Persamaan (1) Jika m ditambahkan ke kedua ruas, maka persamaan tetap berlaku benar. Jika A = B, maka A + m = B + m (2) Jika m dikurangkan dari kedua ruas, maka persamaan tetap berlaku benar. Jika A = B, maka A – m = B – m (3) Jika m dikalikan ke kedua ruas, maka persamaan tetap berlaku benar. Jika A = B, maka Am = Bm (4) Jika kedua ruas persamaan dibagi m (m ≠ 0), maka persamaan tetap berlaku benar. A B Jika A = B, maka = m m

Langkah-langkah menggunakan persamaan untuk menyelesaikan masalah di situasi nyata (1) Cari hubungan antarkuantitas dalam soal, kemudian nyatakan dengan diagram, tabel, atau persamaan kata-kata. (2) Tentukan kuantitas mana yang diketahui dan yang tak diketahui serta buatlah persamaan dengan variabel. (3) Selesaikan persamaan. (4) Periksa apakah penyelesaian persamaan telah menyelesaikan permasalahan.

xvii

Alam ditulis dalam bahasa Matematika. (Galileo Galilei)

dan

2x + 3y

dan

xviii

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 Matematika untuk SMP Kelas VIII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Mochammad Hafiizh dan Fitriana Yuli Saptaningtyas ISBN: 978-602-244-798-6 (jil.2)

BAB

1

Menyederhanakan Bentuk Aljabar 1 2

Menyederhanakan Bentuk Aljabar Menggunakan Bentuk Aljabar

Bumi

6.400 km

Tali Ekuator

Dapatkah kamu menebak hari ulang tahunku?

Mari kita coba tebak pada bulan apa Heru lahir.

Heru lahir bulan Desember! Saya dapat 24.

Wah, tebakanmu tepat sekali!

Heru, coba kalikan bulan lahir kamu dengan 10. Tambahkan 20 ke jawabanmu. Bagi jawaban itu dengan 5. Kurangi 4 dari jawaban itu. Bilangan berapa yang kamu dapatkan?

Dalam kuis di atas, mengapa bulan lahir Heru dapat ditebak dengan benar?

1 Jika Kita misalkan bulan lahir seseorang adalah x.

2

1

Kalikan x dengan 10.

… 10x

2

Tambahkan 20 ke 10x.

…

a

3

Bagilah

dengan 5.

…

b

4

Kurangi

oleh 4.

…

c

a b

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Kalikan bulan lahirmu dengan 7, lalu tambah dengan tanggal lahirmu. Lalu jawabannya dikali 10 dan diberi tanda d . Kemudian, kalikan bulan lahirmu dengan 10, dan kurangkan hasilnya dengan 3 kali tanggal lahirmu. Misalkan hasil ini dikali 3 dan diberi tanda e . Terakhir, jumlahkan d dan e . Apa jawabanmu?

Dewi lahir tanggal 3 Februari.

Mari kita tebak Dewi lahir pada bulan dan tanggal berapa!

Kok bisa tahu ya?

Saya dapat 203.

2

Misalkan bulan lahir seseorang adalah x dan tanggal lahirnya adalah y, dan pikirkan permainan tebak hari lahir di atas dengan cara yang sama seperti pada bagian 1 di halaman sebelumnya. Jika Kita misalkan bulan lahir seseorang dengan x dan tanggal lahirnya adalah y. 1 Tambahkan y pada hasil kali x dan 7. 2 Misalkan hasil kali 1 dan 10 sebagai d . 3 Kurangkan hasil kali x dan 10 oleh perkalian y dan 3. 4 Misalkan hasil kali 3 dan 3 adalah e . 5 Jumlahkan d dan e .

Kita telah belajar tentang bentuk aljabar satu variabel di SMP Kelas VII.

Apakah terdapat perbedaan antara bentuk aljabar satu variabel dengan bentuk aljabar dua variabel? Hlm.4

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

3

1

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Struktur dari Bentuk Aljabar

1 Tujuan

Peserta didik dapat mengelompokkan dan menyusun bentuk aljabar.

Bentuk Suku Tunggal (Monom) dan Suku Banyak (Polinom)

Diskusi

Bentuk-bentuk aljabar a sampai f berikut menyatakan berbagai ukuran dari prisma tegak di samping. 2 a 4x c b x 2x + 2y d

1 2

xy

2

2x + 4xy

e

x cm

2

xy

f

x cm

Pikirkan jumlah suku yang dituliskan pada bentuk aljabar (perhatikan satuannya). Diskusikan bagaimana kita mengelompokkan bentuk aljabar tersebut berdasarkan ciri-cirinya.

Bentuk aljabar dalam bentuk hasil kali antarbilangan atau disebut suku tunggal antarvariabel, seperti 4x dan xy pada (monom). Variabel atau bilangan suku satu, seperti y dan –6 disebut juga suku tunggal.

y cm

4x, xy

Suku Tunggal

y, –6 10x + 20

Suku Banyak

2x + 2y

Bentuk-bentuk aljabar yang diperoleh dari hasil penjumlahan suku tunggal seperti 10x + 20 dan 2x + 2y disebut suku banyak (polinom). Setiap suku tunggal pada bentuk suku banyak disebut suku dari suku banyak. Contoh 1

2

Pada bentuk polinom x – 4x + 3, bentuk x , –4x, dan 3 adalah suku-suku dari bentuk suku banyak ini. Suku dari suku banyak dalam bentuk bilangan saja disebut konstanta. ,

, dan

dari

Soal 1

Kelompokkan bentuk aljabar di dan bentuk suku banyak.

Soal 2

Tentukan suku-suku dari suku banyak berikut ini. 1

4

2

5a + 1

2

b

e

7x – 8y

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3

f

x2 – 4x + 3 = x2 + ( – 4x ) + 3 suku suku konstanta

ke dalam bentuk suku tunggal

4x2 + 7x – 9

Derajat dari Bentuk Aljabar Nyatakan tiap bentuk suku tunggal berikut dengan menggunakan tanda perkalian (×). 2

2x

–3x2

3

5x2y

Banyaknya variabel yang dikalikan dalam suatu bentuk suku tunggal disebut derajat dari suku tunggal tersebut. Jika suku tunggal hanya memiliki satu variabel, maka konsep derajat sama dengan pangkat. Hati-hati jika variabelnya lebih dari satu. Contoh 2

Derajat dari bentuk suku tunggal pada bentuk (1) sampai (3) dari berikut. 1

Soal 3

2

1 2x = 2 × x

2

–3x

… Berderajat 2

2 –3x2 = –3 × x × x

3

5x2y

… Berderajat 3

3 5x2y = 5 × x × x × y

Tentukan derajat dari bentuk suku tunggal berikut. 1 1 –6a 2 x2 4 –xy2 ab 3 2 Derajat dari bentuk suku banyak adalah derajat paling tinggi dari suku-suku bentuk suku banyak. Catatan

Contoh 3

… Berderajat 1

2x

adalah sebagai

Kita dapat membandingkan derajat dari bentuk suku tunggal pada soal 3 (1), (2), (3), dan (4) menggunakan istilah “lebih dari” atau “kurang dari”, contohnya apakah derajatnya bentuk suku tunggal (1) lebih dari atau kurang dari derajatnya bentuk suku tunggal (2)?

Pada bentuk suku banyak x2 – 4x + 3, suku dengan derajat tertinggi adalah x2.

x2 – 4x + 3 Derajat

2

1 Suku Konstanta

Suatu bentuk aljabar berderajat 1 disebut bentuk linear, bentuk aljabar berderajat 2 yang hanya memiliki satu variabel disebut bentuk kuadrat, dan seterusnya. Soal 4

Bentuk Linear

2x, 5a + 1

Bentuk Aljabar Berderajat 2

–x2, 7ab

Berapakah derajat dari setiap bentuk aljabar a sampai f dari pada halaman sebelumnya? Jadi, untuk bentuk-bentuk aljabar, ada bentuk suku tunggal dan ada bentuk suku banyak.

x + 8y – 6

x2 – 4x + 3

Saya penasaran ingin mengetahui apakah kita dapat melakukan perhitungan bentuk suku banyak derajat 2 dengan cara sama seperti sewaktu SMP kelas VII? Hlm.6

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

5

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1

Penyederhanaan Bentuk Suku Banyak

2 Tujuan

Peserta didik dapat menyederhanakan bentuk suku banyak dengan dua variabel.

Suku-Suku Sejenis Saya ingin membeli 3 apel dengan harga masingmasing a rupiah, dan 4 donat dengan harga masingmasing b rupiah. Namun, saya tidak memiliki uang yang cukup sehingga saya mengurangi 2 apel dan menambah 2 donat. Nyatakan harga total dari pembelian ini dengan menggunakan sebuah bentuk aljabar. Suku-suku yang memiliki variabel yang sama dalam suatu bentuk aljabar, seperti 3a dan –2a, atau 4b dan 2b dalam bentuk polinom disebut suku-suku sejenis.

suku sejenis

3a + 4b – 2a + 2b suku sejenis

Tentukan suku sejenis pada setiap bentuk suku banyak berikut.

Soal 1

1

3x – 4y – 7x + 2y

2

a – 6b – 9b + 3a

Suku-suku sejenis dapat disederhanakan ke dalam satu suku dengan menggunakan sifat distributif.

Contoh 1

2x + 8y – 6x + y

1

= 2x – 6x + 8y + y = (2 – 6)x + (8 + 1)y

Ubah urutan suku-suku Sederhanakan suku sejenis

= –4x + 9y Catatan

6

2

m a + n a = (m + n) a

4a2 – 7a + 6a + 3a2 = 4a2 + 3a2 – 7a + 6a = (4 + 3)a2 + (–7 + 6)a = 7a2 – a

Derajat a2 dan a berbeda sehingga keduanya bukan suku sejenis.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Soal 2

Sederhanakan suku-suku sejenis untuk tiap suku banyak berikut. 2 –7a + 2b + 6b – 2a

3 a – 4b + 7 – 3a + 8b

4 4x2 + 3x2

5 x2 + 9x – 8x2 – x

6 –3x2 – 7x + 3x2 + 2x

7 2x2 – 6x – 2 – 3x

8 x2 – 8x + 4 – 3x2 + 8x

Penjumlahan Bentuk Suku Banyak Dengan mengingat pelajaran SMP Kelas VII, bagaimana kamu menyederhanakan bentuk aljabar seperti (2x + 4) + (x – 2)?

Contoh 2

Tentukan hasil penjumlahan dari x – 2y dan –3x + 5y. x – 2y –3x + 5y + –2x + 3y

Penyelesaian

(x – 2y) + (–3x + 5y) = x – 2y – 3x + 5y = x – 3x – 2y + 5y = –2x + 3y Jawaban: –2x + 3y

Dalam penjumlahan bersusun, luruskan posisi suku-suku sejenis.

Penjumlahan bentuk-bentuk suku banyak dapat disederhanakan dengan menggabungkan suku sejenis dengan cara menjumlahkan koefisiennya.

Soal 3

Tentukan hasil penjumlahan untuk setiap pasangan bentuk aljabar berikut. 1 6a + 4b dan 3a + b

Soal 4

Berpikir Matematis Kamu dapat berpikir bahwa perhitungan bentuk-bentuk suku banyak sama seperti perhitungan bentuk-bentuk aljabar seperti di SMP kelas VII.

2 2x2 + 6x dan x2 – 9x

Sederhanakanlah. 1 (a + 7b) + (4a – 3b)

2 2 2 (–6x + 5x – 7) + (3x – 5x)

3 4x – y 2x + 3y

4

3x – y – 5 –2x – 4y + 3

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

7

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1 5x + 2y – 3x + y

Pengurangan Bentuk Suku Banyak Isilah di samping kanan dengan menggunakan tanda yang tepat. Tentukan hasil dari perhitungan yang dilakukan.

Contoh 3

Penyelesaian

(3x + 1) – (2x – 5) = (3x + 1) + ( 2x 2x

= 3x + 1

5) 5

Tentukan hasil dari 5x – 4y dikurangi 3x – 7y. 5x – 4y 3x – 7y (5x – 4y) – (3x – 7y) = (5x – 4y) + (–3x + 7y) = 5x – 4y – 3x + 7y = 2x + 3y

Dalam pengurangan, pastikan menggunakan tanda kurung.

5x – 4y –3x + 7y 2x + 3y

Jawab: 2x + 3y

Pengurangan bentuk suku banyak dilakukan dengan cara mengubah tanda pada suku-suku pengurang dan menambahkannya ke suku yang akan dikurangi. Untuk setiap dua bentuk aljabar berikut, tentukanlah hasil pengurangan bentuk aljabar sebelah kiri oleh bentuk aljabar sebelah kanan.

Soal 5

1

6a + 4b, 3a + b

2

2x2 + 6x, x2 – 9x

Sederhanakanlah.

Soal 6

1

(4a – 2b) – (a + 5b)

2 2 2 (x + 3x + 7) – (–6x – 2x + 5)

3

8x + 7y x – 2y

4 x + 4y – 1 2x + 6

Cobalah Hlm.15 Penguatan Apa ini benar?

Soal 7 Diskusi

Deni melihat catatan adik perempuannya yang duduk di bangku SMP Kelas VII. Tunjukkan di mana salahnya dan beri penjelasan.

(4x + 1) – (x – 5) = 4x + 1 – x + 5 = 3x + 6 = 9x

Kita dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan bentuk-bentuk suku banyak dengan dua variabel sama seperti ketika di SMP Kelas VII.

8

1-1

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Dapatkah kita melakukan perhitungan 5(3x + 2y) dengan cara yang sama seperti saat SMP Hlm.9 Kelas VII?

Tujuan

Peserta didik dapat melakukan perkalian dan pembagian bentuk suku banyak dengan suatu bilangan. 3x m

Perkalian Bentuk Suku Banyak dengan Bilangan

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Terdapat sebuah sketsa tanah berbentuk persegi panjang seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Nyatakan total luas dari tanah ini dalam sebuah bentuk aljabar.

2y m

5m

xm

xm

xm

ym

ym

Ulasan Contoh 4

5(3x + 2y) = 5 × 3x + 5 × 2y = 15x + 10y

a (b + c) = ab + ac

Sifat Distributif (b + c)a = ab + ac

SMP Kelas VII

Dalam melakukan perkalian bentuk suku banyak dan bilangan, secara sederhana gunakanlah sifat distributif untuk menghilangkan tanda kurung. Soal 8

Sederhanakanlah. 1 3(x + 5y)

2

–4(–2a + b)

3

(7a – 4b) × 5

4 6 (5x – 2y + 1)

5

(3a + 4b – 5) × (–2)

6

1 (–8x – 2y) 4

Pembagian Bentuk Suku Banyak dengan Bilangan Contoh 5

(9x + 15y) : 3 = (9x + 15y) ×

1 3

Kali dengan kebalikan pembagi.

3

5

15y 9x = + = 3x + 5y 3 3

1 1 + 15y × 3 3 = 3x + 5y

1

= 9x ×

1

Dalam melakukan pembagian bentuk suku banyak dengan bilangan, secara sederhana ubahlah bentuknya ke dalam perkalian. Soal 9

Sederhanakanlah. 1 (10x – 25y) : 5

Cobalah

2

(–12a + 6b) : (–3)

Hlm.15 Penguatan

1-2

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

9

Berbagai Macam Hitungan Contoh 6

Soal 10

4 (3x + 2y) – 3(5x – y) = 12x + 8y – 15x + 3y = –3x + 11y

Ketika menghilangkan tanda kurung, hati-hati dengan tandanya.

Sederhanakan. 1

2(a + 2b) + 3(2a – b)

2

–3(4x – 5y) + 6(2x – 3y)

3

3(a – 2b) – 2(a + 5b)

4

7(x – 2y + 1) – 4(-3y + 2)

Metode 1

Contoh 7

Metode 2

x–y x + 2y – 3 2

x + 2y x – y – 2 3

Ubah dalam bentuk pembilang × bentuk polinom

Samakan penyebutnya

3(x + 2y) 2(x – y) – 6 6

1 1 (x + 2y) – (x – y) 2 3

Gabungkan dalam satu pecahan

Buka tanda kurung

1 1 1 x+y – x+ y 3 3 2

3(x + 2y) – 2(x – y) 6

Susun ulang suku-suku, samakan penyebutnya

Buka tanda kurung pada pembilang

3 6

3x + 6y – 2x + 2y 6

x–

2 3 1 x+ y+ y 3 3 6

Gabung suku-suku sejenis

Gabung suku-suku sejenis

x + 8y 6

Soal 11

1 4 x+ y 6 3

Hitunglah. 1 3

x + 3y 3x – y + 4 6 1 9

(5x + 3y) –

1 3

(x – y)

x–y 2x + y – 4 8

2 4

4x – 2y x+y– 5

Dalam perkalian dan pembagian bentuk polinom dengan bilangan, kita dapat menggunakan sifat distributif yang dipelajari di SMP Kelas VII.

10

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Cobalah Hlm.15 Penguatan

Mari kita pikirkan perkalian dan pembagian bentuk suku tunggal. Hlm.11

1-3

3 Perkalian dan Pembagian Bentuk Suku Tunggal Tujuan

Peserta didik dapat melakukan perkalian dan pembagian bentuk suku tunggal yang memuat variabel. BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Perkalian Bentuk Suku Tunggal yang Memuat Variabel 4b cm

Lembaran kertas-kertas berwarna dengan panjang a cm dan lebar b cm seperti ubin, dijadikan suatu tikar berbentuk persegi panjang dengan panjang 3a cm dan lebar 4b cm. Berapa lembar kertas berwarna yang diperlukan? Berapa total luas daerah tikar tersebut? Contoh 1

3a cm

a cm b cm

3a × 4b = (3 × a) × (4 × b) =3×4×a×b = 12ab

Hasil kali koefisien

3 a × 4 b = 12

ab

Hasil kali variabel

Dalam perkalian bentuk-bentuk suku tunggal yang memuat variabel, tentukanlah hasil perkalian koefisien-koefisien dan hasil perkalian variabel-variabelnya, lalu sederhanakan hasilnya. Soal 1

Contoh 2

Soal 2

Sederhanakanlah. 1

5a × 2b

2

(–6x) × 3y

4

0, 4x × (–5y)

5

8a ×

1

3a2 × 2a = (3 × a × a) × (2 × a) =3×2×a×a×a = 6a3

1 b 4

3

(–x) × (–7y)

6

(–

2 x) × (–9y) 3

(–5x)2

2

= (–5x) × (–5x) = (–5) × (–5) × x × x = 25x2

Sederhanakanlah. 1

a3 × a2

2

2a2 × 4a

3

(3x)2

4

(–4a)2

5

(–6xy) × 2y

6

8x × (–x)2

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

11

Pembagian Bentuk Suku Tunggal yang Memuat Variabel

m

Sketsa tanah berbentuk persegi panjang memiliki panjang 4a m dan luas daerah 20ab m 2. Berapakah lebarnya? Contoh 3

1

20ab : 4a 20ab  4a 5

2

1

20  a  b  4 a 1

1

 5b

20ab m2

4a m

1 x 2 x = (–4x2) : 2 2 = (–4x2) × x (–4x2) :

Variabel-variabel yang sama dapat disederhanakan.

1

–4 × x × x × 2 x 1 = –8x =

Sederhanakanlah.

Soal 3

1

12xy : 6y

2

(–9ab) : 3b

4

10x2y : (–2xy)

5

(9x2) :

3 x 5

3

a3 : a2

6

 2  4ab :   b   3 

Hitungan Melibatkan Kombinasi Perkalian dan Pembagian Contoh 4

4y2 : 6xy × 12x 1 = 4y2 × × 12x 6xy

1

1

4y2 × 12x = 6xy = 8y Soal 4

1

1

1

Sederhanakanlah. 1

3x2 × 4y : 2xy

2

x3 : 2x2 × 8x

3

12a2b × (–3ab) : 9ab2

4

27a2 : (–3a)2

Ketika menentukan nilai dari suatu bentuk aljabar, dapatkah kita menggunakan perhitungan bentuk aljabar yang dipelajari di SMP Kelas VII?

Hlm.13

12

2

4× y × y × 12 × x = 8y 6×x×y

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Cobalah Hlm.15 Penguatan

Dalam situasi apa kita dapat menggunakan bentuk-bentuk aljabar yang sudah pernah kita pelajari? Hlm.16, 21

1-4

4 Tujuan

Nilai dari Bentuk Aljabar Peserta didik dapat menentukan nilai dari bentuk aljabar.

Terkait permasalahan matematika seperti berikut, Heru dan Dewi memperoleh jawaban dengan cara yang ditunjukkan di bawah ini. Diskusi

Jika x = –5 dan y = 4, tentukanlah nilai dari 7x – (6x – 2y).

Cara Heru

= = = = =

Cara Dewi

7x – (6x – 2y) 7 × (–5) – (6 × (–5) – 2 × 4) –35 – (–30 – 8) –35 – (–38) –35 + 38 3

= = = = =

7x – (6x – 2y) 7x – 6x + 2y x + 2y (–5) + 2 × 4 –5 + 8 3

Jelaskan alasan untuk setiap cara yang digunakan di atas!

Ketika menentukan nilai dari bentuk aljabar, menyederhanakan bentuk aljabar sebelum bilangannya disubstitusikan akan memudahkan hitungan.

Soal 1

Jika x = 5 dan y = –3, carilah nilai dari bentuk aljabar berikut. 1

Soal 2

4(x – 2y) – (2x – 9y)

Jika x = –2 dan y =

2 (–12x y) : (–4x)

–2x + y – 3(x + 2y)

1 , carilah nilai dari bentuk aljabar berikut. 3

1 2(3x – 6y) + 3(5y – 2x) 2

2

Cobalah Hlm.15 Penguatan

1-5

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

13

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Nilai dari Bentuk Aljabar

1

Mari Kita Periksa 1 Bentuk Suku Tunggal dan Suku Banyak [Hlm.4] S

1

[Hlm.5]

Cth. 1 Cth. 3

Jawablah untuk bentuk aljabar 2 a b 5x – 4y x 3

a

sampai

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

d

.

–8x2

c

d

x2 – 5x + 2

1 Kelompokkan bentuk aljabar di atas ke dalam bentuk suku tunggal atau suku banyak. 2 Tentukan suku-suku pada bentuk aljabar

d

.

3 Tentukan derajat dari setiap bentuk aljabar tersebut.

Sederhanakanlah.

2 Suku-Suku Sejenis [Hlm.6] Cth. 1 Penjumlahan Bentuk Suku Banyak [Hlm.7] Cth. 2 Pengurangan Bentuk Suku Banyak [Hlm.8] Cth. 3

2

2a2 – 7a + 5 + 6a2 – 1

3 (–5x + 6y) + (9x – 8y)

4

(x – 3y) – (–2x + 5y)

1 –3(4x – y + 7)

2

(18a – 10b) : 2

3 5(–2a + 4b) + 3(4a – 7b)

4

3(4x – 2y) – 2(3x + y)

1 (–2a) × 9b

2

3a × 5a2

3 (–6x)2

4

8ab : 4a

6

12xy : (–6x) × 2y

Sederhanakanlah.

3 Perkalian Bentuk Suku Banyak dengan Bilangan [Hlm.9] Cth. 4 Pembagian Bentuk Suku Banyak dengan Bilangan [Hlm.9] Cth. 5 Berbagai Macam Hitungan [Hlm.10] Cth. 6

Sederhanakanlah.

4 Perkalian dan Pembagian Bentuk Suku Tunggal [Hlm.11] Cth. 1,2 [Hlm.12] Cth. 3,4

2 5 6x :

2 x 5

Jika x = –2 dan y = 3, carilah nilai dari bentuk aljabar berikut.

5 Nilai dari Bentuk Aljabar [Hlm.13] S 1

14

1 3x – 7y + x + 4y

1 (x + 7y) + (4x – 3y) 2 4x2 × xy : (–2x)

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Penguatan

Gunakan materi yang sudah dipelajari baik saat belajar maupun saat berlatih.

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Suku Banyak 1

2x + 3y + 7x + 5y

2

–4a + 8b – 2a – 5b

3

5a2 + a2

4

3x2 – 6x + 1– 2x2 + 4x

5

(7a + b) + (–9a + 8b)

6

(–3x2– 4x) + (5x2 – x)

7

(8x – 6y) – (2x + 4y)

8

(–x2 + 9x + 6) – (7x2 – 5x + 8)

9

2x – 6y – 5 3x + 2y – 4

4

6

1 1 (a – 3b) – (2a – 3b) 4 6

7

a+ b 2a – b + 8 6

8

x – 3y 4x – y – 3 2

9

x–

x + 5y 2

Perkalian dan Pembagian BentukBentuk Suku Tunggal 1 9a × (–5b) 5 2 12x × y 6 2 3 3x × 7x 2 4 (–7a)

10 –5x + 8y 4x – 7y

5 4a × (–ab) 6 (–18xy) : (–9x)

2

3

3 7 x :x

Perkalian dan Pembagian Bentuk Suku Banyak dengan Bilangan 1

2(6a – 5b + 1)

2

(9x – 4y) × (–3)

3

(20a + 16b) : 4

4

8x + 12y –2

Aneka Hitungan 1

3(a + 2b) + 6(a – b)

2

–(5x – y) + 4(3x – y)

3

2(4x + y) – 7x

4

8a – 5b – 3(a – 4b)

5

4(2x – y) – 2(x – y + 1)

3 x 4 2 9 x × 4x : 8xy 2 8 6x :

2 2 10 15a b : (–6ab ) × 2ab

5

Nilai dari Bentuk-Bentuk Aljabar 1 Jika a = –3 dan b = 8, carilah nilai dari a2 – b. 2 Jika x = 2 dan y = –5, carilah nilai dari 8x2y3: 4xy2. 1 dan b = –1, carilah nilai 2 dari (3a + b) – (a + 4b).

3 Jika a =

Jawaban Hlm.229

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

15

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1

1

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

2

Menggunakan Bentuk Aljabar

Penjelasan Menggunakan Bentuk Aljabar

1 Tujuan

Peserta didik dapat menjelaskan sifat-sifat bilangan dan gambar geometri menggunakan bentuk aljabar. Tentukan jumlah dari tiga bilangan bulat berurutan, seperti 6, 7, dan 8. Diskusikan sifat-sifat apakah yang dimiliki oleh penjumlahan tiga bilangan tersebut.

Diskusi

6+7+8= 10 + 11 + 12 = 23 + 24 + 25 =

Berpikir Matematis Dengan menggunakan bilanganbilangan tertentu, apa yang dapat kamu amati dari penjumlahan tiga bilangan bulat berurutan?

Terkait sifat yang ditemukan dalam , kita tidak dapat memeriksa apakah sifat tersebut berlaku untuk semua bilangan dengan hanya melakukan perhitungan terhadap bilangan-bilangan tertentu. Dalam hal ini, dengan menggunakan bentuk aljabar, kita dapat membuktikan bahwa sifat tersebut berlaku untuk semua bilangan. Contoh 1

Jelaskan dengan menggunakan bentuk aljabar, mengapa jumlah dari tiga bilangan bulat berurutan adalah kelipatan 3.

Berpikir Matematis Jumlah 3 bilangan bulat berurutan adalah kelipatan 3 dapat dijelaskan dengan menggunakan bentuk aljabar.

Nyatakan 3 bilangan bulat berurutan dengan menggunakan sebuah variabel dan tunjukkan bahwa jumlahnya berupa 3 × (bilangan bulat).

Cara

Penyelesaian

Jika kita misalkan bilangan terkecil adalah n, maka 3 bilangan bulat berurutan dapat dinyatakan dengan n, n + 1, n + 2. Jumlah ketiganya adalah n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) n + 1 adalah bilangan bulat, sehingga 3(n + 1) merupakan kelipatan 3. Dengan demikian, jumlah dari 3 bilangan bulat berurutan adalah kelipatan 3. Catatan

16

Ketika kita berbicara tentang kelipatan sebuah bilangan, kelipatan dengan 0 atau bilangan negatif juga diperhitungkan sebagai kelipatan bilangan tersebut.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Dari penyelesaian Contoh 1 pada halaman sebelumnya, apa lagi yang dapat kita ketahui tentang jumlah dari 3 bilangan bulat berurutan selain kelipatan 3?

Soal 2

Jelaskan Contoh 1 pada halaman sebelumnya dengan memisalkan n sebagai bilangan yang di tengah. Pertama diberikan suatu bilangan asli dua digit. Bilangan kedua diperoleh dari bilangan pertama, tetapi dengan menukar letak digit satuan dengan digit puluhannya. Jumlah kedua bilangan tersebut merupakan kelipatan bilangan tertentu. Periksa kelipatan berapakah hasil penjumlahannya. Untuk suatu bilangan asli dua digit, dengan memisalkan a sebagai digit puluhan dan b sebagai digit satuan maka bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai 10a + b.

21 + 12 = 35 + 53 = 47 + 74 = +

=

+

=

36 = 10 × 3 + 1 × 6 74 =10 × 7 + 1 × 4 10 × a + 1 × b

Contoh 2

Penyelesaian

Jelaskan mengapa jumlah dari suatu bilangan asli dua digit dan bilangan yang diperoleh dari menukar digit puluhan dengan digit satuan pada bilangan pertama merupakan kelipatan 11. Jika kita misalkan digit satuan dari bilangan dua digit adalah a dan digit puluhannya adalah b, maka Bilangan mula-mula adalah

10a + b.

Bilangan kedua hasil penukaran digit adalah

10b + a.

Jumlah kedua bilangan tersebut adalah (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) Karena a + b adalah bilangan bulat, maka 11(a + b) adalah kelipatan 11. Oleh karena itu, jumlah dari suatu bilangan asli dua digit dan bilangan yang diperoleh dari menukar digit puluhan dengan satuan pada bilangan pertama merupakan kelipatan 11.

Soal 3

Apa yang dapat kita katakan tentang selisih antara suatu bilangan asli dua digit dengan bilangan yang diperoleh dari menukar digit puluhan dengan satuan pada bilangan pertama? Jelaskan menggunakan bentuk aljabar.

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

17

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Soal 1

[ Aktivitas Matematis ]

Ko munikasi

Dari jumlah pasangan bilangan berikut, mana yang menghasilkan bilangan ganjil dan mana yang menghasilkan bilangan genap? 1

(Ganjil) + (Genap)

2

(Genap) + (Genap)

3

Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2. Dengan kata lain, bilangan genap merupakan kelipatan 2. Oleh karena itu, jika kita misalkan m adalah bilangan bulat, maka bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2m. Bilangan ganjil tidak habis dibagi 2. Dengan kata lain, bilangan ganjil selalu lebih besar satu dari suatu bilangan genap. Oleh karena itu, jika kita misalkan n adalah bilangan bulat, maka bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan 2n + 1. Kita dapat menyatakan semua bilangan genap dengan 2m dan bilangan ganjil dengan 2n + 1.

Bilangan 2m Genap sebanyak m pasangan

Bilangan 2n + 1 Ganjil sebanyak n pasangan

1

Karena m dan n bilangan bulat, maka kita dapat pula mengikutsertakan 0 atau bilangan negatif.

Dengan menggunakan ini, pikirkan kembali

1

(Ganjil) + (Ganjil)

.

Dewi menjelaskan mengapa jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan ganjil seperti berikut ini. Cara Dewi

Jika kita menjumlahkan bilangan ganjil 2n + 1 ke bilangan genap 2m, maka kita memperoleh dua pasangan sebanyak (m + n) dan tersisa 1 lingkaran yang tidak berpasangan, seperti terlihat pada gambar di kanan. Oleh karena itu, jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan Cara Dewi, jelaskan hasil

18

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

1

(m + n)

2m

2

dan

2n + 1

3

pada

.

2

Heru menjelaskan mengapa jumlah dari bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dengan menggunakan bentuk aljabar seperti berikut. Lengkapi dengan bentuk aljabar atau kata-kata yang tepat. penjelasan Heru dengan mengisi

Jika kita misalkan m dan n adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2m, dan bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan 2n + 1. Jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah 2m + (2n + 1) = 2m + 2n + 1 )+1

= 2(

bilangan bulat, maka

Karena

adalah bilangan ganjil.

Oleh karena itu,

3

.

Asep menjelaskan 1 dan 2 di atas, dengan memisalkan bilangan genap sebagai 2m dan bilangan ganjil dengan 2m + 1. Jelaskan apakah cara Asep itu benar atau tidak.

m 2m 2m+1

di

4

Dengan menggunakan bentuk aljabar, tuliskan penjelasan (2) dan (3) pada halaman sebelumnya. Coba jelaskan kepada temanmu dengan cara tersebut.

5

Dengan meninjau kembali apa yang telah kamu pelajari hingga saat ini, buatlah kesimpulan terhadap tiap pertanyaan berikut.

Soal 4

1

Bagaimana cara menyatakan pernyataan berikut menggunakan variabel: “3 bilangan bulat berurutan”, “Bilangan asli dua digit”, “Bilangan genap dan bilangan ganjil”, “Kelipatan 3”, dan lain-lain?

2

Mengapa penjelasannya jauh lebih baik jika menggunakan bentuk aljabar?

Pada

2

di halaman 3, jelaskan bagaimana kita menebak hari ulang tahun.

Diskusi

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

19

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Cara Heru

Contoh 3

Pada gambar di samping, titik O adalah titik tengah garis AB. Jumlah panjang busur setengah lingkaran dengan diameter berturut-turut AO dan BO adalah sama dengan panjang busur setengah lingkaran dengan diameter AB. Jelaskan hal ini dengan menggunakan bentuk aljabar.

A

B

O

Misalkan AO = a, tentukan panjang busur masing-masing.

Cara Penyelesaian

Jika kita misalkan AO = a, maka panjang busur setengah lingkaran dengan diameter AO adalah (π × a) ×

A

1 2

(π × a) × a

1 2

O

(π × 2a) ×

1 2

Karena titik O adalah titik tengah AB, maka AO = BO. O Oleh karena itu, panjang busur setengah A B lingkaran dengan diameter AO dan BO adalah 2a sama panjang. Jumlah kedua panjang busur tersebut adalah 1 1 (π × a) × × 2 = πa Agar penjelasanmu 2 lebih mudah dipahami, Karena AB = 2a, maka panjang busur setengah lingkaran pastikan membuat sketsa gambar. dengan diameter AB adalah (π × 2a) ×

1 = πa 2

2

Karena 1 dan 2 bernilai sama, maka jumlah panjang busur setengah lingkaran dengan diameter AO dan BO adalah sama dengan panjang busur setengah lingkaran berdiameter AB.

Soal 5

20

Jika diketahui AP = PQ = QR = RB seperti pada gambar di sebelah kanan, mengapa jumlah panjang 4 busur setengah lingkaran dengan diameter AP, PQ, QR, dan RB adalah sama dengan panjang busur A setengah lingkaran dengan diameter AB? Jelaskan menggunakan bentuk aljabar.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

P

Q R

B

2

Mengubah Persamaan Peserta didik dapat mengubah persamaan ke bentuk yang diperlukan.

Tujuan

1

(Jarak) = (Kecepatan)

(Waktu)

2

(Kecepatan) = (Jarak)

(Waktu)

3

(Waktu) = (Jarak)

(Kecepatan)

Bergantung pada apa yang ingin kita cari, jarak, kecepatan, atau waktu, seperti di , kita dapat mengubah bentuk aljabar untuk menyatakan hubungan-hubungan tersebut. Contoh 1

Dari permukaan tanah hingga 11 km di atas permukaan tanah, suhu udara berkurang sebesar 6°C untuk setiap kenaikan 1 km. Jika suhu udara di permukaan tanah adalah 18°C, dan suhu udara saat x km di atas permukaan tanah adalah yoC, maka kita dapat menyatakan hubungan antara x dan y sebagai y = 18 – 6x. Ubah bentuk aljabar ini ke bentuk aljabar yang dapat digunakan untuk mencari x.

Penyelesaian

Pindah ruas y dan –6x pada y = 18 – 6x, kita memperoleh 6x = 18 – y. Bagi kedua ruas dengan 6, kita peroleh 18 – y x= . 6 18 – y Jawab: x = 6

6x

Mengubah persamaan y = 18 – 6x dan memperoleh x = Contoh 1

Catatan

x=

y = 18 –6x = 18 –y

18 – y seperti dalam 6

disebut menyelesaikan persamaan untuk x. 1 1 18 – y dapat ditulis sebagai x = 3 – y atau x = – y + 3. 6 6 6

Soal 1

Pada Contoh 1, berapa km di atas permukaan tanah agar suhu udara berturut-turut sebesar 6°C dan –30°C?

Soal 2

Selesaikan tiap persamaan berikut untuk variabel dalam tanda [ ]. 1 3

x–y=8

[x]

6x + 2y =10

[y]

2 4

y = 12 – 4x

[x]

3x – y = 5

[y]

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

21

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Bagian 1 sampai 3 berikut menyatakan hubungan antara jarak, kecepatan, dan waktu. Isilah dengan tanda yang tepat.

Contoh 2

Penyelesaian

Selesaikan rumus luas segitiga L =

1 at untuk variabel t. 2

1 at 2 Dengan menukar kedua ruas, kita peroleh L=

t

1 at = L 2 Dengan mengalikan kedua ruas dengan 2, kita peroleh at = 2L. Dengan membagi kedua ruas dengan a, kita peroleh 2L t= 2L a Jawab: t = a

a

Kita menukar posisi kedua ruas dari bentuk aljabar untuk mempermudah mencari h.

Soal 3

Dengan menggunakan bentuk aljabar yang kamu peroleh di Contoh 2, carilah tinggi suatu segitiga yang memiliki luas daerah 42 cm2 dan alas 12 cm.

Soal 4

Selesaikan tiap persamaan berikut untuk variabel yang ada dalam tanda [ ]. 1 (a + b)t 1 V = Lt [t] 2 K = 2(a + b) [a] 3 L= [a] 2 3 a a

t

t

L

b

2

Mari Kita Periksa

Menggunakan Bentuk Aljabar

Jawablah setiap pertanyaan berikut terkait dengan dua bilangan ganjil berurutan, seperti 5 dan 7.

1 Penjelasan Menggunakan Bentuk Aljabar [Hlm.16] Cth. 1 [Hlm.19] 2

2

1

Misalkan n adalah bilangan bulat. Jika dimisalkan bilangan ganjil yang lebih kecil adalah 2n + 1, bagaimana kita menyatakan bilangan ganjil yang lebih besar?

2

Jelaskan mengapa jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah kelipatan 4.

Selesaikan setiap persamaan ini untuk variabel yang ada dalam [ ].

Mengubah Persamaan [Hlm.21] S 2 [Hlm.22] Cth. 2

22

b

1

4x – y = 8

[x]

2

m=

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

a+b 2

[a]

Soal Ringkasan

BAB 1

Jawaban pada Hlm.230, 231

Gagasan Utama

2 3

4

Jawablah setiap pertanyaan berikut menggunakan

a

sampai

f

a

4x + 7

b

2x2

c

3x – 5y

d

–8x

e

6xy + 9y

f

x2 – 6x + 1

1

Manakah yang merupakan bentuk-bentuk suku tunggal?

2

Manakah yang merupakan bentuk-bentuk linear?

.

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1

Sederhanakanlah. 1

8a2 + 6a + a2 – 2a

2

–2x – 8y + 7y – 3x + 5

3

(4a – 9b) + (3a + 5b)

4

(5x + 2y) – (6x – 4y)

(5a – 8b) + 3(–a + 2b)

Sederhanakanlah. 1

(20x – 4y) : (–4)

2

3

5 (x + 3y) – 4(2x – y)

4

5

7x × 4y

6

x–y 3x + y – 4 6 2 3a × (–2a)

7

(–9x)2

8

(–16a2) : 4a

9

6xy :

10

4x2 : 6x2 × 3x

3 x 7

Perbaiki kesalahan pada perhitungan berikut dan tuliskan jawaban yang benar. 1

18xy : 3x × 2y = 18xy : 6xy = 3

2

 2  6ab :   a   3   3   6ab    a   2   9a 2b

5

Jika x = 6 dan y = –5, tentukan nilai-nilai untuk setiap bentuk aljabar berikut. 1

14xy2 : 7y

2

(3x + 5y) – (x + 6y)

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

23

Soal Ringkasan

BAB 1

6

Jelaskan dengan menggunakan bentuk aljabar: mengapa jumlah 3 bilangan bulat dengan selisih 3, seperti 1, 4, 7 adalah kelipatan 3.

7

Selesaikan setiap persamaan berikut untuk variabel dalam [ ]. 1

3x + 2y = 10

[y]

4b + 3c 7

2

a=

2

x–y–

4

9x2 × (–xy) :

[c]

Penerapan

1

Sederhanakanlah. 1

3

2 3

1 2 y x+y– x– 2 3 2

3a2 : 6ab × (–2a)2

3x – y 4 3 3 y 5

Jika kita misalkan A = x2 – 3x – 5 dan B = –2x2 + x + 7, bentuk aljabar apa yang harus dikurangkan dari A untuk menghasilkan B? A

Tabung A memiliki jari-jari alas r cm dan tinggi t cm. Tabung B memiliki jari-jari alas dua kali panjang jari-jari alas tabung A, dan tingginya

B

1 2

t cm

dari tinggi tabung A. Gunakan bentuk-bentuk aljabar untuk menjelaskan berapa kali ukuran volume tabung B terhadap tabung A.

4

24

Pada kalender di sebelah kanan, jumlah 3 buah sama bilangan 2, 9, dan 16 ditandai dengan dengan 3 kali bilangan yang di tengah, yaitu 9. Dapatkah kita menyatakan hal yang sama tentang jumlah 3 bilangan berurutan secara vertikal di tempat lain pada kalender tersebut? Jelaskan jawabanmu dengan menggunakan bentuk-bentuk aljabar.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

r cm

S

M

T

W

T 1

F 2

S

4

5

6

7

8

9

10

11 18

12 19

13 20

14 21

15 22

16 23

17 24

25

26

27

28

29

30

31

3

Penggunaan Praktis

1

Dewi memeriksa selisih antara bilangan asli tiga digit dan bilangan yang dibentuk dengan menukar digit ratusan dengan digit satuan, dan sebaliknya.

Dari hasil-hasil ini, Dewi menduga hal berikut, dan ia memberi penjelasan seperti di bawah. Lengkapilah penjelasan Dewi.

Prediksi Dewi

Selisih antara bilangan asli tiga digit dan bilangan yang dibentuk dengan menukar angka ratusan dengan angka satuan dan sebaliknya adalah kelipatan 99. Jika kita misalkan angka ratusan adalah a, angka puluhan b, dan angka satuan c, maka bilangan asli tiga angka dapat dinyatakan dengan asli hasil penukaran tersebut dapat dinyatakan dengan

. Bilangan . Selisih

kedua bilangan tersebut adalah

Oleh karena itu, selisih antara bilangan asli tiga digit dan bilangan asli yang dibentuk dengan menukar digit ratusan dengan digit satuan dan sebaliknya adalah kelipatan 99.

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

25

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Untuk 524, 524 – 425 = 99 Untuk 937, 937 – 739 = 198 Untuk 259, 259 – 952 = -693

BAB 1

2

Soal Ringkasan Dari bentuk aljabar pada penjelasan Dewi, terdapat hal lain yang dapat kita ketahui selain pernyataan “selisih kedua bilangan tersebut adalah kelipatan 99”. Dari (a) – (f) berikut, pilihlah yang berlaku benar secara keseluruhan. (a) Selisih antara kedua bilangan tersebut adalah kelipatan 6. (b) Selisih antara kedua bilangan tersebut adalah kelipatan 11. (c) Selisih antara kedua bilangan tersebut adalah kelipatan bilangan ganjil. (d) Selisih antara kedua bilangan tersebut adalah kelipatan bilangan genap. (e) Selisih antara dua bilangan tersebut tidak ada kaitannya dengan nilai puluhan dari bilangan mula-mula. (f) Selisih antara kedua bilangan tersebut adalah 99 kali selisih setelah angka satuan dikurangkan dari angka ratusan.

3

26

Sejauh ini, kita telah belajar bahwa “selisih antara suatu bilangan asli dua digit dengan bilangan yang diperoleh dari menukar digit puluhan dengan satuan pada bilangan pertama adalah kelipatan 9” dan “selisih antara bilangan asli tiga digit dan bilangan yang dibentuk dengan menukar digit ratusan dengan digit satuan pada bilangan pertama adalah kelipatan 99”. Dari hal ini, Diki memprediksi bahwa “selisih antara bilangan asli empat digit dan bilangan yang dibentuk dengan menukar digit ribuan dengan digit satuan pada bilangan pertama adalah kelipatan 999”. Apakah dugaan ini benar? Jika menurutmu benar, jelaskan dengan menggunakan bentuk aljabar. Jika menurutmu tidak benar, beri satu contoh yang menyangkal bahwa selisihnya bukan kelipatan 999.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

an m a l a d Pe n M at e r i

Apa yang Terjadi Jika Kita Melilitkan Sebuah Tali pada Ekuator Bumi?

a

Tikus (tinggi 5 cm)

b

Sapi (tinggi 1 m 50 cm)

c

Gajah (tinggi 3 m)

Bumi

6.400 km

Tali Ekuator

1

2

Jika kita misalkan jari-jari Bumi adalah r m, maka panjang ekuator adalah 2πr m. Nyatakan panjang dari tali dan jari-jari lingkaran yang dibentuk oleh tali tersebut dengan menggunakan bentuk-bentuk aljabar.

Carilah selisih antara jari-jari lingkaran yang dibentuk oleh tali dan jari-jari Bumi. Jika kita misalkan π = 3,14, berapakah selisihnya?

Saya penasaran ingin mengetahui binatang mana yang dapat melewati celah?

Hasil bagian 2 tidak terkait dengan jari-jari. Oleh karena itu, pada soal di atas, kita akan memperoleh hasil yang sama meskipun jika kita mengganti Bumi dengan Bulan atau tangki gas. Kita mengonstruksi lintasan atletik. Setiap lintasannya lengkung berupa lingkaran. Garis akhir setiap lintasan membentuk garis lurus. Agar panjang setiap lintasannya sama, berapa meter selisih garis awal (start) untuk jalur berdekatan? Misalkan lebar tiap jalur berdekatan adalah 1 m, dan π = 3,14.

Sumber: www.republika.co.id

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

27

BAB 1 | Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Jari-jari Bumi panjangnya sekitar 6.400 km. Jika seutas tali 10 m lebih panjang dibandingkan panjang ekuator Bumi dan membentuk sebuah lingkaran di udara di atas ekuator, maka pada skenario di atas, binatang manakah berikut ini yang dapat melewati celah antara tali dan ekuator?

Tahukah kalian bahwa Bapak Aljabar adalah al-Khawarizmi. Atas jasa beliau, kalian dapat menyelesaikan masalah ini:

Rp40.000

Rp70.000

Kita punya sistem persamaan, yaitu 3x + 2y = 40.000 dan 5x + 4y = 70.000. Berapa harga semangkuk bakso dan segelas es teh?

Banyak persoalan kehidupan dapat diselesaikan dengan menggunakan matematika. (Anonim)

28

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 Matematika untuk SMP Kelas VIII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Mochammad Hafiizh dan Fitriana Yuli Saptaningtyas ISBN: 978-602-244-798-6 (jil.2)

BAB

2

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

A B

1

Sistem Persamaan

2

Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Ada berapa banyak permainan yang dapat saya mainkan? Di wahana permainan terdapat permainan yang memerlukan 1 tiket atau 2 tiket untuk dapat bermain. Kelompok A terdiri dari permainan-permainan yang memerlukan 2 tiket, kelompok B terdiri dari permainan-permainan yang memerlukan 1 tiket. Budayakan antre jika akan melakukan permainan.

R oller C oa ste r

Kereta Mini

A

1 30

Permainan 2 Tiket

B

Permainan 1 Tiket

Kincir Ria

Komedi Putar

Roller Coaster

Go-kart

Rumah Hantu

Siklus Langit

Hysteria

Poci Poci

Hutan Kano

Kapal Bajak Laut

R u mah Hant u

Heru membeli 11 tiket dan akan menggunakan seluruh tiketnya untuk bermain 7 permainan. Berapa banyak permainan kelompok A dan permainan kelompok B yang dapat ia pilih? Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

G o -k a r t

K i n cir R ia BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Si kl us L a n git

Komedi Putar

Hutan Kano

Kapal Bajak Laut

P o ci P o ci

Tidak cukup untuk memainkan permainan pada kelompok A sebanyak 7 kali.

Sepertinya dapat diselesaikan dengan satu persamaan linear. Tetapi, karena ada dua besaran yang tidak diketahui, dapatkah kita membuat satu persamaan dengan dua variabel?

Hlm.32

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

31

1

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan dan Penyelesaiannya

1 Tujuan

Peserta didik dapat mengenali sistem persamaan linear dua variabel dan mengetahui arti penyelesaiannya. Di wahana taman hiburan, misalkan Heru melakukan permainan A dengan 2 tiket sebanyak x kali, dan permainan B dengan 1 tiket sebanyak y kali. Nyatakan jumlah total tiket yang digunakan Heru dalam sebuah persamaan. Pada , jika total banyaknya tiket yang digunakan adalah 11, hubungan antara x dan y dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. 2x + y = 11

Huruf x dan y dapat diganti dengan berbagai nilai bilangan. Oleh karena itu, keduanya disebut sebagai variabel.

Catatan

Soal 1

1

Isilah tabel berikut dengan nilai y yang tepat sehingga persamaan 0

x

1

2

3

4

1

menjadi benar.

5

y Persamaan linear seperti 2x + y = 11, disebut persamaan linear dua variabel. Persamaan seperti 3x + 5 = 8, disebut persamaan linear satu variabel. Nilai x dan y yang membuat sebuah persamaan linear dua variabel menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian. Pada tabel di Soal 1, x=0

x=1

x=2

y = 11,

y = 9,

y=7

Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel tidak hanya tunggal.

…

Semua nilai x dan y yang bersesuaian di atas merupakan penyelesaian dari persamaan 2x + y = 11. Catatan

x=0

dapat juga ditulis dengan x = 0, y =11 atau (x, y) = (0, 11)

y = 11,

32

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Dari di halaman 32, Heru menaiki permainan sebanyak 7 kali. Kita dapat menyatakan hubungan antara x dan y dalam bentuk berikut. x+y=7

Soal 2

2

Isilah tabel berikut dengan menyelesaikan persamaan 0

x

1

2

3

4

5

6

2

.

7

Soal 3

Dari tabel Soal 1 di halaman 32 dan tabel Soal 2 di atas, carilah nilai dari x dan y sehingga persamaan 1 dan 2 menjadi pernyataan yang benar.

Sepasang persamaan linear dua variabel disebut sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Berikut ini adalah contoh SPLDV. 2x + y = 11

1

x+y=7

2 Penyelesaian persamaan 1

Dalam sistem persamaan, nilai x dan y yang membuat kedua persamaan menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari sistem persamaan, kegiatan menemukan penyelesaiannya adalah menyelesaikan sistem persamaan. Penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah

x 0 1 2 3 4 5 y 11 9 7 5 3 1 Penyelesaian persamaan 2

x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 7 6 5 4 3 2 1 0

x=4 y=3 Soal 4

Manakah berikut ini yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 16 x+y=9 a

x=5 y=4

Jadi, kita dapat mencari penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan grafik dan substitusi bilangan terhadap variabel.

b

x=7 y=2

c

x=9 y = –2

Apakah ada cara lain untuk mencari penyelesaian selain substitusi bilangan ke variabel, misalnya menggunakan sifat-sifat kesamaan persamaan Hlm.42 linear?

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

33

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

y

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan

2 Tujuan

Peserta didik dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode eliminasi. [ Aktivitas Matematis ]

Pen em uan

Di suatu toko di Jepang, total harga 3 hamburger dan 1 gelas minuman adalah 750 yen, sedangkan total harga 1 hamburger dan 1 gelas minuman adalah 350 yen. Berapa harga masing-masing 1 buah hamburger dan 1 gelas minuman?

1

750 yen

2

350 yen

1

Untuk , jelaskan cara yang kamu gunakan secara ringkas dengan gambar dan bentuk aljabar.

2

Untuk , Dewi menggunakan gambar dan menemukan harga 1 hamburger. Jelaskan cara yang digunakan Dewi.

Cara Dewi

Nyatakan harga hamburger dengan 1

…

→ 750 yen

2

…

→ 350 yen

Dari

1

dan

2

,

Oleh karena itu,

3

34

dan harga minuman

→ 400 yen …

3

.

kurangi ruas kiri persamaan 1 , oleh ruas kiri persamaan 2 , dan lakukan hal yang sama pada ruas kanan.

→ 200 yen

Jika kita misalkan harga 1 hamburger adalah x yen dan harga 1 gelas minuman adalah y yen, bentuk aljabar apa yang dapat kita gunakan untuk menyatakan berturutturut Cara Dewi dari 1 dan 2 ? Bagaimana kita dapat menggunakan 1 dan 2 untuk memperoleh 3 ?

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Pada di halaman 33, dengan menyelesaikan sistem persamaan, kita dapat menemukan penyelesaian. 3x + y = 750

1

x + y = 350

2

Berpikir Matematis

1

3x + y = 750

2

x + y = 350 2x

= 400

x

= 200

Seperti menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan sifat persamaan, kita juga dapat menggunakan sifat-sifat serupa dalam menyelesaikan sistem persamaan.

A=M B=N A–B=M–N

4

5

6

Substitusi x = 200 ke ① dan carilah nilai dari y. Substitusi x = 200 ke ② dan carilah nilai dari y. Bandingkan hasil kedua pencarian tersebut. Pada toko yang sama, 2 roti sosis dan 3 es krim harganya 720 yen, sedangkan 2 roti-sosis dan 1 es krim harganya 480 yen. Berapakah harga masing-masing 1 roti-sosis dan 1 es krim? Buatlah sistem persamaan dan selesaikanlah serta temukan jawabannya.

Bagaimana kita memperoleh sebuah persamaan linear dengan satu variabel dari sistem persamaan di sebelah kanan?

Terdapat sistem persamaan dengan x dan y tidak hilang meskipun kita sudah mengurangkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan.

720 yen

480 yen

2x + y = 13

1

x–y=5

2

Sifat-sifat persamaan apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti soal 6? Hlm. 41, 42

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

35

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Jika kita mengurangi ruas kiri persamaan ① dengan ruas kiri persamaan ② dan kita melakukan hal yang sama pada ruas kanan, maka variabel y akan hilang, dan kita memperoleh sebuah persamaan linear dalam variabel x saja.

Tujuan

Peserta didik dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan memperoleh satu persamaan linear satu variabel dari dua persamaan.

Metode Eliminasi - Substitusi Contoh 1

Selesaikanlah sistem persamaan linear dua variabel berikut. 2x + y = 13

1

x–y=5

2

Untuk memperoleh satu variabel, kita lakukan penjumlahan ruas kiri dan ruas kanan.

Cara

Penyelesaian

Dengan menambahkan ruas kiri dan kanan persamaan dan 2 , maka kita peroleh 1 2

Untuk memudahkan penyelesaian, luruskan tanda “=”.

2x + y = 13 x–y= 5

+

3x

= 18

x

= 6

1

A=M B=N A+B=M+N

Dengan mensubstitusi x = 6 ke 1 , maka diperoleh 2 × 6 + y = 13 x=6 Jawaban: y=1 y=1

Periksa

Dengan mensubstitusikan nilai x dan y yang kita temukan ke sistem persamaan, maka diperoleh: Ruas kiri adalah 2 × 6 + 1 = 13 dan ruas kanan adalah 13. Ruas kiri adalah 6 – 1 = 5 dan ruas kanan adalah 5. Dengan demikian, bila x = 6 dan y = 1, kedua persamaan 1 dan 2 menjadi benar. Dari yang sudah kita pelajari, jika kita mendapat satu persamaan yang tidak memuat y dari sistem persamaan yang memuat y, maka kita telah mengeliminasi y.

Soal 1

Selesaikan setiap sistem persamaan berikut. 1

3

36

3x – y = 2 x+y=6 3x – 2y = –13 –3x + 4y = 23

x + 4y = 9 2

x+y=3 2x – y = –4

4

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

x – y = –1

Heru sedang bertamasya di Jepang. Ia membeli 1 hamburger dan 3 gelas minuman seharga 700 yen. Ia membeli lagi 2 hamburger dan 1 gelas minuman seharga 600 yen. Berapa harga masing-masing dari 1 hamburger dan 1 gelas minuman?

700 yen

600 yen

Contoh 2

Cara

Selesaikan sistem persamaan berikut. x + 3y = 700

1

2x + y = 600

2

Untuk mengeliminasi suatu variabel, misalkan x, persamaan 1 dikali 2, sehingga koefisien dari x di persamaan 1 sama dengan koefisien x di persamaan 2 .

Penyelesaian

1 2

×2

2x + 6y = 1400 2x + y = 600

Di sini, kita kali dua kedua ruas persamaan ① untuk mengeliminasi x.

5y = 800 y = 160 Dengan mensubstitusi y =160 ke 2x + 160 = 600 x = 220

2

, maka Jawaban:

x = 220 y = 160

Soal 2

Selesaikan soal pada Contoh 2 dengan mengeliminasi y.

Soal 3

Selesaikan setiap sistem persamaan berikut. 1

2x – 3y = 12 3x + y = 7

2

3x – 4y = 10 5x – 8y = 22

3

–2x + 3y = –9 4x – 5y = 15

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

37

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear dua variabel di atas.

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan berikut. 2x – 3y = –7

1

3x + 2y = –4

2

Untuk mengeliminasi salah satu variabel, kalikan setiap ruas dengan sebuah bilangan dan lakukan pada setiap persamaan sehingga koefisien-koefisien dari variabel yang akan dieliminasi bernilai sama.

Cara

Jadi, persamaan ① dikali dua, persamaan ② dikali tiga, dan kedua ruas persamaan ditambahkan.

Penyelesaian

1 ×2 2 ×3

4x – 6y = –14 9x + 6y = –12 13x

+

= –26

x = –2 Dengan mensubstitusi x = –2 ke

2

, maka kita peroleh

3 × (–2) + 2y = –4 y =1 Jawaban:

x = –2 y=1

Soal 4

Selesaikan sistem persamaan pada Contoh 3 dengan mengeliminasi x.

Soal 5

Selesaikan setiap sistem persamaan berikut. 1

2x + 3y = 8 3x – 4y = –5

2

3x – 2y = 13 4x + 5y = 2 Cobalah

3

7x – 3y = –5 6x – 5y = 3

4

4x + 8y = 7 6x + 5y = 7

Hlm.43 Penguatan

2-1

Menyelesaikan sistem persamaan dengan cara menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, dan dengan menambahkan atau mengurangkan kedua ruas persamaan untuk menghilangkan variabel, cara ini dinamakan metode eliminasi atau metode penjumlahan/pengurangan.

Di manakah kita dapat menerapkan sistem persamaan?

38

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Hlm.46

Tujuan

Peserta didik dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan cara memperoleh satu persamaan linear satu variabel dari dua persamaan.

Metode Substitusi

Contoh 4

Cara

Penyelesaian

Cara Heru

2x + y = 13

1

x–y=5

2

Dengan menyatakan persamaan 2 dalam x, maka kita peroleh x = 5 + y. Dengan mensubstitusi 5 + y ke dalam x pada persamaan 1 , maka kita peroleh persamaan dalam y.

Selesaikan sistem persamaan berikut. y=x–1

1

x + 2y = 7

2

Pada persamaan 1 , y sama dengan x – 1, sehingga kita dapat mengganti y pada persamaan 2 dengan x – 1. Artinya, kita mensubstitusi x – 1 ke dalam y, untuk mengeliminasi y. Dengan mensubstitusi x + 2(x – 1) = 7 x + 2x – 2 = 7

1

ke dalam

2

x + 2 y =7 y = x–1 x + 2(x – 1) = 7

, kita memperoleh

Ketika mensubstitusi suatu persamaan dengan bentuk aljabar tertentu, jangan lupa gunakan tanda kurung.

3x = 9 x=3 Dengan mensubstitusi x = 3 ke persamaan y=3–1 =2

1

, kita peroleh Jawaban:

x=3 y=2

Cara menyelesaikan sistem persamaan dengan mensubstitusi satu persamaan ke dalam persamaan yang lain untuk menghilangkan salah satu variabel seperti Contoh 4 dinamakan metode substitusi.

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

39

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Diskusi

Untuk Contoh 1 pada halaman 36, Heru menemukan cara seperti pada gambar sebelah kanan. Jelaskan cara yang digunakan Heru. Dengan menggunakan Cara Heru selesaikan soal tersebut.

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi.

Soal 6

1

3

x = 3y + 1

2

x + 2y = 11 x – 2y = 9

4

y=x– 3

y = 7x – 2 y = 4x + 1 Cobalah

x – 3y = 5

Hlm.43

2x + y = 3

Penguatan

2-2

Untuk sistem persamaan berikut, diskusikan mana yang lebih baik, apakah menggunakan metode eliminasi ataukah dengan metode substitusi. Selesaikanlah dengan menggunakan kedua metode tersebut dan bandingkan jawabanmu. Diskusi

2x + 3y = 4

1

x–y=2

2 Dari persamaan (2), kita dapat menyatakan persamaan dalam x atau dalam y. Jadi, metode substitusi lebih mudah digunakan.

Kita dapat menyelesaikan dengan menyamakan koefisien x dan y. Jadi, metode eliminasi tampak lebih baik.

Seperti ide penyelesaian dalam , sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan metode eliminasi atau metode substitusi.

Soal 7

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode yang tepat. 1

3x + y = 7

2

x + 2y = 9

x + 3y = 3

Saya Bertanya

x = –y + 2

Apakah ada sistem persamaan dengan tiga variabel? Hlm.44

Berbagai Sistem Persamaan Contoh 5

5x + 3y = 0

1

3x – 2(x – y) = 7

2

Dengan membuka kurung pada persamaan peroleh x + 2y = 7

2

3

Dengan menyelesaikan (1) dan (3), diperoleh

40

dan melakukan penyederhanaan, kita

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

x = –3 y=5

Soal 8

Selesaikan sistem persamaan berikut. 2(x – y) – x = 8 1

Contoh 6

2

5x – (3x – y) = 1

y=4–x

Selesaikan sistem persamaan berikut. 1 1 x+ y=1 1 2 3 2 x+y=4 Kalikan kedua ruas persamaan bulat, dan selesaikan.

1

dengan 6, ubah koefisien dalam bentuk bilangan

Penyelesaian

×6

1 1 Ubah koefisien pada variabel dari ( x + y) × 6 = 1 × 6 pecahan ke dalam bilangan bulat. 2 3 3x + 2y = 6 3 Dengan menyelesaikan 2 dan 3 sebagai sebuah sistem, kita peroleh 1

3x + 2y = 6 2x + 2y = 8

3 2

×2

x

Ingat untuk menulis penjelasan bagi persamaan juga.

= –2

Dengan substitusi x = –2 ke persamaan –2 + y = 4

2

, kita peroleh Jawaban:

y=6

Soal 9

x = –2 y=6

Pikirkan metode apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut. Gunakan metode tersebut untuk mencari penyelesaian. x+y=6 0,5x + 0,2y = 1,5

Soal 10

Selesaikan sistem persamaan berikut setelah kamu mengubah koefisien-koefisien variabel dalam bilangan bulat. 1

0,2x + 0,3y = 0,5 x

+ 5y = –1

8x – 3y = 9 2

1 1 – x+ y=2 6 2

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

41

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Cara

3(x + 2y) = 2(x – 3)

Sistem persamaan dalam bentuk A = B = C, seperti 2x + 3y = x + y = 2, dapat diselesaikan menggunakan kombinasi a , b , dan c berikut.

Contoh 7

A=B

a

b

A=C

A=B

c

B=C

A=C B=C

Sebagai contoh, dengan mengubah ke dalam bentuk

c

, kita peroleh

2x + 3y = 2 x+y=2

Dengan menyelesaikan sistem ini, kita peroleh

x=4 y = –2

Soal 11

Ubah sistem persamaan dalam Contoh 7 ke dalam bentuk (a) dan (b) dan selesaikan.

Soal 12

Selesaikan sistem persamaan berikut.

Cobalah

2x – y = – 3x + y = 1

1

Hlm.43 Penguatan

3x + 2y = 5 + 3y = 2x + 11

2

Di manakah kita dapat menggunakan sistem persamaan?

1

Mari Kita Periksa

2-3

Hlm.46

Sistem Persamaan

Untuk persamaan linear dua variabel x + y = 11 (1) dan x – y = 5 (2), pilih satu jawaban benar dari (a) - (d) berikut.

1 Sistem Persamaan dan Penyelesaiannya [Hlm.32] S 1 [Hlm.33] S 2 S

a

x=7 y=2

b

x=2

c

y=7

x=6

d

y=5

x=8 y=3

3

1 Apakah penyelesaian dari masing-masing persamaan (1) dan (2)? 2 Ketika memandang (1) dan (2) sebagai sistem persamaan, apakah penyelesaiannya? Selesaikan setiap sistem persamaan berikut.

2 Metode Eliminasi [Hlm.36] Cth. 1 [Hlm.37] Cth. 2 [Hlm.38] Cth. 3 Metode Substitusi [Hlm.39] Cth. 4

1

3

x – 3y = 4 x + 3y = 10 2x – 3y = 7 3x + 2y = 4

42

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

2

4

2x + 5y = –8 4x + 3y = 12 2x + y = –9 x = 3y – 1

Penguatan

2

Sistem Persamaan Gunakan materi yang sudah dipelajari baik saat belajar maupun saat berlatih.

Selesaikan setiap sistem persamaan berikut.

1

Menggunakan Metode Eliminasi 1

3

4

5

6 7

8

3x + y = 17 x–y=3

4

2x + 5y = 1 2x + y = 5

5

–x + 3y = –8 x – 4y = 9

6

3x + y = 7 x + 2y = 9 x – 2y = 3 5x – 6y = 7 –2x + 5y = –15 4x – 9y = 27

3

4x + 3y = 0

1 2

2

5x – 7y = –16

3

4

–4x – 3y = 30

Menggunakan Metode Substitusi

9x – 2y = –1 y = 3x + 1 y = 2x – 1 y = –3x + 14 2x = 3y – 1 2x = 5y – 7

8x = 5y + 2 5 – 3x = –4y 3(2x + 1) + 5y = –5 –7x – 4(y + 3)= –10

5x – 2y = –23 9

2x + 3y = 5

Aneka Sistem Persamaan

3x – 2y = –11 2x + 3y = –3

x = 2y + 6

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

2

3

5

0,5x – 1,4y = 8 –x + 2y = –12 0,35x – 0,12y = –1,5 –2x + 3y = –3 1 1 x– y=1 6 8 2x + y = 2

y=x+2 1

3x + y = 14

6x + 5y = 9 6

7

3x – 2y = –1 6 2x – y = 3x + y = –10

8

x – 2y = 4x + 3y = 1 – 4y

x + 3y = 3 2

x = –y + 2

Jawaban pada Hlm.229, 230

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

43

ati

Cerm

Total harga ketika berbelanja di sebuah toko di Jepang adalah sebagai berikut. 1

230 yen untuk harga 1 apel dan 1 jeruk mandarin.

2

200 yen untuk 1 jeruk mandarin dan 1 kesemek.

3

270 yen untuk harga 1 apel dan 1 kesemek. Berapakah harga masing-masing untuk 1 apel, 1 jeruk mandarin, dan 1 kesemek?

230 yen

270 yen

200 yen

1

Dengan menggunakan caramu sendiri, temukan jawabannya!

2

Jika kita misalkan harga 1 apel adalah x yen, harga 1 jeruk mandarin adalah y yen, dan harga 1 kesemek adalah z yen, bagaimanakah kita menyatakan hubungan antara besaran-besaran tersebut menggunakan sebuah persamaan?

3

Pikirkan 3 persamaan yang dibentuk dari soal x + y = 230

1

y + z = 200

2

x + z = 270

3

2

, yaitu

Sebagai sebuah sistem persamaan yang memuat tiga variabel, perhatikan cara menyelesaikan sistem tersebut dari urutan (I) – (III) berikut. i

ii

Kurangi kedua ruas persamaan 3 oleh persamaan 2 untuk mengeliminasi z, sehingga terbentuk persamaan linear dua variabel dalam x dan y. Namai persamaan ini dengan 4 . Selesaikan sistem persamaan yang meliputi

1

dan

3 2

4

x+z y+z

=270 =200

x–y

= 70

, dan carilah nilai dari x dan y.

iii Substitusi nilai y yang ditemukan di langkah (ii) ke dalam persamaan nilai z.

44

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

4

2

, dan carilah

Sebagaimana telah kita selidiki di nomor 3 , untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat menyelesaikannya dengan metode eliminasi, yaitu dengan mengeliminasi satu variabel, dan membuat sistem persamaan linear dua variabel. 4

Perhatikan bagaimana kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear berikut. 1

2x + 3y – z = –1

2

x – 2y + 3z = 10

3

Operasi apa yang diperlukan untuk mengeliminasi z dari dan

2

?

Operasi apa yang diperlukan untuk mengeliminasi z dari dan

3

2

3

1

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1

x+y+z=2

Pada 2, kita perlu membuat koefisien z sama.

2

?

Dengan menggunakan metode 1 dan 2 dalam mengeliminasi z, selesaikan sistem persamaan linear tersebut.

Pada 4 , untuk mengeliminasi z, kita dapat menggunakan 1 dan 2 , atau 2 dan 3 . Dengan cara serupa, kita pun dapat menggunakan 1 dan 3 . Kita pun dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan pertama-tama mengeliminasi x atau y. 5

6

Selesaikan sistem persamaan pada soal 4 dengan mula-mula mengeliminasi y. Persamaan-persamaan linear yang memuat 3 variabel, seperti x + y + z = 2, dinamakan persamaan-persamaan linear dengan 3 hal yang tidak diketahui. Suatu kelompok persamaan, terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga bilangan tidak diketahui, dinamakan sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut. x + y + z = 13 1

x – y + 2z = 7 3x + y – z = 23

x + 2y = 6 2

y = 3z + 8 x – 6z = 2

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

45

2

Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1 Tujuan

Peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Di Jepang, Heru membeli 12 buah makanan yang terdiri dari kue dan puding dengan total harga 2.000 yen. Harga untuk 1 kue 200 yen dan 1 puding seharga 120 yen. Berapa banyak masing-masing kue dan puding yang dibeli? Sumber: https://rumahrifai.files.wordpress. com/2013/04/japanese-snacks_purin.jpg

Di , jika kita menggunakan sistem persamaan, maka kita dapat menyelesaikannya seperti berikut. Hubungan antara banyaknya makanan tersebut adalah sebagai berikut. Hubungan antar banyak

Banyaknya Kue

Banyaknya Puding

12

Dari gambar ini, banyak kue ditambah banyak puding sama dengan 12. Hubungan antar harga

Harga Kue

Harga Puding

2.000 yen

Dari gambar ini, harga kue ditambah harga puding sama dengan 2.000.

Soal 1

46

Dengan memisalkan banyaknya kue yang dibeli dengan x buah dan banyaknya puding yang dibeli adalah y buah, maka kita dapat menyelesaikan permasalahan dengan membentuk sistem persamaan dari hubungan antar harga tersebut.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Saya Bertanya Apakah kita selalu memeriksa apakah penyelesaian yang diperoleh sudah menyelesaikan masalah? Hlm.52

PENTING

1

2

3

Soal 2

Cari hubungan antar kuantitas dalam soal, dan nyatakan dengan diagram, tabel, atau kata-kata. Tentukan kuantitas apa saja yang diketahui dan apa yang tidak diketahui, kemudian bentuklah sistem persamaan menggunakan variabel yang tepat. Selesaikan sistem persamaan yang diperoleh. Periksa apakah penyelesaian sistem persamaan sudah menyelesaikan permasalahan atau belum.

Bagilah 35 peserta didik ke dalam beberapa kelompok dengan banyak anggota 4 orang dan 5 orang, sehingga total jumlah kelompok adalah 8. Untuk mencari banyaknya peserta didik pada setiap kelompok, kita akan memperhatikan “langkah-langkah penggunaan sistem persamaan untuk menyelesaikan masalah pembagian kelompok” di atas. 1 Identifikasi hubungan antarkuantitas dalam soal, dan lengkapi diagram berikut dengan cara mengisikan informasi yang diperlukan. Dengan menggunakan diagram yang telah dilengkapi, nyatakan hubungan antarkuantitas menggunakan persamaan-persamaan. Hubungan antara banyaknya kelompok Gambar

Kata-kata

Hubungan antara banyaknya orang Gambar

Kata-kata

2 Nyatakan kuantitas yang tidak diketahui dengan variabel, dan bentuklah sistem persamaan menggunakan diagram yang digunakan di 1 . 3 Selesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh di 2 . 4 Periksa apakah penyelesaian dari sistem persamaan sudah menjawab permasalahan, dan carilah jawaban dari soal yang ditanyakan.

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

47

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

4

Langkah-Langkah Penggunaan Sistem Persamaan untuk Menyelesaikan Masalah Kehidupan Sehari-hari

Contoh 1

Cara

Harga total tiket masuk di sebuah museum di Jepang adalah 550 yen untuk 1 orang dewasa dan 4 peserta didik SMP, serta 1.000 yen untuk 2 orang dewasa dan 7 peserta didik SMP. Berapa harga tiket untuk masing-masing 1 orang dewasa dan 1 peserta didik SMP?

Sumber: https://tourjapan.co.id/wp-content/uploads/ 2018/12/3070_02.jpg

Hubungan antarkuantitas dalam soal adalah sebagai berikut. tiket 1 dewasa

tiket 4 peserta didik SMP

550 yen tiket 2 dewasa

tiket 7 peserta didik SMP 1.000 yen

Tiket 1 dewasa ditambah tiket 4 peserta didik SMP sama dengan 550 yen. Tiket 2 dewasa ditambah tiket 7 peserta didik SMP sama dengan 1.000 yen. Penyelesaian

Misalkan harga tiket 1 dewasa adalah x rupiah dan harga 1 buah tiket peserta didik SMP adalah y rupiah, maka kita memperoleh sistem: 1 x + 4y = 550 2x + 7y = 1.000 1 2

×2

2

2x + 8y = 11.000 2x + 7y = 10.000 y = 100

Substitusi y = 100 ke

1

, maka kita memperoleh

x + 4 × 100 = 550 x = 150 Harga tiket dewasa 150 yen, harga 1 tiket peserta didik SMP 100 yen, dan ini sudah menjawab permasalahan. Jawab: 150 yen untuk 1 tiket dewasa 100 yen ntuk 1 tiket peserta didik SMP

Soal 3

Diketahui dua anak timbangan A dan B berbeda berat. Berat 3A dan 2B adalah 190 g, berat 4A dan 6B adalah 320 g. Berapakah berat sebuah anak timbangan A dan sebuah anak timbangan B?

A B

48

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Contoh 2

Saya menempuh perjalanan dari rumah ke stasiun kereta api sejauh 12 km. Mulamula, saya bersepeda dengan kecepatan 18 km/jam, tetapi kemudian ban sepeda saya kempes di perjalanan. Karena itu, saya berjalan ke stasiun dengan kecepatan 4 km/jam. Total waktu yang saya perlukan hingga sampai ke stasiun adalah 1 jam 15 menit. Tentukan jarak tempuh bersepeda, dan jarak tempuh jalan kaki. Dengan menyatakan hubungan antarkuantitas menggunakan diagram, kita memperoleh diagram berikut ini. 12 km Rumah

jarak tempuh berjalan

waktu tempuh kempes bersepeda 1 jam 15 menit 18 km/jam

Stasiun

waktu tempuh berjalan 4 km/jam

Dengan menggunakan hubungan antarkuantitas, jika kita misalkan jarak bersepeda adalah x km dan jarak jalan kaki adalah y km, maka kita peroleh berikut. Jarak (km) Kecepatan (km/h)

Sepeda

Jalan Kaki

Total

x 18

y 4

12

Ulasan

(Waktu) =

(Jarak) (Kecepatan) SD Kelas 6

Waktu(jam)

Dengan memisalkan jarak bersepeda x km dan jarak berjalan kaki y km, kita peroleh x + y = 12

1 ×2 2 × 36

x + y = 1 15 60 4 18 2x + 2y = 24 2x + 9y = 45 –7y = –21

y=3 Substitusi y = 3 ke 1 , maka diperoleh

15 x y     36  1  36 18 4 60   x y 75  36   36   36 18 4 60 5 2x  9y   36 4 2x  9y  45

x + 3 = 12 x=9 Jarak bersepeda 9 km, dan jarak berjalan kaki 3 km. Hal ini sudah menjawab soal. Jawaban: Jarak bersepeda adalah 9 km, dan jarak berjalan kaki adalah 3 km.

Soal 4

Pada Contoh 2, misalkan waktu tempuh bersepeda adalah x jam, dan waktu tempuh berjalan kaki adalah y jam. Buatlah sistem persamaan dan carilah penyelesaiannya.

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

49

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

jarak tempuh bersepeda

Soal 5

Saya berkendara dari kota A ke kota B sejauh 90 km. Kendaraan melaju dengan kecepatan 80 km/jam di jalan tol dan 50 km/jam di jalan biasa, dan waktu yang saya butuhkan adalah 1 jam 30 menit. Carilah jarak yang ditempuh di jalan tol dan jarak tempuh di jalan biasa.

Contoh 3

Bulan lalu, sebanyak 1.650 kg koran dan majalah bekas dikumpulkan untuk didaur ulang. Bulan ini, banyaknya koran bekas meningkat 10% dan majalah bekas meningkat 20% dibanding bulan lalu, keduanya 210 kg lebih banyak. Berapa kg masing-masing koran bekas dan majalah bekas bulan lalu? Dengan menggunakan hubungan an tarkuan titas, jika kita misalkan banyaknya koran bekas bulan lalu x kg, dan banyak majalah bekas bulan lalu y kg, maka kita peroleh tabel sebelah kanan.

Cara

Penyelesaian

Koran Bekas Jumlah daur ulang bulan lalu (kg)

Jumlah daur ulang bulan ini (kg)

x

Majalah Total Bekas 1.650

y

x

y

210

Dengan memisalkan banyaknya koran bekas bulan lalu sebagai x kg dan majalah bekas y kg, maka kita peroleh: 1 x + y = 1.650 x+ 1 2

× 10

y = 210

2

x + y = 1.650 x + 2y = 2.100 – y = –450 y = 450

Substitusi y = 450 ke x + 450 = 1.650 x = 1.200

1

, maka diperoleh

Sebanyak 1.200 kg koran bekas dan 450 kg majalah bekas merupakan jawaban permasalahan di atas. Jadi, banyaknya koran bekas bulan lalu adalah 1.200 kg dan banyaknya majalah bekas bulan lalu adalah 450 kg.

Soal 6

Total banyaknya peserta didik laki-laki dan peserta didik perempuan di suatu SMP tahun lalu adalah 220 peserta didik. Tahun ini peserta didik laki-laki mengalami kenaikan sebesar 5%, sedangkan banyaknya peserta didik perempuan mengalami penurunan sebesar 2%. Secara keseluruhan, banyaknya peserta didik mengalami kenaikan sebesar 4 orang. 1 Carilah banyaknya peserta didik laki-laki dan peserta didik perempuan tahun lalu. 2 Carilah banyaknya peserta didik laki-laki dan peserta didik perempuan tahun ini.

50

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Contoh 4

Sebanyak 400 g larutan garam 8% dibuat dengan mencampur larutan garam 10% dan larutan garam 5%. Berapa gram larutan 5% dan larutan garam 10% yang dicampur?

10%

5%

Ulasan Konsentrasi larutan garam (%)

xg

yg

8%

Banyak garam (g)

=

Total Larutan (g)

×100

[Contoh 1] Larutkan 20 g garam ke dalam 80 g air akan menghasilkan larutan garam 20%.

400 g Air 80 g

Dengan menggunakan hubungan antarkuantitas, misalkan sebanyak x gram dari larutan garam 10% dan y gram dari larutan garam 5% dicampur. Konsentrasi

10%

5%

8%

Larutan garam (g)

x

y

400

Garam (g)

x×

10 100

y×

5 100

400 ×

8 100

20 g Garam 20 g [Contoh 2] Dalam 200 gram larutan garam 15% terdapat 30 g garam yang larut. Larutan Garam 200 g

Air 170 g

15% Garam 30 g SMP Kelas VII

Penyelesaian

Misalkan x g dari 10% larutan garam dan y g dari 5% larutan garam dicampur, maka kita peroleh x + y = 400

1

8 10 5 x y  400  100 100 100

2

1

× 10

2

× 100

10x + 10y = 4000 10x + 5y = 3200 5y = 800 y = 160

Substitusi y = 160 ke

1

, maka kita peroleh

x + 160 = 400 x = 240 Jadi 240 gram harus dilarutkan pada larutan garam 10% dan 160 gram harus dilarutkan pada larutan garam 5%.

Soal 7

Sebanyak 200 g larutan garam 15% dibuat dengan mencampur larutan garam 12% dan larutan garam 20%. Berapa gram garam yang diperlukan masing-masing larutan garam 12% dan larutan garam 20%?

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

51

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Cara

Larutan Garam 100 g

Mari Kita Periksa 1 Menggunakan Sistem Persamaan [Hlm.46]

2 Menggunakan Sistem Persamaan [Hlm.46]

2

Pada tahun 1990, biaya prangko untuk mengirim surat adalah adalah Rp.15.000,00. Saya menggunakan 7 lembar prangko terdiri dari seribuan dan prangko seharga Rp.3.000,00. Carilah berapa banyak prangko seharga Rp.1.000,00 dan Rp.3.000,00 yang digunakan!

Penggunaan Sistem Persamaan

Sumber: facebook.com

Terdapat dua bilangan. Selisih kedua bilangan itu adalah 40. Jika dua kali bilangan yang lebih kecil ditambahkan 10 maka hasilnya adalah bilangan lebih besar. Carilah kedua bilangan tersebut!

ati Cerm Mengapa Kita Perlu Memeriksa Penyelesaian? Heru membuat sebuah soal matematika seperti berikut.

Saya ingin membeli total sebanyak 12 buah makanan terdiri dari kue dan roti seharga tepat 20.000 rupiah. Berapa banyak masing-masing kue dan roti yang dapat saya beli?

Misalkan banyaknya kue x buah, dan banyaknya roti y buah. Buatlah sistem persamaan dan selesaikan. Apakah penyelesaiannya menyelesaikan permasalahan? Diskusikan mengapa kita perlu memeriksa penyelesaian yang diperoleh.

52

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Bilangan jenis apakah x dan y itu?

Soal Ringkasan

BAB 2

Jawaban pada Hlm.231

Gagasan Utama

1

Jawablah pertanyaan berikut dengan mengacu pada persamaan linear dua variabel 2x + y = 8. x=6 1

2

y = –4 Jika kita misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan asli, carilah semua jawaban dari persamaan!

Selesaikanlah setiap sistem persamaan ini! 1

2x – y = –3 2x + y = –1

2

3

4

5

3x + 4y = –5

3x – y = 3

3

3x – y = 8

4x + 3y = 5 4

4x – y = 5

5

y = –2x + 7

7x + 2y = –6 5x – 4y = 12 x = –5y + 1

6

2x – y = –9

Harga total tiket masuk sebuah museum seni di Jepang adalah 1.550 yen untuk 1 dewasa dan 3 peserta didik SMP, serta 2.750 yen untuk 2 dewasa dan 5 peserta didik SMP. Carilah harga tiket masuk untuk masing-masing 1 dewasa dan 1 peserta didik SMP!

Sebuah persegi panjang memiliki keliling 28 cm. Jika kita meletakkan 4 persegi panjang ini secara vertikal dan tiga persegi panjang secara horizontal, kita akan memperoleh sebuah persegi. Carilah panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut!

Buatlah soal mengenai sistem persamaan dengan menggunakan x + y = 9 sebagai salah satu persamaan. Selesaikan soal yang dibuat dan carilah jawabannya!

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

53

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

2

Dapatkah x = 6 dinyatakan sebagai penyelesaian dari persamaan ini?

Soal Ringkasan

BAB 2

Penerapan

1

Selesaikan setiap sistem persamaan berikut. 1

2(x – y) – 3y = 10

2

3,8x + 8,5y = 10,5

4x – (x + y) = 28

3

2

y 2 x   5 3 7 3x  2y  1 4

2x + 3y = 12

4

5

6

54

4

5x – 3y + 1 = 4x – 2y = 10 – 6x + 3y

Carilah nilai a dan b sehingga dua pasang sistem persamaan linear ax + by = 1

3

0,19x – 1,05y = 2

dan

3x – 5y = –1 bx + ay = 4

memiliki penyelesaian yang sama.

Usia ayah sekarang adalah 3 kali usia anaknya. Lima belas tahun kemudian, usia ayah 2 kali usia anaknya. Carilah usia ayah dan anaknya sekarang.

Populasi sebuah kota pada saat ini adalah 5.373 jiwa. Dibanding populasi tahun lalu, banyaknya penduduk pria turun sebesar 2%, dan banyaknya penduduk wanita naik 4%, serta total populasi naik sebanyak 48. Carilah banyaknya populasi penduduk pria dan wanita tahun lalu. Saya bepergian dari kota A ke kota B dan kembali lagi ke kota A dengan melintasi bukit. Pada saat pulang, saya naik bukit dengan kecepatan 2 km/jam, dan turun bukit dengan kecepatan 6 km/jam. Perjalanan dari kota A ke kota B memerlukan waktu 1 jam 40 menit, sedangkan perjalanan pulang perlu 1 jam. Carilah jarak tempuh antara kota A dan kota B.

Bukit

Kota A

Kota B

Ada sebuah bilangan asli dua angka. Jumlah angka puluhan dan angka satuan adalah 12. Sebuah bilangan asli dibentuk dengan menukar angka puluhan dengan angka satuan dan sebaliknya, dan besarnya 18 lebihnya dari bilangan asli mula-mula. Carilah bilangan asli mula-mula.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Penggunaan Praktis

1

Dengan mengikuti suatu aturan, bilangan-bilangan berikut disusun secara teratur dimulai dari atas seperti berikut. 2 2 2

5 7

9

3 8

15

3 11

3

1 Aturan apa yang cocok untuk susunan bilangan tersebut? Dengan memisalkan bilangan-bilangan pada baris pertama dengan a dan b, lengkapilah tabel berikut.

Baris 1

a

b

Baris 2 Baris 3 Baris 4

2 Pada gambar di 1 , aturan apa yang cocok untuk bilangan di tengah pada baris keempat. Tentukan mana yang sesuai berikut. a

Bilangan genap

b

Bilangan ganjil

d

Kelipatan 6

e

3 kali (a + b) di baris 2

c

Kelipatan 3

3 Pada gambar berikut, hanya dua bilangan yang diketahui. Misalkan bilanganbilangan di baris pertama adalah x dan y. Tentukanlah nilai x dan y.

x

y

6 23

Bab 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

55

BAB 2 | Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

2

3

an m a l a d Pe n M at e r i Tingkatkan

CT Scan dan Matematika

Sumber:

pantiwil

asa.com

Di rumah sakit, ketika melakukan check up lengkap, pasien menggunakan mesin seperti CT (Computer Tomography) seperti pada gambar di sebelah kanan. Mesin ini mengeluarkan sinar-X dan radiasi lain ke dalam sebuah objek dari berbagai arah. Dengan mengukur banyaknya sinar-X yang tersisa setelah melewati objek terebut, maka dapat ditentukan banyaknya sinar-X yang diserap oleh tiap bagian. Dengan kata lain, dapat dicari penyerapan sinar-X untuk setiap bagian. Untuk mencari penyerapan sinar-X untuk setiap bagian, misalkan penyerapan sebagai hal yang tidak diketahui, maka kita dapat menggunakan sistem persamaan linear. Catatan

Mulai saat ini, kita akan menggunakan bilangan yang harus dicari sebagai hal yang tidak diketahui atau variabel.

Hal yang biasa dilakukan untuk mengukur penyerapan adalah dengan membagi objek ke dalam (512 × 512) bagian. Tetapi, untuk mempermudah, kita akan membagi objek ke dalam (2 × 2) irisan. Misalkan keempat bagian yang harus diperiksa adalah A, B, C, dan D. Jika kita misalkan nilai-nilai yang diperoleh secara berurutan seperti tampak pada gambar di sebelah kanan, ketika sinar-X dipancarkan pada objek, kita dapat menyatakan hubungan ini dengan menggunakan sistem persamaan berikut.

512

512

A

B

6

C

D

4

A+B=6 C+D=4

5 7

A+C=7 B+C=5 Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapatkan penyerapan sinar-X untuk setiap bagian.

1

Pikirkan bagaimana kita dapat menyelesaikan sistem persamaan di atas.

2

Pilih nilai-nilai sinar-X oleh kamu sendiri, dan coba kerjakan untuk menentukan A, B, C, dan D dengan menggunakan sistem persamaan linear. Pekerjaan Terkait [Dokter, Teknisi Radiologi]

56

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Ulasan Pada contoh berikut, y adalah fungsi dari x. Sebutkan apakah hubungan ini senilai, berbalik nilai, atau lainnya?

Hubungan apakah fungsi itu?

Untuk kawat seberat 20 g/m, berat x meter adalah y gram

Terdapat 500 ml air. Setelah diminum x mℓ, tersisa y mℓ

Dibutuhkan 15 jam untuk menempuh 120 km dengan mobil dan kecepatan x km/jam

Bab 3 Fungsi Linear

Apa yang telah dipelajari sejauh ini?

[Fungsi] Sepasang variabel x dan y berubah bersama. Jika nilai x ditentukan dan hanya satu nilai y yang berkorespondensi, y adalah fungsi dari x. [Perbandingan Senilai] Bila y adalah fungsi dari x, maka hubungan antara variabel x dan y dapat dinyatakan dengan y = ax. Kita nyatakan bahwa y perbandingannya senilai dengan x. Namun, a adalah konstan dan tidak 0. Kita nyatakan a adalah konstanta perbandingan. [Perbandingan Berbalik Nilai] Bila y adalah fungsi dari x, maka hubungan antara a

x dan y dapat dinyatakan dengan y = . Kita x katakan bahwa y perbandingannya berbalik nilai dengan x. Dengan a adalah konstanta dan tak nol. Kita namakan a sebagai konstanta kesebandingan.

[Grafik Perbandingan Senilai] Grafik fungsi y = ax yang menyatakan suatu hubungan senilai adalah sebuah garis yang melalui titik asal seperti ditunjukkan berikut. y

y

a>0

a0

a 0, maka grafik naik ke kanan

2

Jika a < 0, maka grafik turun ke kanan y

y naik b

b naik

naik x

Catatan

Soal 9

x turun

O

Semakin besar nilai x atau y, maka dikatakan naik. Semakin kecil nilai x atau y, maka dikatakan turun.

Jika kita menggunakan fungsi y = –2x + 3 untuk menunjukkan hubungan antara tabel, persamaan, dan grafik fungsi linear, maka kita memperoleh gambar berikut. pada gambar berikut. Isilah tiap tanda Tabel

Bagian konstan

Nilai y ketika x =

1

1

1

–2

…

–1

0

1

2 …

y

…

5

3

1

-1 …

–2

y

1

x

–2

Grafik

Persamaan

y = –2 x +

3 3

–2

O Tingkat perubahan

Sekarang kita mengerti hubungan antara persamaan dan grafik fungsi linear.

dari

x

x

Kemiringan

Dengan menggunakan hubungan ini, dapatkah kita membuat grafik berdasarkan persamaan, atau mencari persamaan berdasarkan grafik? Hlm. 72, 74

Bab 3 Fungsi Linear

71

BAB 3 | Fungsi Linear

O

Tujuan

Peserta didik dapat menggambar grafik fungsi linear.

Bagaimana Cara Menggambar Grafik Fungsi Linear? Grafik dari perbandingan senilai dan fungsi linear adalah berupa garis. Kita dapat menggambar grafik fungsi linear dengan menentukan 2 titik berdasarkan kemiringan dan intersepnya.

Contoh 1

Gambarlah grafik dari fungsi linear y = –

1 x + 3. 2

Karena intersep y adalah 3, maka grafik akan melalui titik (0, 3) pada sumbu y. Juga, karena

Cara

gradiennya adalah –

1 , maka kita dapat, misalnya, mulai dari titik (0, 3) bergerak 2 satuan ke 2

arah kanan dan 1 satuan ke arah bawah, sehingga sampai di titik (2, 2). Grafik akan melewati titik ini. y Penyelesaian

4

–1

(0, 3) 2

(2, 2)

O

–2

Dapatkah kita menggambar grafik dengan titik yang dibentuk dengan bergerak 4 satuan ke arah kanan dan 2 satuan ke arah bawah dari titik (0, 3)?

2

2

4

x

y Soal 10

Gambarlah grafik dari tiap fungsi linear berikut pada

4

bidang sebelah kiri.

2 –4

–2

O –2 –4

72

2

4

x

1 y = 2x – 1 2 y = –x + 3 2 3 y= 3 x+2 3 4 y=– 4 x–2

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Interval dan Grafik

Pada fungsi linear y =

1 x + 1, carilah nilai-nilai dari y bila x = 2 dan x = 6. 2 Ulasan

Contoh 1

Penyelesaian

Nilai-nilai untuk x disebut domain (daerah asal) dan nilai-nilai y yang mungkin disebut range (daerah hasil).

1 x + 1 jika Gambarlah grafik fungsi linear y = 2 domainnya (daerah asalnya) adalah 2 ≤ x ≤ 6. Juga, carilah range-nya (daerah hasilnya). Jika x = 2, maka y = 2

SMP Kelas VII

y

Jika x = 6, maka y = 4

1 x+1 2

4

Q

ruas garis PQ yang menghubungkan titik 2

P(2, 2) dan Q (6, 4).

BAB 3 | Fungsi Linear

Oleh karena itu, grafiknya diwakili oleh

y=

Range

P

Berdasarkan grafik, range-nya adalah

x

2 ≤ y ≤ 4.

6

2 Daerah asal

Jawab: 2 ≤ y ≤ 4.

Ulasan

Berarti bilangan termasuk dan berarti bilangan tidak termasuk.

2 2

2≤x 2 0 dan b > 0, maka ab > 0.

m

3

Pada ∆ABC, jika ∠A = 90°, maka ∠B + ∠C = 90°.

x

y

Seperti telah diselidiki di Soal 6, jika suatu pernyataan benar, maka konvers-nya tidak selalu benar. Dengan demikian, untuk memeriksa apakah konvers dari suatu teorema itu benar, kita harus membuktikannya. Selain itu, untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu tidak benar, maka kita perlu memberi contoh penyangkal.

Cer m

at i Memberi Contoh Penyangkal

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Untuk membuktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar untuk semua kasus, cukup dengan memberi contoh. “Jika ab > 0, maka a > 0, b > 0.” 〈Contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan salah〉 a = –2, b = –3 Pernyataan di atas secara lengkap berbunyi, “Untuk sebarang bilangan a dan b, jika ab > 0, maka selalu diperoleh a > 0 dan b > 0.” Jadi, jika kita berikan suatu contoh yang menunjukkan pernyataan tidak benar, maka kita sudah menunjukkan bahwa pernyataan tersebut tidak benar. Memberi contoh yang mengakibatkan suatu pernyataan tidak benar disebut “memberi contoh penyangkal”. Tentukan konvers dari tiap pernyataan berikut. Tunjukkan bahwa konversnya tidak benar dengan memberi contoh penyangkal. 1

Jika a > 0, b > 0, maka a + b > 0.

2

Jika ∆ABC ≅ ∆DEF, maka luas ∆ABC dan ∆DEF sama besar.

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

143

Sifat-Sifat Segitiga Sama Sisi Segitiga sama sisi didefinisikan sebagai berikut. Segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama panjang disebut segitiga sama sisi. Dari definisi segitiga sama kaki di halaman 138 dan definisi segitiga sama sisi di atas, apakah hubungan antara segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi?

di Seperti tampak pada proses pelipatan origami pada halaman 137 dan pada atas, kita dapat menyatakan bahwa segitiga sama sisi adalah kasus khusus dari segitiga sama kaki. Dengan menggunakan fakta ini, buktikan bahwa ketiga sudut dari segitiga sama sisi adalah sama besar.

Soal 7

Pada ∆ABC, buktikan bahwa jika AB = BC = CA, maka ∠A = ∠B = ∠C. dan lengkapi pembuktian berikut. Isilah A

[Bukti] Jika kita pandang ∆ABC sebagai segitiga sama kaki dengan AB = AC, maka ∠B = ∠ ① Jika kita pandang ∆ABC sebagai segitiga sama kaki dengan BA = , maka ∠A = ∠ ② Dari ① dan ②, dapat disimpulkan ∠A =∠B = ∠C.

B

C A

A

B

C B A

B Soal 8

Pada ∆ABC, buktikan bahwa jika ∠A = ∠B = ∠C, maka AB = BC = CA.

Sekarang kita melihat bahwa terdapat beraneka sifat dari segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi.

144

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

C

Berdasarkan sifat-sifat segitiga sama kaki, mari kita selidiki sifatsifat segitiga siku-siku.

Hlm. 145

C

2 Tujuan

Kekongruenan Segitiga Siku-Siku Peserta didik dapat menentukan syarat kekongruenan segitiga siku-siku dengan menggunakan sifat-sifat segitiga sama kaki. Pada ∆ABC dan ∆DEF, jika

Diskusi

A

D

∠C = ∠F = 90° AB = DE ∠B = ∠E B

dapatkah kita menyatakan bahwa ∆ABC ≅ ∆DEF? Jelaskan!

Seperti terlihat pada , pada dua segitiga sikusiku, jika panjang hipotenusa yang bersesuaian adalah sama besar dan sudut lancip yang bersesuaian juga sama besar, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

F

Ulasan

Hipotenusa Sudut lancip

H.109

A

B

C

D

E

F

∠C = ∠F = 90° AB = DE A(D)

AC = DF Dalam kasus ini, ketika kita membalik ∆DEF dan mengimpitkan sisi AC dan DF menjadi sisi yang sama, maka ∠ C = ∠ F = 90°, sehingga tiga titik B, C(F), E terletak pada satu garis dan ∆ABE terbentuk.

B

C(F)

E

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

145

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Selanjutnya, pada dua segitiga siku-siku, mari kita perhatikan kasus ketika panjang hipotenusa yang bersesuaian adalah sama besar dan sisi-sisi lain yang bersesuaian juga sama panjang. Pada ∆ABC ≅ ∆DEF

C E

Soal 1

Dengan mengacu pada gambar di bagian akhir halaman sebelumnya, jawablah pertanyaan berikut.

A(D)

Pada ∆ABC, tuliskan alasan kenapa ∠C = ∠F. Dengan menggunakan 1 , buktikan bahwa ∆ABC ≅ ∆AEC.

1 2

B

E

C(F)

Hal yang sudah kita pelajari sejauh ini dapat dirangkum ke dalam sebuah teorema berikut.

PENTING

Teorema: Syarat Kekongruenan Segitiga Siku-Siku

Dua segitiga siku-siku akan kongruen jika salah satu syarat berikut dipenuhi.

Soal 2

1

Hipotenusa yang bersesuaian sama panjang dan sudut lancip yang bersesuaian sama besar.

2

Hipotenusa yang bersesuaian sama panjang dan sisi lain yang bersesuaian juga sama panjang.

Pada gambar-gambar berikut, pasangan-pasangan segitiga manakah yang kongruen? Nyatakan kekongruenan dengan simbol ≅ . Tentukan juga syarat kekongruenan yang dipenuhi. G A

D

6 cm

6 cm

4 cm

30° B

E

C

60°

30°

F

J

P

M 4 cm

4 cm 60° K

146

6 cm

L

N

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

6 cm

I

H

O Q

6 cm R

Dengan menggunakan syarat kekongruenan segitiga siku-siku, marilah kita buktikan sifat bangun geometri. Contoh 1

Cara

Bukti

Diskusi

Soal 4

Dengan menggunakan PA ⊥ OX, PB ⊥ OY, tunjukkan bahwa dua segitiga yang terbentuk adalah kongruen, kemudian simpulkan bahwa PA = PB.

X A

Z P

O

B

Y

Pada ∆AOP dan ∆BOP, berdasarkan yang diketahui, ① maka ∠PAO = ∠PBO = 90° ② ∠AOP = ∠BOP dan OP merupakan sisi yang sama ③ Dari ①, ②, dan ③, karena kedua segitiga siku-siku memiliki panjang hipotenusa yang bersesuaian sama panjang dan sudut lancip yang bersesuaian sama besar, maka ∆AOP ≅ ∆BOP. Dengan demikian, PA = PB.

Dari pembuktian di Contoh 1, apa saja sifat garis bagi sudut yang dapat ditemukan? Jelaskan dengan kata, bukan dengan simbol! Pada hipotenusa AC dari segitiga siku-siku ABC dengan ∠B = 90°, ambil titik D yang memenuhi AB = AD, gambar sebuah garis yang melalui D dan tegak lurus AC serta memotong sisi BC dengan memisalkan titik potongnya adalah E. Buktikan bahwa BE = DE.

A

D

B

E

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

C

147

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Soal 3

Dari titik P yang terletak pada garis bagi OZ dari ∠XOY, buatlah dua garis tegak lurus ke sisi OX dan OY, dan misalkan secara berturut-turut A dan B adalah titik potongnya. Buktikan bahwa PA = PB.

Mari Kita Periksa

1

Segitiga

Tuliskan definisi dari segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi.

1 Sifat-Sifat Segitiga Sama Kaki [Hlm.138] Sifat-Sifat Segitiga Sama Sisi [Hlm.144]

2 Sifat-Sifat Segitiga Sama Kaki [Hlm.139] Cth. 1 Segitiga dengan Dua Sudut Sama Besar [Hlm.141] Cth. 2

Pilih titik D dan E secara berturut-turut di sisi AB dan AC pada segitiga sama kaki dengan AB = AC, sehingga diperoleh BD = CE. Jawablah pertanyaan berikut. A

1

Buktikan bahwa ∆DBC ≅ ∆ECB.

2

Jika kita misalkan P adalah titik potong BE dan CD, apakah jenis dari segitiga PBC? Jelaskan! D

E P

B

C

Tentukan konvers dari “Diagonal-diagonal sebuah persegi adalah sama panjang.” Periksa apakah konvers tersebut benar.

3 Konvers [Hlm.143]

S

6

4 Kekongruenan Segitiga SikuSiku [Hlm.147] Cth.

A

Pada segi empat ABCD yang terdapat di gambar sebelah kanan, buktikan bahwa jika AB = AD dan ∠B = ∠D = 90°, maka BC = DC. 1

D

B

C

148

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

2 1 Tujuan

Segi Empat

Sifat Jajargenjang Peserta didik dapat menentukan sifat-sifat jajargenjang. D

A

Putar jajargenjang ABCD terhadap titik O sebagai pusat perputaran. Mari periksa berikut ini dengan memotong dan mencocokkan gambar di akhir buku 4 dengan gambar di sebelah kanan. 1 Segitiga mula-mula mana yang tepat sama dengan ∆ABD?

O

B

C

2 Pasangan segitiga mana yang tepat sama selain ∆ABD?

A

D

Segi empat yang memiliki dua pasang sisi berhadapan yang sejajar dinamakan jajargenjang. B

C

Untuk menyatakan jajargenjang ABCD, kita kadang-kadang menggunakan simbol  , dan menulisnya  ABCD, dan dibaca “jajargenjang ABCD”. Soal 1

Dari , pada segi empat, sifat-sifat apakah bila dilihat dari sisi, sudut, dan diagonal yang dapat kita cari?

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

149

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Pada segi empat, dua sisi yang berlawanan disebut sisi-sisi berhadapan, dan dua sudut yang berlawanan satu sama lain dinamakan sudut-sudut berhadapan. Jajargenjang didefinisikan sebagai berikut.

A

Kita dapat menyatakan pernyataan “dalam jajargenjang, dua pasang sisi berhadapan panjangnya sama” seperti berikut, menggunakan gambar di sebelah kanan. Pada segi empat ABCD. (Diketahui)

AB // DC, AD // BC

(Kesimpulan)

AB = DC, AD = BC

D

B

C

Pada  ABCD di atas, untuk membuktikan bahwa AB = DC dan AD = BC, pasangan segitiga yang mana yang perlu dibuktikan kongruen? Cobalah pikirkan garis-garis mana yang perlu ditarik untuk membentuk segitiga.

Soal 2

Contoh 1

Pada  ABCD, buktikan bahwa AB = DC dan AD = BC.

Buat diagonal BD. Pada ∆ABD dan ∆CDB, sudut-sudut

A

D

dalam berseberangan dari garis-garis sejajar besarnya sama. Karena AB // DC, maka ∠ABD = ∠CDB

①

Karena AD // BC, maka ∠ADB = ∠CBD

②

Dan

B

C

BD adalah sisi persekutuan ③

Dari ①, ②, dan ③, menurut aturan kekongruenan Sudut-Sisi-Sudut, maka

∆ABD ≅ ∆CDB

Dengan demikian

AB = DC, AD = BC.

Dari ∆AOP ≅ ∆BOP yang ditunjukkan pada pembuktian di simpulkan bahwa ∠A =∠C. Soal 3

150

Contoh 1

Pada  ABCD di Contoh 1, buktikan bahwa ∠ABC = ∠CDA.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

, kita dapat

Soal 4

A

Pada  ABCD, jika kita misalkan O adalah titik potong kedua diagonalnya, maka buktikan bahwa AO = CO dan BO = DO.

D

O B

Kita dapat menggunakan pernyataan yang telah dibuktikan di Contoh 1 di halaman sebelumnya.

C

Hal-hal yang sudah kita selidiki sejauh ini dapat dirangkum menjadi sebuah teorema berikut.

PENTING

Teorema: Sifat Jajargenjang

Dalam sebuah jajargenjang, sifat-sifat berikut berlaku. Dua pasang sisi berhadapan memiliki panjang yang sama.

2

Dua pasang sudut berhadapan memiliki ukuran sudut yang sama besar.

3

Kedua diagonal berpotongan di titik tengah setiap diagonal.

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Soal 5

1

Pada  ABCD pada gambar-gambar berikut, carilah nilai dari x dan y. 1

2 D

A 70°

A

D

y° x cm

7 cm

y cm

4 cm

x° B

C

B

5 cm

C

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

151

Dengan menggunakan sifat-sifat jajargenjang, mari kita buktikan sifat-sifat bangun geometri berikut. D A Contoh 2

E

Jika titik E dan F terletak pada diagonal AC dari ABCD sehingga AE = CF, maka buktikan bahwa BE = DF.

F B

Bukti

Pada ∆ABE dan ∆CDF, berdasarkan yang diketahui, AE = CF ① Sudut-sudut dalam berseberangan dari garis sejajar adalah sama besar. Karena AB // DC, maka ② ∠BAE = ∠DCF Karena sisi-sisi berhadapan pada jajargenjang adalah sama panjang, maka AB = CD ③ Dari ①, ②, dan ③, dan berdasar aturan kekongruenan Sisi-Sudut-Sisi, maka ∆ABE ≅ ∆CDF. Dengan demikian, BE = DF.

Soal 6

Dari ∆ABE ≅ ∆CDF yang dibuktikan di BE = DF? Jelaskan!

Diskusi

Contoh 2

C

, apa yang dapat kita amati selain

Soal 7

Buatlah garis yang melalui titik O yang merupakan titik potong kedua diagonal ABCD, dan misalkan P dan Q secara berturut-turut adalah titik-titik potong garis AD dan BC. Jawablah setiap pertanyaan berikut. 1 2 3

Sekarang kita mengetahui berbagai sifat jajargenjang.

Buatlah gambarnya. Ruas garis mana yang mempunyai panjang yang sama dengan segmen PO? Buktikan pernyataan yang kamu selidiki di bagian 2.

Dapatkah kita menyatakan segi empat yang memiliki sifat ini merupakan jajargenjang? Hlm. 153

152

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

2 Tujuan

Syarat untuk Jajargenjang Peserta didik dapat menganalisis segi empat yang memiliki sifat jajargenjang. A

Diskusi

Buatlah titik D pada gambar sebelah kanan, dan cobalah buat  ABCD. Mari kita perhatikan cara menentukan posisi titik D dengan berbagai cara, dan coba jelaskan cara menggambarkannya. B

C

E A

B

D

Buat lingkaran dengan pusat C dan BA sebagai jari-jarinya. Buat juga lingkaran lain dengan A sebagai pusat dan BC sebagai jarijari. Misalkan D adalah titik potong kedua lingkaran.

C

Sinar CE adalah suatu garis yang dibentuk dari titik C sebagai titik pangkal, dan memanjang ke satu arah yang melalui titik E. Dapatkah kita menggunakan sifatsifat jajargenjang?

Soal 1

A

Tentukan bagian yang diketahui dan bagian kesimpulan dari pernyataan berikut dengan menggunakan gambar di sebelah kanan. “Segi empat dengan dua pasang sisi berhadapan sama panjang dinamakan jajargenjang.” B

D

C

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

153

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Catatan

Buat dua sinar CE dan AF yang memenuhi BA // CE dan BC // AF, serta misalkan D titik potong kedua sinar tersebut.

C A

B

F

D

Contoh 1

Cara

Bukti

Pada segi empat ABCD, buktikan bahwa jika AB = DC dan AD = BC, maka AB // DC dan AD // BC.

A

Gunakan fakta bahwa jika sudut-sudut dalam berseberangan besarnya sama, maka kedua garis sejajar. Agar diperoleh sudut-sudut dalam berseberangan sama besar, buat diagonal BD, dan buktikan bahwa ∆ABD dan ∆CDB kongruen. Buat diagonal BD.

D

B

C

A

D

Pada ∆ABD dan ∆CDB, berdasarkan yang diketahui, AB = CD ①

maka

AD = CB ②

Dan

③

BD sisi persekutuan

C

B

Dari ①, ②, dan ③, dan menurut aturan kekongruenan Sisi-Sisi-Sisi, maka

∆ABD ≅ ∆CDB

Dengan demikian,

∠ABD ≅ ∠CDB

Karena sudut dalam berseberangan sama,

maka AB // DC

Dengan cara serupa, Catatan

Soal 2

AD // BC

Pada pembuktian di Contoh 1 , “dengan cara serupa” berarti kita dapat membuktikan sesuatu dengan proses yang sama seperti proses pembuktian sebelumnya.

Pada segi empat ABCD, buktikan bahwa jika ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D, maka AB // DC dan AD // BC, sesuai urutan

1

,

2

,

3

,

4

.

2

∠A + ∠B = 180° Jika BA diperpanjang hingga terbentuk BE, maka ∠EAD = ∠B.

3

AD // BC

4

AB // DC

1

E A

B

154

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

D

C

Soal 3

A

Jika kita misalkan O adalah titik potong kedua diagonal segi empat ABCD, buktikan bahwa jika AO = CO dan BO = DO, maka AB//DC dan AD//BC.

D

O B

Soal 4

C A

Pada segi empat ABCD, buktikan bahwa jika AD//BC dan AD = BC, maka segi empat ABCD adalah jajargenjang.

D

B

Soal 5

C

Pada segi empat ABCD, jika AD//BC dan AB = DC, maka dapatkah kita menyatakan bahwa segi empat ABCD adalah jajargenjang?

A

Tampaknya tidak bisa.

D

Saya pikir bisa.

C

Hal-hal yang telah kita selidiki sejauh ini dapat dirangkum ke dalam sebuah teorema berikut.

PENTING

Teorema: Syarat untuk Jajargenjang Jika sembarang sifat ini berlaku, maka segi empatnya merupakan jajargenjang. 1 2 3 4 5

Dua pasang sisi berhadapan yang sejajar (definisi). Dua pasang sisi berhadapan memiliki panjang yang sama. Dua pasang sudut berhadapan sama besar. Dua diagonalnya berpotongan di titik tengah kedua diagonal. Sepasang sisi-sisi berhadapan adalah sejajar dan sama panjang.

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

155

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

B

Dengan menggunakan sifat-sifat jajargenjang, mari kita selesaikan beragam permasalahan. Contoh 2

A

Pada gambar  ABCD di sebelah kanan, jika titik E dan F terletak pada diagonal AC demikian sehingga AE = CF, maka buktikan bahwa segi empat EBFD adalah jajargenjang.

D E O F

B

Bukti

Soal 6

Soal 7

C

Misalkan O adalah titik potong kedua diagonal jajargenjang. Karena perpotongan diagonal-diagonal jajargenjang berada tepat di tengah, maka BO = DO ① AO = CO ② Dari soal diketahui bahwa AE = CF ③ Dari ② dan ③, AO – AE = CO – CF Karena EO = AO – AE , FO = CO – CF, maka EO = FO ④ Dari ① dan ④, karena dua diagonal jajargenjang berpotongan tepat di titik tengahnya, maka segi empat EBFD adalah jajargenjang.

Buktikan pernyataan yang sama di syarat untuk jajargenjang di 2 .

Contoh 2

dengan menggunakan teorema

Bila kita misalkan titik M dan N masingmasing merupakan titik tengah AB dan DC dari  ABCD, buktikan bahwa segi empat MBND adalah jajargenjang.

A

D

N

M

B

Sekarang kita mengetahui sifat untuk jajargenjang.

156

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Mari kita selidiki jajargenjang lebih rinci lagi. Hlm. 157

C

3 Tujuan

Jajargenjang Khusus Peserta didik dapat menganalisis segi empat yang memenuhi syarat menjadi jajargenjang. Pada segi empat dalam tabel berikut, tulis bila memenuhi sifat yang ditunjukkan di sebelah kiri, dan tulis bila tidak memenuhi. Jajargenjang

Persegi panjang Belah ketupat Persegi

Dua pasang sisi berhadapan yang sejajar Panjang semua sisinya sama Besar semua sudutnya sama

Persegi panjang, belah ketupat, dan persegi didefinisikan sebagai berikut. Segi empat yang semua sudutnya sama besar disebut persegi panjang. Segi empat yang semua sisinya sama panjang disebut belah ketupat. Segi empat yang semua sudutnya sama besar dan semua sisinya sama panjang disebut persegi.

Soal 1 Diskusi

Dapatkah kita menyatakan bahwa belah ketupat merupakan jajargenjang? Jelaskan! Persegi panjang dan belah ketupat merupakan kasus khusus dari jajargenjang. Karena itu, baik persegi panjang maupun belah ketupat memiliki semua sifat jajargenjang. Persegi adalah kasus khusus dari persegi panjang ataupun belah ketupat. Oleh karena itu, persegi memiliki semua sifat yang dimiliki persegi panjang ataupun belah ketupat.

Jajargenjang Persegi panjang

Belah ketupat Persegi

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

157

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Definisi persegi panjang, yaitu “segi empat yang semua sudutnya sama besar” memenuhi syarat sebagai jajargenjang, yakni “dua pasang sisi berhadapan masingmasing sama besar”. Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa persegi panjang adalah jajargenjang.

Mari kita diskusikan sifat-sifat dari diagonal persegi panjang, belah ketupat, dan persegi. Diskusi

Contoh 1

Bukti

Pada persegi panjang ABCD, buktikan bahwa panjang kedua diagonalnya, yaitu AC dan DB, sama panjang.

Pada ∆ABC dan ∆DCB, diketahui bahwa ① ∠ABC = ∠DCB Sisi berhadapan persegi panjang adalah sama panjang, maka AB = DC ② BC adalah sisi persekutuan ③ Dari ①, ②, dan ③, berdasarkan aturan kekongruenan Sisi-Sudut-Sisi, maka ∆ABC ≅ ∆DCB Dengan demikian, AC = DB.

A

D

B

C

Kita dapat menggunakan sifat-sifat jajargenjang.

Dari sifat diagonal persegi panjang, bila kita misalkan M adalah titik tengah hipotenusa BC dari segitiga siku-siku ABC seperti pada gambar berikut, maka kita dapat lihat bahwa AM = BM = CM. B A M

C

A

B

M

C A

Soal 2

Pada belah ketupat ABCD, buktikan bahwa kedua diagonalnya, yaitu AC dan BD saling berpotongan tegak B lurus. Misalkan O adalah titik potong antara AC dan BD.

O C

158

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

D

[ Aktivitas Matematis ]

Mengom

unikasikan

Mari kita diskusikan syarat tambahan yang diperlukan agar jajargenjang menjadi persegi panjang, belah ketupat, dan persegi.

1

2

A

Jika kita tambah syarat a dan b berikut pada  ABCD, jen is segi e mpat apa yang akan terbentuk? a

AB = BC

b

∠A = 90°

D

B

C

Jika AB = BC pada  ABCD, maka Dewi menyatakan bahwa segi empat yang terbentuk adalah belah ketupat seperti berikut. Cara Dewi

Jika ∠A = 90° pada  ABCD, maka jelaskan bahwa segi empat yang terbentuk adalah persegi panjang.

3

Agar jajargenjang menjadi persegi panjang dan belah ketupat, syarat apa saja yang perlu ditambah? Bagaimana agar menjadi persegi, syarat apa lagi yang perlu ditambahkan? Pikirkan syaratnya dan jelaskan.

A

D

A

D

B

C

A

D

B

C

A B

C

B

D C

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

159

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Sisi-sisi yang berhadapan pada jajargenjang sama panjang, sehingga AB = DC dan AD = BC. Jika saya tambahkan syarat AB = BC, maka sisi-sisi yang berdekatan akan sama panjang. Akibatnya, semua sisi sama panjang. Dengan demikian, ABCD adalah belah ketupat.

Mari Kita Periksa

2

Segi Empat

Tuliskan definisi dari jajargenjang.

1 Sifat Jajargenjang [Hlm.149]

Jika E dan F masing-masing terletak pada sisi AD dan BC dari  ABCD, sehingga AE = CF, maka buktikan bahwa BE = DF.

2 Sifat Jajargenjang [Hlm.152] Cth.

E

A

D

2

B

Dari kasus-kasus a , b , c , dan d berikut, kasus manakah yang mengakibatkan segi empat ABCD menjadi jajargenjang?

3 Syarat untuk Jajargenjang [Hlm.154, 155]

4 Syarat untuk Jajargenjang [Hlm.156] Cth.

2

a

AD // BC, AB = DC

b

AB // DC, AB = DC

c

AO = CO, BO = DO

d

AO = BO, CO = DO

Buktikan bahwa segi empat ADCF jajargenjang.

2

Buktikan bahwa DF = BC.

Sifat-sifat apa yang dimiliki oleh diagonaldiagonal persegi? Tunjukkan jawabanmu dengan menggunakan gambar di kanan.

5 Jajargenjang Khusus [Hlm.158]

A D

O

C

B

Misalkan D dan E berturut-turut merupakan titik tengah dari sisi AB dan AC pada ∆ABC. Ambil titik F pada perpanjangan DE sehingga DE = EF. Jawablah pertanyaan berikut. 1

C

F

A

E

D

B

F

C

A

D

O

Cth. 1 S

160

2

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

B

C

3

Garis Sejajar dan Luas A

D

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, buatlah dua diagonal dari persegi dan perhatikan segitiga dengan luas yang sama.

O

Dari definisi persegi dan sifat diagonalnya, maka ∆ABC, ∆DCB, ∆CDA, dan ∆BAD adalah segitiga kongruen. Akibatnya, luas setiap segitiga tersebut adalah sama. Luas ∆ABC = luas ∆DCB = luas ∆CDA = luas ∆BAD

B

C

A

D

Sebagaimana pada persegi, hal yang sama juga berlaku pada persegi panjang. Perhatikan kasus pada segi empat lainnya.

O B

Pada jajargenjang dan belah ketupat yang masing-masing memiliki dua diagonal, carilah segitiga-segitiga yang memiliki luas yang sama. Jajargenjang

1

Belah ketupat

2

A

D

A

O

O B

2

D

C

B

C

A

Pada trapesium dengan dua diagonal, carilah segitiga yang memiliki luas yang sama.

D

O B

Pada persegi, persegi panjang, jajargenjang, dan belah ketupat, kita dapat menemukan dua segitiga dengan luas yang sama dengan cara menggambarkan diagonaldiagonalnya.

C

Pada trapesium dengan dua diagonal, dapatkah kita menemukan segitiga yang luasnya sama? Hlm. 162

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

161

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

1

C

1

Garis Sejajar dan Luas

Tujuan

Peserta didik dapat menentukan kapan segitiga-segitiga memiliki luas yang sama. ℓ

Jika ℓ // m pada gambar di kanan, dan dengan memindahkan titik A dari ∆ABC searah tanda panah pada garis ℓ, maka apa yang tidak berubah meskipun bentuk segitiganya berubah?

A

A'

A"

m B

Untuk ∆ ABC, ∆ A’BC, dan ∆ A”BC pada gambar di atas, alas BC merupakan alas persekutuan dan tingginya sama dengan jarak antara garis sejajar ℓ dan m. Dengan demikian, luas dari ketiga segitiga ini sama besar.

PENTING

ℓ

A"

Teorema: Garis Sejajar dan Luas A

A'

B

C

Jika kita misalkan O adalah titik potong antara kedua diagonal dari trapesium ABCD, dengan AD//BC, maka jawablah pertanyaan berikut. 1

2

A

Tentukan segitiga-segitiga mana saja yang berturut-turut memiliki luas yang sama dengan ∆ABC dan ∆ABD.

D

O

Buktikan bahwa luas ∆ABO = luas ∆DCO. B

162

A'

m

Pada ∆ABC dan ∆A’BC yang memiliki alas persekutuan BC, jika AA’ // BC, maka luas ∆ABC = luas ∆A’BC

Soal 1

A

C

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

C

Cara

A

Buatlah sebuah segitiga yang memiliki luas yang sama dengan segi empat ABCD pada gambar di sebelah kanan.

Contoh 1

D

Pandang AC sebagai alas ∆DAC, dan pindahkan titik D tanpa mengubah luas. Bila tiga titik B, C, dan D terletak pada satu garis, maka segi empat ABCD menjadi sebuah segitiga.

B

C

A Proses

D

1

Buat diagonal AC.

2

Buat garis yang melalui D dan sejajar AC. Misalkan D’ titik potong dengan perpanjangan BC.

3

Soal 2

Hubungkan titik A dan D’.

Pada

Contoh 1

D' B

C

, buktikan bahwa luas segi empat ABCD = luas segi empat ∆ABD’.

Pada Contoh 1 , buat diagonal BD, dan buat suatu segitiga yang memiliki luas yang sama dengan segi empat ABCD.

Soal 4

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, suatu tanah dibagi ke dalam dua bagian a dan b dengan garis PQR sebagai batasnya. Tanpa mengubah luas tanah, buat garis yang melalui P untuk membuat batas lainnya.

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Soal 3

P

a

b

Q

R

Mari Kita Periksa 1 Garis Sejajar dan Luas [ Hlm.162 ]

3

Garis Sejajar dan Luas

Pada gambar di kanan, jika AD//BC dan BM = CM, tentukan segitiga-segitiga yang memiliki luas yang sama dengan ∆ ABM.

A

B

D

M

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

C

163

Soal Ringkasan

BAB 5

Jawaban di h.233, 234

Gagasan Utama

1

Isilah

pada pertanyaan-pertanyaan berikut.

1

pada segitiga sama kaki membagi alasnya menjadi dua Garis bagi dari bagian yang sama dan berpotongan tegak lurus dengan alas tersebut.

2

Pada dua segitiga siku-siku, jika panjang hipotenusa-hipotenusa yang bersesuaian adalah sama, atau panjang hipotenusa-hipotenusa bersesuaian dan adalah sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen. dan

3

Kedua diagonal jajargenjang berpotongan di

4

Persegi panjang didefinisikan sebagai

. . A

2

Pada segitiga sama kaki ABC, dengan sudut puncak ∠A = 36°, buatlah garis bagi ∠B dan misalkan D titik potong dengan sisi AC. Jawablah pertanyaan berikut. 1

Hitung ∠BDC.

2

Jenis segitiga apakah ∆BCD itu? Jelaskan!

36° D

B

C D

A

3

Dari titik-titik sudut A dan C pada  ABCD, buatlah berturut-turut garis AE dan CF yang tegak lurus dengan diagonal BD. Jawablah pertanyaan berikut. 1 2

Buktikan bahwa ∆ABE ≅ ∆CDF.

E B

C

Dapat dibuktikan bahwa segi empat AECF adalah jajargenjang seperti berikut. , dan lengkapi pembuktiannya. Isilah [ Bukti ]

164

F

AE = ∆ABE ≅ ∆CDF, sehingga Berdasarkan yang diketahui, maka ∠AEF = ∠CFE adalah sama, sehingga AE // Dari 1 dan 2 , , dan karena maka segi empat AECF adalah jajargenjang.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

1

2

4

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, ambil titik C pada segmen AB dan buat segitiga sama sisi ACP dan CBQ dengan berturut-turut menggunakan AC dan BC. Jawablah pertanyaan berikut. 1

Buktikan bahwa AQ = PB.

2

Jika O adalah titik potong AQ dan PB, carilah ∠AOP.

P Q O

A

C

B

Penerapan

1

2

Segi empat EFGH pada gambar di kanan dibentuk dari 4 garis bagi ∠ A, ∠ B, ∠ C, dan ∠ D. Segi empat EFGH termasuk jenis segi empat apa? Jika  ABCD adalah persegi panjang, segi empat EFGH termasuk jenis segi empat apa?

A H

F

2

Segitiga mana yang memiliki luas yang sama dengan ∆AQP?

B

C

A

D P

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Tentukan perbandingan antara luas ∆ABP dan luas  ABCD.

G

E

Pada  ABCD di sebelah kanan, ambil titik P pada sisi DC, dan misalkan Q adalah titik potong antara AC dan BP. Jawablah pertanyaan berikut. 1

D

Q B

C

A

3

Dari titik P pada alas BC dari segitiga sama kaki ABC, buat garis sejajar terhadap sisi AB dan AC, misalkan Q dan R berturut-turut merupakan titik potong dengan sisi AC dan AB. Buktikan bahwa PQ + PR = AB.

Q R

B

P

C

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

165

Soal Ringkasan

Bab 5

A Penggunaan Praktis

ℓ

1

E

D

F

Soal berikut dapat dibuktikan sebagai berikut. B

Soal

Bukti

C

Gambar 1

Pada ∆ABC di gambar 1, buat garis bagi ∠ABC dan ∠ACB, dan misalkan D adalah titik potong kedua garis bagi tersebut. Buat garis ℓ yang melalui D dan sejajar sisi BC, misalkan titik E dan F berturut-turut merupakan titik-titik potong terhadap sisi AB dan AC. Buktikan bahwa EB = ED. Pada ∆ EBD, berdasarkan yang diketahui, maka 1 ∠DBC = ∠EBD Karena sudut-sudut dalam berseberangan yang dibentuk oleh garis paralel, memiliki ukuran sudut yang sama, dan 2 karena ED // BC, maka ∠DBC = ∠EDB. Dari 1 dan 2 , maka ∠EBD = ∠EDB. Karena kedua sudut sama besar, maka ∆EBD merupakan segitiga sama kaki. Dengan demikian, EB = ED.

A ℓ B

E

D

F C

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1

166

Pilih satu dari pernyataan berikut sebagai bagian yang diketahui dari pembuktian di atas. a BD adalah garis bagi ∠ABC b

CD adalah garis bagi ∠ACB

c

Garis ℓ melalui D dan sejajar sisi BC

d

EB = ED

2

Pada Gambar 1, buktikan bahwa FC = FD.

3

Karena ∆EBD dan ∆FCD adalah segitiga sama kaki, kita dapat melihat bagian manakah pada Gambar 1 yang memiliki keliling sama dengan keliling ∆AEF. Pilih dari pernyataan berikut. a

AE + AF

b

AE + AC

d

AB + AC

e

DB + DC

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

c

AB + AF

an m a l a d Pe n M at e r i

Mari Pikirkan dengan Mengubah Syaratnya

Pada Soal 4 halaman 165, hal berikut ini telah P

dibuktikan. A

Jika kita ambil titik C pada ruas garis AB dan membuat segitiga sama sisi ACP dan CBQ secara berturut-turut dengan menggunakan sisi AC dan BC sebagai sisi, maka AQ = PB.

1

Q B

C

Bila kita rotasi ∆CBQ dengan titik C sebagai pusat rotasinya, mari kita selidiki apakah AQ = PB.

P

a

b

Q

P

P

Q

Q

B

C

A

A

C

P

c

B

A

Fokus pada hubungan posisi antara dua segitiga sama sisi.

C P

C

B

C

Q

P

d

Q

e

A

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

B

A P

f

g

P

B

B B A

Q

C

A

C Q

C

A B

Q

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

167

2

Mari buktikan apa yang telah kita selidiki di bagian 1 di halaman sebelumnya. Sebagai contoh, pada kasus c , kita dapat membuktikan bahwa AQ = PB seperti berikut. [ Bukti ]

Pada ∆QAC dan ∆BPC, berdasarkan yang diketahui, maka 1 AC = PC 2 QC = BC Selain itu, ∠ACQ = ∠ACP – ∠QCP = 60° – ∠QCP Dan, ∠PCB = ∠QCB – ∠QCP A = 60° – ∠QCP 3 Jadi, ∠ACQ = ∠PCB Dari 1 , 2 , dan 3 , dan berdasarkan aturan kekongruenan Sisi-Sudut-Sisi, maka ∆QAC ≅ ∆BPC Jadi, AQ = PB. Mari kita buktikan bahwa AQ = PB pada kasus lain.

3

P B Q

C

Bagian pembuktian mana yang perlu kita ubah pada soal pertama?

Seperti ditunjukkan pada gambar berikut, mari kita selidiki apa yang berlaku benar bila kita mengubah bagian kondisi pada nomor 4 di halaman 165. Buktikan! 1

Ubah segitiga sama sisi menjadi persegi.

2

Ambil titik C yang bukan pada ruas garis AB. Q

Q

P R

A

168

C

S

B

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

P

C

A

B

Ulasan Empat kartu diberi angka 1, 3, 5 dan 7. Gunakan tiga kartu ini untuk membentuk sebuah bilangan tiga angka. Berapa banyak bilangan berbeda yang dapat kita buat ya?

5

1

Kita juga dapat menemukan jawaban dengan menggunakan diagram.

7

3 Kita dapat menggunakan sebuah tabel untuk mencari jawabannya.

Bab 6 Peluang

Cara Menyusun Ketika memutuskan urutan dari 3 orang A, B, dan C dapat berlari, kita dapat menggunakan tabel atau diagram berikut untuk mencapai susunan berbeda yang dapat dibuat.

Tabel

Diagram

No. 1 A A B B C C No. 1 A B C

No. 2 B C A C A B No. 2 B C A C A B

No. 3 C B C A B A No. 3 C B C A B A

Cara Mengombinasi Jika kelas 1 - 4 bermain sepak bola, kita dapat menggunakan tabel atau diagram berikut untuk mencari kombinasi yang dapat dibuat.

Tabel

1

2

3

4

1 2 3 4 Diagram 1

2 3 4

2

1 3 4

3

1 2 4

4

1 2 3

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

169

BAB 5 | Segitiga dan Segi Empat

Apa yang sudah kita pelajari sejauh ini?

Peluang sukses = 1 − Peluang tidak sukses

Apapun jalan yang kau pilih, tingkatkan peluang suksesmu dengan tetap giat belajar.

170

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 Matematika untuk SMP Kelas VIII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Mochammad Hafiizh dan Fitriana Yuli Saptaningtyas ISBN: 978-602-244-798-6 (jil.2)

BAB

6

Peluang 1

1

4

5

3 2

Peluang

Manakah yang mungkin akan muncul? Sebuah dadu dibuat dengan melipat jaring-jaring kubus berikut.

A

A C

B

A

C B

B

Hadiah Pertama

A

Gunakan dua buah dadu yang dilipat seperti di atas untuk dapat memenangkan suatu permainan. Jika kita mendapatkan hasil lemparan dengan mata dadu yang paling tidak sering muncul, maka kita menjadi pemenang. Jika hasil lemparan merupakan mata dadu yang sering muncul, maka kita kalah. Ketika kita melempar kedua dadu bersamaan, pikirkan hasil lemparan mana yang akan menjadi “pemenang” dan yang “kalah”!

172

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

1

Jika kita melempar dua dadu bersamaan seperti di halaman sebelumnya, manakah dari a - f berikut yang harus menjadi “pemenang” atau manakah yang kalah? Apa tebakanmu?

a

A d

c

b

A

A

B

e

B

B

B

f

C

A

C

C

C Jika kita tidak memainkan dadu dengan benar, kita tidak dapat melakukan percobaan dengan adil.

2

Buatlah dadu dengan cara melipat jaring-jaring pada bagian akhir buku 5 dan lakukanlah percobaan berikut.

Banyak Lemparan

50

100

150

200

Banyaknya kemunculan a BAB 6 | Peluang

Banyaknya kemunculan b Banyaknya kemunculan c Banyaknya kemunculan d Banyaknya kemunculan e Banyaknya kemunculan f

3

Berdasarkan hasil percobaan pada bagian 2 , diskusikan manakah di antara a - f pada bagian 1 yang seharusnya menjadi “pemenang pertama” atau yang mana yang kalah.

Bagaimana cara kita memeriksa apakah dugaan kita itu benar atau tidak benar?

h.174

Bab 6 Peluang

173

1 1

Peluang

Kemunculan dari Suatu Kejadian

Tujuan

Peserta didik dapat menggunakan suatu bilangan untuk menyatakan kemunculan terjadinya suatu kejadian. Cobalah lempar sebuah dadu sebanyak 50 kali. Kemudian, hitunglah berapa banyak mata dadu 3 yang muncul. 1

Dapatkah kamu menduga berapa banyak munculnya mata dadu 3? Dapatkah kamu menyatakan bahwa kamu akan selalu mendapat hasil tersebut?

2

Cobalah lempar dadu sebanyak 50 kali dan selidiki frekuensi relatif munculnya mata dadu 3. Selidiki pula perubahan frekuensi relatif munculnya mata dadu 3 jika banyaknya pelemparan dadu adalah 100, 150, 200, …. (Frekuensi Relatif Muncul Mata Dadu 3) =

Banyaknya lemparan dadu

50

100

150

200

(Banyaknya muncul mata dadu 3) (Banyaknya percobaan melempar dadu) 250

300

350

400

450

Banyaknya muncul mata dadu 3

Grafik berikut menyajikan satu contoh hasil dari percobaan di

.

(Frekuensi Relatif Muncul Mata Dadu 3)

Frekuensi relatif mata dadu 3

900

0,2 0,17 0,15

0,1

O

100

200

300

400

500

600

(Banyaknya Pelemparan Dadu)

174

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

700

800

1.000

500

Pada grafik di halaman sebelumnya, diketahui frekuensi relatif awalnya berubah. Namun, seiring bertambah banyaknya lemparan dadu, perubahannya semakin sedikit dan mendekati nilai tetap, yaitu 0,17. Kita dapat menyatakan bahwa 0,17 merupakan kemungkinan munculnya mata dadu 3. Ketika frekuensi relatif suatu hasil kejadian dari sejumlah percobaan mendekati bilangan tetap tertentu, maka kita dapat menggunakan bilangan ini untuk menyatakan kemungkinan terjadinya kejadian tersebut. Bilangan yang menyatakan kemungkinan terjadinya suatu kejadian disebut peluang dari kejadian tersebut. Berdasarkan hasil percobaan melempar dadu di halaman sebelumnya, peluang munculnya mata dadu 3 adalah 0,17.

Soal 1

Ketika kita melempar sebuah dadu dan menyelidiki frekuensi relatif munculnya mata dadu genap, diperoleh data nilainya mendekati 0,5. Berapakah peluang kejadian munculnya mata dadu genap?

Soal 2

Ketika kita melempar tutup botol dan menyelidiki frekuensi relatif tutup botol tertelungkup, kita peroleh tabel berikut. Carilah tiap frekuensi relatif dari tertelungkupnya tutup botol dan lengkapilah tabel tersebut. Berapakah peluang terjadinya tutup botol tertelungkup ketika kita melempar tutup botol?

Telentang Telungkup

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1.000

Kejadian tutup botol telungkup

42

81

131

160

202

255

294

337

378

421

Frekuensi relatif

Kita dapat menduga peluang suatu kejadian dengan melakukan percobaan beberapa kali.

Apakah mungkin mengetahui peluang suatu kejadian tanpa melakukan h.176 percobaan?

Bab 6 Peluang

175

BAB 6 | Peluang

Banyaknya lemparan

Bagaimana Cara Menentukan Peluang

2 Tujuan

Peserta didik dapat menentukan peluang suatu kejadian tanpa melakukan percobaan. Ketika sebuah dadu dilempar, manakah yang kemungkinan lebih sering muncul, mata dadu 1 atau mata dadu 3? Jika sebuah dadu bersisi sama dilempar, maka kita dapat berharap bahwa kemungkinan munculnya tiap mata dadu adalah sama. Pada situasi ini, kita dapat menyatakan bahwa kemungkinan munculnya mata dadu 1 sampai dengan 6 adalah sama secara kemungkinan. Ketika kita melempar sebuah dadu, banyaknya kejadian yang berbeda akan muncul adalah 6. Karena itu, peluang munculnya tiap mata dadu dari mata 1 sampai dengan 6 adalah 1 . 6 Peluang munculnya mata dadu 3 sebesar 0,17 dan hasil dari beberapa kali percobaan di halaman 174, nilainya hampir sama dengan 1 . 6

Contoh 1

Soal 1

Ketika sebuah kartu diambil dari 52 kartu remi, kita dapat menyatakan bahwa kemungkinan terambilnya sebuah kartu adalah sama. Dalam hal ini, peluang terambilnya sebuah kartu adalah 1 . 52 Pilih salah satu yang memiliki kemungkinan sama terjadi dari situasi-situasi berikut. 1

2 3

Soal 2

176

Melempar dadu bermata 1 sampai dengan 6 bila dadu yang dilempar adalah seperti pada gambar di kanan. Kejadian munculnya gambar atau angka ketika sebuah uang logam dilempar. Kejadian tutup botol telungkup atau telentang ketika sebuah tutup botol dilempar.

Beri beberapa contoh kejadian di sekitar kita yang memiliki kemungkinan terjadinya adalah sama.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Marilah kita cari peluang-peluang kejadian yang memiliki kemungkinan yang sama. Bila sebuah dadu bersisi enam dilempar, kita dapat menentukan peluang munculnya mata dadu genap seperti berikut. Dalam kasus ini, banyaknya kemungkinan kejadian adalah 6 buah. Karena tiga kejadian berupa munculnya mata dadu genap seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, maka (peluang munculnya mata dadu genap) adalah 3 1 = 6 2

Bila kita memperhatikan semua kemungkinan kejadian dan tiap kejadian memiliki kemungkinan sama terjadi, maka peluang kejadian dapat ditentukan seperti berikut.

Jika total seluruh kejadian adalah n, dan ada sebanyak a kejadian, maka peluang terjadinya kejadian tersebut adalah a p= n

Contoh 2

Kejadian pengambilan tiap kartu dari 52 kartu adalah sama. Tentukan peluang terambilnya kartu hati bila ada 13 kartu hati.

Penyelesaian

Kemungkinan terambilnya satu dari 52 kartu remi adalah sama. Dari 52 kartu, 13 di antaranya adalah kartu hati. Jadi, peluang terambilnya kartu hati adalah 13 1 = 52 4

Jawaban:

1 4

Bab 6 Peluang

177

BAB 6 | Peluang

Cara

Tentukan peluang kejadian munculnya kartu hati yang diambil dari 52 kartu remi yang dikocok!

Soal 3

Soal 4

Carilah peluang kejadian berikut pada Contoh 2 (di halaman 177). 1

Terambilnya sebuah kartu wajik.

2

Terambilnya sebuah kartu berangka 8.

3

Terambilnya kartu bergambar.

4

Terambilnya sebuah kartu hati atau satu kartu wajik.

Pada sebuah kantong terdapat lima kelereng berukuran sama dengan nomor 1 sampai dengan 5. Ketika sebuah kelereng diambil dari kantong, tentukan peluang terambilnya kelereng bernomor genap, dan tentukan pula terambilnya kelereng bernomor ganjil.

Cer m

1 5

at i Peluang Terjadinya Hujan

Apakah arti dari “peluang terjadinya hujan dari siang hingga pukul 6 sore di Yogyakarta adalah 70%”? Peluang terjadinya hujan menunjukkan peluang bahwa akan terjadi hujan paling tidak 1 mm pada waktu tertentu di suatu tempat tertentu. Hal ini tidak ada kaitannya dengan Sumber: https://gudeg.net/ tingkat curah hujan, lamanya hujan, dan banyaknya cni-content/uploads/modules/ hujan. Selain itu, lokasi dugaan terjadinya hujan posts/20210619063115.jpeg dinyatakan dengan peluang yang sama. Oleh karena itu, “peluang terjadinya hujan dari siang hingga pukul 6 sore di Yogyakarta sebesar 70%” berarti “untuk sembarang lokasi di Yogyakarta, peluang bahwa paling sedikit 1 mm hujan akan terjadi dari siang hingga pukul 6 sore adalah 70%”. Lebih lanjut, “peluang terjadinya hujan 70%” bermakna “dari 100 kali kejadian, diperkirakan 70% atau 70 kali paling sedikit 1 mm hujan akan terjadi”. Selain itu, peluang terjadinya hujan ditampilkan dalam bentuk interval 10%. “Peluang terjadinya hujan 0%”, artinya peluang terjadinya hujan kurang dari 5%, dan “peluang terjadinya hujan 100%” berarti peluang terjadinya hujan paling sedikit 95%. Pekerjaan terkait [ Peramal Cuaca ]

* Peluang 70% sama artinya dengan “peluang 0,7”.

178

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

4 2

3

Mari kita pikirkan tentang rentang nilai peluang suatu kejadian. Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, pada kantong A - E terdapat masingmasing 4 kelereng. Bila 1 kelereng diambil dari setiap kantong, tentukan peluang terambilnya kelereng putih dari setiap kantong.

B

A

D

C

E

Pada

, Untuk kantong A, apa pun kelereng yang diambil, tak akan pernah terambil 0 kelereng putih, sehingga peluang terambil kelereng warna putih adalah = 0. Untuk 4 kantong E, apa pun kelereng yang kamu ambil, pasti akan terambil kelereng warna 4 putih, sehingga peluang terambilnya kelereng putih adalah = 1. Untuk kantong4 kantong lain, peluang terambilnya kelereng warna putih dapat dinyatakan dalam rentang nilai antara 0 dan 1, dinyatakan dengan angka antara 0 dan 1. Jika kita misalkan peluang terjadinya kejadian adalah p, maka rentang nilai p adalah 0 ≤ p ≤ 1. Jika p = 0, maka kejadian tidak akan mungkin terjadi. Jika p = 1, maka kejadian akan pasti terjadi. Soal 5

Berilah contoh-contoh kejadian yang memiliki peluang 0 atau 1. BAB 6 | Peluang

Cer m

at i Permulaan Teori Peluang

Blaise Pascal (1623~1662), seorang matematikawan dari Prancis, pernah ditanya oleh seorang bangsawan. “Dua orang A dan B memainkan sebuah permainan dan bahwa siapa pun yang menang 3 kali, ia akan ditetapkan menjadi pemenang. Jika mereka berhenti bermain setelah A menang 2 kali dan B menang 1 kali, bagaimana mereka membagi uang secara adil?” Terkait pertanyaan ini, Pascal menyelesaikan masalah ini bersama dengan matematikawan asal Prancis lainnya, yaitu Pierre de Fermat (1601~1665) melalui tukar-menukar surat. Dikatakan bahwa teori peluang lahir dari pertukaran gagasan melalui surat-menyurat ini.

Bab 6 Peluang

179

Ketika sebuah dadu bersisi enam dilemparkan, tentukanlah peluang kejadian berikut. 1

Munculnya mata dadu 6

2

Tidak munculnya mata dadu 6

Ketika sebuah dadu dilemparkan, ada satu kejadian munculnya mata dadu 6, sehingga 1 peluangnya adalah . Di sisi lain, ada 5 kejadian tidak munculnya mata dadu 6, yaitu 6 5 , sehingga peluang tidak munculnya mata dadu 6 adalah . 6 Oleh karena itu, jumlah peluang munculnya mata dadu 6 dan peluang tidak munculnya mata dadu enam adalah 1 5 + 6 6 =1 Dengan perkataan lain, kita dapat mengatakan bahwa (Peluang tidak munculnya mata dadu 6) = 1 – (peluang munculnya mata dadu 6)

Bila peluang suatu kejadian A muncul adalah p, maka peluang kejadian tidak munculnya A adalah 1 – p.

Soal 6

Soal 7

3 Dalam sebuah permainan, peluang menang adalah 20 . Tentukan peluang kekalahan dari permainan tersebut.

Bila satu kartu diambil dari 50 kartu bernomor 1 sampai dengan 50, carilah peluang terambilnya kartu bernomor bilangan prima dan peluang terambilnya kartu bernomor bukan bilangan prima.

Rentang nilai peluang paling sedikit 0 dan tidak melebihi 1.

Ulasan Bilangan asli yang mempunyai faktor 1 dan dirinya sendiri disebut bilangan prima. SD Kelas V

Mari kita cari nilai peluang pada berbagai situasi. h.181

180

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3 Tujuan

Beragam Peluang Peserta didik dapat menentukan peluang bila semua kejadian memiliki kemungkinan yang sama. Bila dua uang logam A dan B dilempar bersamaan, berapakah peluang munculnya 1 angka dan 1 gambar?

Kita dapat melakukan beberapa percobaan dan menentukan frekuensi relatifnya.

Berapa banyakkah kemungkinan kasus yang terjadi?

Kita dapat berpikir tentang kasus dua uang logam yang dilempar dan munculnya gambar atau angka seperti berikut. Ada dua kasus yang mungkin ketika melempar uang logam A, yaitu gambar atau angka. Hal ini berlaku pula bagi uang logam B. Oleh karena itu, seperti tampak pada tabel atau diagram berikut, maka akan ada (2 × 2) total kasus yang akan terjadi. a

Membuat tabel untuk menyelidiki kasus-kasus A

b

Membuat diagram untuk menyelidiki kasus-kasus A

B (

, )

(

, )

(

, )

Nyatakan gambar dengan

Hasil

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

BAB 6 | Peluang

)

( ,

B

dan angka dengan .

Diagram seperti pada b dinamakan diagram pohon. Dalam kasus ini, masing-masing dari empat kasus (( , ), ( , ), ( , ), ( , )) memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi. Di antara mereka, terdapat dua kasus, yaitu ( , ), ( , ) yang memuat 1 gambar dan 1 angka, sehingga peluangnya adalah 2 1 = 4 2

Bab 6 Peluang

181

Soal 1

Soal 2

Diketahui dua uang logam A dan B dilempar bersamaan. Tentukanlah nilai peluang dari tiap kejadian berikut. 1

Kejadian munculnya dua gambar

2

Kejadian munculnya dua angka A

Diketahui tiga uang logam A, B, dan C dilempar bersama-sama. Tentukanlah nilai peluang munculnya kejadian dua gambar dan satu angka dengan menggunakan diagram pohon.

B

Nyatakan gambar dengan

Soal 3

C

Hasil

dan angka dengan

Dua orang A dan B bermain “Kertas-Batu-Gunting” satu kali. Tentukanlah peluang bila kedua pemain tersebut bermain seri, dengan menggunakan diagram pohon. Anggaplah bahwa kedua pemain memiliki kemungkinan yang sama.

H L E BI

DE K

AT

Kekeliruan d’Alembert d’Alembert (1717-1783), adalah seorang matematikawan dan fisikawan terkenal Prancis. Ia berpendapat bahwa bila sebuah uang logam dilempar dua kali, maka semua kejadian yang mungkin terjadi adalah 1 munculnya dua gambar 2 muncul satu gambar dan satu angka 3 muncul dua angka Selain itu, peluang setiap kejadian tersebut adalah 1 . 3 Kita sebut pemikiran ini sebagai “Kekeliruan d’Alembert”. Apa yang keliru dengan pemikiran d’Alembert?

182

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

d'Alembert (1717 - 1783) Sumber: scienceworld. wolfram.com

Contoh 1

Cara

Dua dadu berbeda ukuran, seperti gambar di sebelah kanan, dilempar bersamaan. Tentukanlah peluang kejadian bahwa jumlah kedua mata dadu adalah 9.

Kita dapat membuat tabel berikut untuk menentukan semua kemungkinan kejadian pelemparan dua dadu. Besar Kecil

(1 , 1)

(1 , 2)

(1 , 3)

(1 , 4)

(1 , 5)

(1 , 6)

(2 , 1)

(2 , 2)

(2 , 3)

(2 , 4)

(2 , 5)

(2 , 6)

(3 , 1)

(3 , 2)

(3 , 3)

(3 , 4)

(3 , 5)

(3 , 6)

(4 , 1)

(4 , 2)

(4 , 3)

(4 , 4)

(4 , 5)

(4 , 6)

(5 , 1)

(5 , 2)

(5 , 3)

(5 , 4)

(5 , 5)

(5 , 6)

(6 , 1)

(6 , 2)

(6 , 3)

(6 , 4)

(6 , 5)

(6 , 6)

Berdasarkan tabel, selidiki banyaknya kemungkinan jumlah kedua mata dadu adalah 9, dan tentukanlah peluang kejadian tersebut seperti berikut. (Peluang jumlah dua mata dadu 9) =

(Banyaknya kejadian muncul jumlah mata dadu 9) (Banyaknya semua kejadian pelemparan dua dadu) BAB 6 | Peluang

Penyelesaian

Semua kejadian pelemparan dua dadu ada sebanyak 36 kejadian, dan setiap kejadian memiliki peluang yang sama. Di antara semua kejadian itu, ada 4 kasus yang jumlah kedua mata dadunya 9, yaitu (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) 4 1 Oleh karena itu, peluangnya adalah = . 36 9 1 Jawaban: 9 Soal 4

Dua dadu berbeda ukuran dilempar bersamaan. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1

Tentukan peluang kejadian jumlah dua mata dadu 4.

2

Tentukan peluang kejadian jumlah dua mata dadu paling sedikit 10.

3

Peluang kejadian jumlah dua mata dadu manakah yang terbesar?

Bab 6 Peluang

183

Contoh 2

Cara

Ada sebuah undian dengan 2 tiket berhadiah dan 3 tiket tidak berhadiah dalam sebuah wadah. A mengambil sebuah tiket dari wadah ini tanpa pengembalian dan B mengambil tiket lain. Dalam kasus ini, tentukan peluang kejadian bahwa A akan memperoleh tiket berhadiah. Misalkan tiket berhadiah adalah 1 dan 2 , dan tiket tidak berhadiah adalah 3, 4, dan 5. Kemudian, buatlah diagram pohonnya. Sumber: Dokumen Puskurbuk

Penyelesaian

Bila A dan B mengambil masing-masing satu

A

tiket dari wadah dengan urutan seperti pada cerita di atas, maka seperti diperlihatkan pada

1

diagram pohon di sebelah kanan, akan terdapat 20 kejadian. Tiap kejadian memiliki peluang

Jadi,

2

3

(Peluang A mendapat tiket berhadiah) = 4

8 2 = 20 5 Jawaban: =

2 5

Pemenang

2

A B A A A A B A A A

3 4 5 1

muncul yang sama. Di antara 20 kejadian ini, ada 8 kejadian agar A memperoleh tiket berhadiah.

B

5

3 4 5 1 ① 2

4 5 1 2

3 5 1 2

3 4

Soal 5

Pada Contoh 2, tentukan peluang bahwa B akan memperoleh tiket berhadiah. Bandingkan hasilnya dengan peluang A memperoleh tiket berhadiah. Tentukan pula peluang kedua orang tersebut memperoleh tiket berhadiah.

Soal 6

Pada Contoh 2, bila ada 3 tiket berhadiah dan 2 tiket tidak berhadiah, tentukanlah peluang bahwa A akan memperoleh tiket berhadiah dan peluang B memperoleh tiket berhadiah.

Soal 7

Ada tiga kartu dan salah satu kartu tersebut merupakan tiket berhadiah. Bila ada tiga orang mengambil tiga kartu tersebut dalam urutan tertentu tanpa pengembalian, apakah peluang memperoleh kartu berhadiah bergantung pada urutan pengambilan? Jelaskan jawabanmu berdasarkan gagasan peluang.

Diskusi

184

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Contoh 3

Cara

Bila dua calon akan dipilih dari empat peserta didik, yaitu A, B, C, dan D secara acak, tentukan peluang bahwa peserta didik B dan peserta didik C akan terpilih. Dalam hal ini, urutan pemilihan tidak berpengaruh. Sebagai contoh, kasus terpilihnya A kemudian B sama saja dengan kasus terpilihnya B kemudian A. Nyatakan hal ini dalam bentuk {A, B} dan tentukan semua kasus berbeda yang akan terjadi.

B

Penyelesaian

Untuk memilih 2 dari 4 peserta didik, ada enam kemungkinan, yaitu {A,B},{A,C},{A,D} {B,C},{B,D} {C,D} Setiap kemungkinan ini memiliki peluang yang sama. Di antara kemungkinan ini, ada satu kasus, yaitu {B, C}, yang mana B dan C terpilih. Oleh karena itu, peluang terpilihnya mereka adalah 1 . 6 Jawaban:

1 6

A

C D A

B

C D A

C

B D A

D

B C

BAB 6 | Peluang

Kita anggap kejadian B-A sama dengan A-B.

Soal 8

Pada Contoh 3, tentukan peluang terpilihnya peserta didik D.

Soal 9

Akan dipilih secara acak 2 tim dari 5 tim sepak bola yang berbeda, yaitu A, B, C, D, dan E. Tentukan peluang tiap kejadian berikut. 1

Terpilihnya tim A dan E.

2

Terpilihnya tim C.

Bab 6 Peluang

185

Berdasarkan materi yang sudah kita pelajari, jelaskan masalah dadu di halaman 172 dan 173 menggunakan gagasan peluang. [ Aktivitas Matematis ] Pen erapan

Ada dua dadu dibuat dari jaring-jaring kubus yang dilipat seperti gambar di kanan. Bila dua dadu dilempar bersamaan, manakah di antara berikut yang akan mendapat “hadiah pertama” dan yang “kalah”? “hadiah pertama” diperoleh bila kejadian yang mungkin sulit terjadi, dan yang paling sering terjadi berarti “kalah”.

A C

B

A

B A

a

d

A

A

B

B

b

e

A

B

B

C

c

f

A

C

C

C

1

Berdasarkan hasil percobaan di halaman 173, apa dugaanmu terkait kasus-kasus yang terjadi?

2

Tunjukkan apakah dugaanmu benar atau tidak dengan menghitung peluang kejadian, dan diskusikan urutan hadiah-hadiahnya.

3

Diketahui dua dadu dilempar bersamaan. Jika kita menginginkan peluang kejadian {A, A} dan peluang kejadian {A, B} sama, bagaimana seharusnya kita mengubah jaring-jaring dadu yang ditunjukkan di atas, di mana paling sedikit A harus terjadi?

186

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Bagaimana bila ada kasus tidak ada C?

1

Mari Kita Periksa

Tabel berikut menyajikan banyaknya kelahiran menurut jenis kelamin dan rasio atau perbandingannya. Berdasarkan tabel, berapakah peluang lahir laki-laki dan peluang lahir perempuan?

1 Kemungkinan Kejadian [Hlm.175] S

Peluang

2

Laki-laki

Perempuan

Total Kelahiran

Total lahir

Rasio

Total lahir

Rasio

Tahun 17

1.062.530

545.032

0,513

517.498

0,487

18

1.092.674

560.439

0,513

532.235

0,487

19

1.089.818

559.847

0,514

529.971

0,486

20

1.091.156

559.513

0,513

531.643

0,487

21

1.070.035

548.993

0,513

521.042

0,487

22

1.071.304

550.742

0,514

520.562

0,486

23

1.050.806

538.271

0,512

512.535

0,488

24

1.037.231

531.781

0,513

505.450

0,487

Tahun

* Berdasarkan sensus dan Data Statistik Kementerian Kesehatan, Tenaga Kerja, dan Kesejahteraan

Tentukan peluang setiap kejadian berikut.

2 Bagaimana Cara Menentukan PeluangPeluang [Hlm.177] Cth. 2 [Hlm.180] S 6

1 2

Tentukan peluang dari setiap kejadian berikut.

3 Beragam Peluang [Hlm.182] [Hlm.184]

Sumber: google.co.id

1 S

1

Cth. 2

2

Bila sebuah uang logam dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya satu gambar. Bila dua dadu bersisi enam dilempar bersamaan, tentukan peluang munculnya mata dadu yang sama.

Bab 6 Peluang

187

BAB 6 | Peluang

3

Bila sebuah dadu dilempar, tentukan peluang munculnya dadu ganjil. Bila sebuah kelereng diambil dari sebuah kantong yang terdiri atas 3 kelereng merah, 2 kelereng putih, dan 7 kelereng biru, maka tentukan peluang kejadian masingmasing kelereng berwarna tertentu. Bila dadu bersisi-20 diberi nomor 1 sampai dengan 20 dilempar, maka tentukan peluang tidak munculnya mata dadu kelipatan 3.

Soal Ringkasan

BAB 6

Jawaban pada h.234

Gagasan Utama

1

Ketika melakukan percobaan melempar kancing, seperti gambar di kanan, frekuensi relatif kejadian kancing telungkup nilainya mendekati 0,53. Bila sebuah kancing dilempar, berapakah peluang kancing telungkup dan berapa pula peluang kancing telentang?

2

Periksa apakah tiap pernyataan berikut benar atau tidak? 1 2 3

4

3

Tentukan peluang untuk setiap kejadian berikut. 1 2 3 4

4

188

Ketika sebuah dadu dilempar, setiap mata dadu dari 1 sampai dengan 6 memiliki kemungkinan yang sama untuk muncul. Bila dadu dilempar sebanyak 60 kali, maka mata dadu 4 akan muncul tepat 10 kali. Bila sebuah uang logam dilempar 3 kali, setelah gambar muncul dua kali, maka peluang munculnya angka di lemparan ketiga lebih besar daripada peluang munculnya gambar. Bila dua uang logam dilempar bersamaan, peluang munculnya dua gambar sama saja dengan peluang munculnya 1 gambar dan 1 angka.

Bila ada 20 tiket dan 4 di antaranya berhadiah, maka tentukan peluang seseorang mendapat tiket berhadiah. Bila sebuah dadu dilempar dua kali, tentukan peluang kejadian munculnya jumlah mata dadu 6. Bila dua dadu dilempar bersamaan, tentukan peluang kejadian jumlah mata dadu adalah bilangan ganjil. Bila sebuah uang logam dilempar 3 kali, tentukan peluang munculnya 3 angka berturut-turut.

Ada satu tim terdiri atas 5 peserta didik, 3 lakilaki dan 2 perempuan. Bila dua peserta didik akan dipilih secara acak, tentukan peluang yang terpilih adalah 1 laki-laki dan 1 perempuan.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Penerapan

1

Bila ada 4 orang A, B, C, dan D membentuk satu tim estafet, berapa banyak urutan lari estafet yang dapat dibuat? Berapa kali kemungkinan A akan menjadi pelari ketiga?

2

Pada sebuah kantong terdapat 2 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Jika setiap kali pengambilan 1 kelereng diambil tanpa pengembalian, maka tentukan peluang tiap kejadian berikut. Bila dua kelereng diambil, tentukan peluang terambilnya satu kelereng merah dan satu kelereng putih secara berurutan. Bila diambil 3 kelereng, tentukan peluang terambilnya satu kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng merah secara berurutan.

1 2

3

4

Diketahui 3 orang A, B, dan C bermain “Kertas-Batu-Gunting” satu kali. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1

Berapa kasus berbeda bila 3 orang bermain “Kertas-Batu-Gunting”?

2

Tentukan peluang bahwa 3 orang bermain seri.

3

Tentukan peluang B menjadi pemenang.

Seperti ditunjukkan pada gambar di kanan, letakkan sebuah batu pada titik sudut A pada segi-5 beraturan ABCDE. Lempar sebuah dadu dua kali, dan gerakkan batu dari satu titik ke titik yang lain dengan aturan a dan b berikut. Kemudian, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

b

Langkah pertama, pindahkan batu dalam arah yang sama seperti tanda panah. Banyaknya perpindahan ditandai dengan mata dadu. Langkah kedua, pindahkan batu dengan arah berlawanan tanda panah, mulai dari posisi permulaan perpindahan pertama. Banyaknya perpindahan sesuai mata dadu.

B

E

C

BAB 6 | Peluang

a

A

D

1

Setelah pemindahan pertama, tentukan peluang bahwa batu akan berada di titik B.

2

Setelah pemindahan kedua, tentukan peluang bahwa batu akan berada di titik B.

Bab 6 Peluang

189

Soal Ringkasan

Bab 6

Penggunaan Praktis

1

Heru sedang menonton acara “Tebak di manakah hadiahnya?” di TV. Permainan ini dibawakan pembawa acara dan kontestan seperti berikut. Tebak Kotak Berhadiah Ada tiga kotak di depan kontestan. Satu di antaranya adalah kotak berhadiah. Pembawa acara mengetahui kotak mana yang merupakan kotak berhadiah.

[Prosedur] Saya pilih ini. 1

Pertama, kontestan memilih 1 kotak.

2

Pembawa acara membuka 1 kotak tak berhadiah dari 2 kotak yang belum dipilih.

3

Kontestan harus memutuskan apakah akan “mengubah” atau “tidak mengubah” kotak yang ia pilih.

Dibuka, 1 kotak tak berhadiah.

Haruskah saya ubah? Atau tidak?

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1

190

Jika kita putuskan untuk “tidak mengubah kotak” sejak mula-mula, prosedur 1 di atas menentukan apakah kita akan menang atau tidak. Bila 1 kotak dipilih dari 3 kotak, tentukan peluang bahwa kotak yang dipilih adalah berhadiah.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

2

Heru berpikir tentang situasi di mana seseorang harus memutuskan apakah akan “mengubah kotak” dari awal atau tidak seperti berikut. dan berilah penjelasan. Isilah

Penjelasan Heru

Bila pertama kali kita memilih kotak berhadiah, tidak masalah kotak mana pun yang dibuka oleh pembawa acara, maka kotak yang belum terbuka pastilah kotak tidak berhadiah karena keduanya memang kotak tidak berhadiah. Jika pertama kali kita memilih kotak tidak berhadiah,

Oleh karena itu, jika kita mengubah kotak, kita akan pasti memenangi permainan.

3

a

b

c

d

Mainkan “ubah kotak” 3 kali dan periksa apakah akhirnya kita akan dapat memilih kotak berhadiah. Mainkan “ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” secara bergantian dan periksa dengan cara mana kita akan menang. Mainkan keduanya “ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” 3 kali, lalu bandingkan hasilnya. Mainkan keduanya ‘ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” 100 kali, lalu bandingkan hasilnya.

Bab 6 Peluang

191

BAB 6 | Peluang

Heru menduga bahwa jika keputusannya adalah “mengubah kotak” dari awal, maka kita akan memiliki kesempatan menang lebih besar. Jika kita ingin memeriksa apakah dugaan ini benar atau tidak dengan percobaan, pilihlah cara paling tepat untuk mengerjakan percobaan dari a ~ d berikut.

Cer m

at i

Peluang Adanya Orang-Orang yang Memiliki Hari Ulang Tahun yang Sama Mari kita pikirkan “peluang terjadi adanya orangorang yang memiliki hari ulang tahun yang sama” di kelas. Sekarang misalkan ada 10 peserta didik di kelas dan misalkan 1 tahun 365 hari, serta lahir di tiap hari memiliki peluang yang sama. Pertama, mari pikirkan tentang “peluang bahwa kesepuluh peserta didik lahir di hari berbeda” berdasarkan prosedur berikut. 1

1

Kita dapat berpikir tentang kasus-kasus berbeda bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda seperti berikut. Peserta didik memiliki 365 kasus berbeda dalam hal ulang tahun. Untuk setiap kasus, buang hari ulang tahun peserta didik 1, sehingga peserta didik 2 memiliki 364 kasus berbeda dalam hal ulang tahun. Selain itu, untuk setiap kasus, dengan membuang hari ulang tahun peserta didik 1 dan peserta didik 2, akibatnya peserta didik 3 memiliki 363 kasus berbeda terkait ulang tahun. Dengan berpikir seperti ini, banyaknya kasus berbeda bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda adalah seperti berikut. 365 × 364 × 363 × … × 356

3

Sumber: Dokumen Puskurbuk

Banyaknya kasus berbeda dari 10 ulang tahun peserta didik adalah sebagai berikut. 365 × 364 × 363 × … × 356 = 36510

2

Tingkatkan!

2

Jika kita misalkan “peluang bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda” adalah p, maka menurut 1 dan 2 , diperoleh p=

(365 × 364 × 363… × 356) = 0,8830… 36510

Oleh karena itu, “peluang bahwa akan ada peserta didik (dari 10 peserta didik) akan memiliki hari ulang tahun yang sama” adalah… 1 – p = 1 – 0,883 = 0,117 Jika kita hitung dengan cara yang sama untuk kasus 20 orang, maka peluang bahwa ada orang-orang yang memiliki ulang tahun yang sama adalah 0,411; sedangkan 0,706 untuk 30 orang, dan untuk 40 orang yang relatif tinggi, yaitu 0,891. Apakah di kelasmu ada orang-orang yang memiliki ulang tahun yang sama? Buatlah dugaanmu berdasarkan gagasan peluang dan selidikilah! * 0,883; 0,117; 0,411.. adalah nilai-nilai pendekatan yang ditulis dalam tiga angka desimal.

192

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

an m a l a d Pe n M at e r i Manakah yang Memiliki Keuntungan?

1

Pada abad ke-17 di Eropa, masalah tentang jumlah pelemparan dadu merupakan hal yang menarik. Masalahnya adalah bila ada 3 dadu dilempar bersamaan, untuk kasus bahwa jumlah ketiga mata dadu adalah 9 dan jumlah mata dadu 10, manakah yang lebih menguntungkan? Mari kita pikirkan masalah ini. 1

Banyak orang berpikir bahwa akan ada 6 kasus berbeda sehingga jumlah mata dadu 9, dan 6 kasus berbeda agar jumlah mata dadu 10. Tidak masalah pilihan mana yang dipilih, itu akan memiliki kesempatan yang sama untuk menang. Tuliskan semua kasus untuk jumlah mata dadu 9 dan 10. Contoh jumlah mata dadu 9

2

Contoh jumlah mata dadu 10

BAB 6 | Peluang

Di sisi lain, penjudi merasa bahwa jumlah mata dadu 10 muncul sedikit lebih sering daripada yang berjumlah 9 berdasar pengalaman. Orang yang menjawab masalah ini adalah ilmuwan Italia bernama Galileo Galilei. Galileo menunjukkan bahwa jumlah mata dadu 10 memiliki peluang lebih besar menggunakan teori peluang. Berpikirlah seperti Galileo dan jelaskan soal ini.

Galileo Galilei (1564-1642) Sumber: biography.com

Sebagai contoh, berapa banyak kasus yang terjadi ?

Bab 6 Peluang

193

Matematika Lanjut ~ Halaman untuk Belajar Berkelompok ~ Pada bagian ini, kita akan menyajikan dan melaporkan apa yang telah kita pelajari dan pikirkan, serta mengaitkan ke bidang lain atau masalah-masalah di sekitar kita. Pilihlah topik yang menarik buatmu!

Menyajikan Hasil Penyelidikan

195

Menyiapkan Laporan

195

Contoh Laporan

196

Cara Presentasi

198

Mari Menyelidiki

200

Eksplorasi Matematika

202

Misteri Bilangan pada Baris ke-17

202

Tsurukame-Zan (Masalah Bangau dan Kura-Kura)

203

Misteri Luas Daerah

204

Menggambar Garis Tambahan

207

Pada Waktu Kapan Kedua Jarum Jam Saling Berimpit?

208

Isu-Isu Lingkungan Menggunakan Fungsi -Perubahan Suhu Udara Tahunan-

210

Sudut Segi Banyak Bintang Beraturan

212

Mengubah Segi Empat

214

Mari Menjadi Pascal dan Fermat

Tingkatkan!

Mari Menggunakan Metode Monte Carlo untuk Menemukan Nilai π

216

Mari Menyelidiki Sistem Braille

218

Apa yang Dimaksud Nilai Ekspektasi?

194

215

Tingkatkan!

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

220

Menyajikan Hasil Penyelidikan ~ Komunikasikan Gagasanmu kepada Orang Lain ~

Siapkan sebuah laporan untuk menuliskan gagasanmu. Dengan menyiapkan laporan, kamu akan membuat penemuan-penemuan atau akan bertanya tentang sesuatu yang belum kamu pelajari. Inilah sebagian hal paling penting dalam belajar matematika.

Menyiapkan Laporan

1

Pilihlah satu topik yang menarik atau yang membuat kamu penasaran. Pilihlah topik laporanmu berdasarkan minat dan ketertarikanmu dalam belajar matematika pada penerapannya pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, ketika kamu bertanya pada diri sendiri, “Mengapa?”, “Bagaimana keadaan suatu peristiwa?”, atau “Saya ingin tahu lebih banyak”. Apa yang membuatmu tertarik dalam kehidupan sehari-hari, akan membantu dalam memilih suatu topik.

2

Buatlah rencana pengumpulan data. Penting dicatat bahwa kamu tidak perlu melakukan penyelidikan sendiri, tetapi kamu seharusnya: Melakukan percobaan, observasi, dan penyelidikan Melakukan survei Mengumpukan informasi dari buku, koran, di perpustakaan, dan di internet Kamu hendaknya merencanakan proses pengumpulan data untuk mencapai tujuanmu.

3

Kumpulkan informasi, susun, dan analisislah informasi tersebut. Analisislah informasi atau data yang telah kamu kumpulkan, dan carilah beberapa karakteristiknya. Catat pula sumber informasinya. Kamu dapat menemukan banyak informasi dari internet. Namun, kamu harus menyadari informasi mana yang dapat dipercaya dan tidak.

4

Susunlah gagasanmu!

5

Sajikan laporanmu dan mintalah umpan balik dan komentar dari kawan-kawanmu. Sajikan laporanmu dan mintalah pertanyaan atau komentar tentang isi laporan dari temantemanmu. Selain itu, mintalah pertanyaan atau komentar tentang bagaimana kamu akan memperbaiki laporan ketika kamu berada di hadapan peserta yang hadir.

Matematika Lanjut

195

196

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Tulis apa yang hendak kamu cari, khususnya tentang konjektur dan alasannya.

Tulis alasanmu mengapa tertarik dengan topik ini, pertanyaanmu, mengapa dan bagaimana kamu mencoba menulis laporan tentangnya.

Pilih satu tema dari yang kamu sukai tentang matematika atau kehidupan sehari-hari.

Contoh Laporan

Motivasi:

SMP Kelas VIII, Nama

Hasil Penyelidikan Saya:

Hasil yang Saya Temukan:

4 – 2 = 2 Dugaan Genap 10 – 8 = 2

Selisih antara genap dan genap

11 – 7 = 4

3–1=2

Dugaan Genap

Selisih antara ganjil dan ganjil

Jika kita misalkan m dan n bilangan bulat, maka bilangan-bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2m genap dan 2n.

Selisih bilangan genap dan genap adalah 2m – 2n = 2(m – n).

Selisih bilangan genap dan ganjil adalah 2m – (n + 1) = 2(m – n) – 1.

Selisih antara genap dan genap

Jika kita misalkan m dan n bilangan bulat, maka bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2m genap dan bilangan ganjil (2n + 1).

Selisih antara genap dan ganjil

Selisih bilangan ganjil dan ganjil adalah 2m + 1 – ( 2n + 1) = 2(m – n).

Jika kita misalkan m dan n bilangan bulat, maka bilangan-bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan 2m + 1 dan 2n + 1.

Selisih antara ganjil dan ganjil

Saya jelaskan dengan bentuk-bentuk aljabar serupa dengan kasus jumlah bilangan seperti berikut.

3

2 – 1 = 1 Dugaan Ganjil 11 – 6 = 5

Selisih antara genap dan ganjil

Saya peroleh hasil berikut dengan membuat dugaan melalui bilangan-bilangan khusus.

2

Pada Bab 1, h.28-29, saya telah dapat menjelaskan bahwa jumlah dua bilangan adalah ganjil atau genap. Sekarang, saya akan menyelidiki selisih dari bilangan-bilangan, apakah selisih tersebut akan ganjil atau genap?

1

Selisih Dua Bilangan?

Hari, Bulan, Tahun

Tulis cara-cara berpikir atau metode yang kamu pelajari dari pelajaran yang telah kamu gunakan.

Aturlah peran tiap anggota untuk membuat laporan secara lebih efisien.

(Bila berkelompok) tulis nama anggotamu.

Tulis tanggal penulisan laporan.

Matematika Lanjut

197

Komentar:

Karena m – n bulat, 2(m – n) adalah genap. Jadi, selisih bilangan genap dan genap adalah genap. Karena m – n bulat, 2(m – n) adalah genap. Jadi, selisih bilangan ganjil dan ganjil adalah genap.

Komentar:

m hasil bagi 2m ÷ 2n = n

hasil kali 2m × 2n = 2(2mn)

Genap dan genap

hasil kali (2m + 1) × (2n + 1) hasil bagi (2m + 1) ÷ (2n + 1)

Ganjil dan ganjil

Tulis kesulitan yang kamu hadapi dan hal-hal yang dikerjakan selama penyelidikan.

Buat laporanmu mudah dipahami secara sepintas, menggunakan diagram, tabel, grafik ilustrasi, dan sebagainya.

Sajikan hasil penyelidikanmu dalam kelompok, dengan mengacu "Cara Presentasi" pada halaman berikut.

Saya dapat menjelaskan dengan mudah apakah selisih dua bilangan itu genap atau ganjil. Namun, terkait perkalian dan pembagian, saya tak dapat dengan pasti menghitungnya. Jadi, saya akan coba menyelidikinya lagi.

5

hasil kali 2m × (2n + 1) hasil bagi 2m ÷ (2n + 1)

Genap dan ganjil

Saya dapat menjelaskan dengan mudah apakah selisih dua bilangan itu genap atau ganjil. Namun, terkait perkalian dan pembagian, saya tidak dapat dengan pasti menghitungnya. Jadi, saya akan coba menyelidikinya lagi.

4

Daftarkan referensi yang kamu gunakan (jika ada). Contoh referensi Penulis, (Tahun). Judul Buku. Penerbit. Bagian Statistika, Kementerian Urusan Dalam Negeri dan Komunikasi

Tulis yang membuatmu tertarik untuk diselidiki lebih lanjut.

Tulis hal-hal yang tidak kamu temukan dalam penelitian (bila ada)

Tulis apa yang kamu temukan dari refleksi penyelidikan dan pemikiran mu

Karena m-n bulat, 2(m – n) – 1 adalah ganjil. Jadi, selisih bilangan genap dan ganjil adalah ganjil.

Cara Presentasi Presenter seharusnya…. Menyajikan dengan cara yang membuatmu mampu menyampaikan harapan, gagasan, dan pemikiran kepada orang lain. Menyajikan dengan jelas apa yang kamu temukan dan apa yang ingin kamu katakan kepada orang lain. Memikirkan urutan penjelasan, kapan perlu menyajikan tabel dan kapan pula perlu menyajikan grafik. Berusaha membuat hadirin mudah memahami laporanmu, seperti dengan cara membagikan handout (bahan presentasi). Memilih kata yang mudah dipahami dan menggunakan volume suara dan kecepatan yang tepat saat berbicara. Membedakan antara apa yang dipelajari dan apa yang ditemukan dalam penyelidikan. Memberi informasi kepada hadirin tentang usaha yang telah dilakukan dan hal-hal yang belum ditemukan.

198

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Peserta presentasi (hadirin) seharusnya…. Mendengarkan dan memahami harapan, gagasan, dan pemikiran presenter. Membuat catatan tentang materi yang diperhatikan ketika mendengarkan penyajian temanmu. Belajar dan menggunakan hal-hal penting tentang isi dan cara penyajian presenter sebagai rujukanmu dalam presentasi kelak. Memperhatikan ide-ide matematis yang menjadi landasan matematis, dan cara berpikir matematis yang mendasari penalaran yang digunakan. Membandingkan gagasanmu dengan gagasan orang lain. Memberi komentar atau pertanyaan setelah presentasi, atau memberi catatan kepada presenter tentang apa yang ingin kamu katakan atau tunjukkan.

Matematika Lanjut

199

Mari Menyelidiki Selidiki dan laporkan topik yang menarik bagimu di antara topik-topik berikut!

Mari Coba “Sangaku”! “Wasan” adalah matematika asli Jepang masa periode Edo yang bertahan di era Perang Dunia I. “Jinko-ki” yang ditulis oleh Mitsuyoshi Yoshida (1598-1672) adalah buku teks terkenal permulaan Wasan. Salah satu alasan sehingga Wasan menjadi terkenal adalah karena “Sangaku”. Sangaku adalah lempengan kayu yang memuat pertanyaan asli tentang matematika di atasnya dan didedikasikan untuk candi atau kuil, dan berfungsi sebagai papan buletin dari masyarakat lokal untuk kegiatan kompetisi dan berbagi gagasan matematika. Berikut ini merupakan pertanyaan Sangaku yang disederhanakan, didedikasikan untuk Kuil Haruna (Kota Takasaki, Provinsi Gunma). Mari kita coba jawab pertanyaannya!

Seperti yang kamu lihat, gambar berbentuk cincin di sebelah kanan memuat lingkaran-lingkaran berdiameter sama yang saling berkait. Berapakah selisih antara luas daerah yang tak diarsir dan luas daerah yang diarsir jika pusat-pusat lingkaran dihubung-hubungkan?

Penjelajah Matematika Lintas Negeri—Kazu Yamaguchi Orang-orang yang di kemudian hari dinamai “Yu reki san ka” (matematikawan yang menjelajah lintas negeri) telah berkontribusi dalam penyebaran “Wasan” dalam skala nasional. Salah satu dari mereka adalah Kazu Yamaguchi (1781-1850). Ia lahir di Suibara, Echigo (kini bernama Agano, Niigata) dan mempelajari Wasan di Edo (kini bernama Tokyo) serta menjelajah berbagai tempat di Jepang. Ia disambut di setiap tempat sebagai “Guru agung Matematika yang datang dari Edo!” atau sebagai penyair dan sebagainya. Serta, ia tinggal untuk sementara waktu untuk mendukung atau memperkaya matematika masyarakat lokal. Mari kita selidiki Kazu Yamaguchi atau si spesialis “Wasan”.

200

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Thales: Orang Pertama yang Menyajikan Pembuktian Mesir Kuno telah memiliki peradaban sejak sekitar tahun 3000 Sebelum Masehi. Di Mesir, bila musim hujan tiba, Sungai Nil selalu meluap mengakibatkan banjir, membuat tanah subur. Namun, garis batas antarpetak sawah/kebun hilang. Orang-orang yang disebut ahli “tali tandu” berkontribusi dalam menjaga ukuran tanah dengan menggunakan tiang dan tali.

N W

E S

Untuk hal itu, mereka perlu menentukan arah Utara-Selatan dan Timur-Barat berdasarkan pergerakan bintang dan bayangan matahari. Pada abad ke-6 Sebelum Masehi, Filosof Yunani Thales (624-547 SM) belajar metode menggambar dari para tukang “tali tandu” dan biarawan ketika ia tinggal di Mesir. Meski bangsa Mesir menggunakan ilmunya untuk kegunaan praktis, Thales dikenal sebagai filosof pertama yang dapat menjelaskan dan membuktikan ilmu/pengetahuan bangsa Mesir secara teoretis. Mari kita selidiki apa saja yang telah dibuktikan oleh Thales.

Hubungan antara GPS dan Sistem Persamaan

Tingkatkan!

GPS (Global Positioning System) diinstal pada berbagai alat, seperti Sistem Navigasi mobil dan Telepon Pintar. GPS adalah sebuah sistem yang menunjukkan koordinat dan lokasi terkini. Benda ini menerima gelombang radio dari berbagai satelit dan menghitung jaraknya dari satelitsatelit tersebut. Gagasan sistem persamaan digunakan untuk sistem ini. Mari kita selidiki bagaimana sistem persamaan digunakan dalam GPS.

Matematika Lanjut

201

Eksplorasi Matematika

Misteri Bilangan pada Baris ke-17

1

Mari kita hitung berikut ini dengan menggunakan tabel di sebelah kanan. I

Isilah baris ke-1 dengan sembarang bilangan yang kamu sukai dari 1 sampai dengan 9. II Isilah baris ke-3 dengan menjumlahkan baris ke-1 dan 5 pada baris ke-2. (Tapi, hanya tulis angka satuannya saja jika jumlahnya berupa bilangan lebih dari dua angka.) III Isilah baris ke-4 dengan bilangan pada baris ke-2 dan baris ke-3. Ulangi dengan proses yang sama untuk mencari baris-baris berikutnya, dan terus lakukan perhitungan hingga kamu mencapai baris ke-17.

Contoh ke-1

3

ke-2

5

ke-3

8

ke-4

3

ke-5

1

ke-6

4

ke-7

5

5

5

ke-8 ke-9 ke-10

Dari perhitungan yang kamu lakukan, apa yang kamu temukan?

2

3

Pada bagian 1, jika bilangan pada baris ke-2 diganti dengan selain 5, apa yang akan terjadi? Buat dugaanmu dan selidikilah! Jelaskan hal yang kamu temukan di gunakan variabel.

1

dan

2,

meng-

ke-11 ke-12 ke-13 ke-14 ke-15 ke-16 ke-17

Jika kita misalkan bilangan pada baris ke-1 adalah a, bilangan pada baris ke-2 adalah b, maka bilangan pada baris ke-3 dapat dinyatakan dengan a + b, bilangan pada baris ke-4 dapat dinyatakan dengan b + (a + b) = a + 2b. Lakukan terus perhitungan dan nyatakan bilangan-bilangan dengan a dan b hingga baris ke-17 secara berurutan. Bacalah bentuk aljabar terakhir yang kamu peroleh dan jelaskan apakah yang kamu temukan itu.

202

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

ke-1 ke-2 ke-3 ke-4

a b a+b a + 2b

5

Tsurukame-Zan (Masalah Bangau dan Kura-Kura)

Di Jepang, ada masalah matematika terkenal yang dinamakan “Tsurukame-zan (Masalah Bangau dan Kura-Kura)” di akhir Sekolah Dasar dan permulaan Sekolah Menengah Pertama. Masalah ini diperkenalkan dalam buku matematika China Kuno yang muncul di buku teks matematika Jepang pada zaman Edo. Dalam “Sunzi Suanjing”, buku negeri Tiongkok (sekitar abad 3 dan 5), permasalahannya adalah sebagai berikut.

Terjemahan

Sejumlah burung pegar dan kelinci berada dalam satu kandang. Bila dalam kandang tersebut ada 35 kepala dan 94 kaki, berapa banyak burung pegar dan kelinci yang ada dalam kandang tersebut?

Untuk masalah ini, metode penyelesaian dalam buku diinterpretasi seperti berikut. I II III

1

Bila kita lipat gandakan banyaknya kepala, yaitu 35, maka akan menjadi 70. Bila banyaknya kaki 94 dikurangi 70, maka akan diperoleh 24. 24 dibagi 2 menghasilkan 12, yaitu menyatakan banyaknya kelinci.

Banyaknya kaki untuk tiap kepala adalah 2 dalam kasus burung pegar, dan 4 dalam kasus kelinci. Jika dalam kandang hanya ada burung pegar, maka banyaknya kaki adalah 70 sebab banyaknya kepala 35. Selisih 25 menunjukkan banyaknya ….

Bila banyaknya burung pegar dinyatakan dengan x dan banyaknya kelinci dinyatakan dengan y, maka buatlah sistem persamaan dan selesaikan!

Situasi masalah burung pegar dan kelinci diganti oleh masalah bangau dan kura-kura (Tsurukame-zan) setelah dibawa ke negeri Jepang. Salah satu alasan pengubahan situasi ini adalah bahwa kura-kura dan bangau menggambarkan keberuntungan untuk panjang umur di Jepang: Peribahasa menyatakan bahwa “kura-kura hidup 10 ribu tahun dan bangau hidup seribu tahun”. (Di peribahasa China: kura-kura hidup tiga ribu tahun). Selain itu, jika kura-kura menggerakkan kedua kaki depannya, maka kura-kura dapat dipandang sebagai bangau yang bertumpu pada kaki belakangnya.

Matematika Lanjut

203

Misteri Luas Daerah

1 Tentukan luas daerah

dan persegi kecil di sebelah kanan. A

B

pada grid atau A

B

Untuk menentukan luas daerah pada sebuah grid, untuk kasus A , luas daerah mudah ditentukan, tetapi untuk kasus B , luas daerah sulit ditentukan. 1 cm

Pada sebuah grid, titik perpotongan antara garis vertikal dan horizontal dinamakan titik latis. Perhatikan titik-titik latis pada bagian dalam dan pada gambar, lalu selidikilah luas daerahnya. Titik Latis

2

Bangun datar dengan satu titik latis di bagian dalam. 1

Tentukan banyaknya titik latis pada gambar tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah. a

2

204

b

c

Banyaknya titik latis

x (titik)

Luas Daerah

y (cm2)

a

~

e

, tentukan luas daerahnya, dan

e

d

a

b

3

4

c

d

e

Jika kita misalkan luas daerah dengan y ketika banyaknya titik latis pada gambar adalah x, maka nyatakan y dalam x.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3

Bangun datar dengan dua titik latis di dalam. 1 2

Carilah banyaknya titik latis pada gambar f ~ i , tentukan luas daerahnya, dan tuliskan hasilnya pada tabel di bawah. Buat dua gambar dengan dua titik latis di bagian dalam h dan i , dan selidiki dengan cara yang sama. f

h

i

f

3

4

Banyaknya titik latis

x (titik)

Luas Daerah

y (cm2)

h

i

Nyatakan y dalam x.

Bangun datar dengan tiga titik latis di bagian dalam. Selidiki dengan cara yang sama seperti dalam k

l

3

dan nyatakan y dalam x.

m

k

Banyaknya titik latis

x (titik)

Luas Daerah

y (cm2)

l

m

Matematika Lanjut

205

5

Bangun datar tanpa titik latis di dalam. Selidiki dengan cara yang sama seperti pada nyatakan y dalam x. p

q

dan

4

di halaman sebelumnya, dan

r

p

6

3

Banyaknya titik latis

x (titik)

Luas Daerah

y (cm2)

q

Rangkumlah hasil-hasil sebelumnya ke dalam sebuah tabel dan buat dugaan hubungan antara x dan y ketika banyaknya titiktitik latis dalam gambar meningkat menjadi 4, 5, …. Selain itu, misalkan banyaknya titik latis adalah n, dan nyatakan y dalam x dan n.

r

Banyaknya titik latis

Persamaan

0 1

1 y= x 2

2 3

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

n

…

206

Periksa apakah bentuk aljabar yang diperoleh pada bagian 6 berlaku dengan cara membuat berbagai bentuk gambar bangun datar.

…

7

Menggambar Garis Tambahan ℓ

1

50°

Bila ℓ⫽m pada gambar, carilah ∠x menggunakan dua cara berbeda 1 dan 2 . Jelaskan bila ada metode lainnya. 1

Buat garis n yang melalui titik P dan sejajar garis m.

m

35° B

2

Perpanjang garis AP dan misalkan perpotongannya dengan m adalah C. A

ℓ 50°

50° a b P 35°

n m

x

P

A

ℓ

A

P c

m

x 35°

C

B

Seperti yang kamu lihat dari garis n di

1

dan garis PC di

2

B

, garis-garis yang dibuat untuk

mendukung pemahaman dinamakan garis-garis tambahan.

2

Jika kita sedikit mengubah kondisi soal

1,

kita dapat membuat soal lanjutan. Mari kita

cari ∠x ketika kondisinya diubah seperti berikut. 1

Geser titik P ke bawah garis m. ℓ

A

3

A 50° P x

m

Q 60°

m

B

B

20°

P

Tambahkan titik Q antara garis ℓ dan m. ℓ

50°

x

2

Buat garis ℓ dan m berpotongan. A

ℓ

Garis tambahan apa yang seharusnya kita buat?

50° 30°

P

x 20°

B m

Dengan menggunakan gagasan mengubah kondisi seperti bagian soal lanjutan dan menyelesaikannya.

2,

mari kita buat soal-

Matematika Lanjut

207

Pada Waktu Kapan Kedua Jarum Jam Saling Berimpit?

Ketika Tino menelepon sang paman untuk mengunjungi rumahnya, sang paman berkata, “Jika kamu datang tepat saat kedua jarum jam berimpit antara pukul 3.00 dan 4.00 sore, saya akan memberi cemilan kesukaanmu!” Pada pukul berapa Tino hendaknya mengunjungi rumah pamannya?

(360°) 0°

270°

90°

180°

1

(360°) 0°

Mari kita pikirkan hal ini dengan urutan berikut. 1

2

3 4

Berapa kali jarum jam pendek dan jarum jam panjang berputar dalam satu menit? Misalkan 0° menyatakan pukul 12, dan y° menyatakan x menit setelah jam 3 sore, pergerakan jarum jam pendek dapat dinyatakan sebagai garis 1 pada grafik. Mari kita gambar pergerakan jarum jam panjang pada grafik (nyatakan sebagai 2 ). Mari kita baca waktu perkiraan ketika kedua jarum jam berimpit. Tulis garis 1 dan 2 dan carilah waktu saat kedua jarum jam berimpit.

90°

270°

180°

y (°) 360 270 180 1

90

O

208

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

30

60

x (menit)

Mari kita ubah kondisi di halaman sebelumnya dan cobalah jawab pertanyaan-pertanyaan berikut! y (°)

2

Jarum panjang dan jarum pendek berimpit ketika pukul 12.00. Pada pukul berapa lagi keduanya akan berimpit? Mari kita cari menggunakan cara seperti pada bagian 1 di halaman sebelumnya. (360°) 0°

360 270 180 90 O

30

Bila kamu tahu saat kedua jarum jam berimpit, bagus!

180°

4

x (menit)

90°

270°

3

60

Dua jarum jam berimpit setiap kali jarum panjang melewati jarum pendek. Berapa kali kedua jarum jam berimpit dalam sehari? Mari kita cari semua waktu ketika kedua jarum jam berimpit.

Pada pukul berapakah jarum panjang dan jarum pendek membentuk garis lurus antara pukul 3.00 dan 4.00? Mari kita perkirakan waktunya dari grafik di halaman sebelumnya. Mari kita cari waktu-waktu tersebut dengan perhitungan.

(360°) 0°

270°

90°

180°

Selain yang telah kamu selidiki, banyak pertanyaan terkait jarum panjang dan pendek dapat dibuat dengan mengubah kondisi. Buatlah soal asli buatan sendiri dan selesaikan!

Matematika Lanjut

209

Isu-Isu Lingkungan Menggunakan Fungsi –Perubahan Suhu Udara Tahunan–

Grafik 1 menyajikan perbedaan suhu udara dari rata-rata suhu tahunan (selisih dari suhu normal) di Jepang dari 1989 hingga 2013. Meskipun beberapa kondisi memengaruhi suhu udara, dapat dikatakan bahwa perubahannya sepanjang di atas garis a . Jadi, terdapat kecenderungan pemanasan global. (°C)

1,5 1,0 0,5

a

0 –0,5 –1,0 –1,5 –2 1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

2030 (tahun)

Grafik 1. Perbedaan Suhu Rata-Rata Tahunan di Jepang Catatan

1

2

Perhitungan perbedaan suhu rata-rata tahunan di Jepang berdasarkan pengamatan di 17 tempat di seluruh wilayah negeri ini. Di sini, rata-rata suhu udara selama 30 tahun dari 1981 hingga 2010 digunakan sebagai suhu normal.

Berapa besar peningkatan temperatur yang dapat kamu baca pada grafik selama 100 tahun antara tahun 1900 dan 2000 di negeri Jepang? Mari kita diskusikan hal lain apa saja yang dapat didiskusikan berdasarkan grafik.

Terdapat banyak teori dan pendapat tentang penyebab pemanasan global. Secara umum, dikatakan bahwa peningkatan dari emisi gas rumah kaca, seperti karbon dioksida (CO2) adalah penyebab utamanya.

210

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Grafik 2 menunjukkan perbedaan suhu rata-rata tahunan di Tokyo (Otemachi, Chiyoda) antara 1989 dan 2013. Di wilayah perkotaan seperti Tokyo, “Efek PulauPanas”, di mana suhu di wilayah perkotaan lebih tinggi daripada suhu di daerah pedesaan sekitarnya, telah terjadi. Penyebabnya adalah peningkatan jumlah emisi panas karena pertumbuhan populasi dan peningkatan penggunaan energi, serta akumulasi panas dalam beton dan aspal.

Sumber: gettyimages.com

(°C) 18 b

17

16

15

14

13

12 1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

2030 (tahun)

Grafik 2. Suhu Rata-Rata Tahunan di Tokyo

3

Mari kita selidiki hal-hal berikut berdasarkan Grafik 2. 1

Mari kita baca suhu rata-rata tahunan antara 1900 dan 2000.

2

Misalkan b sebuah garis yang menunjukkan perubahan suhu dan y suhu rata-rata tahunan dalam x tahun setelah 1900. Nyatakan y dalam x sebagai sebuah persamaan.

3

Andaikan perubahan suhu rata-rata tahunan yang kita selidiki di 1 adalah sebuah fungsi linear. Berapa suhu yang kita harapkan pada tahun 2050 di Tokyo?

Data cuaca masa lalu di setiap wilayah Jepang dapat dibaca di “data dan dokumen” pada laman website Badan Meteorologi Jepang. Mari kita cari perubahan suhu rata-rata tahunan di wilayahmu dan buatlah grafiknya. [Japan Meteorology Agency Data and Documents http:// www.jma.gp.jp/jma/menu/report.html]

Matematika Lanjut

211

Sudut Segi Banyak Bintang Beraturan

Pada gambar di sebelah kanan diberikan 5 titik pada keliling lingkaran yang ditempatkan berjarak sama satu sama lain. Dengan menghubungkan titik-titik dari titik permulaan ke titik kedua (satu titik dilewat), kemudian dihubungkan lagi ke titik lain (melewati satu titik pula) dalam arah yang sama hingga kembali ke titik semula, maka gambar yang terbentuk dinamakan segi banyak bintang beraturan. Seperti yang telah kita selidiki di halaman 137, jumlah sudutsudut dalam dari segi-5 bintang adalah 180°. Sehingga, satu titik sudut pada segi-5 bintang beraturan besarnya adalah 36°.

1

Gambar di sebelah kanan dibentuk dengan cara menghubungkan titik ke-3 pada keliling lingkaran yang telah dibagi menjadi 7 bagian. Carilah jumlah sudut-sudut dalam dari semua titik sudut segi banyak bintang tersebut, lalu tentukan besar sudut untuk tiap titik sudutnya. Kita dapat menggunakan ide segi-5 bintang.

2

Pada gambar di sebelah kanan, kita hubungkan setiap titik ke-2. Hitunglah jumlah semua sudut dalam dari segi banyak bintang tersebut, dan tentukan pula ukuran untuk tiap sudutnya.

Gambar 1 dan 2 dinamakan segi-7 bintang beraturan. Jika kita coba kemungkinan lainnya, kamu hanya akan temukan dua buah segi-7 bintang beraturan.

212

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

360 360

360

360

360

Selanjutnya, mari kita selidiki bangun yang dibentuk dengan membagi lingkaran ke dalam 8 dan 9 bagian.

3

4

Gambar di sebelah kanan menunjukkan sebuah keliling lingkaran yang telah dibagi ke dalam 8 bagian. Tanpa menghubungkan 2 titik berdekatan, bagaimana seharusnya kita hubungkan titik-titik agar kita kembali ke titik permulaan? Cari pula jumlah sudut-sudut dalam dari ke-8 titik sudut pada segi banyak bintang yang terbentuk.

Pada gambar berikut, keliling lingkaran telah dibagi ke dalam 9 bagian. Buatlah gambar bangunnya dan carilah jumlah semua sudut dalam dari ke-9 titik sudut pada segi banyak bintang yang terbentuk (serupa pertanyaan 3 ).

Kita dapat menggambar dengan dua cara.

Gambar yang dibuat pada 3 dan 4 berturut-turut dinamakan segi-8 bintang beraturan dan segi-9 bintang beraturan. Mulai dari segi-5 bintang beraturan hingga segi-7 bintang beraturan, kesemuanya dinamakan segi banyak bintang beraturan. Berdasarkan hal yang telah kita selidiki, rangkumlah hasil pengamatanmu tentang segi banyak bintang beraturan.

Matematika Lanjut

213

Mengubah Segi Empat

Buatlah dugaan tentang

1

1

dan

2

berikut dan selidiki dengan menggunakan lampiran

6

.

Pada gambar berikut, misalkan titik-titik tengah dari tiap sisi segi empat ABCD berturutturut adalah E, F, G, dan H. Potonglah segi empat ABCD sepanjang segmen EG dan HF, kemudian himpitkan sudut-sudut a, b, c, dan d di titik A. Bangun berbentuk apakah yang terjadi?

c A

A a

b

H D

E

I

d

a d

d

D

G B

2

c

b F

C

b

c

C

Ubah Gambar 1 sedikit dan misalkan ruas-ruas garis dari titik F dan H yang tegak lurus EG berturut-turut adalah FI dan HJ. Potong segi empat ABCD sepanjang segmen EG, FI, HJ dan impitkan lagi sudut-sudutnya seperti di soal 1 . Lihat bangun berbentuk apakah yang terjadi? A

E

D

I

d J

B

Dapatkah kamu jelaskan mengapa hasilnya berupa segi empat lagi?

H

a

214

B

G c

b F

C

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Tingkatkan!

Mari Menjadi Pascal dan Fermat

Pascal menerima soal serupa seperti pada halaman 179 dari Chevalier de Mere. Pascal bertukar gagasan dengan Fermat melalui surat-menyurat untuk menyelesaikan soal tersebut. Andaikan A dan B memiliki peluang menang yang sama. Mari kita menjadi Pascal dan Fermat untuk memecahkan soal tersebut.

1

Sumber: Dokumen Puskurbuk

Dengan bertukar surat, Pascal dan Fermat menyimpulkan bahwa adalah hal yang adil untuk membagi uang berdasarkan peluang kemenangan masing-masing setelah para pemain berhenti bermain. Bila mereka bermain 3 kali, A menang 2 kali dan B menang sekali. Bila dimisalkan mereka main 5 kali, maka berapa kali A akan menang? Lengkapi diagram berikut dan selesaikan! 4 kali

5 kali

A menang 2 kali B menang 1 kali A menang:

A kalah:

1.

2

Carilah peluang A dan B memenangi permainan berdasarkan diagram pada soal

3

Mao menemukan peluang kemenangan berturut-turut untuk A dan B, dengan cara membuat diagram untuk menjawab masalah Mere. Jelaskan cara pemecahannya! 4 kali

5 kali

1 2 1 … 4 1 … 4 …

A menang 2 kali B menang 1 kali

4

A menang:

A kalah:

Seperti yang ditanyakan Mere, jika kita misalkan pemenang adalah seseorang yang menang 3 kali pertama, bagaimana kita dapat membagi uang secara adil bila mereka berhenti setelah A menang 2 kali?

Matematika Lanjut

215

Mari Menggunakan Metode Monte Carlo untuk Menemukan Nilai π Diagram pada halaman berikut menunjukkan susunan bilangan dari 0-9 secara acak dengan peluang munculnya pada diagram adalah sama. Susunan bilangan ini dinamakan “angka acak” dan tabelnya dinamakan “tabel angka acak”. Mari kita mencari nilai π menggunakan tabel angka acak tersebut.

1

2

Gambar di sebelah kanan menunjukkan sebuah persegi dan sebuah juring dengan sudut pusat 90°. Mari kita cari perbandingan luas daerah kedua gambar tersebut.

a cm

Mari Melakukan Percobaan Metode Percobaan

I II

III IV

3

a cm

Buatlah sumbu-sumbu koordinat, persegi, dan juring seperti pada gambar di sebelah kanan. Cari dua bilangan 2-angka secara berurutan pada tabel angka acak. Sebagai contoh, dalam kasus 36 dan 20, tentukan titik (36, 20) pada diagram. Ulangi langkah Ⅱ 100 kali. Cari banyaknya titik pada juring.

y 100

(36, 20) O

Coba cari nilai berdasarkan hasil 1 dan 2 . Mari kita juga pikirkan hasilnya ketika meningkatkan banyaknya percobaan.

Metode perhitungan menggunakan tabel angka acak ini dinamakan metode Monte Carlo, sebuah tempat di Kerajaan Monako, yang terkenal dengan kasinonya.

Monte Carlo, Monako Sumber: monte-carlo.mc

216

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

100

x

Tabel Angka Acak 34 81 52 07 54

53 22 42 76 82

05 93 19 32 49

23 62 72 35 34

97 08 84 60 56

41 34 86 93 00

29 74 66 53 28

07 91 65 40 52

38 44 76 36 27

92 97 88 47 26

93 48 38 55 94

09 18 31 16 78

80 69 21 90 45

89 16 46 23 26

16 06 69 28 63

94 68 20 43 68

97 29 05 32 19

51 72 67 92 80

32 33 36 73 52

29 28 12 89 49

49 55 25 67 18

64 06 97 71 43

30 68 33 60 59

83 03 40 20 77

89 99 26 27 93

70 26 71 02 09

57 86 00 57 31

49 27 99 39 53

64 94 16 20 77

73 45 60 66 89

42 82 45 10 66

05 67 78 93 79

07 81 19 75 37

31 61 81 96 27

90 11 64 01 57

33 49 98 63 28

31 69 54 38 62

14 26 74 04 16

54 35 08 83 17

84 39 20 91 40

82 03 43 82 42

11 95 01 64 54

69 76 08 92 37

95 92 65 18 80

34 17 94 20 36

88 13 79 28 73

57 20 96 00 59

33 12 50 84 37

42 48 55 32 18

05 70 91 67 04

65 05 10 95 52

30 51 47 38 21

46 76 35 13 05

11 67 61 66 80

71 21 08 95 54

80 91 30 23 62

63 68 72 50 48

34 64 95 03 40

93 53 16 48 81

19 70 52 57 82

13 88 56 74 58

67 21 42 41 98

65 32 90 74 36

20 81 07 88 57

77 12 42 50 00

75 87 71 24 17

52 59 79 35 90

83 68 43 58 60

63 07 94 37 92

14 00 35 16 48

50 40 74 02 37

57 54 02 93 06

89 20 51 49 62

27 53 15 98 26

36 48 61 12 92

01 81 55 14 89

84 79 09 26 50

23 42 63 98 65

43 92 32 75 70

65 53 94 73 42

13 28 94 32 11

48 10 40 19 70

75 98 11 55 20

49 50 33 39 68

23 94 02 98 38

03 95 81 17 43

73 05 71 31 83

43 29 24 64 13

99 52 61 77 56

58 07 64 43 92

13 08 81 95 87

85 78 20 96 56

88 51 87 12 39

72 62 95 26 20

89 75 53 76 62

06 23 35 88 36

45 93 66 71 35

47 62 57 11 81

62 09 35 65 74

15 92 06 04 21

Cara Menggunakan Tabel Angka Acak (Contoh)

Cara untuk mengambil bilangan dua angka dari tabel: 1 2

Tutuplah matamu dan tempatkan pensil di atas meja. Misalkan pensil menunjuk baris ke-2 dan kolom ke-6. Mulai dengan 3 dan bergerak ke kanan (boleh juga kalau bergerak ke atas atau ke bawah) dan ambil dua bilangan secara berurutan 36, 20, 83, 47, 49,… lanjutkan untuk mengambil bilangan 2-angka. Kolom ke-6 Baris ke-2

3

34 53 05 23 97 81 22 93 62 08 52 42 19 72 84

41 29 07 38 92 34 74 91 44 97 86 66 65 76 88

93 09 80 89 16 48 18 69 16 06 38 31 21 46 69

Bila kamu mencapai bagian akhir kanan tabel, bergeraklah ke kiri di baris berikutnya.

Matematika Lanjut

217

Mari Menyelidiki Sistem Braille Di ruang-ruang publik, seperti stasiun atau bangunanbangunan publik, terdapat tampilan-tampilan yang ditulis dalam sistem Braille. Mari kita pikirkan sistem Braille. Braille dibuat dari kombinasi 6 proyeksi Braille, seperti ditunjukkan pada gambar di kanan. sekitar 1,4

2 mm mm

1

4

2

5

3

6

“ (ta)” Dalam Braille Jepang (● adalah koonveks)

1

Dengan mengombinasikan 6 proyeksi Braille, berapa banyak karakter yang dapat dibuat?

2

Gambar berikut menunjukkan bilangan 0-9 dalam Braille. Nyatakan apa yang kamu amati tentang representasi bilangan-bilangan tersebut. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Karakter yang ditempatkan di permulaan menunjukkan bahwa itu merupakan sebuah bilangan, dan dinamakan “tanda bilangan”. Sebagai contoh, 613 dan 3,14 ditunjukkan seperti berikut. 613

3,14 tanda bilangan

218

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Dalam Braille Jepang, “Braille Kana” yang biasa digunakan ditunjukkan pada gambar berikut. 男 例

雨

お

と

こ

（male）（oh） （to） （ko）

あ

め

は

な

手すり

（flower）（ha） （na）

れ

（rain） （a） （me）

3

花

も

ん

（re） （mo） （n）

楽しい

て

す

り

（handrail） （te） （su） （ri）

（fun）

た

の

し

（ta） （no） （shi）

い

（i）

Braille dibuat dengan menggunakan aturan tertentu. Berdasarkan contoh di atas sebagai rujukan, lengkapi alfabet dalam Braille berikut. Al f a b et Jep a n g da n B ra il l e

あ （a）

い

う

え

お

（i） （u） （e） （o）

か

き

く

け

こ

さ

し

す

せ

そ

（ka） （ki） （ku） （ke） （ko）

（sa） （shi） （su） （se） （so）

た

ち

つ

て

と

（ta） （chi） （tsu） （te） （to）

な

に

ぬ

ね

の

（na） （ni） （nu） （ne） （no）

4

は

ひ

ふ

へ

ほ

（ha） （hi） （hu） （he） （ho）

ま

み

む

め

も

（ma） （mi） （mu） （me） （mo）

や

ゆ

よ

（ya）

（yu）

（yo）

ら

り

る

れ

ろ

（ra） （ri） （ru） （re） （ro）

わ

（wa）

を

ん

（wo） （n）

Buatlah rangkuman tentang Sistem Braille yang telah kamu amati.

Mari kita cari beberapa ekspresi yang serupa dengan sistem Braille.

Matematika Lanjut

219

Apa yang Dimaksud Nilai Ekspektasi?

Tingkatkan!

Di sebuah kota, toko A membuat 500 tiket undian dan toko B membuat 1.000 tiket undian, dengan hadiah yang dapat diperoleh ditunjukkan pada tabel di bawah. Jika kondisi untuk memperoleh tiket undian adalah sama, manakah yang lebih disukai? Toko A

Toko B

Peringkat

Hadiah

Banyak Tiket

Peringkat

Hadiah

Banyak Tiket

1

2.000 kupon (yen)

30

1

5.000 kupon (yen)

20

2

500 kupon (yen)

70

2

500 kupon (yen)

70

3

100 kupon (yen)

400

3

100 kupon (yen)

910

500

Total

Total

1000

Biaya total tiket undian di toko A adalah 2.000 × 30 + 500 × 70 + 100 × 400 = 135.000. Karena ada 500 tiket undian, biaya rata-rata tiap tiket adalah 135.000 : 500 = 270. Oleh karena itu, biayanya 270 yen.

1

Carilah harga rata-rata tiap tiket undian di toko B, kemudian bandingkan dengan di toko A, yaitu 270 yen.

Seperti yang sudah kita selidiki di 1 , dengan membandingkan harga rata-rata tiap tiket, kita telah menemukan bahwa tiket undian di toko A lebih disukai. Apa yang telah kita selidiki hingga saat ini, harga rata-rata tiap tiket dinamakan nilai ekspektasi.

220

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Di halaman sebelumnya, perhitungan nilai ekspektasi dari tiket undian toko A adalah…, 2.000 × 30 + 500 × 70 + 100 × 400 = 270 500

Namun demikian, hal tersebut dapat ditulis ulang seperti berikut. 2.000 ×

Hadiah Pertama

70 400 300 + 500 × + 100 × = 270 500 500 500 Hadiah Kedua

Peluang dapat hadiah Pertama

Hadiah Ketiga

Peluang dapat hadiah Kedua

Peluang dapat hadiah Ketiga

Ruas kiri persamaan adalah jumlah dari hasil kali setiap hadiah dan peluang memperoleh setiap hadiah.

2

Skormu bergantung pada hasil yang kamu peroleh ketika melempar dadu. Dalam kasus ini, peluang memperoleh tiap bilangan dari 1 sampai dengan 6 adalah 1 . Oleh karena itu, 6 dapat ditunjukkan bahwa nilai ekspektasi pelemparan dadu dalam bentuk pernyataan adalah sebagai berikut. 1×

1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× 6 6 6 6 6 6

Hitunglah ekspresi di atas dan carilah nilai ekspektasi dari skor-skor.

3

Banyaknya hadiah pemenang, peringkat, dan hadiah, serta angka pemenang undian suatu tahun ditunjukkan pada tabel berikut. Carilah nilai ekspektasi dari hadiah undian ini. Peringkat

Banyaknya Hadiah

Angka Kemenangan

1

500.000.000

60 poin

Hadiah dengan satu nomor sebelum dan setelah peringkat 1

100.000.000

120 poin

Hadiah dengan kumpulan berbeda dengan pemenang 1

100.000

5.940 poin

Hadiah ke-2

1.000.000

1.800 poin

Hadiah ke-3

300.000

6.000.000 poin

Hadiah ke-4

30.000

60.000.000 poin

Spesial Malam Tahun Baru

50.000

180.000 poin

Matematika Lanjut

221

Perhitungan SMP Kelas VIII

1

Hitunglah. 1

(–8) + 10

2

4

(–1,7) − 0,8

5

7

5 − 12

8

10 3 − (–7) + (–9)

2

4 7 10

9

11 –5 + (–2) − 6 − (–8)

2

(–5) × (–9)

3

5

(–8)2

8

0 : (–5)

4 : (– 2 ) 3 9

11 (–12) : (–4) × 5

–82 3 9 (– 5 ) : 6 5 : (– 1 ) 3 × 12 4 10 8

14 –7 × (–8 − 1) − 30

(–2) × 0

6

2 15 48 : (–4)

Hitunglah. 1

5x + x

2

3x − 8x

3

–4a − 2 + 5a − 7

4

(x + 1) + (8x − 4) 2 x 15 3 ×

5

(x + 1) + (8x − 4)

6

(–4) × 9x

8

(6x + 5) − (8x − 2)

9

4(2a − 4)

7

10 (x − 5) × (–6) 13 3(2x − 3) − 5(x − 2)

11 (9x − 15) : 3 1 3 14 4 (–x –6) + 8 (3x – 12)

12 (4x – 16) :

Hitunglah. 1

x − 6 = –2

2

–6x = 54

4

9x + 5 = –4

5

–2x = –14 + 5x

7

8x − 11 = 5x − 2

8

–7x − 6 = 2x + 12

9

6(x + 4) = 4(x − 3)

10 0,5x + 2 = 0,7x − 1 x + 3 4x –3 = 12 5 2 14 2 : 5 = (x − 2) : (x + 7)

2 5 11 – x – 7 = x + 2 3 6 13 24 : 6 = 8 : x

222

6

5 − (–3) (– 3 ) – (– 1 ) 5 2 5 2 – – 7 7

(–3) × 7 ( –5 ) × 6 3 (–42) : (–6)

13 8 + 24 : (–6)

4

–4 + 9 – 1

3

Hitunglah. 1

3

(–4) + (–7) (– 3 ) + ( 1 ) 4 3

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3 6

8 x 24 = 3 7x − 15 = x

4 5

Tinjau Ulang SMP Kelas VIII

adalah pertanyaan tingkat dasar

Bab 1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar

1

2

3

Hitunglah. 1 7a − 8b − 3a + 6b

–2x + 5y + 8 − 6x − 3y

3

(6a + 4b) + (–8a + 5b)

4

(–5x2 + 3x − 8) − (2x2 − 7x + 1)

5

–5x + 3y − 6 6x + 4y − 3

6

3x2 + x − 8 9x2 +8

Hitunglah. 1

3(5x − 7y + 4)

2

(8x − 16y) : (–4)

3

7(–3a + 2b) + 2(8a − 5b)

4

4(6x − 9y) − 5(2x − 4y)

5

2 (2x – 4y) + 3 (–2x – y) 3 4

6

3a – 4b 7a – 3b – 2 5

Hitunglah.

7

7a × (–2b) 3 – xy × 8x 4 3a2 × 4a : 6ab

9

(–2a)2 :

1 4

4

2

4 2 3 a b × 3b3 3

2

6x2 × 3x

3

5

12ab : (–3b)

6

8

9xy2 : (–3xy) × 7x2y

a × 16a2 5 15x2 : x 4

2 3 12 5 4 10 (–8x y ) : (– x y) : (– 3 ) 3 5x y

Hitunglah. 1

Carilah nilai dari –4(x + 3y) – 2(2x − 5y) bila x = 2, y = –3.

2

Carilah nilai dari 3a2b ×ab : (–4a2) bila a = –4, b = 5. 1 1 Carilah nilai dari (–2a)3 : a4b × (–6a3b2) bila a = , b = – . 6 2

3

5

Jelaskan dengan menggunakan bentuk aljabar mengapa jumlah 3 bilangan genap berurutan, seperti 2, 4, dan 6 hasilnya adalah kelipatan 6.

6

Rumus V=

h

1 2 ah 3

digunakan untuk menentukan volume sebuah limas. Tuliskan rumus tersebut dalam h.

a a

Perhitungan SMP Kelas VIII

223

Chapter Simultaneous Equation Bab 2 2Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1

Selesaikan sistem-sistem persamaan berikut. 1

4

2

2

x + 2y = 12 3x + y = –3

5

y = –4x – 6

4x – 3y = 18 3x + y = 7 x = 2y – 1 –2x + 7y = 11

3

6

2x + 3y = –5 –3x + 5y = 17 2x + 5y = 9 2x = 2y + 16

Selesaikan sistem-sistem persamaan berikut. 1

3 5

3

x+y=5

4(2x – 1)+ 3y = 3 –5x – 3(3y + 1) = 14 2 1 x – y = –6 3 4 5x + 4y = –16 7x − 3y = 5x + y = 22

2

0,7x – 0,3y = 3 –9x + 6y = –30

4

3x + y x + 3y – = –2 4 2 2x – 3y = 15

6

6x + y = 5x – y = 4x + 9

Jika kedua sistem persamaan berikut memiliki jawaban yang sama, tentukan nilai a dan b. 2x + 5y = –1

4x – y = 9

ax – by = –2,

bx + ay = 11

4

Sebuah tangki berkapasitas 600 liter akan diisi air oleh pipa A dan B. Bila pipa A dibuka selama 30 menit dan kemudian pipa B dibuka selama 60 menit, maka tangki akan penuh. Selain itu, tangki akan penuh bila pipa A digunakan selama 60 menit dan kemudian pipa B selama 20 menit. Tentukan banyaknya air pada masing-masing pipa A dan pipa B.

5

Untuk membuat 700 g air garam, 8% dan 15% air garam harus dicampur. Tentukan berapa gram tiap jenis air garam yang dicampur tersebut.

6

A dan B mengelilingi danau, A menggunakan sepeda dan B berjalan kaki. A dan B berangkat bersama dan dari titik yang sama, tetapi berlawanan arah. Mereka bertemu pertama kali setelah 30 menit. Jika mereka bergerak searah, A akan bertemu B dalam waktu 1 jam setelah berangkat bersama di awal. Carilah berturut-turut kecepatan A dan B.

224

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Bab 3 Fungsi Linear y

1

Untuk persamaan linear y = -2x − 7, tentukan banyaknya peningkatan dalam y bila peningkatan dalam x adalah 5.

2

Gambarkan grafik tiap persamaan linear pada bidang di sebelah kanan. 3 1 y = –3x + 4 2 y= x–2 4

5

x

5

–5

3

Tentukan persamaan garis untuk tiap kondisi berikut. 1 1 Garis melalui titik (4, 5) dan memiliki gradien – . 2 2 Garis melalui titik (–4, 3) dan (1, –2). 3 Garis melalui titik (2, –6) dan sejajar dengan garis y = 2x − 9.

4

Berdasarkan diagram, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1 Carilah persamaan garis ℓ dan m. 2

Ｏ

–5

ℓ y 4

Carilah koordinat titik potong P dari garis ℓ dan m. O

6

2

m x

P

5

Persegi panjang ABCD pada gambar sebelah kanan. Titik P bergerak sepanjang sisi-sisi dengan kecepatan 2 cm/detik dari titik A ke D melalui B dan C. Misalkan luas daerah segitiga PDA adalah y m 2. Jawablah tiap pertanyaan berikut. 1 Nyatakan y dalam x bila 6 ≤ x ≤ 9. 2 Setelah berapa detik luas daerah segitiga PDA adalah 12 cm2?

–4

D

A

P 6 cm

B

6

Mao pergi dari rumah dengan sepeda menuju taman yang jaraknya 6.000 meter dari rumah. Ia dan kawannya berjalan bersama dari tempat mereka bertemu. Grafik di sebelah kanan menunjukkan hubungan antara waktu dan jarak dari rumah Mao. Jawablah setiap pertanyaan berikut. 1 Berapa menit setelah pergi dari rumah dan berapa jauh dari rumah Mao bertemu temannya? 2 Tentukan kecepatan bersepeda Mao dan kecepatan saat ia berjalan kaki.

C

6 cm

(m) 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000

O

10

20

30

40

50

Perhitungan SMP Kelas VIII

60 (menit)

225

Bab 4 Menyelidiki Sifat-Sifat Bangun Geometri

1

Bila ℓ⫽m pada tiap gambar berikut, tentukan ∠x dan ∠y. 1

2

130°

ℓ

ℓ

ℓ x

y

44° 76°

x

m

3

m

40°

y

15ℓ

60°

2

x

m

Pada tiap gambar berikut, tentukan ∠x. 1

2

3 43°

115°

20° x

x

y x

3

2 3

226

65°

45°

28°

70°

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1

4

108°

Segi banyak apa yang memenuhi sifat bahwa jumlah sudut-sudut dalamnya adalah 1.080°? Tentukan besar sudut dalam dari segi-9 beraturan. Segi banyak apakah yang memiliki sudut luar sebesar 24°?

Pada trapesium ABCD dengan AD⫽BC, misalkan E dan B berturut-turut merupakan titik-titik potong garis AD dan BC, yang melalui titik tengah O pada AC. Jawablah tiap pertanyaan berikut. 1 Tentukan bagian pengandaian dan kesimpulannya. 2 Buktikan.

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

A

E

D

O B

F

C

Bab 5 Segitiga dan Segi Empat

1

Untuk tiap gambar berikut, carilah ∠x. 1

AB = AC

2

A

AB = AD

ABCD adalah jajargenjang, AE garis bagi BAD

3

A

D

A

74° x B

x

C B

D

50°

B

66°

C

x

C

E

2

A

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, misalkan M adalah titik potong antara dua garis ME dan MD yang berturut-turut tegak lurus AC dan AB, dengan M adalah titik tengah AB. Jika BMD = CME, buktikan bahwa ABC merupakan segitiga sama kaki.

D

E

B

3

Pada gambar di sebelah kanan, ABCD dan ABEF keduanya adalah jajargenjang. Buktikan bahwa FECD juga merupakan jajargenjang.

C

M

A

D

F

B

C

E

4

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, persegi ABED dan persegi ACGF digambar di luar segitiga ABC. Jawablah tiap pertanyaan berikut. 1 Buktikan bahwa DC = BF. 2 Misalkan O adalah titik potong DC dan BF, carilah ∠BOC.

D F A E O B

G C

Perhitungan SMP Kelas VIII

227

Bab 6 Peluang

1

Ketika melakukan percobaan dengan melempar tutup botol seperti pada gambar di kanan, frekuensi relatif dari tutup botol telungkup mendekati 0,24; dan tutup botol telentang mendekati 0,57. Berapakah peluang posisi tutup botol tidak telungkup ataupun tidak telentang?

telungkup

telentang

2

Terdapat 20 kartu bernomor 1-20. Bila sebuah kartu diambil dari tumpukan kartu yang telah dikocok, tentukan peluang bahwa nomor kartu yang terambil adalah 2 Lebih besar dari 12 1 Kelipatan 3

3

Terdapat 5 kartu bernomor 1-5. Diambil 2 kartu satu per satu, dan ditempatkan dari kanan ke kiri untuk memperoleh bilangan dua-angka. Carilah peluang bahwa bilangan dua-angka itu adalah ganjil.

4

Tentukan peluang bila dadu besar dan dadu kecil dilempar bersama. 1 Kedua mata dadu sama. 2 Hasil kali kedua mata dadu ganjil. a adalah bilangan ganjil, bila a mata dadu dari dadu besar dan b mata dadu dari dadu 3 b kecil.

5

Carilah peluang untuk situasi-situasi berikut bila 2 kelereng diambil dari sebuah kantong berisi 3 kelereng merah: 2 putih dan 1 biru. 1 Pengambilan 2 kelereng merah 2 Pengambilan 2 kelereng putih 3 Pengambilan paling sedikit 1 merah

6

Seperti ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, terdapat 5 kursi bernomor 1~5. Yuni dan Diki keduanya akan mengambil sebuah kartu dari setumpuk kartu bernomor 1~5, dan duduk pada kursi bersesuaian dengan nomor tersebut. Tentukan peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan.

228

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Jawaban untuk Mari Mencoba halaman 126 1

2

3 4

5

Pilih titik A pada garis ℓ dan buat lingkaran dengan jari-jari AP. Misalkan B titik potong lingkaran dengan garis ℓ. Dengan menggunakan titik P sebagai pusat, buat lingkaran dengan jari-jari AP. Cari panjang BP. Dengan menggunakan titik P sebagai pusat, buat lingkaran dengan jari-jari BP dan misalkan Q adalah titik potong antara lingkaran ini dengan lingkaran yang digambar di (2). Buat garis PQ.

1 PB = AQ 2 BA = QP Karena keduanya sama panjang, PA = AP 3 Berdasarkan 1 , 2 , dan 3 , semua pasangan sisi berkorespondensi adalah sama, ∠PBA ≅ ∠AQP Dalam bangun geometri yang kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama besar, ∠BAP =∠QPA. Karena sudut dalam berseberangan sama, maka AB⫽PQ.

halaman 128

∠x = 130°

Jawaban Penguatan

1 Menyederhanakan Bentuk Aljabar 1

2

3

1

9x + 8y

2

–6a + 3b

3

6a2

4

x2 − 2x + 1

5

–2a + 9b

6

2x2 − 5x

7 9

6x − 10y

–8x + 14x − 2

5x − 4y − 9

8 10

1

12a − 10b + 2

2

–27x + 12y

3

5a + 4b

4

–4x + 6y

1

9a

2

7x − 3y

3

x + 2y

4

5a + 7b

6

–a – 3b 12 5x + 7y 6

5 7 9 4

11a – b 24 x – 5y 2

8

3

4

49a2

5 7

–4a2b

6 8

2y

10

–5a2

1

1

3

2

1 3 5 7 9

2

1

3

21x3 x2 x2 2y

1

–9x + 15y

10xy

–45ab

2 Sistem Persamaan

2

2

1

9 5

6x − 2y − 2

h.15

2

5

8x

–20

3

1 3

x=5 y=2 x=5 y = –1 x = –1 y = –2 x = –3 y=1

h.43

2 4 6 8

x=3 y = –1 x=1 y=4 x=0 y = –3 x = –3 y=4

x = –6 y = –2 x=3 y=5

x=4 y = –1 x=3 y=5 x = –1 y = –2 x=2 y = –5

3 2 1 y= 2 1 x= 3 x=

2

4

y=2 6 2 4

x=4 y=3 x=2 y = –4 x = –6 y = –5

Kunci Jawaban

229

x=–

x=3 5

y = –4

6 y=

4 9

x = –4 7

7 3

y=2

x = –5 8

y=3

Jawaban terhadap Soal Ringkasan Menyederhanakan bentuk Aljabar

Bab 1

h.23 ~ 26 Gagasan Utama

1

1

2

3

4

5 6

, d

2

1

9a2 + 4a

2

–5x − y + 5

3

7a − 4b

4

–x + 6y

1

–5x + y

2

3

–3x + 19y

4

5

28xy

6

2a − 2b 7x + 5y 12 –6a3 –4a

b

2

a

7

81x

8

9

14y

10 2x

1

18xy ÷ 3x × 2y 1 = 18xy × × 2y 3x 18xy × 2y = 3x = 12y2

2

1 –60

2 6ab ÷ (– a) 3 2 = 6ab × (– ) 3a = –9b

2

Volume tabung A adalah πr2 h. Volume tabung B adalah 1 π ×(2r)2 × h = 2πr2h. 2 Jadi, volume tabung B dua kali tabung A.

4

y=

10 – 3x 2

= 99a − 99c = 99(a−c) Karena a − c bilangan bulat, maka 99(a − c) adalah kelipatan 99. 2 3

2

c=

100a + 10b + c, 100c + 10b + a, (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a)

Di antara 3 bilangan bulat dengan selisih 3, misalkan yang terkecil adalah n. Bilangan bulat dengan selisih 3 dinyatakan dalam n, (n + 3), (n + 6). Jumlahnya adalah,

1

Tiga bilangan terletak segaris vertikal dalam kalender, misalkan yang di tengah adalah n. Tiga bilangan seletak vertikal dinyatakan dengan (n − 7) + n + (n + 70) = 3n. Karena n adalah bilangan di tengah, 3n adalah tiga kali bilangan di tengah. Oleh karena itu, jumlah tiga bilangan seletak vertikal dalam kalender adalah tiga kali bilangan di tengah.

Penggunaan Praktis

17

7a – 4b 3

Penerapan

230

3

1

n + 3 adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, jumlah 3 bilangan bulat dengan selisih 3 adalah kelipatan 3.

1

3x2 − 4x − 12

, c , d

n + ( n + 3) + (n + 6) = 3n + 9 = 3(n + 3)

7

2

1

1 3 x+ y 6 2

2

x – 3y 4

3

2a3 b

4

–

15x3 y2

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

b

, e , f

Pada bilangan empat angka, misalkan angka ribuan adalah a, ratusan b, puluhan c, dan satuan d. Bilangan asli empat angkanya adalah…. Jika angka pada ribuan dan pada satuan ditukar, bilangan asli yang baru dapat dinyatakan dengan …. Selisih antara kedua bilangan adalah, (1000a + 100b + 10c + d) − (1000d + 100b + 10c + a) = 999a − 999d = 999(a − d)

Karena a-d adalah bilangan bulat, maka 999 (a-d) adalah kelipatan dari 999. Sehingga, selisih antara bilangan 4-angka yang asli dengan bilangan yang angka ribuannya ditukar dengan satuannya juga kelipatan dari 999.

x + 15 = 2(y + 15) x = 45 y = 15 Jawab: Usia ayah 45, anak 15 tahun.

h.53 ~ 55

Gagasan Utama

1 Iya x=1 2 y = 6,

Misal usia ayah sekarang x, usia anak y, …. x = 3y

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bab 2 1

3

4 x=2

x=3

y = 4,

y=2

Misal populasi laki-laki tahun lalu x, populasi perempuan y, …. –0,02x + 0,04y = 48 x + y = 5.373 − 48 x = 2.750

2

1 3 5

3

x = –1 y=1 x=0 y = –3 x=3 y=1

2 4 6

y = 2.575

x=2

Jawab: Laki-laki 2.750, Perempuan 2.575

y=3 x=5 y = –5

5

x = –4 y=1

Misal biaya masuk untuk dewasa x dan peserta didik SMP y yen, ….

x=3

x + 3y = 1.550

y=1

2x + 5y = 2.750

Jawab: 4 km

x = 500 y = 350

6

Jawab: 500 untuk dewasa, 350 untuk peserta didik SMP. 4

Misal jarak kota A ke puncak x km, dan jarak puncak ke kota B y km, x 40 y + =1 2 60 6 x y + =1 6 2

Misal bilangan asli dengan angka puluhan x, dan angka satuan y, … x + y = 12 10y + x = (10x + y) + 18

Misal panjang persegi panjang x cm, dan lebarnya y cm ….

x=5 y=7

2x + 2y = 28

Jawab: 57

4x = 3y x=6

Penggunaan Praktis

y=8 Jawab: panjang 6 cm, lebar 8 cm 5

1

a

Diabaikan

1 3

2

a x = 10 y=2 x = –6 y=7

a = –1, b = 2

2 4

x=5 y = –1 x=3 y=4

2 3

c

a+b

b

2a + b a + 2b

a

Penerapan

1

b

a

1

3a + b 3a + 3b a + 3b

b

b

, e 2x + y = 6 x + 3y = 23 x = –1 y=8

Kunci Jawaban

231

Fungsi Linear

Bab 3

4 Di antara tiga grafik, pilih percetakan dengan nilai y terkecil ketika nilai x adalah 46.

h.92 ~ 95

Gagasan Utama

1 2

3

4

a

Bab 4

, b , d

3

2 3 −3 ≤ y ≤ 3

1

y = 4x – 3

3

y=–

1

1

1

2 6

3 ∠x = 70° 2

y = –2x + 4

1 120°

4

1 (Pengandaian) AB = AD, ∠ABC = ∠ADE (Kesimpulan) BC = DE 2 ∆ABC dan ∆ADE 3 ∆ABC dan ∆ADE ∆ABC dan ∆ADE. Dalam kedua segitiga ini, dari pengandaian, AB = AD 1 ∆ABD = ∆ADE 2 Karena sudut bersama, maka , ∠A =∠A 3 dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sudut-sisi-sudut, maka ∆ABC ≡ ∠ADE. Sisisisi bersesuaian akan sama panjang, jadi BC = DE.

y

x

–3

5

12 cm

1

2

Dalam 24 menit

Penerapan

1

1

Rencana A lebih murah 400 rupiah.

2

Pada rencana A, y = 50x + 1.600 untuk domain x ≥ 0. Pada rencana B, y = 3.600 untuk domain 0 ≤ x ≤ 25, dan y = 40x + 2.600 untuk domain x > 25.

3 2

1

2

3 x 2 jika 4,x,7, y = –2x + 14

3

232

1

1 ∠x = 105°

2 ∠x = 68°

2 3

∠x = 56° ℓ

1

P

y (cm2) A 2

x (cm)

Penggunaan Praktis

2

3 heptagon

3 ∠x = 90°

jika 0,x,4, y =

O 1 2 3 4 5 6 7

1

2 36°

Penerapan

100 menit

6 5 4 3 2 1

1

2 ∠x = 45°

3

3 3

1 ∠x = 55° 3 ∠x = 55°

2 y= x–3 3 21 5 (– , – ) 8 4

O

1 ∠x = 50°, ∠y = 130° 2 ∠x = 55°, ∠y = 100°

2 y = 2x + 5

1 7 x+ 2 2

–3

h.130 ~ 132

Gagasan Utama

1

2

2

Menyelidiki Sifat-Sifat Bangun Geometri

Perpotongan antara percetakan B dan C pada grafik, 50 buku 25 buku Percetakan A … y = 1.000x, Percetakan B … y = 600x + 10.000, Percetakan C… bila 0 < x, 60, y = 40.000

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3

M

B

(Pengandaian) AB = ABM, PM⊥AB)(ℓ⊥AB) (Kesimpulan) PA = PB (Bukti) Dalam ∆PAM dan ∆PBM, dari

pengandaian, AM = PM 1 2 ∠PMA = ∠PMB = 90° Karena sisi bersama, maka PM = PM 3 Dari 1 , 2 , dan 3

Aturan sudut-sisi-sudut, m a k a ∆ PA M ≡ ∆ P B M . Akibatnya, sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, sehingga PA = PB. 4

Pada ∆ AED dan ∆ FEC, dari pengandaian, DE = CE 1 Sudut dalam berseberangan sama besar dan AC // CF, sehingga ∠ ADE = ∠ FCE 2 Sudut bertolak belakang sama besar, sehingga ∠AED = ∠FCE 3 Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sudut-sisi-sudut, maka ∆AED ≅ ∆FEC. Sisi bersesuaian dari bangun geometri kongruen adalah sama, jadi AE = FE.

Sudut dalam berseberangan besarnya sama dan AB⫽DC sehingga ∠ABE = ∠CDF

1

2

Sisi

berhadapan dari jajargenjang sama panjang, jadi AB = CD

Dari

3

1

,

2

, dan

3

, karena

sudut lancip besarnya sama, maka ∆ABE ≅ ∆CDF.

2

CF, sudut dalam berseberangan, FC, sepasang sisi berhadapan adalah sejajar dan sama panjang.

4

1

Dalam ∆ACQ dan ∆PC, dari pengandaian, AC = PC, CQ = CB

1

Sudut dalam dari segitiga

sama sisi adalah 60°,

Penggunaan Praktis

1

2

∠ACQ = ∠ACP + ∠PCQ = 60° + ∠PCQ.

Pada ∆ACB dan ∆DCE, dari pengandaian, AC = DC 1 ∠A = ∠D = 90°. Sudut bertolak belakang besarnya sama, sehingga ∠ACB = ∠DCE 3 Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sudut-sisi-sudut, maka ∆ACB ≅ ∆DCE. Sisi bersesuaian dari bangun geometri kongruen adalah sama, jadi AB = DE.

∠PCB = ∠PCQ + ∠QCB = ∠PCQ + 60°. Jadi, ∠ACQ = ∠PCB

3

Dari

3

1

,

2

, dan

, berdasar aturan

kongruensi sudut-sisi-sudut, maka ∆ACQ ≅

∆PCB. Sisi bersesuaian akan sama panjang, jadi AQ = PB. 2

b

60o

Penerapan

Bab 5

h.164 ~ 166

Gagasan Utama

1

2

1

Segitiga dan Segi Empat

2 3

1

Sudut Puncak

2

Sudut lancip bersesuaian, sisi lain

3

Titik tengah diagonal

4

Segi empat dengan semua sudutnya sama

1

72°

2

Segitiga sama kaki

Persegi panjang, persegi

1

1:2

2

ΔBQC

Dari pengandaian, AR//QP, AR//RP, segi empat ARPQ adalah jajargenjang. Sisi berhadapan jajargenjang sama panjang, jadi PQ = RA 1 Sudut bersesuaiannya sama besar, dan P//CA, ∠BPR = ∠C 2 Karena ∆ABC sama kaki, maka ∠B = ∠C 3 Dari 2 dan 3 , ∠B = ∠BPR, sehingga BR = PR 4 Dari 1 dan 4 , PQ + PR = RA + BR = AB

(Alasan) ∠BCD = ∠BDE = 72° 3

1

Dalam ∆ABE dan ∆CDF, dari pengandaian, ∠AEB = ∠CFD = 90°

1

Kunci Jawaban

233

Penggunaan Praktis

1

1

Penerapan

1

a

Pada ∆ FDC, dari pengandaian, ∠ DCB

2

= ∠ DCF 1 Sudut dalam berseberangan besarnya sama dan DF⫽BC, jadi ∠ DCB = ∠ FDC 2 Dua sudut sama besar, sehingga ∆FDC sama kaki. Jadi, FC = FD. 3

Peluang

h.188 ~ 191

2

3

Peluang telungkup …0,53 Peluang telentang …0,47 1

Benar

2

Salah

3

Salah 1 5 1 2

4

Salah 5 36 1 8

1 3

4

3 5

2 4

1 27 hasil 1 3 9 1 1 3

2

1 3

2

7 36

Penggunaan Praktis

1

Gagasan Utama

1

3

4

d

Bab 6

2

24 barisan semuanya. Terdapat 6 barisan ketika A menjadi pelari ke-3. 3 1 1 2 10 10

1 3

1

2 (Contoh) Dua kotak terakhir adalah kotak berhadiah, dan yang lain tidak berhadiah. Jika pembawa acara akan membuka “kotak tak berhadiah”, maka sisanya adalah kotak berhadiah. Jadi, jika kita putuskan untuk mengubah kotak pertama yang kita dapat, kita pasti akan menang. 3

d

Pendalaman Materi (Jawaban)

Substitusi B = 2 ke 2 + C = 5, C = 3

Apa yang Terjadi Jika Kita Melilitkan Sebuah Tali pada Ekuator Bumi? 1 Panjang tali … (2πr+10) m, 2

h.27

5 Jari-jari lingkaran r + ( ) π 5 m, kira-kira 1,59 m π

4

,~

Substitusi C = 3 ke 2 , ~ 3 + D = 4, D = 1 Jawab A = 4, B = 2, C = 3, D = 1 2

Diabaikan

6,28 m Mobil Manakah yang Lebih Murah? CT Scan dan Matematika

1 1

3

A+B=6

1

C+D=4

2

A+C=7

3

B+C=5

4

–

4

, AB = 2

2

37.500 rupiah y (juta rupiah) 220 210 200 Mobil Merek B 190 180 170 160

Mobil Merek A

5

Bila kita selesaikan 1 – 5 dengan sistem persamaan linear dua variabel, maka A = 4, B = 2, A = 4, B = 2

234

h.96

h.56

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

O

3

1

2

3

4

5

6

7

Lebih dari 7 tahun, alasan diabaikan.

x (tahun)

Mencari Jumlah Lima Sudut dari Bintang Segi Lima (Pentagon) h.133

Mari Pikirkan dengan Mengubah Syaratnya

1

1

AQ = PB benar dalam rotasi apa pun

2

diabaikan

Karena jumlah sudut luar sama dengan jumlah sudut dalam tak berdekatan, maka ∠c + ∠e = ∠ f, ∠b + ∠d = ∠g Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah, maka 180°, ∠a +(∠c + ∠e)+(∠b + ∠d) = ∠a + ∠f + ∠g = 180°

2

h.167 ~ 168

3

1

(Bukti)

Pada ∆ ACR dan ∆ QCB, berdasar pengandaian, AC = QC 2

CR = CB,

3

1

AC = QC,

∠ACR = ∠QCB

Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sisi-sudut-sisi, maka ∆ACR ≡ ∆QCB. Jadi, AR = QB.

x a e

y

2

b

PB = AQ benar (Bukti)

c

d

Pada ∆CPB dan ∆ CAQ, berdasar pengandaian

∠c + ∠e = ∠x + ∠y, ∠a + ∠b + ∠d + (∠c + ∠e) = 180°

PCB = ACQ

1

,

2

dan sehingga,

3

Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sisi-sudut-sisi, maka ∆CPB ≡ ∆CAQ. Jadi, PB = AQ.

a e b

Manakah yang Memiliki Keuntungan?

c

h.193

d

∠a + ∠b + ∠c + ∠d + ∠e = 180° × 5 – 360° × 2 = 180° 3

AR = QB benar

A b x a

y

1

Jumlah mata dadu 9: (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3) Jumlah dari gulungan 10 … (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4)

2

Terdapat 25 kasus berbeda untuk membuat jumlah mata dadu menjadi 9, dan terdapat 27 kasus berbeda untuk 10. Oleh karena itu, peluang lebih tinggi akan diperoleh untuk jumlah 10.

e

d c

∠e + ∠c = ∠x ∠b + ∠d = ∠y ∠a + ∠x + ∠y = 180° ∠a + (∠e + ∠c) + (∠b + ∠d) = 180° e

A

b

1

a

c f

d g

∠a + ∠c + ∠f + ∠g + ∠d = 180° ∠b + ∠e = ∠f + ∠g, ∠a + ∠c + (∠b + ∠e) + ∠d = 180°

Kunci Jawaban

235

Jawaban Perhitungan SMP Kelas VIII Tinjau Ulang SMP Kelas VIII

1

–14ab

2

–11 –2,5 3 10

3

16a3

4

–6x2y

5

6

12x

8

–21x2y2

4

9

–4a 2a2 b 9

3 6 10 –5x y

1

–10

2

3

–2

h.222

3 1

1

2

2

3

8

4

5

5 – 12

7

–7

8

9

–1

10 1

6

7

4

11 –5 2

45

0

2 4

5

64

6

–64

7

7

8

0

9

1 – 10

10 –

1 3

–21

11 15 13 4

–10

6x

2

–5x

3

a–9

4

9x – 3

5

–2x + 7

6

–36x

7

10x

8

–3x

9 8a – 16 11 3x – 5 13 x + 1 4

h=

1

x = –9

3

3

x=9

4

5

x=2

6

5

7

x=3

8

x = –1 5 x= 2 x = –2

14 x = 8

Bab 1

2

2

236

1

4a − 2b

2

–8x + 2y + 8

–2a + 9b

4

–7x +10x − 9

5

x + 7y − 9

6

–6x2 + x − 16

2 4

–2x + 4y 14x − 16y

15x − 21y + 12 –5a + 4b

y=7 x = –4 y=1 x=5 y=3 x=2 y = –3

2 4

6 2

x = –8

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

3 1 3

1

3 h.223

1

1

2

13 x = 2

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel h.224

x=4

10 x = 15 12 x = 7

3V a2

x = –2

1

9 x = –18 11 x = –6

75

6

Bab 2

10 –6x + 30 12 5x – 20 7 14 8 x – 6

6

Jika kita misalkan bilanga genap terkecil dengan 2n, maka 3 bilangan genap berurutan dapat dinyatakan dengan 2n, 2n + 2, 2n + 4. Jumlah ketiga bilangan ini adalah 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1) Karena n + 1 adalah bilangan bulat, 6(n + 1) adalah kelipatan 6. Oleh karena itu, jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah kelipatan 6.

2 3 3 12 – 4 14 33

1

–

5

15 3 3

5 25 x– y 6 12

a – 14b 10 18x3

Perhitungan SMP Kelas VIII

5

5

y=6 x=4 y=2

2

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

3

a = –3, b = 4

4

6

x=3 y = –2 x = –3 y=6 x=7 y = –1 x=6 y=4 x = –3 y = –7 x=6 y = –3

4

Misal banyaknya air yang keluar dari pipa A dan B adalah x liter dan y liter, 30x + 60y = 600 60x + 20y = 600

6

2 Sepeda 200 m/menit, jalan 75 m/menit Bab 4

x=8

1 ∠x = 50°, ∠y = 70° 2 ∠x = 36° 3 ∠x = 44°, ∠y = 29°

Jawab: Pipa A 8 liter, pipa B 6 liter Misalkan x g dari 8% air garam dengan y g 15% air garam,

2

1 ∠x = 43°

2 ∠x = 50°

3 ∠x = 98°, ∠y = 141°

x + y = 700 8 15 12 x+ y= × 700 100 100 100

3

1 Segi-8

2 140°

3 Regular pentadekagon

x = 300

4

y = 400 Jawab: 300g dari 8% dan 400g dari 15% air garam 6

Menyelidiki Sifat-Sifat Bangun Geometri h.226

1

y=6

5

1 Setelah 15 menit, 30.000 m

Misalkan kecepatan A x km/jam dan kecepatan B y km/jam, 0,5x + 0,5y = 8 x–y=8 x = 12 y=4

1 (Pengandaian) AD⫽BC, AO = CO (Kesimpulan) AE = CF 2 Dalam ∆AOE dan ∆COF berdasar pengandaian, karena sudut bertolak belakang sama, maka AO = CO 1 Karena sudut dalam berseberangan sama besar, maka ∠AOE = ∠COF 2 Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasarkan aturan kongruensi sisi-sudut-sisi, maka ∆AOE ≡ ∆COF. Jadi, AE = CF.

Jawab: kecepatan A km/jam dan kecepatan B 4 km/jam Bab 3 1

Fungsi Linear

h.225

1

–10

2

2

–5

O

5

x

–5

1 1 y=– x+7 2

2

y = –x − 1

3 y = 2x − 10 4

1 l...y = –2x + 4, m...y = 2 P(3, –2)

5

Segitiga dan Segi Empat

1 ∠x = 127°

h.227

2 ∠x = 70°

3 ∠x = 57°

1 y

2

3

Bab 5

1 y = –6x + 54

2 x–4 3

Dalam ∆DBM dan ∆ECM berdasar pengandaian, ∠BDM = ∠CEM = 90° 1 BM = CM 2 ∠BMD = ∠CME 3 Dari 1 , 2 , dan 3 , karena panjang hipotenusa bersesuaian dan sudut lancip bersesuaian sama pada segitiga siku-siku, maka ∆DBM ≡ ∆ECM. Jadi, ∠B = ∠C. Karena dua sudut sama besar, maka ABC adalah segitiga sama kaki.

2 2 detik dan 7 detik

Kunci Jawaban

237

3

4

Segi empat ABCD adalah jajargenjang, AB⫽DC, AB = DC 1 Hal ini sama seperti segi empat ABEF, AB⫽FE, AB = FE 2 Dari 1 dan 2 , FE⫽DC, FE = DC Karena satu pasang sisi berhadapan sejajar dan sama panjang, maka segi empat FECD adalah jajargenjang. 1

2

238

Dalam ∆ADC dan ∆ABF karena segi empat ABED dan ACGF adalah persegi, maka, AD = AB 1 AC = AF 2 Jadi, ∠DAC = 90o + ∠BAC. o ∠BAF = 90 + ∠BAC Jadi, ∠DAC = ∠BAF. Dari 1 , 2 , dan 3 , berdasar aturan kongruensi sisi-sudut-sisi, maka ∆ADC ≡ ∆ABF Jadi, DC = BF. 90°

Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII

Bab 6

Peluang

1

0,19

2

1

3

3 5

4

1 3

5

1 3

6

2 5

3 10

1 6 7 18 1 5 4 5

h.228

2

9 20

2

1 4

2

11 5

Indeks A alas 22, 24, 138, 139, 141, 142, 162, 163, 164, 165, 240 D definisi 138, 144, 148, 155, 160, 161 derajat 5, 14 diagram xii, xv, xvii, 47, 49, 66, 91, 169, 181, 182, 184, 197, 215, 216, 225 E eliminasi 34, 38, 40, 45 F fungsi linear 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 86, 87, 90, 92, 211 H hipotenusa 109, 145, 147, 158, 164 I intersep 68, 71, 72, 74, 79, 82 J jajargenjang 136, 137, 149, 150, 151, 152, 153, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 164 K kemiringan 70, 71, 72, 74, 75, 77, 79, 82 kesimpulan 19, 123, 124, 125, 126, 129, 130, 153 kongruen 97, 100, 101, 107, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 139, 141, 145, 146, 147, 150, 154, 161, 164, 229, 233, 241, 244 konvers 142, 143, 148 M menyelesaikan sistem persamaan 33, 34, 35, 36, 39, 41, 45, 56, 76 metode penjumlahan/pengurangan 38 metode substitusi 39, 40

P peluang 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 192, 193, 215, 216, 221, 228, 235 pembuktian 122, 124, 125, 127, 129, 138, 139, 140, 144, 147, 150, 154, 166, 168 persamaan garis 75, 76, 77, 84, 85, 92, 225 S sisi berhadapan 150, 151, 152, 153, 155, 157, 158, 238, 241 sistem persamaan 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 52, 53, 54, 56, 76, 82, 83, 84, 85, 201, 203, 224, 234 sudut alas 138, 139, 141, 142 sudut bersesuaian 116, 117, 120, 128, 240, 241 sudut bertolak belakang 102, 105, 115, 122, 124, 139, 237 sudut dalam berseberangan 103, 104, 105, 106, 107, 115, 124, 127, 150, 152, 154, 166, 233, 237, 240 sudut dalam segitiga 108, 235, 240 sudut lancip 109, 145, 146, 147, 233, 237 sudut luar segitiga 108, 109, 240 sudut puncak 138, 140, 164, 240 sudut sehadap 103, 104, 105, 106, 107, 127 sudut tumpul 109 suku banyak (polinom) 4 suku sejenis xii, 6, 7, 10 suku tunggal (monom) 4 T teorema 139, 140, 142, 143, 146, 151, 155, 156, 244 tingkat perubahan 64, 65, 68, 69, 70, 76, 92

239

Lampiran 1

Rangkuman Sifat-Sifat Bangun Geometri

Segitiga Sama Kaki

Mari mengulang dengan mengisi

Definisi Segitiga Sama Kaki

.

Segitiga dengan dua

Garis Sejajar dan Sudut Sifat Sudut Bertolak Belakang Sudut bertolak belakang adalah

Sifat-Sifat Garis Sejajar

yang sama.

Sifat Segitiga Sama Kaki Hlm.102

.

1

2

2

Garis bagi dari sudut puncak tegak lurus alas.

Hlm.138

Hlm.139, 140

adalah sama.

Segitiga dengan Dua Sudut yang Sama

Hlm.142

Segitiga dengan dua sudut sama besar adalah

Hlm.106

Jika terdapat sebuah garis yang memotong dua garis lain yang sejajar, maka 1

besar sudutnya sama.

Sudut Segi Banyak Sifat Sudut Segitiga 2

besar sudutnya sama.

Hlm.108

1

Jumlah sudut dalam segitiga adalah

2

Sudut luar segitiga jumlahnya sama dengan dua

.

yang tidak berdampingan

dengan sudut luar tersebut.

Jumlah Sudut Dalam dan Sudut Luar Segi Banyak Syarat Garis Sejajar

Hlm..106

Jika suatu garis memotong dua garis lainnya, 1

jika sudut-sudut bersesuaian sama besar, maka dua garis tersebut

1

Jumlah sudut dalam segi banyak dengan n titik sudut adalah 180 ×

2

Hlm.111, 114

.

Jumlah sudut luar segi banyak dengan n titik .

sudut adalah

.

Garis Sejajar dan Luas Garis Sejajar dan Luas 2

jika sudut-sudut dalam berseberangan sama

Jika AA'

besar, maka kedua garis lain

maka

BC,

Hlm.162

A

A'

luas ∆ABC = luas ∆A'BC .

B

240

C

Jajargenjang

Kekongruenan Sifat Bangun yang Kongruen 1

.

Hlm.120

Dua pasang

dan sudut di antara

Dua pasang

3

sama.

Kedua diagonal berpotongan pada .

Sepasang sisi dan kedua sama.

adalah

Syarat Segi Empat Menjadi Jajargenjang

Hlm.146

Kedua

bersesuaian dan sudut

Hlm.155

1

Dua pasang sisi berhadapan

2

Dua pasang

sama besar.

3

Dua pasang

sama panjang.

4

Dua tengah.

5

Sepasang sama besar.

Syarat Kekongruenan Segitiga Siku-Siku

lancipnya adalah sama.

2

Hlm.151

sudut berhadapan sama besar.

2

keduanya adalah sama.

1

.

sama.

1

3

Hlm.149

Sifat Jajargenjang 1

Aturan Kekongruenan Segitiga

2

yang sama adalah

.

Pada bangun-bangun kongruen, sudut-sudut bersesuaian

Definisi Jajargenjang

Segi empat dengan 2 pasang sisi berhadapan

Pada bangun-bangun kongruen, sisi bersesuaian

2

Hlm.117

.

berpotongan di titik adalah sejajar dan

Hipotenusa yang bersesuaian dan bersesuaian lainnya adalah sama.

241

Lembar untuk difotokopi Lampiran 2 Gunakan untuk halaman 101.

Lampiran 4

Lampiran 3 Gunakan untuk halaman 116.

Gunakan untuk halaman 149.

A

B

242

C

Lembar untuk difotokopi Lampiran 5 Gunakan untuk halaman 173.

A C

A

B A

C

B A

B

B

A

A

Lampiran 6 Gunakan untuk halaman 214.

a

d

c

b a

d

b

c 243

Sumber: britannica.com

Euclid

Euclid Sekitar 330 SM – 275 SM Euclid, ahli matematika paling terkenal di Mesir, bekerja di Alexandria, menulis buku berjudul “Elements” dengan 13 volume yang mengintegrasikan beberapa teorema terkenal ke dalam satu sistem. Teorema Thales

Sumber: medium.com

Elements

Telah diterbitkan lebih dari 1.000 edisi dan dikenal sebagai buku yang paling dicetak dalam matematika. Di Mesir, buku ini digunakan sebagai buku teks matematika selama 2.000 tahun.

Dua segitiga dikatakan kongruen ketika dua pasang sudut yang bersesuaian dan sisi di antara mereka adalah sama besar dan sama panjang. Thales menggunakan teorema ini untuk mengukur jarak dari daratan ke kapal.

Th a les A B

C

Thales A'

Jika kita menggambar segitiga kongruen dengan menggunakan teorema ini, kita dapat menentukan jarak ke kapal.

244

Sumber: elsikkerhetsportalen.no

Sekitar 624 SM – 574 SM Thales dikenal sebagai seorang ahli filsafat dan ahli matematika. Ketika ia kembali ke Yunani dari Mesir, ia membawa banyak sekali ilmu pengetahuan. Ia membuktikan beberapa teorema.

Sumber: https://www.superadventure.co.id/uploads/news/2018/01/11/23ff8375e345.jpg

Kemiringan

Sumber: https://pariwisataindonesia.id/wp-content/uploads/2020/07/Rumah-Adat-Sulawesi-Tengah-Sumber-Foto-.99.co_.jpg

245

Sumber: fineartamerica.com

Sumber: britannica.com

Pascal

Fermat Blaise Pascal (1623-1662)

Pierre de Fermat (1601-1665)

Peluang Dua orang A dan B bermain sebuah permainan. Siapa pun yang menang 3 kali akan menjadi juara dan dapat hadiah. Jika mereka berhenti setelah 2 permainan dan B menang sekali, bagaimana mereka membagi hadiah secara adil?

246

Pelaku Perbukuan Profil Penyadur Nama Lengkap E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : :

Mochammad Hafiizh, S.Pd., M.Si., Ph.D [email protected] Universitas Negeri Malang Jalan Semarang No 5, Malang Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. Dosen PNS di Universitas Negeri Malang (2014-sekarang) 2. Peneliti di Labmath-Indonesia, Bandung (2013-2014) Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. Universitas Negeri Malang (S1, 2007-2011) 2. Institut Teknologi Bandung (S2, 2012-2013) 3. Kanazawa University (S3, 2016-2019) Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Aplikasi Rof Total Variation Menggunakan Split Bregman Untuk Mengurangi Noise Pada Gambar Pembuluh Darah Kapiler Dalam Jari Manusia (2020) 2. Estimasi Matematis untuk Jumlah Pengiriman Paket Barang di JNE Mojokerto dengan Metode Double Exponential Smoothing (2021)

247

Profil Penyadur Nama Lengkap E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : :

Fitriana Yuli Saptaningtyas, S.Pd.Si.,M.Si. [email protected] UNY Kampus Karangmalang Matematika Terapan

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) Staf Pengajar Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. S1 Pendidikan Matematika UNY tahun 2001-2004 2. S2 Matematika ITS Tahun 2005-2007 Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Penentuan anulus sebagai lokasi limit cycle pada bidang phase dari persamaan Van Der Pol. 2. Perbandingan Solusi Numerik pada Model Penyebaran Sel Kanker dengan Kemoterapi dan Imunoterapi. 3. Limit Cycle pada Model Matematika Forced Vibrations Oscilator yang massanya bervariasi terhadap waktu. 4. Aplikasi Inviscid Burger Equation pada Masalah Arus Lalu Lintas one-way traffic. 5. Upaya peningkatan kemampuan pemecahan masalah mahasiswa melalui kegiatan lesson study pada mata kuliah analisis nyata. 6. Pemetaan Daerah Rawan Bencana Gempa di Daerah Istimewa Yogyakarta dengan Menggunakan Kombinasi dari Metode Fuzzy Simple Additive Weighting (FSAW) dan Fuzzy C-Mean Clustering (FCM). 7. Penerapan Sistem Lorentz Dengan Tekhnik Penyelesaian Difference Transform Method Untuk Pemodelan Waktu Transisi Kemacetan Lalu Lintas. 8. Analisa Penyelesaian Traffic Flow Problem dengan model persamaan gelombang. 9. Solusi numerik persamaan linear gelombang air dangkal yang dibangkitkan oleh pergerakan dasar menggunakan finite volume method. 10. Pengembangan bahan ajar matematika diskret berbasis representasi multipel untuk meningkatkan kemampuan komunikasi dan koneksi matematis mahasiswa calon guru matematika sekolah menengah. 11. Eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan panas.

248

Profil Penelaah Nama Lengkap Telepon Kantor/HP E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

Budi Poniam, M.Si. [email protected] Universitas Sampoerna Jalan Raya Pasar Minggu Kav 16 Pancoran, Jakarta Selatan : Pendidikan Matematika

: : : : :

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. Dosen tetap di Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sampoerna (2011) 2. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika (2019) 3. Anggota Tim Penulis Capaian Pembelajaran-Kemdikbud (2020) Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. Sarjana Fisika (S1) Universitas Indonesia (lulusan tahun 1994) 2. Magister Matematika (S2) Universitas Indonesia (lulusan tahun 2016) Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM XVII) (2014, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya) Pelabelan Graceful Super Fibonaci pada Graf Friendship dan Variasinya. 2. Prosiding Seminar Nasional Matematika (SNM 2017) (2017, Universitas Indonesia) Polinomial Karakteristik dan Spektrum Matriks Adjacency dan Anti-adjacency dari Graf Friendship Tak Berarah dan Berarah. 3. Jurnal Riset Pembelajaran Matematika Sekolah: Vol 4 No 2 (2020) Analysis of mathematical Content Knowledge of Elementary Teachers in Lampung Utara Regency: A Baseline Study 4. Jurnal Riset Pendidikan Matematika 7 (1), 2020, 88-96 An analysis of place value content in the Curriculum 2013 thematic textbooks for grades 1 and 2 Salsabila Shiellany (1), Budi Poniam (2)

249

Profil Penelaah Nama Lengkap Telepon Kantor/HP E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : : :

Dr. Yudi Satria M.T. Universitas Indonesia Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA UI Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. S3 - Ilmu Komputer, Universitas Indonesia, Tahun 2006 2. S2 – Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung, Tahun 1998 3. S1 - Matematika, Universitas Indonesia, Tahun 1991

250

Profil Penelaah Nama Lengkap Telepon Kantor/HP E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : : :

Dr. Iva Sarifah, M.Pd (021) 5254912 Universitas Negeri Jakarta Jl. Rawamangun Muka No. 1 Jakarta Timur Pendidikan Matematika Penelitian dan Evaluasi Pendidikan

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. Dosen Program Studi S1 PGSD FIP UNJ 2. Dosen Program Studi S1 Pendidikan Anak Usia Dini FIP UNJ 3. Dosen Program Studi S2 Pendidikan Dasar Pascasarjana UNJ 4. Dosen Program Studi S2 Teknologi Pendidikan Pascasarjana UNJ 5. Dosen Program Studi S2 Pendidikan Anak Usia Dini Pascasarjana UNJ 6. Dosen Program Studi S2 Penelitian dan Evaluasi Pendidikan Pascasarjana UNJ 7. Dosen Program Studi S3 Pendidikan Dasar Pascasarjana UNJ 8. Dosen Program Studi S2 Pendidikan Dasar Universitas Terbuka 9. Instruktur PLPG 10. Penilai buku teks dan nonteks Puskurbuk Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. S1 Pendidikan Matematika Tahun 1984 2. S2 Penelitian dan Evaluasi Pendidikan Tahun 1997 3. S3 Penelitian dan Evaluasi Pendidikan Tahun 2010 Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Pengembangan Penilaian Kinerja sebagai Alternatif untuk Mengukur Kemampuan Berpikir Kritis dalam Pembelajaran Matematika SD. Tahun 2021. 2. Pengembangan Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Berbasis ICT Literacy pada Pembelajaran Matematika bagi Siswa Sekolah Dasar di Era Pandemi Covid-19 dalam Rangka Mensukseskan Merdeka Belajar. Tahun 2021. 3. Pengembangan Instrumen Kemampuan Berpikir Kritis dalam Pembelajaran Matematika di SD. Tahun 2020.

251

4. Pengembangan Buku Cerita Digital Anak Berbasis Penanaman Karakter untuk Anak Usia SD. Tahun 2020. 5. Pengembangan Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Geometri Berbasis Realistik Matematika dalam Pembelajaran Matematika SD. Tahun 2019. 6. Pengaruh Self Efficacy Belief, Kemampuan Matematika, Motivasi Kerja, dan Pengetahuan Mengkonstruksi Tes terhadap Kualitas Instrumen Tes Buatan Guru SD di DKI Jakarta. Tahun 2019. 7. Pengaruh Self Efficacy dan Mathematical Disposition terhadap hasil Belajar Matematika Siswa SD Kelas V di Jakarta Timur. Tahun 2018. 8. Peningkatan Self Efficacy Belief Mahasiswa Program Studi PGSD FIP UNJ melalui Penerapan Problem Based Learning pada Perkuliahan Pembelajaran Matematika SD. Tahun 2017. 9. Pengembangan Model Brain Based Learning pada Jenjang Pendidikan Anak Usia Dini untuk Menumbuhkan Kreativitas Manusia Indonesia Sejak Dini. Tahun 2016. 10. Kajian Fungsi Tools dalam LCMS e-front untuk Pengembangan e-content bagi Matakuliah Matematika di Jurusan PGSD Fakultas Ilmu Pendidikan UNJ. Tahun 2015. 11. Pengembangan Model Evaluasi Diri Sekolah secara Online. Tahun 2014. 12. Persepsi Civitas Akademika FIP UNJ tentang Penjaminan Mutu FIP UNJ. Tahun 2013. 13. Sikap Mahasiswa terhadap Program Kerjasama di Jurusan PGSD FIP UNJ. Tahun 2012.

252

Profil Editor Nama Lengkap E-mail Bidang Keahlian

: Uly Amalia, S.Si. : [email protected] : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. 2007-2008 Editor Matematika di Penerbit Regina, Bogor 2. 2009-sekarang Pekerja lepas (penulis, editor, dan pemeriksa aksara) Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor, 2001-2005 Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Updated Edition Supertrik Lolos TPA (2015, Penerbit Cmedia) 2. Bank Soal Matematika SD Kelas 4, 5, & 6 (2015, Penerbit Bmedia) 3. Jurus Anti Lelet Kuasai Matematika SMP/MTs Kelas VII, VIII, IX (2015, Penerbit Grasindo) 4. Supertrik Kuasai Matematika SMP Kelas VII, VIII, IX (2015, Penerbit Grasindo) 5. Tim penyusun buku Top Book Lulus UN SMP/MTs 2016 (2015, Penerbit Grasindo) 6. Tim penyusun buku Top Sukses Juara US SD/MI (2016, Penerbit Grasindo) 7. Hafal Mahir Teori dan Rumus Matematika SMP/MTs Kelas 7, 8, 9 (2016 dan 2017, Penerbit Grasindo) Judul Buku Hasil Sunting dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Everything Has Changed (2016, Penerbit Best Media) 2. High School Vampire (2016, Penerbit Best Media) 3. Bad Boy and Crazy Girl (2016, Penerbit Best Media) 4. Pacar Halal (2017, Penerbit Bintang Media) 5. Cinta Dalam Diam (2017, Penerbit Bintang Media) 6. Assalamualaikum Calon Imam (2017, Penerbit Coconut Books) 7. Sayap Surgaku (2017, Penerbit Coconut Books) 8. Bad Girl in Pesantren (2017, Penerbit Coconut Books) 9. Air Mata Cinta (2018, Penerbit Coconut Books) 10. Dear Imamku (2018, Penerbit Coconut Books)

253

Profil Penata Letak (Desainer) Nama Lengkap E-mail Bidang Keahlian

: Erwin : [email protected] : Layout/Setting

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. 2016 – sekarang : Freelancer CV. Eka Prima Mandiri 2. 2015 – 2017 : Freelancer Yudhistira 3. 2014 – sekarang : Freelancer CV Bukit Mas Mulia 4. 2013 – sekarang : Freelancer Pusat Kurikulum dan Perbukuan 5. 2013 – 2019 : Freelancer Agro Media Group 6. 2012 – 2014 : Layouter CV. Bintang Anaway Bogor 7. 2004 – 2012 : Layouter CV. Regina Bogor Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Buku Teks Matematika Kelas 9 Kemendikbud 2. Buku Teks Matematika Kelas 10 Kemendikbud 3. SBMPTN 2014 4. TPA Perguruan Tinggi Negeri & Swasta 5. Matematika Kelas 7 CV. Bintang Anaway 6. Siap USBN PAI dan Budi Pekerti untuk SMP CV. Eka Prima Mandiri 7. Buku Teks Matematika Peminatan Kelas X SMA/MAK Kemendikbud

254

Profil Ilustrator Nama Lengkap Telepon Kantor/HP E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : : :

Moch Isnaeni, S.Pd. 081320956022 [email protected] Nalar Studio Jl. Kopo Gg. Lapang 1 No. 479B, Bandung - Jawa Barat Ilustrasi

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) Ilustrator buku-buku anak di penerbit Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar Sarjana seni rupa UPI Bandung Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Sudah 10.000 buku yang diterbitkan di dalam dan luar negeri Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) Batik Kina di Pemda Kabupaten Bandung

255

Profil Ilustrator Nama Lengkap E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : :

Sendy Thoriq Alamsyah [email protected] Nalar Studio Jl. Kopo Gg. Lapang 1 No. 479B, Bandung - Jawa Barat Ilustrasi

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. Ilustrator Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. SMKN 14 Bandung 2016-2019 Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) -

256

Profil Fotografer Nama Lengkap E-mail Instansi Alamat Instansi Bidang Keahlian

: : : : :

Dewi Pratiwi [email protected] SMPN 1 Gunungputri Jl. Melati No. 34 Wanaherang Kab. Bogor Fotografer

Riwayat Pekerjaan/Profesi (10 Tahun Terakhir) 1. CV Penerbit Regina 2. CV Ricardo Publishing & Printing 3. PT Leuser Cita Pustaka 4. Mengajar di SMPN 1 Gunungputri Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar 1. 2002 Universitas Pendidikan Indonesia FPMIPA jurusan Matematika Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Judul buku: Mari Mengerti Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII, VIII, IX 2. Judul buku: Pintar Matematika untuk SD Kelas I, II, III, IV, V, VI 3. Judul buku: Tematik SD Kelas I, II, III, IV, V, VI Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir) 1. Meningkatkan Penguasaan Konsep Bilangan Bulat melalui Wayang Golek 2. Berwirausaha Sejak Dini melalui Aritmetika Sosial

257

Tahukah Kamu

Di Jepang, simbol yang digunakan untuk menyatakan “kurang dari atau sama dengan” adalah ≤. Begitu juga “lebih dari atau sama dengan” dinyatakan oleh simbol ≥.

258

Sedikit berbeda dengan di Indonesia ya!

Tahukah Kamu Wah, kalau tidak hati-hati, kita bisa bingung apakah simbol itu pengurangan atau pembagian. Ternyata simbol pembagian ya!

Di Jepang, simbol pembagian adalah ÷ Jadi, jangan kaget jika ketemu tulisan 10 ÷ 2 = 5. Artinya 10 dibagi 2 hasilnya adalah 5.

Sedikit sekali perbedaannya. Jika tidak teliti, tidak terlihat bedanya. Terima kasih informasinya ya.

Begitu juga ketika diketahui ∆ABC dan ∆DEF kongruen. Di Jepang, simbolnya adalah ∆ABC ≡ ∆DEF, sedangkan di Indonesia, simbolnya adalah ∆ABC ≅ ∆DEF.

259

Tahukah Kamu

Di Indonesia, biasanya kita menuliskan seperti berikut. 8x + 7y x – 2y Akan tetapi, di Jepang ternyata sedikit berbeda, yaitu 8x + 7y x – 2y

Meskipun berbeda, tetap gunakan simbol atau gaya tulisan seperti yang lazim digunakan di Indonesia ya! Ingat pepatah, “Di mana bumi dipijak, di situ langit dijunjung”. Setuju!

260

Terima kasih informasinya ya, wawasanku semakin luas.

Iya, benar sekali! Tetap gunakan seperti yang Bapak/Ibu Guru ajarkan di Indonesia saja ya. Wawasan itu hanya untuk diketahui, agar tidak mudah menyalahkan orang lain!

Bagi guru, peserta didik, atau pembaca pada umumnya yang ingin memperdalam materi, dapat mencari sumber lain yang kredibel, terutama dari luar negeri. Namun tetap harus diperhatikan bahwa konteks, simbol, atau beberapa hal lain dimungkinkan akan sangat berbeda dengan di Indonesia. Jadi harus lebih berhati-hati. Beberapa guru, peserta didik, atau pembaca pada umumnya mungkin agak kesulitan mencari terjemahan istilah baik dari Bahasa Indonesia ke Bahasa Inggris atau sebaliknya karena tidak mudah dan terkadang tidak diterjemahkan per-kata. Istilah-istilah berikut diharapkan dapat membantu pengembangan penguasaan materi. Istilah dalam Bahasa Inggris

Terjemahan ke dalam Bahasa Indonesia

Monomial expressions

Suku tunggal (monom)

Polynomial expressions

Suku banyak (polinom)

Terms

Suku (biasanya muncul dalam konteks barisan, deret, monom, atau polinom)

Constant term

Suku konstan

Degree

Derajat (jika variabelnya hanya satu, maka sama dengan istilah pangkat)

Like terms

Suku sejenis

Integers

Bilangan bulat

Variable (unknown)

Variabel

Coefficient

Koefisien

Odd numbers

Bilangan ganjil

Even numbers

Bilangan genap

Circle

Lingkaran

Semicircle

Setengah lingkaran

Arc of circle

Busur lingkaran

Radii/Radius

Jari-jari

Area

Luas

Circumference

Keliling (dalam konteks lingkaran)

Perimeter

Keliling (dalam konteks persegi, persegi panjang, segitiga, segi empat, atau segi banyak, selain lingkaran)

Cylinder

Tabung

Equations

Persamaan

Simultaneous equations

Sistem persamaan

Solution

Solusi/selesaian/penyelesaian

Linear function

Fungsi linear

Rate of change

Tingkat perubahan

Intercept

Perpotongan

Slope

Kemiringan 261

Istilah dalam Bahasa Inggris

Terjemahan ke dalam Bahasa Indonesia

Linear equations with two Unknowns/variables

Persamaan linear dua variabel

Parallel

Paralel

Perpendicular

Tegak lurus

Geometric figures

Bangun geometri

Polygon

Bangun datar segi banyak

Triangle

Segitiga

Isosceles triangle

Segitiga sama kaki

Equilateral triangle

Segitiga sama sisi

Right triangle

Segitiga siku-siku

Parallelogram

Jajargenjang

Quadrilateral

Segi empat

Hypotenuse

Hipotenusa (sisi miring dalam segitiga)

Vertex

Titik sudut (biasanya dalam konteks segi banyak)

Corresponding sides

Sisi-sisi bersesuaian

Vertical angles

Sudut-sudut bertolak belakang

Corresponding angles

Sudut-sudut bersesuaian

Alternate interior angles

Sudut dalam berseberangan

Interior angles

sudut dalam (biasanya dalam konteks segitiga, segi empat, atau segi-n)

Exterior angles

sudut luar (biasanya dalam konteks segitiga, segi empat, atau segi-n)

Acute angles

sudut lancip

Obtuse angles

sudut tumpul

Vertex angle

Sudut puncak (dalam konteks segitiga sama kaki)

Base angles

Sudut alas (dalam konteks segitiga sama kaki)

Bisector

Garis bagi

Midpoints

Titik tengah

Opposite sides

Sisi-sisi berhadapan

Rectangle

Persegi panjang

Rhombus

Belah ketupat

Squares

Persegi

Trapezoid

Trapesium

Probability

Peluang

Event

Kejadian

262