UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2

1. a. b. c.

Nama Mata Pelajaran : Matematika Wajib Semester : 1 (Satu) Kompetensi Dasar : 3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagiaan dengan induksi matematika. 4.2 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.

d. e. f.

Materi Pokok : Induksi Matematika Alokasi Waktu : 8 JP Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, dan penugasan, diharapkan kalian mampu menjelaskan tentang induksi matematika, menggunakannya untuk menyelesaikan soal sehingga diharapkan kalian mampu menghayati dan mengamalkan ajaran agama melalui belajar matematika, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggung jawab, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi, kolaborasi, kreativitas.

g.

Materi Pembelajaran : ➢ Fakta Permasalahan konstektual terkait induksi matematika ➢ Konsep - Pengertian dan prinsip induksi matematika - Penerapan induksi matematika ➢ Prosedur Langkah-langkah yang digunakan dalam induksi matematika

2.

1

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2

3. a.

Petunjuk Umum Penggunaan UKBM 1) Baca dan pahami materi tentang induksi matematika pada Buku Teks Pelajaran (BTP) Matematika Wajib SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Karya Sudianto Manullang dkk, Penerbit Kemendikbud 2017. 2) Setelah memahami isi materi, berlatihlah memperluas pengalaman belajar melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. 3) Kerjakan tugas-tugas di buku kerja yang sudah disiapkan sebelumnya. 4) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar, kalian dapat mengikuti tes formatif secara mandiri atau mengajak teman lainnya yang sudah siap agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya.

b.

Pendahuluan Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami narasi di bawah ini. Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami BTP halaman 127. Untuk dapat memahami konsep induksi matematika, silahkan kalian lanjutkan kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada pada UKBM ini.

c.

Kegiatan Inti Jika kalian sudah memahami apa yang harus kalian pahami dalam pembelajaran ini, selanjutnya ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran, tekun, dan mengerti kompetensi apa yang harus kalian kuasai.

Dalam matematika, ada beberapa hal yang dapat dibuktikan, seperti kalimat/pernyataan matematika atau rumus matematika. Ada beberapa cara untuk membuktikan dalam matematika yaitu dengan pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi matematika. Pada UKBM ini akan dipelajari lebih lanjut mengenai pembuktian dengan induksi matematika. Secara umum, induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli 𝑛 adalah bernilai benar untuk semua nilai 𝑛 yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu. Melalui induksi matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Perlu ditekankan bahwa dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus. Sebelum melakukan pembuktian, kalian perlu mengetahui pernyataan matematika yang biasa dibuktikan dengan induksi matematika. Pada BTP halaman 3-4 terdapat contoh permasalahan yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

2

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2

Pahami dan kerjakan kembali: 1. BTP halaman 4 untuk Masalah 1.1 2. BTP halaman 5 untuk Masalah 1.2 Setelah memahami dan mengerjakan permasalahan di atas, silahkan pelajari BTP halaman 6-7 mengenai pengertian prinsip induksi matematika. Tuliskan prinsip/langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika pada kotak berikut:

Apabila kalian sudah mampu menyelesaikan kegiatan di atas, maka kalian dapat melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Setelah kalian mengetahui prinsip induksi matematika, silahkan perhatikan contoh pembuktian dengan induksi matematika pada Contoh 1.1 – 1.3 BTP halaman 9-12. Contoh 1.3: Buktikan dengan aturan induksi matematika untuk pernyataan berikut. 1 1 1 𝑛 + + ⋯+ = 1∙2 2∙3 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 Jawab: (1) Dibuktikan: P(1) benar 1

1

𝑃(1) ≡ 1∙2 = 1+1 1 2 1 1+1

1

= 1+1 1

= 1+1 (benar)

3

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2 (2) Dianggap benar:

𝑃(𝑘) ≡

1

1

+

1∙2 2∙3 Akan dibuktikan kebenaran dari P(k+1): 1

1

1

+ ⋯+

1 𝑘(𝑘 + 1)

1

𝑘+1

1

𝑘

=

𝑘 𝑘+1

𝑃(𝑘 + 1) = 1∙2 + 2∙3 + ⋯ + 𝑘(𝑘+1) + (𝑘+1)(𝑘+2) = (𝑘+1)+1 𝑃(𝑘) 𝑘 𝑘+1

+ (𝑘+1)(𝑘+2) = (𝑘+1)+1 𝑘(𝑘+2)+1 (𝑘+1)(𝑘+2)

𝑘

= (𝑘+1)+1

𝑘 2 +2𝑘+1

𝑘

= (𝑘+1)+1 (𝑘+1)(𝑘+2) (𝑘+1)(𝑘+1) (𝑘+1)(𝑘+2) 𝑘+1 𝑘+2 𝑘 (𝑘+1)+1

Jadi,

1 1∙2

1

1

𝑘

= (𝑘+1)+1 =

𝑘 (𝑘+1)+1 𝑘

= (𝑘+1)+1 (benar)

𝑛

+ 2∙3 + ⋯ + 𝑛(𝑛+1) = 𝑛+1 (terbukti)

Setelah kalian memahami contoh soal di atas, silahkan kerjakan latihan soal berikut.

Kerjakan latihan soal berikut di buku tugas kalian Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini dengan aturan induksi matematika untuk setiap n bilangan asli. 1. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 2.

13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 =

𝑛2 (𝑛+1)2 4

4𝑛3 −𝑛 3 2𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 3

3.

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) =

4.

22 + 42 + 62 + ⋯ + (2𝑛)2 =

2

2

2

2

Apabila kalian sudah mampu menyelesaikan soal di atas, maka kalian dapat melanjutkan pada kegiatan belajar 3.

Selain pernyataan matematis berupa barisan dan deret yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika, ada pernyataan matematis lain dalam bentuk keterbagian dan ketidaksamaan yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Pada BTP kalian terdapat salah satu contoh penerapan induksi matematika pada keterbagian dan ketidaksamaan yaitu pada Contoh 1.5 dan 1.7 halaman 18 dan 21. 4

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2 Berikut contoh lain penerapan induksi matematika pada keterbagian dan ketidaksamaan. Pembuktian Ekspresi Keterbagian dengan Induksi Matematika Contoh 1: Buktikan bahwa, untuk n bilangan bulat positif selalu berlaku: (𝑛2 + 𝑛) habis dibagi 2. Pembuktian: Misalkan 𝑃(𝑛) ≡ (𝑛2 + 𝑛) habis dibagi 2 (1) Dibuktikan: P(1) benar 𝑃(1) ≡ (12 + 1) habis dibagi 2 2 habis dibagi 2 (benar) (2) Dianggap benar: 𝑃(𝑘) ≡ (𝑘 2 + 𝑘) habis dibagi 2 Hal ini berarti (𝑘 2 + 𝑘) = 2𝑡; 𝑡 bilangan asli Akan dibuktikan 𝑃(𝑘 + 1): 𝑃(𝑘 + 1) ≡ (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1) habis dibagi 2 (𝑘 + 1)(𝑘 + 1 + 1) (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 𝑘 2 + 3𝑘 + 2 𝑘 2 + 𝑘 + 2𝑘 + 2 (𝑘 2 + 𝑘) + 2𝑘 + 2 (𝑘 2 + 𝑘) + 2(𝑘 + 1) 2𝑡 + 2(𝑘 + 1) 2(𝑡 + (𝑘 + 1)) habis dibagi 2 (benar) 2 Jadi, (𝑛 + 𝑛) habis dibagi 2 (terbukti) Contoh 2: Buktikan 𝑛3 − 𝑛 habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan asli. Pembuktian: Misalkan 𝑃(𝑛) ≡ 𝑛3 − 𝑛 habis dibagi 6 (1) Dibuktikan: P(1) benar 𝑃(1) ≡ 13 − 1 = 0 habis dibagi 6 Pernyataan ini jelas bernilai benar, karena 0 habis dibagi dengan 6. Jadi, P(n) benar untuk n = 1 (2) Dianggap benar: 𝑃(𝑘) = 𝑘 3 − 𝑘 habis dibagi 6 Akan dibuktikan 𝑃(𝑘 + 1): 𝑃(𝑘 + 1) ≡ (𝑘 + 1)3 − (𝑘 + 1) habis dibagi 6 (𝑘 + 1)3 − (𝑘 + 1) = 𝑘 3 + 3𝑘 2 + 2𝑘 = (𝑘 3 − 𝑘) + (3𝑘 2 + 3𝑘) = (𝑘 3 − 𝑘) + 3𝑘(𝑘 + 1) Pernyataan terakhir terdiri dari dua suku. Suku pertama adalah (𝑘 3 − 𝑘) habis dibagi 6 berdasarkan asumsi sebelumnya yaitu 𝑃(𝑘) = 𝑘 3 − 𝑘 habis dibagi 6. Suku kedua

adalah 3𝑘(𝑘 + 1) juga habis dibagi 6 karena mengandung faktor 3 dan salah satu di antara k atau 𝑘 + 1 merupakan bilangan genap sehingga mengandung faktor 2. Perlu diingat bahwa, suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan itu habis dibagi 2 (genap) sekaligus habis dibagi 3. Oleh karenanya, 𝑃(𝑘 + 1) benar. Jadi, 𝑛3 − 𝑛 habis dibagi 6 (terbukti) 5

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2

Pembuktian Ekspresi Ketidaksamaan dengan Induksi Matematika Contoh: Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa 2𝑛 ≥ 𝑛 + 1 Pembuktian: Misalkan 𝑃(𝑛) ≡ 2𝑛 ≥ 𝑛 + 1 (1) Dibuktikan: P(1) benar 𝑃(1) ≡ 21 ≥ 1 + 1 2≥1+1 (1 + 1) ≥ 1 + 1 (benar) (2) Dianggap benar: 𝑃(𝑘) ≡ 2𝑘 ≥ 𝑘 + 1 Akan dibuktikan 𝑃(𝑘 + 1): 𝑃(𝑘 + 1) ≡ 2𝑘+1 ≥ (𝑘 + 1) + 1 2𝑘 ∙ 21 ≥ (𝑘 + 1) + 1 (𝑘 + 1). 2 ≥ (𝑘 + 1) + 1 2𝑘 + 2 ≥ (𝑘 + 1) + 1 𝑘 + 𝑘 + 1 + 1 ≥ (𝑘 + 1) + 1 (𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) ≥ (𝑘 + 1) + 1, hal ini berakibat 𝑘+1 ≥ 1 (𝑘 + 1) ≥ (0 ∙ 𝑘 + 1) Karena 1 ≥ 0 berakibat: 2𝑘 + 2 ≥ (𝑘 + 1) + 1, (benar) Jadi, 2𝑛 ≥ 𝑛 + 1 untuk n bilangan asli (terbukti) Setelah kalian memahami contoh soal di atas, silahkan kerjakan latihan soal berikut.

Kerjakan latihan soal berikut di buku tugas kalian 1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n selalu berlaku 𝑛(𝑛2 + 1) habis dibagi 3. 2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 24𝑛−1 habis dibagi 8 untuk setiap n anggota bilangan asli. 3. Buktikan dengan induksi matematika: a. 𝑃(𝑛) ≡

1 1 1 + 2+ 2 12 2 3 𝑛 𝑛

+ ⋯+

b. 𝑃(𝑛) ≡ 2 ≤ 3 − 1

1 𝑛2

<

7 4

6

UKBM 1-3.1/4.1/1.1-1.2 d.

Penutup Bagaimana kalian sekarang? Setelah kalian mengikuti proses kegiatan belajar ini, kalian dapat mengukur kemampuan diri dengan cara mengisi tabel berikut dengan penuh kejujuran. Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi No 1 2 3

Pertanyaan Saya telah memahami definisi dan prinsip induksi matematika Saya telah memahami konsep langkah pembuktian pernyataan matematis dengan induksi matematika Saya dapat menyelesaikan soal dengan pembuktian induksi matematika

Ya

Tidak

Jika menjawab “tidak” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) atau sumber lain yang relevan dan sekiranya diperlukan, kalian bisa minta bimbingan guru atau teman sejawat. Jika kalian menjawab “ya” pada semua pertanyaan maka lanjutkan langkah berikut.

Dimana posisimu? Ukurlah diri kalian melalui tes formatif dalam menguasai materi operasi vektor dalam rentang 0 – 100, tuliskan kedalam kotak yang tersedia.

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi operasi vektor, lanjutkan dengan meminta tes formatif kepada guru kalian sebelum belajar ke UKBM berikutnya.

4.

Sudianto Manullang dkk, Matematika Wajib SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Kemendikbud, Jakarta 2017. Sukino, Maestro Matematika SMA/MA Kelas XI IA (IPA), Masmedia, Bekasi 2019.

7