Data Loading...
SECOND DEGREE (M) Flipbook PDF
SECOND DEGREE (M)
125 Views
5 Downloads
FLIP PDF 2.16MB
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
PROBLEMAS ( 1) x ന്റെ വില കാണുക : (a) x2 = 36
(2) (x – 3)2 = 100
(d) x2 + 8x + 16 = 144
(e) x2 - 10x + 25 = 64
(c) (2x+3)2 = 81
Answer : (a) x2 = 36 , x = ± √36 = ± 6 (b) (x – 3)2 = 100 (x – 3) = ± √100
, x – 3 = ± 10
x – 3 = 10
or x – 3 = - 10
x = 10 + 3 = 13
or x = -10 + 3 = - 7
(c) (2x+3)2 = 81 2x + 3 = ± √81
2x + 3 = ± 9
2x + 3 = 9
or 2x + 3 = -9
2x = 9 – 3
or 2x = -9 - 3
2x = 6
or 2x = -12
x=6=3 2
or x = -12 = -6 2
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
(d) x2 + 8x + 16 = 144 (x + 4)2 = 144 x + 4 = ± √144 x + 4 = ± 12 x + 4 = 12
or x + 4 = -12
x = 12 – 4 = 8
or x = -12 – 4 = -16
(e) x2 - 10x + 25 = 64 (x - 5)2 = 64 x - 5 = ± √64 x-5=±8 x-5=8
or x – 5 = -8
x = 8 + 5 = 13
or x = -8 + 5 = -3
(2)
ആദ്യത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വശം = x രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വശം = x + 1 (x+ 1)2 = 36 x + 1 = √36 x+1=6
, x = 6 – 1 = 5 , ആദ്യത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വശം = 5 meter
(3)
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
(4)
(4)
WORK SHEET ( 1) Solve the following : (a) x2 = 81
(2) (x – 7)2 = 121
(d) x2 + 6x + 9 = 256
(e) x2 - 12x + 36 = 32
(c) (3x-2)2 = 49
(2)
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
SECOND DEGREE EQUATIONS 1
2,5,8........., എന്ന് തുടരുന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിലെ എത്രാമത്തെ പദത്തിന്റെ വര്‍ഗമാണ് 2500. ?
ശ്രേണി = 2,5,8,..... ആദ്യപദം (f) = 2
പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 5 – 2 = 3
n - ാം പദം = dn + f – d = 3n + 2 – 3 = 3n – 1 പദത്തിന്റെ വര്‍ഗം = 2500 (3n – 1)2 = 2500 3n – 1 = √2500 3n – 1 = 50 3n = 50 + 1 3n = 51 n = 51 = 17 3 പദത്തിന്റെ സ്ഥാനം = 17 2
P = 2000
N = 2 and A = 2205 R 2 ) =A 100 R 2 2000 (1 + ) = 2205 100 R (1 + )2 = 2205 100 2000 R 2 441 (1 + ) = 100 400 R 21 1+ = 441 = 100 20 400 R = 21 - 1 = 21 - 20 = 1 20 20 100 20 1 1 100 R = 100 × = = 5 , Rate of interest = 5 % 20 20 P( 1 +
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
3
വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം എന്ത് ? വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം = x മീറ്റര്‍ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = x2 2 മ‍ഞ്ഞചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × x × 1 = 2x
x
നീല ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 12 = 1
x
ആകെ പരപ്പളവ് = 100
1 1
x
x2 + 2x + 1 = 100 (x+1)2 = 100
x
x + 1 = √ 100 = 10 x = 10 – 1 = 9 x വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം = x മീറ്റര്‍ = 9 meter
1
WORKSHEET
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
1
1
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ 1
നീളം= x , ആയാല്‍ വീതി= x-2
വർഗതികവ് രീതി x ന്റെ ഗുണോത്തരം= -2
പരപ്പളവ് = 224
-2
x(x-2) = 224
ഗുണോത്തരത്തിന്റെ പകുതി = 2 = -1 പകുതിയുടെ വർഗം = (-1)2 = 1
x2 – 2x = 224 x2 – 2x + 1 = 224 + 1
സമവാക്യത്തിന്റെ 2 ഭാഗത്തും 1 കൂട്ടുക
( x – 1)2 = 225 x – 1 = √ 225 x – 1 = 15 x = 15 + 1 = 16
നീളം = x = 16 മീറ്റർ , വീതി = x – 2 = 16 – 2 = 14 മീറ്റർ 2
തുടർച്ചയായ ഇരട്ട സംഖ്യകൾ = x , x+2 x(x+2) + 1 = 289 x2 + 2x + 1 = 289 (x + 1)2 = 289 x + 1 = √ 289 x + 1 = 17
വർഗതികവ് രീതി x ന്റെ ഗുണോത്തരം= 2 ഗുണോത്തരത്തിന്റെ പകുതി = 2 = 1 2
പകുതിയുടെ വർഗം = (1)2 = 1 സമവാക്യത്തിന്റെ 2 ഭാഗത്തും 1 കൂട്ടുക
x = 17 – 1= 16
ഇരട്ട സംഖ്യകൾ= x , x + 2 = 16 , 16 + 2 = 16 , 18 JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
3. 3
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 100 മീറ്ററും അതിൻ്റെ പരപ്പളവ് 525 ച.മീറ്ററും ആയാൽ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കാണുക. ചുറ്റളവ് = 100 2 ( നീളം + വീതി) = 100 നീളം + വീതി =
100 = 50 2
നീളം = 25 + x ആയാൽ വീതി = 25 – x പരപ്പളവ് = 525 ( 25 + x )( 25 – x ) = 525 252 – x2 = 525 625 – x2 = 525 - x2 = 525 – 625 - x2 = -100 x2 = 100 x = √ 100 = 10
നീളം = 25 + x = 25 + 10 = 35 മീറ്റർ , വീതി = 25 – x = 25 – 10 = 15 മീറ്റർ Worksheet 1.
രണ്ട് അധിസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം 6 ഉം അവയുടെ ഗുണനഫലം 216 ഉം ആയാൽ സംഖ്യകൾ കാണുക.
2.
6 ന്റെ അടുത്തടുത്ത 2 ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ കൂടെ 9 കൂട്ടിയാല്‍ 729 കിട്ടും.സംഖ്യകള്‍ ?
3.
വർഗതികവ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് x ന്റെ വില കാണുക. (a) x2 + 8x = 9
(b) x2 - 12x = -35
(c) x2 + 5x = 24
(d) x2 + 3x = 40
(e) x2 + 10x + 16 = 0
(f) x2 - 5x - 36 = 0
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ 1.
5,7,9,......... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാലാണ് 140 കിട്ടുക. ആദ്യ പദം( f ) = 5 പൊതു വ്യത്യാസം ( d) = 7 – 5 = 2 {p= d = 2=1 , 2 2
q=f- d =5–1=4 2 2 ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = pn + qn = n2 + 4n
തുക = 140 n2 + 4n = 140 n2 + 4n + 4 = 140 + 4 (n + 2)2 = 144 n + 2 = √144 = 12
Height
Base
1 x(x-2) = 12 2 x(x-2) = 12 × 2 = 24
A
x2 – 2x = 24
6–2=4m
(2)
പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 12 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതു പോലെ ഒരു സമ പാർശ്വ ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കണം . ഉയരം, പാദത്തേക്കാൾ 2 മീറ്റർ കുറവാകണം. പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്ര മീറ്ററുമാകണം. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തായിരിക്കണം. പാദം = x , ആയാൽ ഉയരം = x – 2
x2 – 2x + 1 = 24 + 1 (x -1)2 = 25 x – 1 = √25 = 5
B
C 3m
x=5+1=6 AB = AC = √ 32 + 42 = √ 9 + 16 = √25 = 5 cm , BC = 6 cm
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
3m
WORK HEET
2.6 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കമ്പ് ചുവരിൽ വച്ചിരിക്കുന്നു. കമ്പിന്റെ ചുവട് ഭിത്തിയില്‍ നിന്ന് 1 മീറ്റർ അകലെയാണ്.കമ്പിന്റെ താഴത്തെ അറ്റം ചുവരിൽ നിന്ന് അല്പം മുന്നോട്ട് നീക്കിയപ്പോൾ മുകളറ്റം അത്രയും തന്നെ താഴോട്ട് നീങ്ങി. എത്ര ദൂരമാണ് മുന്നോട്ട് നീക്കിയത്.?
് കമ്പ
ഭിത്തി
1.
തറ 2.
9,11,13 …..എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ കുറച്ചു പദങ്ങളുടെ തുകയും 16 ഉം കൂട്ടിയപ്പോൾ 256 കിട്ടി. എത്ര പദങ്ങളാണ് കൂട്ടിയത്.
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ 1
ഒരു സംഖ്യയും അതിനോട് 4 കൂട്ടിയതും തമ്മിൽ ഗുണിച്ചപ്പോൾ 480 കിട്ടി സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്? സംഖ്യകൾ = x ,x + 4
x (x+4) = 480
x2 + 4x = 480 x2 + 4x + 4 = 480 + 4 (x + 2)2 = 484 x + 2 = ±√484 x + 2 = ±22 x + 2 = 22
or x + 2 = - 22
x = 22 – 2 = 20
or x = -22 – 2 = - 24
സംഖ്യകൾ = x,x+4 = 20,20 + 4 = 20 , 24 സംഖ്യകൾ= x , x+4 = -24 , -24 + 4 = -24, -20 2.
തുക 6 ഉം ഗുണനഫലം -27 ഉം വരുന്ന 2 സംഖ്യകൾ കണ്ടു പിടിക്കുക. തുക = 6 , സംഖ്യകൾ = 3 + x , 3 – x (3 + x) (3-x) = -27 32 – x2 = -27
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
9 – x2 = -27 - x2 = - 27 – 9 -x2 = -36 x2 = 36
x = ±√36 x = ±6
,
സംഖ്യകൾ = 3 + x , 3 – x
= 3 + 6, 3 – 6 = 9 , -3 സംഖ്യകൾ = 3 + x , 3 – x
= 3 + -6 , 3 - -6 = -3 , 3 + 6 = -3,9 WORK SHEET 1.
ഒരു സംഖ്യയും അതിനോട് 2 കൂട്ടിയതും തമ്മിൽ ഗുണിച്ചപ്പോൾ 168 കിട്ടി സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
2.
തുക 4 ഉം ഗുണനഫലം -77 ഉം വരുന്ന 2 സംഖ്യകൾ കണ്ടു പിടിക്കുക.
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
SECOND DEGREE EQUATIONS (1)
തുക 4 ഉം ഗുണനഫലം 2 ഉം വരുന്ന 2 സംഖ്യകൾ കണ്ടു പിടിക്കുക. തുക = 4 , സംഖ്യകൾ = 2 + x , 2 – x
(2 + x) (2-x) = 2 22 – x2 = 2 4 – x2 = 2 - x2 = 2 - 4 -x2 = -2 x2 = 2 x = ±√2 , സംഖ്യകൾ = 2+ x , 2 – x
= 2+ √2 , 2 - √2 സംഖ്യകൾ = 2 + x , 2 – x
= 2 - √2 , 2 + √2 (2)
99,97,95,.... എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാലാണ് 900 കിട്ടുന്നത് . ശ്രേണി = = 99,97,95,......... ആദ്യ പദം(f) = 99 , പൊതു വ്യത്യാസം(d) = 97 – 99 = -2 p = d = -2 = -1 2
2
q = f - d = 99 - -1 = 99 + 1 = 100 2
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = pn2 + qn = - n2 + 100 n - n2 + 100 n = 900 n2 – 100n = -900
{ multiplying through out by - 1 }
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
n2 – 100n = -900 n2 – 100n + 2500 = -900 + 2500 (n – 50 ) 2 = 1600 n – 50 = ±√1600 = ±40 n – 50 = 40
or n – 50 = - 40
n = 40 + 50
or n = -40 + 50
n = 90
or n = 10
പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 90 , 10 28 cm നീളമുള്ള ഒരു കമ്പി വളച്ച് ഒരു ചതുരമുണ്ടാക്കണം. ( i )വികർണത്തിന്റെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ?. (ii) വികർണത്തിന്റെ നീളം 10 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ?. (iii) വികർണത്തിന്റെ നീളം 14 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ? ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം കാണുക. (i)ചുറ്റളവ്= 28 2 (നീളം + വീതി) = 28
28 നീളം + വീതി = 2 = 14
വശങ്ങൾ= 7 + x , 7 – x
8
7-x
(3)
7+x
നീളം2 + വീതി2 = വികർണം2 (7 + x)2 + (7 – x)2 = 82 72 + 2 × 7 × x + x2 + 72 - 2 × 7 × x + x2 = 64 49 + 14x + x2 + 49 – 14 x + x2 = 64 2x2 + 98 = 64 2x2 = 64 – 98 2x2 = -34 x2 = -34 = - 17 2
ഒരു പദത്തിന്റേയും വർഗം ന്യൂനസംഖ്യ വരില്ല. അതു കൊണ്ട് ചതുരം നിർമിക്കാൻ സാധ്യമല്ല.
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
(ii)ചുറ്റളവ്= 28 28
നീളം + വീതി = 2 = 14 വശങ്ങൾ= 7 + x , 7 – x 2
2
നീളം + വീതി = വികർണം
7-x
10
2 (നീളം + വീതി) = 28
7+x 2
(7 + x)2 + (7 – x)2 = 102 72 + 2 × 7 × x + x2 + 72 - 2 × 7 × x + x2 = 100 49 + 14x + x2 + 49 – 14 x + x2 = 100 2x2 + 98 = 100 2x2 = 100 – 98 2x2 = 2 x2 = 2 = 1 2
x = ±√1 =± 1 വശങ്ങൾ= 7 + x , 7 – x= 7 + x , 7 – x = 7 + 1 , 7 – 1 = 8 cm , 6 cm വശങ്ങൾ= 7 + x , 7 – x= 7 + x , 7 – x = 7 + -1 , 7 – -1 = 6 cm , 8 cm
14
2 (നീളം + വീതി) = 28 28
നീളം + വീതി = 2 = 14 വശങ്ങൾ= 7 + x , 7 – x 2
2
നീളം + വീതി = വികർണം
7+x 2
(7 + x)2 + (7 – x)2 = 102 (7 + x)2 + (7 – x)2 = 142 72 + 2 × 7 × x + x2 + 72 - 2 × 7 × x + x2 = 196 49 + 14x + x2 + 49 – 14 x + x2 = 196 2x2 + 98 = 196 2x2 = 196 – 98
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
7-x
(ii)ചുറ്റളവ്= 28
2x2 = 98 x2 = 98 = 49 2
x = ±√49 =± 7 വശങ്ങൾ= = 7 + x , 7 – x = 7 + 7 , 7 – 7 = 14 cm , 0 cm വശങ്ങൾ= = 7 + x , 7 – x = 7 + -7 , 7 – -7 = 0 cm , 14 cm. ഒരു വശം പൂജ്യം സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരം നിർമിക്കാൻ കഴിയില്ല
WORKSHEET (1)
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിനോട് ചേർന്ന് 8 സെന്റിമീറ്റർ വീതിയിൽ ഒരു ചതുരം മുറിച്ചു മാറ്റി. ബാക്കി വരുന്ന ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 84 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററായാൽ സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം കാണുക
(2)
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളം വീതിയുടെ 3 മടങ്ങിനേക്കാൾ 3 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. അതിന്റെ വികർണം നീളത്തേക്കാൾ 1 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും കാണുക.
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
രണ്ടാംകൃതിസമവാക്യങ്ങള്‍ രണ്ടാംകൃതിസമവാക്യങ്ങളു‍ടെ പൊതുരൂപം ax2 + bx + c = 0 , a≠0 പരിഹാരങ്ങള്‍
x=
-b ± √b2 – 4ac 2a
(1) 3x2 + 2x - 1 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം കാണുക
WORKSHEET (1)
സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം കാണുക (a) x2 – 9x + 20 = 0
(b) x2 – 11x - 26 = 0
(c) 6x2 + 5x - 6 = 0
(d) 3x2 + 14x - 5 = 0
(e) 2x2 – 7x + 6 = 0
(f) 2x2 – 9x - 5 = 0
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
രണ്ടാംകൃതിസമവാക്യങ്ങള്‍ 1
1 + 2 + 3 + .................+ n = 300 n(n+1) = 300 2
n(n+1) = 2 × 300 n2 + n = 600 n2 + n – 600 = 0 a = 1 , b = 1 , c = -600 x=
-b ± √b2 – 4ac 2
-1 ± √12 – 4 ×1 × -600 x= 2 -1 ± √12 + 2400 x= 2 x = -1 ± √2401 = -1 ± 49 2 2 -1 + 49 48 x= = 2 = 24 2
പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 24 2
തെറ്റായ ചുറ്റളവ് = 24 2( നീളം +വീതി ) = 24 2( 10 + വീതി) = 24 24
10 + വീതി = 2 10 + വീതി = 12
വീതി = 12 – 10 = 2 പരപ്പളവ് = നീളം × വീതി = 10 × 2 = 20 m2
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
ശരിയായ ചുറ്റളവ് = 42
,
ശരിയായ പരപ്പളവ് = 20
2( നീളം +വീതി )= 42 നീളം +വീതി = 42 2
വശങ്ങള്‍ = 10.5 + x , 10.5 – x (10.5 + x)(10.5 – x) = 20 10.52 – x2 = 20 110.25 – x2 = 20 – x2 = 20 – 110. 25 – x2 = - 90.25 x2 = 90.25 x = √90.25 = 9.5 വശങ്ങളുടെ അളവുകള്‍= 10.5 + x , 10.5 – x = 10.5 + 9.5 ,10.5 – 9.5 = 20 meter ,1 meter 3
തെറ്റായ ഉത്തരം
x=4,x=6 x–4=0,x–6=0 (x – 4)(x-6) = 0 x2 – 6x – 4x + 24 = 0 x2 – 10x + 24 = 0
തെറ്റായ രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം, x2 – 10x + 24 = 0
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR
ശരിയായ രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം , x2 – 10x – 24 = 0 x2 – 10x – 24 = 0 x2 – 10x = 24 x2 – 10x + 25 = 24 + 25 ( x – 5)2 = 49 x -5 = ±√ 49 x–5 =±7 x–5=7
Or
x – 5 = -7
x = 7 + 5 = 12
Or
x = - 7 + 5 = -2
ശരിയായ ഉത്തരം = 12 , -2 WORKSHEET 1 2
3
കൂടുതല്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് താഴെയുളള ലിങ്കില്‍ Click ചെയ്യുക രണ്ടാംകൃതിസമവാക്യങ്ങള്‍ (ചോദ്യങ്ങള്‍)
JITHESH P / HST MATHS / GGVHSS WANDOOR