Data Loading...
SodaPDF-merged-Merging Result (1) Flipbook PDF
SodaPDF-merged-Merging Result (1)
108 Views
80 Downloads
FLIP PDF 447.15KB
DERET ANGKA & DERET HITUNG
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan kehadiran Tuhan Yang Maha Esa atas berkat, rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun bahan ajar interaktif matematika ekonomi berbasis pendekatan saintifik. Bahan ajar interaktif ini desain sedemikian rupa dengan tujuan dapat membantu Dosen serta memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk menggali informasi serta membangun pengetahuan dan pemahaman mahasiswa tentang matematika dalam bidang ekonomi pada pembelajaran matematika ekonomi khususnya dalam materi Deret Ukur dan Deret Hitung. Bahan hajar interaktif ini dirancang sesuai dengan prinsip dan karakteristik pendekatan saintifik untuk meningkatkan kemampuan komunikasi mahasiswa tentang matematika dalam bidang ekonomi selanjutnya bahan ajar ini di desain dengan mengintegrasikan berbagai fitur (teks gambar audio dan animasi). Adapun isi materi dalam ajar interaktif ini terdiri atas kegiatan-kegiatan pembelajaran yang menuntut siswa secara aktif dan mandiri untuk terlibat dalam pembelajaran melalui penyajian masalah kontekstual dan prosedur pemisahan masalah secara ilmiah dengan menggunakan langkah-langkah pendekatan saintifik yang terdiri dari kegiatan : mengamati, menanya ,menggali informasi, menalar, serta mengkomunikasikan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah ikut berpartisipasi membantu penulis dalam mengembangkan bahan ajar interaktif ini kepada orangtua, rekan mahasiswa serta dosen pembimbing yang memberikan masukan bimbingan dan saran dalam perwujudan bahan ajar interaktif ini. Namun demikian penulis menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Penulis sangat terbuka atas kritik saran dan masukkan dari pembaca sebagai perbaikan untuk penyempurnaan bahan ajar ini. Semoga bahan ajar interaktif ini bermanfaat bagi mahasiswa serta dosen dalam pelaksanaan kegiatan pembelajaran.
i
DAFTAR ISI i
KATA PENGANTAR
ii
DAFTAR ISI
iii
PETA KONSEP CAPAIAN BELAJAR
1
PETUNJUK PENGGUNAAN
1
A. URAIAN MATERI
1 2
1) Deret Hitung > Suku ke-n Deret Hitung
2
> Jumlah Suku ke-n Deret Hitung
2 3
2) Deret Ukur > Suku ke-n Deret Hitung
3
> Jumlah Suku ke-n Deret Hitung
4
3) Penerapan Deret Hitung dan Deret Ukur Dalam Ekonomi
5
> Modal Perkembangan Usaha
5
> Model Bunga Majemuk
6
B. RANGKUMAN
7
C. EVALUASI
7
ii
PETA KONSEP DERET
Deret Ukur
Deret Hitung
Penerapan Dalam Ekonomi
Rangkuman
Soal Evaluasi
iii
Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari, memahami, dan mencermati materi dan evaluasi yang dipaparkan dalam handout ini, diharapkan mahasiswa mampu mengerjakan soal – soal yang berkaitan dengan deret ukur beserta deret hitung dan mampu menerapkannya atau mengaplikasikannya dalam ekonomi.
Petunjuk Penggunaan 1. Bacalah handout dengan cermat dan runtut serta catatlah hal-hal yang menjadi informasi penting. 2. Jika terdapat hal-hal yang tidak dipahami, tanyalah kepada dosen. 3. Setelah membaca handout, dilanjutkan dengan mengerjakan tes diakhir materi pembelajaran.
A. Uraian Materi Pengertian Dan Macam Deret Bilangan Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang menyusun deret disebut suku. Deret bilangan yaitu jumlah dari suku – suku dari suatu barisan . Jika U1 , U2 , U3 , U4 , . Disebut dengan barisan bilangan , maka bentuk deret bilangan adalah U1 + U2 + U3 +…
CONTOH
3 + 7 + 11 + 15 + . . .
Dilihat dari segi perubahan pola bilangan, deret dibedakan : 1. Deret hitung (deret aritmetika) 2. Deret ukur (deret geometri)
1
1. DERET HITUNG Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda. Pembeda dapat ditentukan dari selisih 2 suku yang berurutan. Dalam deret hitung, perbedaan atau selisih dari satu suku ke suku berikutnya selalu sama. Selisih suku ke-1 dengan suku ke-2 akan sama dengan selisih suku ke-2 dengan suku ke-3, atau suku ke-3 dengan suku ke-4 dan seterusnya. Jadi selisih dari suku ke n dengan suku ke n+1 dalam deret hitung adalah selisih yang tetap.
4,7,10,13,16,19, .... (pembeda = 3) 45,40,35,30,25, ..... (pembeda = -5) 87, 80, 73, 66, 59, … (pembedanya adalah -7)
CONTOH
Suku ke – n Deret Hitung. Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah derert hitung dapat dihitung melaluhi rumus.
4 7 10 13 U1 U2 U3 U4 U1 = 4 U2 = 7 U3 = 10 U4 = 13 U5 = 16 U6 = 19
=a = a + (2 - 1)b = a + (3 - 1)b = a + (4 - 1)b = a + (5 - 1)b = a + (6 - 1)b
CONTOH
16 U5
19 U6 Maka di peroleh rumus :
Un = a + (n - 1)b dimana : a : Suku pertama atau S1 b : Pembeda n : Indeks Suku
Sebagai contoh, nilai suku ke-25 dari deret hitung diatas adalah: U25 = a + (n – 1)b = 4 + (25 - 1) 3 = 4 + 72 = 76
Jumlah Suku ke - n Deret Hitung Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan. Untuk mencari nilai dari suatu suku kita dapat langsung menggunakan rumus.
Sn = n/2 (a + Un) Sn = n/2 (2a + (n-1)b) Dimana : Sn = Jumlah Suku ke N n = Banyaknya Suku b = Rasio atau Beda a = Suku Pertama atau U1
2
CONTOH Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + … + U10. Tentukan: jumlah sepuluh suku pertama (S10)! Penyelesaian : Diketahui :a=3;b=4 DItanya : S10 ? Jawab : Un = a + (n - 1) = 3 + (10 - 1)4 = 3 + 36 = 39 Cara 1 S10 = n/2 (a + Un) = 10/2 (3 + 39) = 5 . 42 = 210 Cara 2 S10 = n/2 [2a + (n - 1)b] = 10/2 [2(3) + (10 - 1)4] = 5 [6 + 36] = 210
2. DERET UKUR Deret ukur adalah deret yang suku-sukunya memiliki perbandingan yang sama (jika dibandingkan dengan suku sebelumnya secara beruturan). Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membeda-bedakan suku – suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yaitu merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.
CONTOH
3,9,27,81 .... (pengganda = 3) 2 4 8 16 32 64 128 256, ... (pengganda = 2)
Suku-suku di atas memiliki perbandingan yang sama dengan suku sebelumnya, U2/U1 =U3/U2 = U4/U3 dan seterusnya. Pengganda (dilambangkan dengan huruf ‘r’) pada contoh 1 adalah 3 dan 2 pada contoh 2
Suku ke – n Deret Hitung. Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah derert hitung dapat dihitung melalui rumus.
3 9 27 81 U1 U2 U3 U4 r = U2/U1 U2 = a x 3^(1) U3 = a x 3^(2) U4 = a x 3^(3) U5 = a x 3^(4) U6 = a x 3^(5)
243 U5
729 U6
=3 = a x 3^(2 - 1) -----------> U2 = a x 3^(2 - 1) = a x 3^(3 - 1) -----------> U3 = a x 3^(3 - 1) = a x 3^(4 - 1) -----------> U4 = a x 3^(4 - 1) = a x 3^(5 - 1) -----------> U5 = a x 3^(5 - 1) = a x 3^(6 - 1) -----------> U6 = a x 3^(6 - 1)
3
Maka di peroleh rumus :
Un = ar^(n - 1) dimana : a : Suku pertama atau S1 r : Rasio n : Indeks Suku
CONTOH Sebagai contoh, nilai suku ke-10 dari deret ukur diatas adalah: U10 = ar^(n – 1) = 3^(10 - 1) U10 = 3.3^(9) = 3. 19683 = 59.049
Jumlah Suku ke – n Deret Hitung. Jumlah nilai dari suku pertama sampai dengan suku tertentu dalam deret ukur dapat kita hitung juga menggunakan sebuah rumus.
Sn = [a(r^(n) - 1)]/(r - 1) Untuk r > 1 Sn = [a(1 - r^(n))]/(1 - r) Untuk r < 1 Dimana : Sn = Jumlah Suku ke N n = Banyaknya Suku r = Rasio atau Beda a = Suku Pertama atau U1
CONTOH Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan : S10 Penyelesaian : Diketahui : U3 = 18; U6 = 486 DItanya : S10 ? Jawab : U6 = 486 ---> a . r^(5) = 486 U3 = 18 ---> a . r^(2) = 18 [(U^(6)] / [(U^(3)] = 486 / 18 = [a . r^(5)] / [a . r^(2)] r^(3) = 27 r = 18 a . r^(2) = 18 a . 3^(2) = 18 a.9 = 18 a = 18 Sn = [a(r^(n) - 1)] / (r - 1) Untuk r > 1 S10 = [2(3^(10) - 1)] / (3 - 1) S10 = [2(59048)] / 2 S10 = 59048
4
3. PENERAPAN DERET HITUNG DAN DERET UKUR DALAM EKONOMI Prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi baik secara langsung maupun tidak langsung. Prinsip deret hitung diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan, kemudian deret ukur digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan. Apabila perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala berpola seperti perubahan nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang digunakan untuk menganalisisnya adalah teori deret yang relevan.
Modal Perkembangan Usaha Pada perkembangan usaha terdapat variable yang ada yaitu produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, dan penanaman modal. Apabila perkembangan masing-masing variable berpola seperti deret hitung, maka prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Maksudnya adalah variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari suatu waktu ke waktu berikutnya.
Contoh Besarnya penerimaan P.T Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta? Penyelesaian : Penerimaan tahun ke-5 : U5 = 720 U5 = a + (5 - 1)b 720 = a + 4b ..............(1) Penerimaan tahun ke-7 : U7 = 980 U7 = a + (7-1)b 980 = a + 6b .............(2) Eliminasi persamaan 1 dan 2 maka diperoleh b = 130 Lalu subtitusi nilai b ke persamaan 1 720 = a + 4b 720 = a + 4(130) a = 200 (Maka penerimaan pada tahun pertama = a = Rp. 200 juta) Penerimaan tahun ke - n = 460 juta Un = a + (n - 1)b 460 = 200 + (n - 1) 130 460 = 200 + 130n - 130 130n = 390 n = 3 Maka dari itu jumlah penerimaan sebesar Rp 460 Juta terjadi pada tahun ketiga.
5
Model Bunga Majemuk Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa akan datang berdasarkan tingkat bunganya. Modal Pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut: Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i) Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i )^(2) Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )^(3) Dengan demikian, jumlah masa datang dari jumlah sekarang adalah: Fn= P (1 + i )n P = Jumlah sekarang I = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun
Contoh Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? ? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia? Penyelesaian : P = 5.000.000 N=3 i = 2 % = 0,02 Fn= P (1 + i )n F3 = 5.000.000 P (1 + 0,02 )^(3) = 5.000.000 (1,061208) = 5.306.040 Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun Nadhia harus membayar Rp. 5.306.040 Jika bunga di perhitungkan tiap semester, m = 2 maka: Fn = (1 + i/m) mn F3 = 5.000.000 (1 + 0,01)^[(2)(3)] F3 = 5.000.000 (1.0615) F3 = 5.307.500 Jadi jumlah yang harus dibayar lebih besar yaitu Rp. 5.307.500
6
B. Rangkuman Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah - kaidah tertentu. Bilangan - bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan - bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya. Dari segi pola perubahan bilangan ada suku - sukunya, deret bisa dibeda - bedakan menjadi deret hitung (aritmatika) dan deret ukur (geometri). Di mana deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Dan deret ukur adalah deret yang sukusukunya memiliki perbandingan yang sama (jika dibandingkan dengan suku sebelumnya secara beruturan). Dalam Ilmu Ekonomi Deret Hitung dan Deret Ukur banyak digunakan dalam hal menghitung pertumbuhan penduduk dan pangan, mengukur biaya produksi dan pendapatan, serta menghitung bunga majemuk dalam dunia perbankan
C. Evaluasi Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan: a. beda deret aritmatika tersebut, b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut Perhatikan deret bilangan geometri berikut: 2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn ! Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 100 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ? Tabungan Bagus dari menyisihkan uang jajannya adalah sebesar Rp. 35.000 pada bulan kelima dan sebesar Rp. 45.000 pada tahun ketujuh. Apabila Bagus menabung secara konstan dari bulan ke bulan, pada bulan ke berapa tabungannya mencapai Rp. 50.000 ?
7
Adapun Video Pembelajaran yang Dapat Mempermudah dalam Pemahaman Materi Deret Ialah Sebagai Berikut