Data Loading...
transformasi geometri Flipbook PDF
transformasi geometri
101 Views
64 Downloads
FLIP PDF 577.13KB
BAB II PEMBELAJARAN A. KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 TRANSFORMASI GEOMETRI 1. Tujuan Tujuan yang diharapkan setelah mempelajari kegiatan pembelajaran ini peserta didik diharapkan mampu: a. Menentukan bayangan titik hasil transformasi geometri dengan teliti dan cermat b. Menentukan bayangan garis hasil transformasi geometri dengan teliti dan cermat c. Mengkorelasikan masalah dengan transformasi geometri yang sesuai dengan percaya diri d. Mengemukakan
penyelesaian
masalah
transformasi
geometri
dengan
percaya diri 2. Indikator Pencapaian Kompetensi a. Menentukan bayangan titik hasil transformasi geometri b. Menentukan bayangan garis hasil transformasi geometri c.
Mengkorelasikan masalah dengan transformasi geometri yang sesuai
d. Mengemukakan penyelesaian masalah transformasi geometri 3. Uraian Materi 1) Definisi Transformasi merupakan proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Jenisjenis transformasi: 1. Translasi (perpindahan) 2. Refleksi (pencerminan)
3. Rotasi (perputaran) 4. Dilatasi (perbesaran) 1. Translasi Translasi disebut juga dengan pergeseran, yaitu suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
a Jika translasi T = memetakan titik P(x,y) ke P’ (x’,y’), maka: b x’ = x + a y’ = y + b ditulis dalam bentuk matriks:
x' x a y' y b atau dapat ditulis sebagai: T a b
P (x,y) P’(x + a, y + b) Contoh: 1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(0,0), B(5,0) dan C(3,2). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila ditranslasi oleh T
1 = 3 Penyelesaian: T 1
3 titik A (0,0) A’(0+1, 0+3) = A’(1,3)
T 1 3
titik B (5,0) B’(5+1, 0+3) = B’(6,3) T 1
3 titik C (3,2) C’ (3+1, 2+3) = C’(4,5)
1 2. Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 9 oleh translasi T= 3 adalah… Penyelesaian:
1 Karena translasi T = , maka: 3 x’ = x – 1 → x = x’ + 1.…. (1) y’ = y + 3 → y = y’ – 3….. (2) 1. dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 9 diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 9. Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 2. Refleksi Refleksi disebut juga dengna pencerminan, yaitu suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Bangun yang dicerminkan dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. a. Refleksi terhadap sumbu x y P(x,y)
x
P’(x,-y)
Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’, y’) = P’(x, -y), sehingga dalam bentuk matriks ditulis sebagai berikut: x’ = x y’ = -y
x' 1 0 x y ' 0 1 y 1 0 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x. Jadi, 0 1 Pencerminan terhadap sumbu x juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) →
P’(x, -y)
Contoh: 1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(3,1), B(0,-2) dan C(-3,4). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x! Penyelesaian: Pencerminan terhadap sumbu x P(x,y)
P’(x, -y)
A(3,1)
A’(3,-1)
B(0,-2)
B’(0,2)
C(-3,4)
C’(-3,-4)
2. Bayangan garis 3x – 2y + 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah… Penyelesaian: Oleh pencerminan terhadap sumbu x, maka: x’ = x
x = x’
y’ = -y
y = -y’
x = x’ dan y = -y’ disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 3 = 0
diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 3 = 0 3x’ + 2y’ + 3 = 0 Jadi, bayangannya adalah 3x + 2y + 3 = 0 b. Refleksi terhadap sumbu y y
P(-x,y)
P’(x,y)
x
Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-x,y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x’ = -x y’ = y
x' 1 0 x y ' 0 1 y 1 0 Jadi, 0 1 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu y. Pencerminan terhadap sumbu y juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) → Contoh :
P’(-x, y)
1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(3,1), B(0,-2) dan C(-3,4). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu y! Penyelesaian: Pencerminan terhadap sumbu y P(x,y)
P’(-x, y)
A(3,1)
A’(-3,1)
B(0,-2)
B’(0,-2)
C(-3,4)
C’(3,4)
2. Tentukan bayangan kurva y = x2 + x oleh pencerminan terhadap sumbu y. Penyelesaian: Pencerminan terhadap sumbu Y maka: x’ = -x → x = -x’ y’ = y → y = y’ substitusikan x = -x’ dan y = y’ ke y = x2 + x diperoleh: y’ = (-x’)2 + (-x’) y’ = (x’)2 – x’ Jadi, bayangannya adalah y = x2 – x c. Refleksi terhadap garis x = h y
P’(2h-x,y) P(x,y)
x
x=h
Berdasarkan gambar sebelumnya, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(2h – x, y). Pencerminan terhadap garis x = h juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) →
P’(2h – x, y)
Contoh : 1. Tentukan bayangan titik A(2,4) setelah direfleksikan terhadap garis x= -3. Penyelesaian: P (2,4) →
P’(2.(-3) – 2, 4)
P (2,4) →
P’(-8, 4)
2. Tentukan bayangan kurva y2 = x – 1 oleh pencerminan terhadap garis x=2. Penyelesaian: Pencerminan terhadap garis x = 2 maka: x’ = 2m – x → x = 2m – x’ = 2.2 – x’ = 4 – x’ y’ = y → y = y’ substitusikan x = 4 – x’ dan y = y’ ke y2 = x – 1 diperoleh: (y’)2 = (4 – x’) – 1 (y’)2 = 3 – x’ Jadi, bayangannya adalah y2 = 3 – x d. Refleksi terhadap garis y = k y
P(x,y)
y=k x P’(x,2k-y)
Berdasarkan gambar, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(x,2k-y). Pencerminan terhadap garis y = k juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) →
P’(x, 2k – y)
Contoh: 1. Tentukan bayangan titik A(2,4) setelah direfleksikan terhadap garis y= 6. Penyelesaian: P (2,4) →
P’(2, 2.6 – 4)
P (2,4) →
P’(2,8)
2. Tentukan bayangan kurva x2 + y2 = 5 oleh pencerminan terhadap garis y = -1. Penyelesaian: Pencerminan terhadap garis y = -1 maka: x’ = x x = x’ y’ = 2n – y y’ = 2(-1) – y y’ = -2 – y y = -y’ – 2 substitusi x = x’ dan y = -y’ – 2 ke x2 + y2 = 5 (x’)2 + (-y’ – 2)2 = 5 (x’)2 +((-y’)2 + 4y’ + 4) – 5 = 0 Jadi, bayangannya: x2 + y2 + 4y – 1 = 0
e. Refleksi terhadap garis y = x y y=x P’(y,x)
P(x,y)
x
Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(y,x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x’ = y y’ = x
x' 0 1 x y ' 1 0 y 0 Jadi, 1
1 adalah matriks pencerminan terhadap garis y = x. 0
Pencerminan terhadap garis y = x juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) →
P’(y,x)
Contoh: 1. Tentukan bayangan titik A(5,2) dan B(-7,1) setelah direfleksikan terhadap garis y= x. Penyelesaian: A(5,2) → B(-7,1) →
A’(2,5) B’(1,-7)
2. Bayangan garis 2x – y + 7 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah….
Penyelesaian: Pencerminan terhadap garis y = x x’ = y y = x’ y’ = x x = y’ Substitusikan y = x’ dan x = y’ ke garis 2x – y + 7 = 0 diperoleh: 2y’ – x ’ + 7 = 0 -x’ + 2y’ +7 = 0 -x’ + 2y’ + 7 = 0 dikali (-1) → x’ – 2y’ – 7 = 0 Jadi, bayangannya adalah: x – 2y – 7 = 0 f. Refleksi terhadap garis y = -x y
y = -x P(x,y)
x P(-y,-x)
Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-y,-x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : x’ = -y y’ = -x
x' 0 1 x y ' 1 0 y
0 1 adalah matriks pencerminan terhadap garis y = -x. Jadi, 1 0 Pencerminan terhadap garis y = -x juga dapat ditulis sebagai berikut: P (x,y) →
P’(-y, -x)
Contoh : 1. Tentukan bayangan titik A(5,2) dan B(-7,1) setelah direfleksikan terhadap garis y= -x. Penyelesaian: A(5,2) →
a’(-2,-5)
B(-7,1) →
A’(-1,7)
2. Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 – 3y + 5 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = -x adalah…. Penyelesaian: x’ = -y dan y’ = -x atau y = -x’ dan x = -y’ Kemudian disubstitusikan ke x2 + y2 – 3y + 5 = 0 (-y’)2 + (-x)2 – 3(-x) + 5 = 0 (y’)2 + (x’)2 + 3x + 5 = 0 (x’)2 + (y’)2 + 3x + 5 = 0 Jadi, bayangannya adalah: x2 + y2 + 8x + 7 = 0
g. Refleksi terhadap titik pangkal O(0,0) y P(x,y) x P’(y,x)
Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-x,-y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x’ = -x y’ = -y
x' 1 0 x y ' 0 1 y Jadi,
1 0
0 1
adalah matriks pencerminan terhadap titik pangkal
O(0,0). Dapat juga dinotasikan sebagai: P (x,y) →
P’(-x,-y)
Contoh: 1. Tentukan bayangan titik P(2,4) setelah direfleksikan terhadap titik pangkal O(0,0). Penyelesaian: P(2,4) →
P’(-2,-4)
2. Bayangan garis 2x – y + 7 = 0 yang dicerminkan terhadap titik pangkal (0,0) adalah adalah…. Penyelesaian: P(x,y) →
P’(-x,-y)
Diperoleh: x’ = -x dan y’ = -y atau x = -x’ dan y = -y’ Kemudian disubstitusikan ke: 2x – y + 7 = 0 2(-x’) – (-y’) + 7 = 0 -2x’ +y’ + 7 = 0 Jadi, bayangannya adalah: -2x +y + 7 = 0 h. Refleksi terhadap titik A(a,b) y
P’(2a-x,2b-y)
A(a,b) P(x,y)
x
Berdasarkan gambar di atas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(2a-x,2b-y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x’ = -1.x + 0.y + 2a y’ = 0.x – 1.y + 2b
x' 1 0 x 2a y ' 0 1 y 2b Dapat juga dinotasikan sebagai: P (x,y) →
P’(2a-x,2b-y)
Contoh: 1. Tentukan bayangan titik Q(12,-1) setelah direfleksikan terhadap titik A(2,0). Penyelesaian: P (12,-1) →
P’(2.(-2) – 12, 2.(0) – (-1)) ⇔ (-16,1)
2. Bayangan garis 2x – y + 7 = 0 yang dicerminkan terhadap titik A(1,2) adalah adalah… Penyelesaian: P(x,y) →
P’(2.1-x, 2.2-y)
P(x,y) →
P’(2 – x, 4 – y)
Diperoleh: x’ = 2 – x dan y’ = 4 – y atau x = 2 – x’ dan y = 4 – y’ Kemudian disubstitusikan ke: 2x – y + 7 = 0 2(2 – x’) – (4 – y’) + 7 = 0 4 – 2x’ – 4 + y’ + 7 = 0 – 2x’ + y’ + 7 = 0 Jadi, bayangannya adalah: – 2x + y + 7 = 0
3. Rotasi Rotasi disebut juga dengan perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi. Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Rotasi dengan pusat P dan besar sudut rotasi dilambangkan dengan
.
Rotasi terhadap Pusat O(0,0) Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka: x’ = xcos – ysin y’ = xsin + ycos dapat juga ditulis sebagai berikut:
x' cos y ' sin
sin x cos y
Dinotasikan: P (x,y) →
P’(xcos - ysin , xsin + ycos )
Jika sudut putar 1/2π)
atau
= ½π = 900 (rotasinya dilambangkan dengan R(0,
)
maka: x’ = -y y’ = x dalam bentuk matriks:
x' 0 1 x y ' 1 0 y Atau: P (x,y) →
P’(-y,x)
Contoh: 1. Persamaan bayangan garis x + y = 3 setelah dirotasikan pada pusat koordinat dengan sudut putaran +900, adalah….
Penyelesaian: , artinya: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’ substitusikan ke x + y = 3 y’ + (-x’) = 3 y’ – x’ = 3 → x’ – y’ = -3 Jadi, bayangannya: x – y = -3 2. Persamaan bayangan garis 2x – y + 5 = 0 setelah dirotasikan pada pusat koordinat dengan sudut putaran -900 , adalah … Penyelesaian: , artinya: x’ = xcos(-90) – ysin(-90) y’ = xsin(-90) + ycos(-90) x’ = 0 – y(-1) = y y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau dengan matriks:
x' 0 1 x y ' 1 0 y ,
artinya: x’ = y
→ y = x’
y’ = -x → x = -y’ substitusi ke:
2x – y + 5 = 0 2(-y’) – x’ + 5 = 0 -2y’ – x’ + 5 = 0 x’ + 2y’ – 5 = 0
Jadi, bayangannya: x + 2y – 5 = 0
Jika sudut putar = π = 1800 maka: x’ = -x y’ = -y dalam bentuk matriks:
x' 1 0 y ' 0 1
x y
Contoh: 1. Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 5x + 3 setelah dirotasikan pada pusat koordinat dengan sudut putaran +1800 adalah ... Penyelesaian: R(0, π), artinya: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’ substitusi ke: y = 3x2 – 5x + 3 -y’= 3(-x’)2 – 5(-x’) + 3 -y’ = 3(x’)2 + 5x + 3 (dikali -1) Jadi, bayangannya: y = -3x2 + 5x +3 Rotasi terhadap Pusat A(a,b) Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat A(a,b) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka: x’ – a = (x – a) cos – (y – b) sin y’ – b = (x – a) sin + (y – b) cos dapat juga ditulis sebagai berikut:
x' cos y ' sin
sin x a a cos y b b
Dinotasikan: P (x,y) →
P’((x – a) cos - (y – b) sin + a, (x – a) sin + (y – b) cos +
b) Contoh: Tentukan bayangan titik A(2,1) setelah dirotasikan terhadap pusat P(1,-5) sebesar 900 berlawanan arah putaran jarum jam. Penyelesaian: Rotasi sebesar 900 berlawanan arah putaran jarum jam,
.
Titik A(2,1); artinya: x = 2, y = 1. Titik pusat P(1,-5), artinya: a = 1, b = -5.
Jadi, koordinat bayangannya adalah A’(-6,-4) 4. Dilatasi Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya
k.
k < -1 atau k > 1, maka hasil dilatasinya diperbesar -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil Jika k = 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan. Berikut disajikan rumus dan matriks bersesuaian: Dilatasi Dilatasi dengan pusat O(0,0)
Rumus 0, k Ax, y A' kx, ky
dan faktor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b)
P ,k A x, y A' x' , y '
dan faktor dilatasi k
dengan x' a k x a
Matriks
x' k 0 x y ' 0 k y x' k 0 x a a y ' 0 k y b b
y 'b k y b
Contoh: 1. Tentukan bayangan A(-1,4) setelah didilatasi terhadap pusat P(3,0) dengan faktor skala -2. Penyelesaian: Titik A(-1,4) artinya: x = -1 dan y = 4 Titik pusat P(3,0) artinya a = 3 dan b = 0 Faktor skala -2, artinya k = -2
Jadi, bayangannya adalah A’(11, -2)