Book Secret of Mathematics ; simply, interisting, and motivating 

(RUMUS SAKTI) Ditulis Oleh: M. Firmansyah, M.Pd.

     

RUMUS PRAKTIS DAN LOGIKA TEORI SINGKAT CONTOH SOAL PEMBAHASAN CARA” Manusiawi” PEMBAHASAN CARA “RUSAK” SOAL LATIHAN

SMA KELAS:

X, XI, XII JURUSAN IPA ,IPS BukuBuku Rumus Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. Warning: IniSakti TidakMatematika/SMA DiperjualbelikanSugar Umum Karena Dikhususkan Untuk Siswa/Siswi Pak Firman tercinta! 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga penulis bisa menyelesaikan Buku Rumus Sakti Matematika SMA. Buku ini merupakan buah karya yang dilatar belakangi keingginan penulis untuk meningkatkan antusiasme dan nilai matematika siswa di Sekolah Sugar Group. Bagaimana menumbuhkan kecintaan dan meningkatkan nilai matematika siswa. Tahun Pertama Penulis mengajar di Sekolah Sugar Group, Penulis Melihat kurangnya minat siswa terhadap mata pelajaran matematika. Belum adanya siswa yang meraih nilai sempurna pada mata pelajaran matematika di ujian nasional tahun 2013. Penulis terdorong untuk menulis buku yang mampu mendorong dan meningkatkan nilai matematika siswa dengan tulisan yang sederhana mengkomposisikan rumus-rumus matematika dengan lebih singkat dan berbeda dengan yang lainya sehingga mudah untuk diingat. Juga disisipkan kutipan motivasi-motivasi yang dapat menumbuhkan semangat belajar matematika siswa. Harapanya buku ini dapat menumbuhkan kegemaran siswa terhadap matematika sehingga mereka mencintai dan meningkatkan hasil belajar mereka pada mata pelajaran matematika dan meningkatkan hasil belajar mereka pada ujian nasional. Buku ini juga dapat dijadikan referensi bagi guru matematika sebagai bahan mengajar dengan metode alternatif menarik yang dituangkan penulis. SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES! Penulis M.Firmansyah

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 2

DAFTAR ISI

Kata Pengantar Daftar Isi I. BARISAN DAN DERET...............................................................................................

4

II. EKSPONEN DAN LOGARITMA................................................................................. 10 III. PERSAMAAN KUADRAT.........................................................................................15 IV. FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI .....................................................................

22

V. LIMIT FUNGSI ........................................................................................................

27

VI. PERSAMAAN LINER/ PERSAMAAN GARIS.....................................................

32

VII. MATRIKS..............................................................................................................

37

VIII. TRIGONOMETRI................................................................................................

42

IX. DIMENSI TIGA/ GEOMETRI ..................................................................................

46

Biografi

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 3

BAB I DERET DAN BARISAN Teori singkat: Aritmatika:

Geometri:

Un = a + (n-1)b

Un = ar(n-1)

𝑛

Sn = 2 ( 2a + (n-1) b) 𝑛

𝑆∞ =

Sn = 2 ( a + Un) 𝑈𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ =

Sn =

𝑎(𝑟 𝑛 ;1)

𝑎:𝑈𝑛

𝑟;1 𝑎 1;𝑟 𝑎

𝑆∞𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 = 1;𝑟 2

2

𝑎𝑟

𝑆∞𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 = 1;𝑟 2 Rusak 1 Bila terdapat deret Aritmatika dengan Un = p dan Um= q maka berlaku:

Beda (b), b =

𝒒;𝒑 𝒎;𝒏

dan Uk = Un + (k-n)b

Contoh soal: Suku ke-3 dan suku ke-15 suatu deret aritmatika berturut-turut 16 dan 40. Suku ke-13 deret tersebut adalah …. A. 27 B. 54 C. 81 D. 36 E. 16 ra Manusiawi : U3 = 16 artinya : a + 2b = 16 U15 = 40 artinya: a + 14b = 40 - ( Di eliminasi) -12 b = - 24 Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 4

24

Jadi, b = 12 = 2 a + 2b = 16 a + 2(2) = 16 a = 12

Jadi U13 = a + 12.b = 12 + 12(2) = 36 (D)

Cara RUSAK = U3 = 16 b=

4 ;16 15;3

24

= 12 = 2

Kemudian U13 = U3 + (13-3).b = 16 +10.2 = 36 (D) ( Sakti kan!! )

U15 = 40 Rusak 2 Bila terdapat deret Geometri dengan Un= p dan Um= q maka berlaku:

Rasio (r), r = 𝒎−𝒏 𝒒 ∶ 𝒑 dan Uk = Un. r(k-n) Contoh Soal: Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …. A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 (UN 2009) Cara Manusiawi : U3 = 16 artinya: ar2 = 16

a=

16 2

U7 = 256 artinya: ar6 = 256, subtitusikan a sehingga: ( ) 6 = 256

r4 =

256 16

r4 = 16, jadi r = 2

a=

16 2

S7 = =

=

(

16 22

=4

;1) ;1

4(2 ;1) 2;1

= 508 (C)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 5

Cara RUSAK = U3 = 16

−

r=

∶

√

=

√

=2

,

U7 = 256 Kemudian a =

16 2

=

16 22

= 4 dan S7 =

4(2 ;1) 2;1

= 508(C)

Rusak 3 Bila terdapat sebuah bola di ketinggian m kemudian dijatuhkan sehingga tingginya bola

dari

pantulan sebelumnya, maka berlaku:

Panjang Lintasan seluruhnya =

𝒃:𝒂 𝒃;𝒂

xm

Contoh soal: 1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter lalu memantul kembali dengan ketinggian

3 4

kali tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola hingga bola berhenti adalah... a. 20

d. 32

b. 24

e. 36

c. 28 Cara Manusiawi :

dikali 2 karena lintasan jatuh bolak balik, keatas kebawah

3

3 3

3 3 3 4 4

) + ...

Panjang Lintasan = 4 +2 ( 4 .4 )+ 2 ( 4 4.4) +2 ( 4 3

3 3

3 3 3 4 4

= 4 + 2 { (4 .4) +( 4 4.4) + ( 4

)

} 3

3

Deret geometri dengan suku pertama = 4 .4 = 3 dan rasio = 4, sehingga:

S∞ =

3 1;3⁄4

3

= 1⁄ = 12 4

= 4 + 2 { 12 } = 28 (C)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 6

Cara RUSAK = Panjang lintasan =

: ;

xm=

: ;

x 4 = 28 (C), ( Sakti kan!! )

Rusak 4 p

Bila Diketahui, Sn = an

+ bn maka berlaku: beda = a.p dan U1 = S1

Contoh soal : 1. Jumlah n Suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai Sn = 3n2-4n. Jika Un adalah suku ke-n. Maka U10 adalah... a. 43

d. 147

b. 53

e. 240

c. 67

(UAS 2012)

Cara Manusiawi  : Un = Sn – Sn-1 Sn = 3n2-4n

Un = Sn – Sn-1

Sn-1 = 3(n-1)2 – 4(n-1)

Un = (3n2-4n) – (3n2 -10n +7)

= 3 ( n2 -2n + 1) -4n +4

Un =6n -7

= 3n2 -6n +3 -4n +4

U10 = 6.10 – 7 = 53 (B)

= 3n2 -10n +7 Cara RUSAK Sn = 3n2-4n, beda = a.p dan U1 = S1 beda = 3.2 = 6 dan U 1 = 3-4 = -1, sehingga U10 = U1 + 9b = -1 + 9 (6) = 53 (B) ( Sakti kan!! )

Contoh Soal: Sebuah Tali akan dibagi 8 bagian dengan panjang membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek 6 cm dan terpanjang 768 cm, maka panjang tali semula adalah ... cm a. 1555

d. 1800

b. 1350

e. 1850

c. 1530

(SNMPTN 2010)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 7

Cara RUSAK Tali terpendek = U1 = 6 r=

−

√

∶

=

√

=2

Tali terpanjang = U8 = 768

Sehingga panjang tali semula S8 :

S8 =

6(2 ;1) 2;1

= 1530 (C)

Soal Latihan: 1. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn =

5 2 3 n + n. Suku ke-10 dari 2 2

deret aritmatika tersebut adalah…. a. 49

d. 33 12

b. 47 12

e. 29

c. 35 2. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah .... a. 45.760

d. 16.000

b. 45.000

e. 9.760

c. 16.960 3. Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah…. a. 1.920

d. 4.608

b. 3.072

e. 6.144

c. 4.052

4. Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku positif berturut-turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah …. a. 72

d. 151

b. 93

e. 160

c. 96 5. Suatu Segitiga memiliki sisi sisi yang membentuk barisan aritmatika. Bila keliling segitiga 120 cm. Panjang sisi terpendek segitiga adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 8

a. 10

d. 40

b. 20

e. 50

c. 30

“Jika Aku memiliki waktu 8 jam untuk menebang sebuah pohon, maka aku akan mempergunakan waktuku 7 jam untuk mengasah kapak ku, dan sisanya untuk menebang pohon itu” “Abraham Lincoln”

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 9

BAB II EKSPONEN DAN LOGARITMA Teori singkat: am = b berlaku, a log b = m Sifat eksponen:

Sifat Logaritma

am.an = am+n

a

logb +alog c = alogb.c

𝑎𝑚

a

logb-alogc = alog

𝑎𝑛

= a m–n

an

(am)n = am.n 𝑚

𝑛

𝑎 𝑛 = √𝑎 𝑚

a

logbm =

logb =

𝑚 𝑛

𝑏 𝑐

. alogb

𝑝log 𝑏 𝑝log 𝑎

Rusak 1 : Bila terdapat persamaan logaritma a log2x + b logx + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka berlaku: −𝒃

X1 . X2 = 𝟏𝟎 𝒂 Contoh soal:

1. Jika Persamaan log 2 x – 2 log x + 15 =0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka nilai x1.x2 adalah... a. 10

d. 2

b. 100

e. 4

c. 1000

( UN 2010)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 10

Cara Manusiawi : Misal log x = p maka log2 x – 2 log x + 15 = 0 menjadi p2 -2 p + 15 = 0 p2 -2 p + 15 = 0 (p – 5) (p+3) = 0 sehingga: p – 5 = 0 atau p + 3 = 0 p=5 log x = 5 maka x = 10

atau p = -3

5 -3

log x = -3 maka x = 10 5

jadi X1 . X2 = 10 . 10

-3

2

= 10 = 100 (B)

Cara RUSAK −

X1 .X2 =

−(− )

=

= 102 = 100 (B) ( Sakti kan!! )

Rusak 2 2x

Bila persamaan ap

+ bpx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka berlaku: X1 + X2 = p log

𝒄 𝒂

Contoh soal: 1. persamaan 22x - 6.2x + 8 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Nilai x1 + x2 adalah... a. 7

d. 4

b. 6

e. 3

c. 5

(UN 2007)

Cara Manusiawi : 22x - 6.2x + 8 = 0 misalkan p = 2x maka p2 -6p + 8 = 0 (p – 4)(p – 2) = 0 P -4 = 0 atau p -2 = 0 P =4 atau p = 2 2x = 4 atau 2x = 2

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 11

2x = 22 atau 2x = 21 X= 2 atau x = 1 sehingga nilai x1 + x2 = 2 + 1 = 3 (E) Cara RUSAK

X1 + X2 = p log = 2 log

=

3

(E) ( Sakti kan!! )

Rusak 3

Sifat Logaritma, bila terdapat persamaan a log b = c maka PASTILAH b tidak boleh negatif atau 0. Contoh soal: 3 2

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log (2x -3) – 4 log ( x - ) = 1 adalah . . . 3

2

a. 2 b.

d. 5

2 3

e.

4 3

5

c. 2

(SPMB 2006)

Cara Manusiawi : 3

2

log (2x -3) – 4 log ( x - 2 ) = 1

2

log (2x -3) – 2 log (

2

log (2x -3) –

1 2

. log (

2

log (2x -3) –

1 2

. { log (2x - 3) - log 2 } = 1,

2 ;3 ) 2

2

2

=1

2 ;3 2

2

sifat logaritma pembagian diurai menjadi pengurangan )=1

2

log 2 = 1

2

misal 2 log (2x -3) = p, maka: 1

P-2{p–1} =1 1 2

1 2

P- p+ =1 1 2

1

=

p=2 2

log (2x -3) = 1 2x - 3 = 21 X=

5 2

(C)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 12

Cara RUSAK 3 2 2 4 Perhatikan , 2 log (2x -3). Jika x = 2 maka 2 log (2x -3) menjadi 2 log 0 (SALAH) begitu pula x = 3 , 5 , 3 harga 2 log (2x -3) menjadi NEGATIF. Maka yang benar adalah C.

Soal Latihan: 1. Diketahui a  a. 1 b. 4 c. 16

a 2 .b.c 3 1 adalah …. , b  2, dan c = 1 .Nilai dari 2 ab 2 c 1 d. 64 e. 96

2. Diketahui 5 log 3  a dan 3 log 4  b, Nilai 4 log15  .... ab 1 a a. d. ab 1 a 1 a ab b. e. 1 b 1 b 1 b c. 1 a 3.

2− 3

−

8 − 4 − 92

=

1 ;2 3

a. b.

11 ;2 3

c.

7 ;2 3

d.

1

2 3

e.

8 ;2 ;3

4. Jika 16 log 227 = a, maka 9 log 8 = ...

a. b. c.

8 9 4 3

d.

9 8

e. 2a

9 4

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 13

5. Nilai x.y dari persamaan 2

a. -1

d. 1

b. -2

e. 2

x+y+4

.3

x-y+2

= 864 adalah...

c. 0

(TO SNM PTN)

“Mengajari anak-anak berhitung memang bagus, tapi yang terbaik adalah mengajari mereka apa yang perlu diperhitungkan” (Bob Talbert)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 14

BAB III PERSAMAAN KUADRAT Teori singkat:

ax2 + bx + c = 0 x 1 + x2 =

;𝑏

⇒ x 12 + x22 = (x 1 + x2)2 – 2 x 1 . x2

𝑎 𝑐

⇒ x 1 - x2 =

x 1 . x2 = 𝑎

√𝐷 𝑎

D = b2 – 4ac ;𝑏

𝐷

Puncak parabola =( 2𝑎 , ;4𝑎 ) Persamaan kuadrat yang melalui sumbu-x di (x1, 0) (x2 ,0) y = a ( x – x1 ) (x – x2) Persamaan kuadrat yang melalui titik ekstrim ( Xe, Ye) y – ye = a ( x – xe ) persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α dan β : x2 – (α +β)x + α .β = 0 Diskriminan, D = b2 – 4ac  D = 0 ( Akar kembar/kurva menyinggung garis)  D > 0 ( Akar Real/kurva memotong garis )  D < 0 ( Akar imajiner (tidak nyata) /tidak memotong)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 15

Rusak 1 : Bila terdapat persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka:

x 12 + x22 =

𝒃𝟐 ; 𝟐𝒂𝒄 𝒂𝟐

Contoh soal: X1 dan x2 adalalah akar-akar persamaan 3x2 – 4x – 6 = 0, maka nilai x12 + x22 adalah... 28

9

a. 9 b.

d. 64

16

e.

9

52 9

4

c. 9

(UN 2010)

Cara Manusiawi  :

3x2 – 4x – 6 = 0 maka a = 3, b = -4 dan c = -6 x1 + x2 =

;

x1 . x2 =

= =

;(;4) 3 ;6 3

=

4 3

= 4

x12 + x22 = (x 1 + x2)2 – 2 x 1 . x2 = ( 3 ) 2 – 2. (-2) =

16 9

+4=

52 9

(E)

Cara RUSAK

x 12 + x22 =

𝒃𝟐 ; 𝟐𝒂𝒄 𝒂𝟐

=

(;𝟒)𝟐 ; 𝟐 𝟑 (;𝟔) 𝟑𝟐

=

𝟓𝟐 𝟗

(E)

Rusak 2: Bila terdapat persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 di mana x1 = k. x2 maka:

kb2 = (k + 1)2 a.c Contoh soal: x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 8x + p +2 = 0. Jika x1 = 3. x2 maka nilai p adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 16

a. 10

d. 14

b. 12

e. 15

c. 13

(UN 2009)

cara manusiawi : x 1 + x2 =

;

subtitusikan x1 = 3. x2 maka:

x 1 + x2 = 8

3. x 2 + x2 = 8

3. x 2 + x2 = 8 4. x2 = 8 x2 = 2 , sehingga x1 = 3. x2 = 3. 2 = 6 x 1 . x2 = = p + 2 6. 2 = p + 2 12 = p + 2 sehingga p = 10 (A) Cara RUSAK

a= 1, b = -8, c = p +2, k = 3

kb2 = (k + 1)2 a.c

3.(-8)2 = (3 + 1)2 1.( p+2) 3. 64 = 16 ( p + 2)

12 = p + 2 p = 10 (A) ( Sakti kan!! )

Rusak 3. Bila terdapat persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka

Persamaan kuadrat baru (PKB) yang k (kx1 dan k x2) kali dari x1 dan x2 adalah :

ax2 + kb x + ck2 = 0

Contoh Soal: Bila persamaan x2 + 4x – 6 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akarakarnya 2x1 dan 2x2 adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 17

a. x2 + 4x – 16 = 0

d. x2 + 4x – 60 = 0

b. x2 + 24x – 8 = 0

e. x2 + 8x – 24 = 0

c. x2 + 14x – 16 = 0

(UN 2012)

cara manusiawi  : x1 + x2 = x1 . x2 =

;

=

;(4) 1

=

;6 1

= -4

= -6

misalkan akar- akar PKB adalah α dan β, maka α = 2 x1 dan β = 2x2 α + β = 2 x1 + 2x2 = 2 (x1 + x2) = 2. -4 = -8 α . β = 2 x1 . 2x2 = 4 x1 . x2 = 4 . -6 = -24 sehingga PKB :

x2 – (α +β)x + α .β = 0 x2 – (-8)x + (-24) = 0 x2 + 8x -24 = 0 ( E)

Cara RUSAK

a= 1, b = 4, c = -6, k = 2

ax2 + kb x + ck2 = 0 x2 + 2.4. x + (-6)22 = 0 x2 + 8 x -24 = 0 ( Sakti kan!! )

Rusak 4. Bila terdapat persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka

1

Persamaan kuadrat baru (PKB) yang berkebalikan( 𝑥 𝑑𝑎𝑛

1 𝑥2

) dari x1 dan x2

adalah :

cx2 + b x + a = 0

Contoh Soal: Bila persamaan x2 - 5x + 8 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akarakarnya 2x1 dan 2x2 adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 18

a. 8x2 + 4x – 1 = 0

d. x2 + 4x – 6 = 0

b. x2 + 2x – 8 = 0

e. 5x2 + 8x – 1 = 0

c. x2 + 14x – 16 = 0

(LUN 2012)

cara manusiawi  : x1 + x2 =

;

=

;(;5) = 1

5

8

x1 . x2 =

=1= 8

misalkan akar- akar PKB adalah α dan β, maka α = α+β=( α.β=

1

1

1 2

1 2

=

)= (

1 2

: 2 2

1

=

1 2

5

) =

8

=

sehingga PKB :

x2 – (α +β)x + α .β = 0 5

1

x2 – (8)x + 8= 0 5

x2 – 8 x + = 0 8x2 – 5 x + Cara RUSAK

a= 1, b = -5, c = 8

dikalikan 8 ruas kiri maupun kanan menjadi:

=0(A) cx2 + b x + a = 0

8x2 - 5 x + 1 = 0 (A) ( Sakti kan!! )

Rusak 5. SECARA UMUM Bila terdapat persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka

Persamaan kuadrat baru (PKB) dapat dibentuk dari INVERS hubungan akar-akar persamaan

Contoh soal: Bila persamaan x2 + 2x – 10 = 0 memiliki akar-akar α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang akarakarnya α - 2 dan β-2 adalah... Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 19

a. x2 + 12x – 10 = 0

d. x2 + 4x – 10 = 0

b. x2 + 10x – 10 = 0

e. x2 + 5x – 10 = 0

c. x2 + 6x – 2= 0

(UN 2012)

cara manusiawi  : α+β= αβ=

;

= =

;(2) = 1

;1 1

-2

= -10

misalkan akar- akar PKB adalah A dan B, maka A = α - 2 dan B = β - 2 A + B = α - 2 + β - 2 = α + β - 4 = -2 - 4 = -6 A. B = (α - 2) ( β -2) = α β -2 α - 2 β + 4 = α β - 2(α + β) + 4 = -10 -2.-2 + 4 = -2 sehingga PKB :

x2 – (A + B)x + A. B = 0 x2 – (-6)x + (- 2)= 0 x2 + 6 x – 2 = 0 ( C )

Cara RUSAK x2 + 2x – 10 = 0 dengan α - 2 dan β-2 y = x -2 Inversnya x = y + 2 2 subtitusikan x = y + 2 ke persamaan awal: x + 2x – 10 = 0 (y + 2)2 + 2 (y + 2) – 10 = 0 y2 + 6y -2 = 0 diubah kembali menjadi x2 + 6x -2 = 0 (c) Soal Latihan: 1. Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 . Jika x1 x22  x12 x2  32 maka nilai …. A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8 2. Persamaan kuadrat x2 – (2 + 2m)x + (3m + 3) = 0 mempunyai akar–akar tidak real. Batas– batas nilai m yang memenuhi adalah .... a. m  – 1 atau m  2 d. –1 < m < 2 b. m < – 1 atau m > 2 e. –2 < m < 1 c. m < – 2 atau m > 2 Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 20

3. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = …. a. – 6 dan 2 b. – 6 dan – 2 c.

– 4 dan 4

d. – 3 dan 5 e. – 2 dan 6 4. Peramaan kuadrat mx2 + ( m – 5 )x – 20 = 0, akar – akarnya saling berlawanan. Nilai m = …. a. 4 b. 5 c.

6

d. 8 e. 12 (UN 2001) 5. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = …. a. 6 b. – 2 c.

–4

d. – 6 e. – 8 (UN 2000)

“Sebaik-baiknya rencanamu, Rencana Tuhanmu lebih baik” Willis Rahardi

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 21

BAB IV FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI Teori singkat: Fungsi : relasi yang anggota daerah asal mempunyai tepat satu pasangan di daerah hasil. Gambar Fungsi: f(x) g(x) X

Y

Z

1

3

5

2

4

6

f o g (x) Fungsi invers : Definisi : Jika y = f(x) dan x = g(y) maka dikatakan g invers dari f dan sebaliknya invers dari f (x) ditulis f-1 (x) Bila f (x) o g (x) = I maka f -1(x) = g (x)

Rusak 1 :

𝑎𝑥:𝑏

f(x) = 𝑐𝑥:𝑑 maka f-1(x) =

;𝑑𝑥:𝑏 𝑐𝑥;𝑎

Contoh soal: Invers dari f (x) =

2 ;3 4 ;5

adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 22

a.

b.

c.

2 :3

d.

5 ;4 2 ;3

e.

;5

7 ;3 4 ;5 5 ;3 4 ;2

2 ;3 4 :5

Cara manusiawi  : f (x) =

2 ;3 4 ;5

=>

y=

2 ;3 4 ;5

y ( 4x – 5) = 2x -3 4xy – 5y = 2x – 3 4xy -2x = 5y – 3 x(4y – 2) = 5y – 3 x=

5 ;3 4 ;2

=>

f -1(x) =

5 ;3 4 ;2

Cara RUSAK

𝑎𝑥:𝑏

f(x) = 𝑐𝑥:𝑑 maka f-1(x) = 2𝑥;3

5𝑥;3

f(x) = 4𝑥;5 maka f-1(x) = 4𝑥;2

;𝑑𝑥:𝑏 𝑐𝑥;𝑎 ( Sakti kan!! )

Rusak 2 : Jika yang ditanyakan nilai fungsi, lebih efektif bila subtitusi lagsung nilai asal.

fog (a) = f (g(a)) Contoh Soal: Bila f(x) = x2 + 3x + 1 dan g (x) = 2x- 3, maka nilai fog(2) adalah... a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 23

Cara manusiawi : f(x) = x2 + 3x + 1 dan g (x) = 2x- 3 sehingga fo g (x) = f ( g(x)) = f ( 2x -3) = (2x-3)2 + 3 ( 2x -3) + 1 = 4x2 – 12x + 9 + 6x – 9 + 1 Fog (x) = 4x2 – 6x + 1 Jadi nilai fog (2) = 4 ( 2)2 – 6(2) + 1 = 16 – 12 + 1 = 5 ( E) Cara RUSAK

fog (a) = f (g(a)) f(x) = x2 + 3x + 1 dan g (x) = 2x- 3 g ( 2) = 2.2 – 3 = 1

f ( 1) = 12 + 3. 1 + 1 = 5 ( E)

Rusak 3 : Bila diketahui nilai fog (x) = h (x), maka:

f (x) = h o g-1(x) Contoh soal: Bila fog(x) = x2 + 3x – 2 dan g (x) = x+ 1, maka nilai f(x) adalah... a. f(x) = x2 + 2x – 2

d. g(x) = x2 + 3x – 2

b. f(x) = x2 + 3x – 3

e. g(x) = x2 + 3x – 2

c. f(x) = x2 + x – 4 cara manusiawi : fog(x) = x2 + 3x – 2 dan g (x) = x+ 1 f ( g(x) ) = x2 + 3x – 2 Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 24

f ( x + 1 ) = x2 + 3x – 2 = ( x + 1 )2 + ( x + 1 ) – 4 ( x + 1 ) 2 agar sama x2 + 3x – 2

f ( x + 1 ) = ( x + 1 )2 + ( x + 1 ) – 4

X2 + 2x + 1 agar sama x2 + 3x – 2

f (x) = x2 + x -4

X2 + 2x + 1 + [ x + 1] x2 + 3x + 2 nilai x2 sudah cukup, nilai x sudah cukup, konstantanya agar – 2 jadi - 4

Cara RUSAK

f (x) = h o g-1(x)

h (x)= fog(x) = x2 + 3x – 2 dan g (x) = x+ 1 sehingga g-1(x) = x - 1 f (x) = (x-1)2 + 3 (x-1) – 2 f (x) = x2 + x – 4 ( Sakti kan!! )

Soal Latihan: 1. Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x2 + x  1. komposisi fungsi (f o g)(x) = .... a. x2 + 3x + 3 d. x2 + 3x  1 2 b. x + 3x + 2 e. x2 + 3x + 1 c. x2  3x + 1 2. Bila Fungsi fog (x) = x2 – 3x + 2 dan g(x) = x + 5, maka fungsi f(x) =... a. x2 – 3x + 12 b. x2 – 13x + 2 c. 2x2 – 3x + 2 3. Invers dari fungsi

d. x2 – 3x + 20 e. x2 – 13x +42

( )=

2 :5

;2 ;1 2 :15

a. ;1 (

)=

b. ;1 (

)=

2 :5

c. ;1 (

)=

;5

;2 ;1

5 ;1

adalah... d. ;1 (

)=

;1 (

)=

e.

2 :5 ;2 ;5 2 :5 ;5 ;1

2 ;2

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 25

4. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) =

x 1 , x  4 , maka (fg)(x) = … x4

a.

7x  2 , x  4 x4

d.

7 x  18 , x  4 x4

b.

2x  3 , x  4 x4

e.

7 x  22 , x  4 x4

c.

2x  2 , x  4 x4

5. Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) =

( UN 2011) 4x  2 3 , x  . Nilai komposisi fungsi (g  f)(2) adalah … 6  4x 2

a. 14 b. 24 c. 0 d. 1 e. 8

(UN 2010)

“Bila seseorang belum mampu menjelaskanya dengan sederhana, maka dia belum menguasai” Asep Maktal Rosyada

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 26

BAB V LIMIT FUNGSI Teori singkat: lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

lim *𝑓 (𝑥) ± 𝑔 (𝑥)+ = lim 𝑓 (𝑥) ± lim 𝑔 (𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Bila p > q > r, maka 𝑎𝑥 𝑝 lim . 𝑥→∞ 𝑚𝑥 𝑝

𝑏𝑥 𝑞 𝑛𝑥𝑞

𝑐𝑥 𝑟 𝑎 / = 𝑜𝑥 𝑟 𝑚

⬚

Limit Trigonometri : sin 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 lim = lim = lim ( )= 𝑥→𝑛 𝑥→𝑛 sin 𝑏𝑥 𝑥→𝑛 sin 𝑏 𝑥 𝑏𝑥 𝑏 tan 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 lim = lim = lim ( )= 𝑥→𝑛 𝑥→𝑛 tan 𝑏𝑥 𝑥→𝑛 tan 𝑏 𝑥 𝑏𝑥 𝑏

⬚

⬚

⬚

⬚

⬚

⬚

Rusak 1 : Jika

( ) ( )

=

, 𝐟(𝐱) 𝐟 ′ (𝐚) 𝐥𝐢𝐦 = ′ 𝐱→𝐚 𝐠(𝐱) 𝐠 (𝐚)

⬚

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 27

Contoh soal: 2

lim .

0 2

→2

/= d. ∞

a. 2

b. c.

e.

5

1 5

7 4

Cara Manusiawi  : 2

lim . →2

0 2

( →2 (

)( )(

/ = lim

( ) = lim →2 ( )

= Cara RUSAK

lim .

𝑥→2

𝑥2

2: 2

=

7 4

turunan 𝑥 𝑥2

2:5

) )

0

𝑥

/=

𝑥

=

=

7

(𝐶)

Ingat Lagi turunan! Bila f (x) = axn maka turunanya f ’(x) = a.n x n-1

Rusak 2 :

𝟏 𝟐 𝒂 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒙 𝐥𝐢𝐦 = 𝟐 𝒙→𝒏 𝒃𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒄𝒙 𝒃𝒄

Contoh Soal:

→

a. b.

16 5 8 3

=

c. d.

1 3

e.

7 4

5 4

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 28

Cara Manusiawi : lim →

cos sin

2

(

= lim

sin

→

)

=

= =

)

=

(B)

Cara RUSAK 2

cos 𝑥 lim = 𝑥→ 𝑥 sin 𝑥

=

Rusak 3 :

𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒙𝟐

𝒙→∞

𝒃𝒙

𝒄

𝒂𝒙𝟐

𝒑𝒙

𝒒=

𝒃

𝒒

𝟐√ 𝒂

Contoh Soal:

=

→∞ 5

7

a. 4 b.

5 6

d. 3 e. 0

c. ∞ cara manusiawi  :

=

→∞

→∞

( →∞

√

√

√

√

√

)

√

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 29

√

→∞

→∞

=

√

→∞

√

√

=

√ :√

Cara RUSAK

𝐥𝐢𝐦 𝟒𝒙𝟐

𝟑𝒙

𝒙→∞

𝟒𝒙𝟐

𝟏

𝟐𝒙

𝟓=

𝟑

( 𝟐) 𝟐√𝟒

=

𝟓 𝟒

Soal Latihan : 2  x 1 = .... x 3 x 3 1 a.  d. 2 4 1 b.  e. 4 2 c. 1

1. Nilai lim

6

2. Nilai

→0

1;

2

= ….

1 2

A. B. 0 C.

1 2

D. 1 E. 3 3.

x4 Nilai Lim  ... x  4 1 x  3 a. 2

4.

Nilai Lim x 1

a. 3

b. 1 2

c. 0

d. – 1

e. – 2

x2  5x  4  ... x3  1

b. 2 1 2

c. 2

d. 1

e. 1

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 30

5.

2 x sin 3 x Nilai Lim  ... x 0 1  cos 6 x

a. – 1

b.  1 3

c. 0

d. 1 3

e. 1

“ Lebih baik meminta maaf, dari pada meminta izin” Soleh Ahmad Nugraha

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 31

BAB VI PERSAMAAN LINIER/GARIS Teori singkat Persamaan Umum :

y = mx + c atau Ax + Bx + C = 0

Persamaan garis bergradien m melalui (a,b)

y - b = m( x - a) Gradien:



Bila terdapat dua titik (x1 , y1) dan (x2 , y2) maka gradien, m =

𝑦2 ; 𝑦 𝑥2 ;𝑥

;𝑏 𝑎



Bila Garis ax + by + c = 0 maka m =

   

Bila suatu garis y = mx + c, maka gradien = m Dalam suatu segitiga atau koordinat cartesius m = tan α Dua buah garis yang tegak lurus maka 𝑚1 𝑚2 = Dua buah garis yang sejajar maka 𝑚1 = 𝑚2

Jarak Antara dua titik (x1 , y1) dan (x2 , y2) (𝑦2

𝑦1 )2

(𝑥2

𝑥1 )2

Jarak Antara titik (x1 , y1) dan garis Ax + By + C = 0 : 𝑑=

𝐴𝑥1

𝐵𝑦1

√𝐴2

𝐶

𝐵2

Rusak 1 :

𝑷𝒆𝒓𝒔𝒂𝒎𝒂𝒂𝒏 𝒈𝒂𝒓𝒊𝒔 𝒎𝒆𝒍𝒂𝒍𝒖𝒊 (𝒂, 𝒃)𝒔𝒆𝒋𝒂𝒋𝒂𝒓 𝑨𝒙 𝑨𝒙

𝑩𝒚 = 𝑨𝒂

𝑩𝒚

𝑪 = 𝟎 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉

𝑩𝒃

Contoh soal: Garis g sejajar garis dengan persamaan 2x + 5y -1 = 0 dan melalui titik (2,3). Persamaan garis g adalah:

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 32

Cara Manusiawi : 2x + 5y -1 = 0 maka m1 =

;2 5

Syarat sejajar m1 = m2 maka m2 =

;2 5

Persamaan garis yang melalui (2,3) bergradien

;2 5

adalah:

y - b = m( x - a) y-3=

;2 5

( x - 2)

5y – 15 = -2x + 4 2x + 5y = 19 (E). Cara RUSAK

𝟐𝒙

𝟓𝒚 = 𝟐 𝟐

𝟐𝒙

𝟓𝟑

𝟓𝒚 = 𝟏𝟗 (𝑬)

Rusak 2 :

Garis melalui (a, 0)dan (0, b)maka persamaanya 𝒂𝒚 Contoh soal :

𝒃𝒙 = 𝒂 𝒃

y 6 4

3

5

X

Persamaan dua garis pada kurva diatas adalah... a. 2x + y = 6 4x + 5y = 20

c. 2x + 3y = 15 3x + 6y = 9

b. 2x + 3y = 5 3x + y = 9

d. 2x + 3y = 5 x + 3y = 5

e. 2x + 5y = 5 3x + 6y = 9

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 33

Cara Manusiawi : Garis I melalui (3,0) dan (0,6) maka : Y = ax + b jadi : 0 = 3a + b 6=0+b 3a = -6 a = -2 b=6 jadi persamaanya y = -2x +6 atau 2x + y = 6 Garis II melalui (5,0) dan (0,4) maka : Y = ax + b jadi : 0 = 5a + b 4=0+b 5a = -4 4 a=5 b=4 4 jadi persamaanya y = - x + 4 atau 4x + 5y = 20 5 Kesimpulan: 2x + y = 6 4x + 5y = 20 (A) Cara RUSAK Garis I melalui ( ,0)dan (0, )maka 𝟑𝒚

𝟔𝒙 = 𝟏𝟖 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚

Garis II melalui ( ,0) dan (0, ) maka 𝟓𝒚

𝟐𝒙 = 𝟔

𝟒𝒙 = 𝟐𝟎

Rusak 3 :

Persamaan Garis melalui (a, b) dan tegak lurus Ax 𝑩𝒂

𝑨𝒃

By

C = 0 berlaku ∶

𝑪=𝟎

Contoh Soal: Persamaan garis yang melalui titik ( 2,1) dan tegak lurus terhadap 2x + y + 4 = 0 adalah... a. 6x + 5y +1 = 0

d. y + 2x + 6 = 0

b. 2y - x = 0

e. y + 2x – 6 = 0

c. 2y + x – 6 = 0

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 34

Cara Manusiawi : 2x + y + 4 = 0 maka m =

;2 1

=

Gradien yang tegak lurus m1.m2 = -1 -2.m2 = -1 1

m2 = 2 garis bergradien

1 2

melalui titik (2,1) maka persamaanya:

y – b = m ( x - a) y-1=

1 2

( x - 2)

2y -2 = x -2 2y - x = 0 Cara RUSAK

Jika tegak lurus terhadap 2x + y + 4 = 0, maka persamaanya dibalik, 2y dan x. Yang sesuai hanya pilihan B dan C. Lalu subtitusikan (2,1). Hanya B yang memenuhi 2y - x = 0 (B) 2.1 – 2 = 0 0=0

Soal Latihan: 1. Gradien garis yang sejajar dengan garis : 2x + 6y + 8 = 0 adalah… a.

1 3

b.

1 4

c. 

1 3

d. 

1 4

2. Persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (0, 3)… a. y = 3x + 2 b. y = 2x + 3 c. y + 2x = 3 d. y + 3x = 2 Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 35

3. Sebuah garis melalui titik (-1, 3) dan (-1, 5). Gradien garis tersebut adalah… a. 1 b. 0 c. -1 d. tidak didefinisikan

4. Garis g mempunyai persmaan 8x + 4y – 16 = 0. Garis h sejajar dengan garis g dan melalui titik (5, -3). Persamaan garis h adalah… a. b. c. d.

2x – y – 13 = 0 2x + y – 7 = 0 x – 2y -7 = 0 –x + 2y + 11 = 0

5. Harga 2kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp. 24.500, sedangkan harga 3 kg mangga dan 2 kg apel yang jenisnya sama adalah Rp 17.500. Jika Ani ingin membeli 7 kg mangga dan 1 kg apel, uang yang harus dibayarkan Ani adalah... e. a. Rp 39.000 f. b. Rp 40.000 g. c. Rp 46.000 h. d. Rp 49.000

“Bukan bahagia yang membuat kita bersyukur, tetapi bersyukurlah yang membuat kita bahagia” Ofi Eka Novianti

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 36

"

BAB VII MATRIKS Teori Singkat Bila terdapat matriks A=*

𝑎 𝑐

𝑝 𝑏 +, B = * 𝑟 𝑑

𝑞 +maka: 𝑠

A dan B disebut matriks berordo 2x2, 2 kolom dan 2 baris. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝐴 = 𝐴 =

𝑎 𝑐

𝑏 =𝑎 𝑑 𝑑

𝑏𝑐

A+B=B+A 𝑝 * 𝑟

𝑎 * 𝑐

𝑏 + 𝑑

𝑎 𝑐

𝑏 𝑝 + * 𝑑 𝑟

𝑞 𝑎 += * 𝑠 𝑐

𝑝 𝑟

𝑏 𝑑

𝑞 + 𝑠

𝑎𝑞 𝑐𝑞

𝑏𝑠 𝑑𝑠

A. B ≠ B. A *

Invers matriks A = A -1 =

𝟏 𝑨

𝑎𝑝 𝑞 += 𝑠 𝑐𝑝

𝑏𝑟 𝑑𝑟

𝒙 𝑨𝒅𝒋𝒐𝒊𝒏 𝑨 𝑨;𝟏 =

𝟏 𝒅 𝒙* 𝒄 𝑨

𝒃 + 𝒂

Rusak 1 :

A A;1 = I, berlaku A;1 =

𝐴

Contoh Soal:

Invers dari matriks *

+adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 37

a. *

+

b. 0 ⁄ c. *

⁄

d.

1

⁄

e. 0 ⁄

01

+

Cara Manusiawi  : = *

+

=

det

(

)

1

= ;2 * =

+ ⁄

(D)

⁄

Cara RUSAK

𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴 = *

+ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 = 𝟏

Berarti 𝑨;𝟏 haruslah determinanya Yang memenuhi hanya Pilihan D.

𝟐

⁄

⁄

=

1 2

Rusak 2 :

bila terdapat A B = C, berlaku 𝐴

B = C

Contoh Soal:

Bila A=*

+, C = *

+ dengan C =A.B, maka determinan matriks B adalah...

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 38

a. 3

d. 1

b. 2

e. 9

c. 6

(SNM PTN 2012)

Cara manusiawi :

A=*

+, C = *

+ dengan: =

1

Sehingga : B =

( 1

=

(

=*

=

;1

)

1

1

;1

)

= 2* = 2*

=

+ *

+

+ 0 + 0

Jadi Determinan B = 0 – (-3) = 3 (A) Cara RUSAK

𝐴

B = C B =

B =

=

(𝐴)

Rusak 3 :

Bila terdapat *

𝐩 a b x + *y+ = *𝐪+ , berlaku c d

𝒑 𝑏 𝒒 𝑑 𝑥= , 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑎 𝑐 𝑦= 𝑎 𝑐

𝒑 𝒒 𝑏 𝑑

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 39

Contoh Soal: Bila 2kg Anggur dan 5kg Apel ibu harus membayar 200.000 , dan untuk 4kg Anggur dan 2kg Apel ayah harus membayar 240.000, harga masing-masing sebuah Apel dan Anggur adalah... a. 10.000 dan 20.000

d. 25.000 dan 20.000

b. 50.000 dan 20.000

e. 35.000 dan 12.000

c. 50.000 dan 30.000 Cara Manusiawi : Soal ini dapat dirumuskan : 2x + 5y = 20 ( Dalam Puluh Ribu) 4x + 2y = 24 Jika dibuat matriks menjadi : *

+* + = *

0

+

Dapat diselesaikan dengan eliminasi dan juga cara matriks. Eliminasi: 2x + 5y = 20

x2 4x + 10 y = 40

4x + 2y = 24 x1

4x +2y = 24

-

8 y = 16 Y=2 Jadi 2x + 5y = 20 2x + 10 = 20 X=5 Jadi harga nya 50.000 dan 20.000 (B) Cara RUSAK

𝟐𝟎 𝑥 = 𝟐𝟒

𝑦=

, 𝟐𝟎 𝟐𝟒 ,

𝑥=

𝑦=

0

0 0

=

0 = 0

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 40

Soal Latihan. 1   a 2 4  2 b   , B =   , C =  1. Diketahui 3 matriks, A =  . Jika A × Bt – C = 2  1 b  2 b  1  a b  t dengan B adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing-masing adalah …. a. –1 dan 2 d. 2 dan –1 b. 1 dan –2 e. –2 dan 1 c. –1 dan –2

3. Diketahui matriks A = 3

y ,B= 5  1  

 x 5 , dan C =  3  1 . Jika A + B – C =   3 6  y 9    

 0 2    5 4

 8 5x  ,   x  4  

maka nilai adalah …. A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22

5  2 2 , Q 3. Jika P =   9  4 x a.

23 2

b.

21 2

c.

  , dan P.Q = x  y 1

19 2

d.

17 2

e.

1 0 0 1 , maka x – y =...  

15 2

 x 4. Jika 3x2 + 7x – 6 ditulis sebagai perkalian matriks x 1 A   , maka A = ... 1  7 6  a.    0 3

b.

 3 7   0 6  

c.

 6 0   7 3  

3 0  7  6  d.  e.     7  6  0 3 5. Bila A=*

+, C = *

a. 3

d. 1

b. 2

e. 9

7

+ dengan A.B = C, maka determinan matriks B adalah...

c. 6 “Cukup itu relatif, jangan selalu melihat ke atas nanti kau tersandung” Anonim Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 41

BAB VIII TRIGONOMETRI Teori Singkat C

𝑦

𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

𝑥

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔

Sin A = 𝑟 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

y

r

B

( Sin De Mi)

Cos A = 𝑟 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 A

𝑦 𝑥

Tan A = =

𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔

( Cos Sa Mi)

=

𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐴

( Tan De Sa)

x

Indentitas dan Persamaan Trigonometri : sin2 𝑥

cos 2 𝑥 =

Sin 𝑥 =

𝑆𝑖𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥

Cos 𝑥 = cos2 𝑥

𝑆𝑖𝑛2 𝑥

= =

sin2 𝑥

𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

Tan 𝑥 =

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥

Sin ( A+B ) = Sin A Cos B + Sin B Cos A Sin ( A-B ) = Sin A Cos B - Sin B Cos A

Cos ( A+B ) = Cos A Cos B - Sin A Sin A Cos ( A-B ) = Cos A Cos B + Sin A Sin A

Rumus Cinta Jumlah dan Perkalian Trigonometri: Cinta + Cinta = Dimulailah Cerita Cinta ( Cos A + Cos B = 2 Cos J Cos S) Sayang + Sayang = Semakin Cinta ( Sin A + Si B = 2 Sin J Cos S) Sayang – sayang = Cinta Sirna ( Sin A – Sin B = 2 Cos J Sin S)

Cinta – Cinta = Aduh Semua Sirna ( Cos A – Cos B = - 2 Sin J Cos S) *Catatan : J (Jumlah) =

𝑨:𝑩 dan 𝟐

S (selisih) =

𝑨;𝑩 𝟐

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 42

45o √ 30

o

Merah untuk Sinus

60o

Biru Untuk Cosinus

√

Hijau Untuk Tangen

√ √

√

√

√ 90o

√ 0o √

√ √

√ ∞

0 Tangan Sudut Istimewa Trigonometri

Untuk Mudah mengingat, Sinus Dari Kiri Kekanan Cosinus Dari Kanan Ke kiri Tangen dari atas dibagi Bawah/Sinus dibagi Cosinus @Design by Firman

Contoh Soal: Diketahui nilai sin  cos  =

1 3 dan sin ( –  ) = untuk 0    180 dan 0    5 5

90. Nilai sin ( +  ) = …. 3 5 2 b.  5 1 c.  5

a. 

d. e.

1 5 3 5

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 43

Cara Manusiawi : 1 3 dan sin ( –  ) = untuk 0    90 dan 0    90. 5 5

sin  cos  =

3

sin ( –  ) = 5 Sin  Cos  - Cos  Sin  = 1 5

3 5

3

Cos  Sin  = 5 1

Cos  Sin  = 5

3 5

2 5

=

Jadi, sin ( +  ) = Sin  Cos  + Cos  Sin  =

1 5

+(

2 )= 5

Cara RUSAK

1 5

sin ( +  ) + sin ( –  ) = 2 sin  cos  3 1 sin ( +  ) + 5 = 2. 5 2

3 5

sin ( +  ) = 5

=

1 5

Contoh Soal 2: Nilai dari sin 75  sin 165 adalah …. 1 1 a. d. 2 2 2 4 1 1 b. e. 3 6 4 2 1 c. 6 4 Cara Rusak : Sayang- sayang = cinta sirna { sin-sin = 2cos.sin) 1

1

sin 75  sin 165 = 2. Cos 2 (75 +165) Sin 2 (75 -165) = 2. Cos 120 . sin -45 = 2. (

1 ).( 2

1 √ 2

1

) = 2√

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 44

Soal Latihan: 1.

2.

Nilai sin 105o + cos 15o = …





a.

1 1  6  2 c. 6 2

b.

1 2



3 2



1 2





e.

3 2

1 2



6 2





Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2 x  7 sin x  3  0,0  x  360 adalah …. b. 90,270

c. 38,130

d. 210,330

e. 180,360

Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm, dan Sudut A = 60o panjang sisi BC = …. a. 2 19 cm

4.

6 2

d.

a. 0,90 3.



b. 3 16 cm

c. 4 19 cm

Himpunan penyelesaian persamaan cos A. ,0, , , 2 2

1

3

-

1

2

-

B. ,0, 2 , 3 , 1

3

C. ,0, 2 , , 2 1

d. 2 29 cm cos =

e. 3 29 cm

0

adalah ….

-

2

D. ,0, 2 , 3 1

E. ,0, 2 , 4 ; 1 :

5.

1 13

-

=

A. B. C. D. E.

1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2

“Selama kita bertahan, masih banyak hal menyenangkan yang akan terjadi” Erma Febrianda

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 45

BAB IX DIMENSI TIGA Teori Singkat

KUBUS

Limas Segi Empat 1

Volume = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

Volume = 3 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

Luas = 𝑥 𝑆𝑖𝑠𝑖

Luas = Luas alas + 4.Luas Segitiga

Panjang Diagonal Bidang = r √ Panjang Diagonal Ruang = r √ F

Aturan Cosinus :

a

E

e

f

A

𝑏 2 = 𝑎3

𝑐2

𝑎 𝑐 cos 𝐴

Aturan Sinus : 𝑎 𝑆𝑖𝑛 𝐴

=

𝑓 𝑆𝑖𝑛 𝐹

Rusak 1 Diagonal Ruang BH Akan Dipotong Oleh 2 bidang yaitu AFC dan EGD sehingga menghasilkan 3 jarak sama panjang:

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 46

B

H

1 𝑥𝐵𝐻 3

Contoh Soal :

H

1 𝑥𝐵𝐻 3

1 𝑥𝐵𝐻 3

G

E

F

D

C

A

B

6 cm Jarak antara titik C dan bidang BDG adalah.... a.

1 √ 2

d.

√

b.

√

e.

1 √ 2

1

c. 3 √ Cara Manusiawi  : H

G

E

G

F

6 cm D

M

C

O

A

O

B

6 cm

GO = √( √ )2

2

=√

C 3√ cm

=

√

Jarak titik C ke bidang BDG = jarak titik C ke garis GO Pandang segitiga OGC. Luas dapat dihitung dengan dua cara, 1

1

=2

Luas Segitiga OCG = 2 1 2

=

√ =

1 2

3√2 6 3√6

√ =

6 √3

= √ (D)

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 47

Cara RUSAK

1 3

Jarak C ke BDG = 𝑥 𝐶𝐸 =

1 𝑥 3

√ = √ (D) ( Sakti kan )

Rusak 2 Dalam kubus, panjang sisi teringan untuk dihitung adalah

2 satuan.

Contoh Soal: H

G

E

F D

C

A

B

Jika AB = a cm, Cosinus sudut antara bidang AFH dan garis AE adalah .... 1 √ 2

a. b. c.

d.

1

√ 3 1

e.

1 3 1 2

√ √

√

3

Cara Manusiawi : H

O

G

E

E

F D

C

A

A

B

Pandang Segitiga AEO: E

O

AE = a 1

EO = 2 √ A

AO = √

2

1

(2 √ )2

3

AO = √2 =

2

√

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 48

Sehingga untuk menghitung sudut A ; 2

(

2

=

√ )2 =

2

2

2

cos

( √ )2 √ cos =

√

=

√ cos 2

= √ ( )

Sulit untuk dipahami bila dalam bentuk huruf Cara RUSAK E

A

Ubah rusuk menjadi 2 satuan : jadi AE = 2, sehingga EO = √ O

AO = √

2

√

2

=√

Jadi: 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =

√

= √

Soal Latihan: 1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika K adalah titik potong antara EG dengan FH, maka jarak titik K dengan garis BG adalah …. 6 cm a. 3 6 cm d. b. 3 2 cm c.

3 2

e.

3 2

2 cm

6 cm

2. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah . Nilai sin  = .... a. 12 2 d. 23 2 b. c.

1 2 1 3

3

e.

3 4

3

3

3. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah …. Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 49

a.

128 64 3 cm

d.

128 16 2 cm

b.

128 64 2 cm

e.

128 16 3 cm

c.

128 16 2 cm

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Titik M pada pertengahan EG. Jarak E ke garis AM adalah … cm. a. 4 2

d. 6 3

b. 4 3

e. 6 6

c. 6 2 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika  adalah sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan  adalah …. 1 2 2 b. 5 5

a.

d.

2 3 3

e. 2

c. 1

“Seseorang yang pintar bukanlah suatu takdir, tetapi Pilihan” M.Firmansyah

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 50

Biografi Penulis M. Firmansyah adalah anak keempat dari empat bersaudara. Dia lahir dan dibesarkan di daerah Raja Basa Bandar Lampung. Pribadinya yang menyukai anak-anak mengantarkanya untuk menjadi seorang guru matematika. Dia mendapat beasiswa prestasi penuh selama kuliahnya. Dia menempuh pendidikan di Universitas Lampung dengan predikat lulusan tercepat. Dia juga aktif mengajar di bimbingan belajar Nurul Fikri Bandar Lampung. Selain hobi mengajar dia pun aktif dalam kegiatan musik dan olahraga. Dia pernah menjadi trainer dan pelatih musik instrument dan drum band di sekolahnya. Dalam olahraga, jangan diragukan lagi, dia salah satu atlet di kampungnya. Dia sering mengikuti kejuaraan kejuaran bergengsi seperti, lomba makan kerupuk dan lomba balap karung. Beberapa hadiah sudah dia dapatkan selama mengikuti kompetisi tersebut. Penulis merupakan pribadi yang ramah, humoris dan rendah hatin. Hanya saja kisah cintanya tidak semulus wajahnya. Kini Hidup yang dia jalani dijalaninya dengan rasa syukur dan bahagia bersama orang-orang yang ia sayangi.

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 51

Love? Or Friendship? Disebuah Desa tinggallah dua orang manusia yang bernama “Cinta” dan “Sahabat”.

Sore hari, mereka berdua berjalan

dipinggir danau yang indah. Namun tiba-tiba Cinta begitu saja terjun ke dalam danau. Lho, mengapa? Karena ternyata cinta itu buta. Kemudian sahabat kebingungan, panik, dan tak tahu harus berbuat apa. lalu ia pun ikut terjun kedalam danau, mengapa? Karena ternyata sahabat itu selalu setia. Sahabatpun pun terus mecari cinta didalam danau yang dalam. Namun entah mengapa cinta tidak dapat ditemukan, mengapa? Karena cinta itu halus, mudah hilang bila tak dijaga. Lalu sahabat menangis dan terus mencari cinta didalam danau hingga larut malam. Sahabatpun meminta warga desa untuk bersama-sama mencari cinta. Dia menangis memohon warga-warga untuk menyelamatkan cinta. Namun sampai tengah malam warga desa tidak dapat menemukan cinta. Semua warga pun pulang karena sudah letih mencari cinta. Tapi sahabat tidak pernah menyerah untuk terus mencari cinta. Hingga larut malam dia pun bersedih dan menangis tidak bisa menemukan cinta. Wajahnya yang sedih dan lelahpun duduk sendiri di pinggir danau.Dia tidak ingin pulang ke rumahnya. Ia hanya tertidur di pinngir sungai dengan pipi basah karena air matanya. mengapa? karena sahabat itu selalu ada kapan saja dan selalu menolong karena apa saja. Esok pagi ia terbangun dipinggir danau. Sahabatpun Mengusah wajahnya di air danau. Namun betapa terkejutnya lah ia. Dia melihat wajah cinta didalam danau... sebagai pantulan bayangan dirinya. Sebagai pantulan wajahnya. Mengapa, karena ternyata sahabat itu adalah cinta.

“ Jadikanlah hal yang kau rasa sulit menjadi sahabat, maka kau akan merasakan kebaikanya, begitu pula matematika” Muhammad Firmansyah.

Buku Rumus Sakti Matematika/SMA Sugar Group-2013/ SMA Ar Raihan -2015. 52