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Ecuación Diferencial Una función f definida en un intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una entidad. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria general de orden n: 𝐹
𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 , . . . , 𝑑𝑥𝑛
=0
es una función y = f(x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. 𝐹 𝑥, 𝑓 𝑥 , 𝑓 ′ 𝑥 , . . . , 𝑓
𝑛
𝑥
=0
Solución de una ED
Al resolver una ecuación de n-ésimo orden 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛 = 0 en donde 𝑦(𝑛) significa
𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛
se espera obtener
una famillia n-paramétrica soluciones 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝐶1, . . . , 𝐶𝑛 = 0
de
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
ED de Variables Separables Una ecuación diferencial de la forma: 𝐝𝐲 𝐝𝐱
𝐠 𝐱 𝐲
=𝐡
es separable o tiene variables separables. Puede escribirse como: 𝐡 𝐲
𝐝𝐲 𝐝𝐱
= 𝐠(𝐱)
Solución ED de Variables Separables 𝐡 𝐲
𝐝𝐲 =𝐠 𝐱 𝐝𝐱
𝐡 𝐲 𝐝𝐲 = 𝐠 𝐱 𝐝𝐱 SOLUCIÓN: 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 =
𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c
Solución ED de Variables Separables En una ecuación separable no es necesario usar dos constantes de integración ya que:
𝐡 𝐲 𝐝𝐲 + 𝐜𝟏 = 𝐡 𝐲 𝐝𝐲 =
𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c 𝟐
𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c 𝟐 − c𝟏
𝐡 𝐲 𝐝𝐲 =
𝐠 𝐱 𝐝𝐱 + c
ED Homogéneas (1) La ecuación en la forma diferencial: M 𝐱, 𝐲 𝐝𝐱 + 𝐍 𝐱, 𝐲 𝐝𝐲 = 𝟎 Si tiene la propiedad: 𝐌 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 = 𝐭𝐧𝐌 𝐱, 𝐲 𝐍 𝐭𝐱, 𝐭𝐲 = 𝐭𝐧𝑵 𝐱, 𝐲
y
ED Homogéneas (2)
Se dice que f 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 es una función homogénea de grado n, si para todo número real n: 𝒇(𝒕𝒙, 𝐭𝐲) = 𝐭𝐧𝒇 𝐱, 𝐲
Ejemplos de ED Homogéneas (1) f 𝒙, 𝒚 = 𝒙 − 𝟑 𝒙𝒚 + 𝟓𝒚 f 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 − 3
𝑡𝑥 𝑡𝑦 + 5 𝑡𝑦
= 𝑡𝑥 − 3 𝑡2𝑥𝑦 + 5𝑡𝑦 = 𝑡[𝑥 − 3 𝑥𝑦 + 5𝑦] = 𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦)
Ejemplos de ED Homogéneas (2) 𝒙
f 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒚 + 𝟒
Ejemplos de ED Homogéneas (2)
𝒙
f 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒚 + 𝟒 𝑡𝑥
f 𝑥, 𝑦 = 2𝑡𝑦 + 4 𝑥
= 2𝑦 + 4
= 𝑡0 𝑓(𝑥, 𝑦)
ED Homogéneas (4) También podemos determinar si una función es homogénea examinando el grado de cada término.
𝑓 𝑥, y = 6xy3 − x2y2
Función Homogénea de grado 4
𝑓 𝑥, y = x2 − y Función NO Homogénea
ED Homogéneas (5) Si f 𝒙, 𝒚 es una función homogénea de grado n, se puede escribir: 𝒚
𝒇(𝒙, 𝐲) = 𝐱𝐧𝒇 𝟏, 𝒙
y 𝒇(𝒙, 𝐲) = 𝐲𝐧𝒇
𝒚
𝒚
𝒙 ,𝟏 𝒚
Donde 𝒇 𝟏, 𝒙 y 𝒇 𝟏, 𝒙 son ambas de grado cero.
ED Homogéneas (Ejemplo) Se observa que f x, y = x2 + 3xy + 2y es homogénea de grado 2. Por lo tanto: f(x, y) = x2[1 + 3
y x
+
y x
= x2f 1, f(x, y) = y2[ = ynf
x ,1 y
2] y x
x x 2+3 + 1] y y
Solución de ED Homogéneas (1) En la ecuación: M x, y dx + N x, y dy = 0 Donde M y N tiene el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ED de variables separables usando cualquiera de las dos siguientes substituciones: y = ux
ó
x = vy
Donde u y v son nuevas variables independientes
Solución de ED Homogéneas (2) Si elegimos 𝒚 = 𝒖𝒙, entonces: 𝑑𝑦 = 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢 Por lo tanto: M 𝒙, 𝒖𝒙 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒖𝒙 [𝒖 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒅𝒖] = 𝟎
Solución de ED Homogéneas (3) Por la homogeneidad de M y N es posible escribir: xnM 1, u dx + xnN 1, u [u dx + x du] = 0
O bien: [M 1, u + uN 1, u ]dx + xN(1, u) du = 0 De lo cual resulta:
𝑑𝑥 𝑁 1, 𝑢 𝑑𝑢 + =0 𝑥 𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁 1, 𝑢
Bibliografía Apostol, T. (2005) Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidadades. Ed. Reverté. México
Borreli, R, Coleman, C. (2005). Ecuaciones diferenciales, una perspectiva de modelación. Ed. Alfaomega. México. Lázaro, M. (2006) Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. Moshera. Perú.
Zill D. (1988), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Editorial Iberoamérica.