LKPD PELUANG Flipbook PDF

LKPD PELUANG

---

124 Views
66 Downloads
FLIP PDF 1.81MB

DOWNLOAD FLIP

REPORT DMCA

Lampiran Lembar Kerja Siswa Lembar Kerja Siswa (LKS)-1

Kelompok :

Aturan Pengisian Tempat yang tersedia

Pertemuan ke-1

1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.1 Menjelaskan aturan penjumlahan D.2 Menjelaskan aturan perkalian D.3 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan aturan penjumlahan dan atau aturan perkalian

Pendahuluan Sudah tahukah kamu apa kegunaan kode nomor operator seluler? Hal ini sangat berguna bagi kamu yang menjual pulsa ke banyak operator alias Agen pulsa untuk all operator. Hal ini di butuhkan ketika melayani pembelian atau kirim pulsa dari agen ke pembeli pulsa. Sumber :https://www.digitalponsel.com/11280/kode-nomor-operator/

Pernahkah kalian berfikir mengapa sebuah operator seluler dapat menyediakan begitu banyak nomor seluler bagi berjuta-juta pelanggannya? Bagaimana sebuah operator dapat memperkirakan banyaknya semua nomor seluler berbeda agar cukup untuk semua pelanggannya? Di dalam ilmu matematika ada istilah yang dikenal dengan aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slot). Aturan pengisian tempat yang tersedia dapat membantu kita menjawab pertanyaan di atas. Selain masalah tentang nomor seluler, masih banyak masalah di bidang bidang lain yang dapat dipecahkan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia. Agar lebih jelas mari kita belajar mengenai aturan pengisian tempat yang tersedia.

Aturan pengisian tempat yang tersedia merupakan suatu cara atau aturan yang digunakan untuk menghitung banyaknya hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Terdapat dua aturan pengisian tempat yang tersedia yang akan kalian pelajari, yakni aturan penjumlahan dan aturan perkalian. Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "tidak sekaligus terjadi" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "pilihan" dan biasanya menggunakan kata penghubung "atau". Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "sekaligus terjadi" dan biasanya menggunakan kata penghubung "dan".

MAT.F.ARF.F.11.1

20

A. ATURAN PENJUMLAHAN

Aktivitas 1 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah 1 : Arjuna adalah murid lulusan SMA yang akan meneruskan kuliah di Perguruan Tinggi. Arjuna ingin memilih salah satu jurusan fakultas teknik di universitas favoritnya yakni Universitas Harapan Bangsa atau Universitas Pemersatu Bangsa. Universitas Harapan Bangsa membuka 5 jurusan teknik yaitu mesin, sipil, elektro, fisika dan informatika. Sedangkan Universitas Pemersatu Bangsa membuka 4 jurusan yaitu arsitektur, geologi, geodesi dan lingkungan. Berapa banyak pilihan jurusan yang dapat dipilih Arjuna? Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas. Diketahui : Universitas Harapan Bangsa membuka jurusan, yaitu …………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Universitas Pemersatu Bangsa membuka jurusan, yaitu ………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Langkah kedua, tulislah apa yang ditanyakan pada masalah di atas. Ditanya : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Langkah ketiga, diskusikan dengan teman sekelompokmu cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Rencana penyelesaian : Cara apa yang akan kalian gunakan, mendaftar satu per satu cara lain? Kami akan menggunakan cara : ………………………………………………………………………………………………… Langkah keempat, selesaikan permasalah tersebut dengan cara yang telah kalian diskusikan. Penyelesaian : Pilihan jurusan yang mungkin diambil Arjuna adalah: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Jadi, terdapat ……. pilihan jurusan yang dapat dipilih Arjuna. Langkah kelima, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.1

21

Masalah 2 : Seorang siswa mempunyai 5 kemeja lengan panjang dan mempunyai 3 kemeja lengan pendek. Berapa cara siswa itu dapat mengenakan kemejanya ?

Masalah 3 : Yudistira memiliki 3 sepeda yang berbeda, 2 sepeda motor yang berbeda dan 2 mobil yang berbeda. Ada berapa cara Yudistira bepergian menggunakan kendaraan yang ia miliki?

Apakah cara yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah 2 dan 3 sama dengan masalah 1? Jelaskan!

Kesimpulan Jika terdapat n kejadian yang saling lepas, k1 = banyak cara pada kejadian pertama k2 = banyak cara pada kejadian kedua k3 = banyak cara pada kejadian ketiga dan seterusnya sampai kn = banyak cara pada kejadian ke-n Maka banyak cara untuk n buah kejadian secara keseluruhan adalah …………………………………………………………………………………………………… ……………………..

MAT.F.ARF.F.11.4

22

B. ATURAN PERKALIAN Dalam dunia bisnis, pebisnis dituntut untuk dapat mengambil atau memilih strategi yang akan digunakan untuk menjalankan bisnisnya. Strategi dalam menjual produk kini semakin bervariasi. Banyak perusahaan yang tidak lagi menjual produknya dalam bentuk single product melainkan dalam bentuk bundling atau produk paket. Saat ini banyak perusahaan smartphone bekerjasama dengan perusahaan provider untuk menawarkan paket bundling berupa handphone, bonus pilihan aksesoris, serta pilihan paket kartu perdana. Jika diketahui banyak pilihan aksesoris dan paket kartu perdana yang ditawarkan, dapatkah kamu menentukan berapa banyak pilihan paket bundling yang dapat dipilih oleh seorang konsumen? Bagaimana cara menghitungnya? Ikutilah aktivitas 2 untuk membantumu menemukan jawabannya.

Aktivitas 2 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok. Masalah 4 : Sebuah perusahaan handphone menawarkan paket bundling yang berisi kartu perdana dengan pilihan paket internet serta tambahan bonus aksesoris berupa case untuk setiap pembelian produk handphone yang dijual. Konsumen dapat memilih pilihan paket internet berupa paket internet unlimited 1 bulan atau pilihan paket kuota 15 GB dan 5 pilihan warna case yakni hitam, putih, kuning, merah atau coklat. Berapakah banyak pilihan paket bundling yang dapat dipilih konsumen untuk setiap pembelian handphone tersebut? Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas. Diketahui : Langkah kedua, tulislah apa yang ditanyakan pada Masalah di atas. Ditanya : Langkah ketiga, diskusikan dengan teman sekelompokmu cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Rencana penyelesaian : Cara apa yang akan kalian gunakan, mendaftar satu per satu, diagram pohon, tabel atau cara lain? Kami akan menggunakan cara : Langkah keempat, selesaikan permasalah tersebut dengan cara yang telah kalian diskusikan. Penyelesaian : Jadi, terdapat ……. pilihan paket bundling. Langkah kelima, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.4

23

Masalah 5 : Dari 5 orang calon akan dibentuk pengurus kelas yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa banyak pasangan pengurus berlainan yang dapat dibentuk jika tidak boleh ada jabatan rangkap?

Masalah 6 : Disediakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Akan dibentuk bilangan ratusan dengan syarat tidak boleh ada angka yang sama. Tentukan banyak bilangan yang terbentuk.

Apakah cara yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah 5 dan 6 sama dengan masalah 4? Adakah cara lain yang lebih efisien? Jelaskan! B Selesaikan masalah 7 di bawah ini dengan cara yang paling efisien. Masalah 7 : Dalam sebuah kotak yang disekat-sekat, disimpan sepotong keju seperti terlihat dalam gambar. Ada berapa cara berbeda yang bisa ditempuh tikus untuk mencapai keju?

Kesimpulan Jika terdapat n objek yang tersedia, k1 = banyak cara untuk menyusun objek pertama k2 = banyak cara untuk menyusun objek kedua setelah objek pertama tersusun k3 = banyak cara untuk menyusun objek ketiga setelah objek kedua tersusun dan seterusnya sampai dengan kn = banyak cara untuk menyusun objek ke-n setelah objek n−1 objek sebelumnya tersusun, maka banyak cara untuk menyusun n objek yang tersedia adalah: …………………………………………………………………………………………………………………………..

MAT.F.ARF.F.11.4

24

Latihan Soal 1. Seorang utusan akan dipilih dari 8 orang perempuan dan 12 orang laki-laki. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih utusan itu ? 2. Dari kota A ke kota B terdapat tiga jalur, dari kota A ke kota C terdapat dua jalur sedangkan dari kota B ke kota D terdapat empat jalur dan dari kota C ke kota D terdapat tiga jalur. Dalam berapa cara seorang dari A ke D melalui B atau C. 3. Seorang anak mempunyai 3 celana biru , 2 celana hitam, 4 kemeja panjang, 5 kemeja pendek, 2 pasang sepatu dan 1 pasang sepatu sandal. Dalam berapa cara anak itu mengenakan pakaian dan alas kakinya. 4. Bilangan asli terdiri tiga angka akan dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Berapakah banyak bilangan yang dapat dibentuk , jika : a. ketiga angka boleh sama b. ketiga angka itu berlainan. c. ketiga angka itu berlainan dan nilainya kurang dari 300. d. ketiga angka itu berlainan dan nilainya lebih dari 400 e. ketiga angka itu berlainan dan bilangan itu genap 5. Suatu pengurus organisasi yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang bendahara akan dibentuk dari 8 perempuan terpilih dan 7 laki-laki terpilih. Berapa banyak susunan pengurus yang berlainan yang dapat dibentuk dari 15 orang itu, jika : a. semua pengurus perempuan. b. semua pengurus laki-laki. c. bendahara harus perempuan. d. ketua dan sekretaris harus laki-laki 6. Dari kota A ke kota B terdapat tiga jalur, dari kota A ke kota C terdapat tiga jalur sedangkan dari kota B ke kota D terdapat empat jalur dan dari kota C ke kota D terdapat tiga jalur. Dalam berapa cara seorang dari A ke D melalui B atau C pulang pergi dengan tidak boleh melalui jalur yang sama. 7. Bilangan asli terdiri tiga angka berbeda akan dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Berapakah banyak bilangan yang dapat dibentuk , jika : a. Bilangan itu nilainya kurang dari 300. b. Bilangan itu habis dibagi 5 c. bilangan itu nilainya lebih dari 420 8. Pada pemilihan Ketua dan Wakil ketua OSIS terdapat 3 calon siswa dari kelas X, 4 calon siswa kelas XI dan 2 siswa kelas XII. Berapa banyak kemungkinan susunan ketua dan wakil ketua jika : a. Berasal dari tingkat kelas yang berbeda b. Ketua harus dari tingkat kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua

MAT.F.ARF.F.11.4

25

Lembar Kerja Siswa (LKS)-2 Permutasi objek berbeda

Pertemuan ke-2

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.4 Menjelaskan pengertian permutasi D.5 Mengontruksi rumus permutasi D.6 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep permutasi

Pendahuluan Kegiatan menata produk (barang) sering disebut dengan display produk. Kegiatan ini bertujuan untuk menarik perhatian dan minat konsumen terhadap barang atau produk yang dijual. Display produk sangat berpengaruh terhadap penghasilan dalam penjualan. Kegiatan tersebut perlu memperhatikan susunan, baik warna, bentuk, jumlah maupun harga. Oleh karena itu penting untuk diketahui bagaimana cara https://www.kemasan.net/index.php/artikel/42-syaratmenyusun produk yang baik serta banyak variasi display-produk-yang-benar susunan yang mungkin dapat dibentuk. Dalam display produk sering dijumpai permasalahan pengaturan atau penyusunan objek yang terdiri dari beberapa objek dengan memperhatikan urutan maupun tidak. Dalam ilmu matematika, penyusunan objek yang memperhatikan urutan disebut permutasi sedangkan yang tidak memperhatikan urutan disebut kombinasi. Bagaimana perhitungan permutasi dan kombinasi dapat digunakan dalam kehidupan sehar-hari? Mari kita cari tahu melalui aktivitas pada LKS-2 berikut ini!

Sebelum belajar permutasi, kita harus mengenal terlebih dahulu tentang faktorial. Definisi : n faktorial ditulis n! didefinisikan sebagai perkalian n bilangan asli yang pertama. n ! = 1  2  3  4  5  . . .  (n - 3)  (n – 2)  (n – 1)  n atau n ! = n  (n – 1)  (n – 2)  (n – 3)  (n – 4)  . . .  3  2  1 dengan n bilangan asli dan n  2. Untuk n= 1 dan n= 0 didefinisikan sebagai : 1 ! = 1 dan 0 ! = 1 Contoh :  5! = 5  4  3  2  1 = 120  10!  10  9  8  7!  10  9  8  720 7!

MAT.F.ARF.F.11.4

7!

26

A. Permutasi dari n objek dari n objek berbeda

Aktivitas 1 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah 1 : Seorang pengembang bisnis properti rumah menawarkan 3 unit kavling rumah minimalis yang belum terjual. Setiap kavling akan dipasang kode rumah yakni kavling 1, kavling 2, kavling 3 dan kavling 4 seperti ilustrasi gambar di samping. Pengembang ingin mengetahui tingkat minat pembeli terhadap ketiga kavling rumah tersebut berdasarkan susunan kode kavling rumah yang belum terjual. Bantulah pengembang tersebut untuk menentukan banyaknya susunan kavling rumah yang mungkin terjual berdasarkan kodenya. Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas.

Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian? Jika Ya, bagaimana hasilnya? Jika tidak apakah kamu punya cara lain? Penyelesaian : (jika menggunakan cara mendaftar untuk menyingkat penulisan cukup ditulis 1, 2, 3 atau 4) Susunan kode rumah yang mungkin terjual : 1234, 1243, . . . . ,

Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.4

Jadi, terdapat

27

pilihan jurusan yang dapat dipilih Arjuna.

Permasalahan tersebut merupakan salah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi n objek dari n objek yang berbeda. Dari kegiatan di atas dapat disimpulkan bahwa terdapat 4 tahap penjualan dimana: Penjualan tahap Banyaknya pilihan kekavling 1

...

 terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-1

2

...

 terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-2

3

...

 terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-3

4

...

 terdapat ... kavling yang dapat dijual pada penjualan ke-4

Menurut aturan perkalian, maka banyaknya susunan 4 kavling rumah yang mungkin terjual adalah : ...  ...  ...  ... = ... ! =

...

Atau secara umum, untuk menentukan banyaknya susunan terurut n objek dari n objek berbeda dapat melalui n tahap pengisian, seperti pada tabel di bawah ini. Penjualan tahap Banyaknya pilihan kekavling 1

...

2

...

...

...

(n – 2)

...

(n – 1)

2

n

1

Sehingga banyaknya permutasi n objek dari n objek berbeda adalah : n Pn

= ...  ...  ...  ... ...  ...  ...  ... = ... !

Kesimpulan Secara umum banyak permutasi n objek dari n objek berbeda yang dinyatakan dengan simbol

adalah

= ...!

MAT.F.ARF.F.11.4

28

Contoh Soal-1 Kelas XII MIPA 1 akan mengadakan pemilihan pengurus kelas yang baru terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara. Terdapat 3 calon kandidat yakni Ari, Budi, Candra yang akan mengisi ketiga jabatan pengurus kelas tersebut. Tentukan banyaknya susunan pengurus kelas yang mungkin dapat dibentuk. Penyelesaian : Diketahui

:

Ditanya : Cara menyelesaikan : Penyelesaian :

terdapat 3 jabatan pengurus kelas dan 3 calon kandidat pengurus kelas. banyaknya permutasi pengurus kelas yang mungkin. menggunakan rumus permutasi n objek dari n objek berbeda. 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Jadi 6 susunan pengurus kelas yang mungkin dibentuk.

Pengecekan Kembali : Misalkan Ari = A, Budi = B, Candra = C. Permutasi yang mungkin mengisi jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara secara berturutturut adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA. Terdapat 6 susunan pengurus yang mungkin.

Latihan Soal -1 1. Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh enam negara. panitia akan memasang keenam bendera dari enam negara yang hadir. Tentukan banyak cara panitia menyusun keenam bendera tersebut. Penyelesaian :

2. Seorang pegawai toserba sedang membuat label barang untuk mempermudah pencatatan barang yang dijual di tokonya. Label tersebut terdiri 2 huruf (A dan B) di bagian depan dan 5 angka (1-5) di bagian belakang, contohnya: AB 12345. Tentukan berapa banyak susunan label yang dapat dibentuk pegawai tersebut. Penyelesaian :

MAT.F.ARF.F.11.4

29

B. Permutasi dari r objek dari n objek berbeda Setelah kalian belajar mengenai permutasi n objek dari n objek yang berbeda dan penggunaannya dalam pemecahan masalah, kini saatnya kalian belajar mengenai jenis permutasi lainnya yaitu, permutasi r objek dari n objek yang berbeda. Dalam penyusunan objek-objek yang berbeda, terkadang kita tidak selalu menyusun semua objek yang ada, melainkan hanya menyusun sebagian objek saja. Misalnya, dalam suatu kompetisi matematika dari sejumlah finalis hanya akan diambil juara I, II dan III. Susunan pemenang kejuaraan tersebut merupakan salah satu contoh permutasi k objek dari n objek yang berbeda. Kemudian bagaimana cara menghitungnya? Apakah caranya sama dengan cara menghitung banyaknya permutasi n objek dari n objek? Mari ikuti aktivitas 2 untuk mencari tahu jawabannya.

Aktivitas 2 Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah 2 : Di kantor pusat sebuah perusahaan besar terdapat 4 orang staf yang dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala bagian umum dan kepala bagian pemasaran. Tentukan banyak cara yang dapat dipakai untuk mengisi jabatan tersebut dengan syarat tidak boleh merangkap jabatan? Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas.

Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan aturan perkalian? Jika Ya, bagaimana hasilnya? Jika tidak apakah kamu punya cara lain? Penyelesaian : (jika menggunakan cara mendaftar untuk menyingkat penulisan cukup ditulis misalnya 4 staf diberi kode A, B, C dan D sedangkan kepala bagian umum ditulis 1 dan kepala bagian pemasaran ditulis 2) Susunan nama dan jabatan yang mungkin : A1, B1, C1, . . , . . ,

Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.4

30

Permasalahan tersebut merupakan salah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi r objek dari n objek yang berbeda. Dari aktivitas di atas dapat disimpulkan bahwa terdapat 2 tahap pemilihan dimana: Pemilihan tahap ke-

Banyaknya calon

1

...

2

...

Menurut aturan perkalian, maka banyak susunan 2 jabatan dari 4 calon yang mungkin dipilih adalah : . . .  . . . Jika bentuk perkalian di atas . . .  . . . di ubah dalam notasi faktorial menjadi ...  ... =

...  ... ... ... ...! ...!   ... ... ...! (...  ...)!

Atau ditulis dalam notasi permutasi menjadi

 ... P ...

... ! (...  ...)!

Atau secara umum, untuk menentukan banyaknya susunan terurut r objek dari n objek berbeda dapat melalui r tahap pengisian, seperti pada tabel di bawah ini. Pengisian ke-

Banyaknya pilihan

1

n

2

(n -1)

3

(n – 2)

….

….

….

….

r

(n – r+1)

Berdasarkan aturan perkalian maka banyaknya keseluruhan cara ada :

n Pr

= n x (n1) x (n2) x ……..x (nr+1)

dikalikan dengan bentuk sekawan menjadi

= n x (n1) x (n2) x ……..x (nr+1)x (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1

(...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1

= (...  ...)  (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1

(...  ...)  (...  ...)  (...  ...)  ......  3  2 1

=

MAT.F.ARF.F.11.4

... ! (...  ...)!

31

Jadi banyaknya permutasi r objek diambil dari n objek yang berbeda adalah

... !

= n Pr (...  ...)!

Kesimpulan Secara umum banyak permutasi r objek dari n objek berbeda untuk r  n. yang dinyatakan dengan simbol

adalah

=

Contoh Soal-2 Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk. Penyelesaian : Diketahui : Ditanya : Cara menyelesaikan : Penyelesaian :

terdapat 4 orang dan tersedia 10 tempat duduk kosong. banyak kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk. menggunakan rumus permutasi r objek dari n objek berbeda. r = 4 dan n = 10 maka 10 P 4

MAT.F.ARF.F.11.4



10 ! 10 ! 10  9  8  7  6 !    10  9  8  7  5040 (10  4)! 6! 6!

32

Latihan Soal -2 1. Sebuah perusahaan asuransi akan mengadakan survey tentang minat sesorang terhadap berbagai jenis asuransi yakni asuransi pendidikan, kesehatan, tunjangan hari tua, kendaraan, dan asuransi rumah. Setiap orang yang disurvey akan diminta untuk memilih dan memberikan peringkat 1, 2, dan 3 dari kelima jenis asuransi. Akankah ada lebih dari 50 permutasi 3 dari 5 jenis asuransi yang dapat dipilih setiap orang? Berikan alasanmu ! 2. Sebuah perusahaan sedang membuka lowongan pekerjaan untuk mengisi jabatan sebagai administrasi dan pemasaran masing-masing 1 orang. Berikut adalah daftar calon pegawai yang telah melamar : Pengalaman Pendidikan Nama kerja (tahun) Ardian SMA 1 Beni SMK 2 Cantika SMA Dedi SMA 2 Ervan SMA 3 Faqih SMK Gatot SMK 2 Harsono SMA 3 Intan SMK 1 Jaka SMA 1 a. Jika perusahaan tersebut hanya menerima calon karyawan yang sudah memiliki pengalaman kerja minimal 1 tahun, berapakah banyak susunan karyawan yang mungkin diterima? b. Jika perusahaan tersebut hanya menerima calon karyawan yang berpendidikan SMA, berapakah banyak susunan karyawan yang mungkin diterima? 3. Penjaga perpustakaan bermaksud untuk menyimpan buku sehingga buku dengan bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika ia mempunyai 12 tempat untuk 5 buku berbeda dalam bahasa inggris, 4 buku berbeda dalam bahasa jepang, dan 3 buku berbeda dalam bahasa korea. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan buku tersebut. 4. Safira akan membuat alamat email baru. Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari sembilan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika ia menggabungkan antara huruf dan angka. Safira akan menggunakan namanya pada enam karakter awal atau akhir secara berturut-turut. Kemudian ditambahkan tiga buah angka berbedadari 0,1,2,⋯,9 secaraacak,misal SAFIRA123, SAFIRA321, 456SAFIRA, 046SAFIRA dan lain-lain. Berapa banyak cara penyusunan kata sandi tersebut ?

MAT.F.ARF.F.11.4

33

Lembar Kerja Siswa (LKS)-3

Kelompok :

Permutasi dengan beberapa objek yang sama

Pertemuan ke-3

1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.7 Menjelaskan pengertian permutasi dengan beberapa objek yang sama D.8 Mengontruksi rumus permutasi dengan beberapa objek yang sama D.9 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep permutasi dengan beberapa objek yang sama

Pendahuluan

https://blog.mizanstore.com/4-tips-menata-buku

Jika ingin bekerja di perpustakaan, sukarela atau berbayar, kamu harus tahu cara menata buku perpustakaan. Seluruh buku di seluruh perpustakaan ditata menggunakan Sistem Desimal Dewey (Dewey Decimal System) atau Sistem Klasifikasi Perpustakaan Kongres (Library of Congress Classification System). Mempelajari Sistem Desimal Dewey bukanlah hal yang sulit karena sistem ini ditata dengan rasional dan dibangun menggunakan basis desimal. Intinya, setiap kategori buku memiliki nomor kategori (integer, seperti 800) dan angka desimal di sebelah kanannya. Nomornomor ini bisa kamu temukan di punggung buku dan disebut dengan nomor panggil.

Menata buku berdasarkan klasifikasi nomor kategori di atas adalah contoh masalah permutasi dengan beberapa objek yang sama. Bagaimana perhitungan permutasi dengan beberapa objek yang sama. Mari kita cari tahu melalui aktivitas pada LKS-3 berikut ini!

MAT.F.ARF.F.11.4

34

Aktivitas

Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah : Seorang pustakawan akan menata buku pelajaran sesuai dengan klasifikasi nomor kategorinya. Jika terdapat 3 buku matematika yang sama, 2 buku Kimia yang sama dan 1 buku fisika. Berapa cara menyusun buku-buku tersebut secara berderet? Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas.

Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan permutasi r objek dari n objek? Jika tidak apakah cara lain?

Penyelesaian : jika menggunakan cara mendaftar untuk menyingkat penulisan perlu dimisalkan buku matematika = M, buku Kimia = K, buku fisika = F Susunan yang dapat dibentuk sbb MMMKKF, MMMFKK, ...

Jadi terdapat . . . susunan Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.4

35

Dari aktivitas di atas seandainya selalu kita selesaikan dengan cara mendaftar akan sangat merepotkan jika objek yang sama relatif banyak, sehingga kita perlu menemukan rumus agar lebih efisien. Perhatikan contoh berikut 

Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA? Penyelesaian : Jika huruf A pada APA kita beri indeks menjadi A1PA2, maka huruf-huruf dari kata A1PA2 dapat disusun dengan 3! = 6 cara (sesuai dengan rumus permutasi n onjek dari n objek yaitu n!). Susunan huruf itu adalah A1PA2, A2PA1, A1A2P, A2A1P, PA1A2, PA2A1

Maka sebenarnya permutasi dari kata APA hanya ada 3 yaitu APA, AAP, PAA Agar lebih efisien dalam menghitung, mari kita cara rumus perhitungannya. Karena setiap kelompok ada 2 susunan yang sebenarnya sama yang dapat kita peroleh dari 2! maka kita dapat nyatakan menjadi



3! 3  2!  3 2! 2!

Bagaimana mencari permutasi 6 objek dengan 4 diantaranya sama? Jika 4 objek yang sama itu dianggap berbeda maka banyak permutasi = 6 !. Jika banyaknya permutasi sebenarnya adalah p , maka dengan mengandaikan objeknya berbeda setiap permutasi dari p itu dapat dibuat menjadi 4! permutasi. Sehingga diperoleh hubungan 6! 6 ! = p x 4 ! atau p = . 4! Dengan cara yang sama diperoleh: Banyaknya permutasi 8 objek dengan 5 diantaranya sama adalah q maka q x ... = ... !

atau q =

... ! ... !

sehingga :

MAT.F.ARF.F.11.4

... ! ... !



Banyaknya permutasi n objek dengan p diantaranya sama =



Banyak permutasi n objek dengan p dan q diantaranya sama =

... ! ... !  ... !

36

Kesimpulan Misalkan dari n objek terdapat n , n , n , … ,n objek yang sama dengan n + n + n + 1

2

3

m

1

2

3

… + n  n, maka banyak permutasi dari n objek tersebut adalah : m

Latihan Soal 1. Seorang penjual buku akan menata buku pelajaran yang dijualnya di rak buku dengan cara berderet . Jika terdapat 3 buku geografi yang sama, 3 buku sejarah yang sama dan 2 buku ekonomi. Berapa cara menyusun buku-buku tersebut? 2. Berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata : a. BACA b. KAKAK c. SASANA d. APAAPAADA 3. Berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata TOKOKU a. Jika huruf pertama K dan huruf terakhir O b. Jika huruf pertama T dan huruf terakhir U c. Jika huruf pertama T dan huruf terakhir O d. Jika huruf O tidak boleh berdekatan 4. Ada berapa banyak bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka dari 3464383 (termasuk bilangan 3464383 itu sendiri) 5. Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka (angka pertama tidak boleh angka 0). Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada berapa? 6. Perhatikan gambar berikut .

Jika seseorang akan berjalan dari titik A ke titik B. Ada berapa banyak cara jalan terpendek yang dapat dipilihnya ?

MAT.F.ARF.F.11.4

37

Lembar Kerja Siswa (LKS)-4 Permutasi siklis

Pertemuan ke-4

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.10 Menjelaskan pengertian permutasi siklis D.11 Mengontruksi rumus permutasi siklis D.12 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep permutasi siklis

Pendahuluan Konferensi Meja Bundar ( KMB) menjadi tonggak sejarah kemerdekaan Indonesia. Pasalnya, setelah Indonesia memproklamasikan kemerdekaan pada 17 Agustus 1945, Belanda masih berupaya menguasai Indonesia. Berbagai upaya dilakukan Indonesia agar bisa merdeka. Mulai dari perang gerilya hingga diplomasi. Konferensi Meja Bundar November 1949 menjadi upaya diplomasi yang berhasil membebaskan Indonesia dari Belanda. https://www.kompas.com/skola/read/2020/02/11

Delegasi dari Indonesia ada 12 yaitu Moh Hatta, Moh Roem, Soepomo, Leimena, Ali

Sastroamidjojo, Juanda, Sukiman, Suyono Hadinoto, Sumitro Djojohadikusumo, Abdul Karim Pringgodigdo, TB Simatupang dan Sumardi, Sementara dari BFO dipimpin Sultan Hamid II dari Pontianak. Adapun Belanda diwakili oleh Van Maarseven. KMB diawasi United Nations Commission for Indonesia (UNCI) yang dipimpin oleh Chritchley (Australia). Permasalahan menentukan posisi duduk di meja bundar di atas adalah permasalahan yang akan kita pecahkan menggunakan permutasi siklis. Bagaiamana caranya? Ikuti aktivitas berikut ini.

MAT.F.ARF.F.11.4

38

Aktivitas Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah 1:

Dalam sebuah keluarga kecil yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan seorang anak orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk. Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas.

Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Apakah masalah di atas dapat diselesaikan dengan permutasi r objek dari n objek ? Jika tidak apakah cara lain? Penyelesaian :

Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.4

39

Masalah 2 : Bagaimana jika banyaknya terdapat 4 objek berbeda? Bagaimana jika banyaknya terdapat 5 objek berbeda? Coba selidiki.

Kesimpulan Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan ( . . . - . . .) !

Latihan Soal -4 1. Jika kita mempunyai 8 permata dan ingin ditempatkan pada gelang, maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat? 2. Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari ayah, ibu dan ketiga anaknya duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyak cara mereka duduk jika : a. Ayah dan ibu selalu berdampingan b. Ketiga anaknya selalu duduk mengelompok 3. Tentukan banyaknya cara 3 anak laki – laki dan 3 anak perempuan duduk mengelilingi meja bundar jika anak laki-laki dan anak perempuan duduk berselingan ? 4. Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang suami istri selalu berdampingan ? 5. Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Aji, Bayu, dan Citra ada di dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika: a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk b. Aji, Bayu, dan Citra harus duduk berdampingan c. Aji, Bayu, dan Citra tidak boleh ketiganya duduk berdampingan

MAT.F.ARF.F.11.5

40

Lembar Kerja Siswa (LKS)-5 Kombinasi

Pertemuan ke-5

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.13 Menjelaskan pengertian kombinasi D.14 Mengontruksi rumus kombinasi D.15 Menyelesaikan masalah yang terkait dengan konsep kombinasi

Pendahuluan

https://hellosehat.com/nutrisi/fakta-gizi

Tentu kalian sudah tidak asing dengan kata kombinasi bukan? Kombinasi merupakan susunan beberapa objek yang tidak memperhatikan urutan objek-objek yang disusun atau dipilih. Dalam beberapa hal, seringkali kita mengabaikan urutan objek dan lebih mementingkan pilihan objek yang diambil. Saat ini banyak orang yang sedang menggemari minuman yang disebut infused water.

Infused water adalah air mineral yang dicampurkan dengan berbagai macam potongan buahbuahan segar, sayuran, herbal, atau rempah-rempah. Anda bisa membuat minuman satu ini sendiri di rumah. Tak ada buah, sayuran, herbal atau rempah khusus untuk membuat infused water. Pilihan bahan-bahan tersebut disesuaikan dengan apa yang Anda sukai. Selain contoh tersebut, apa sajakah kegunaan kombinasi dalam kehidupan sehari-hari serta bagaimanakah perhitungannya? Mari kita cari tahu melalui aktivitas berikut ini.

MAT.F.ARF.F.11.5

41

Aktivitas Petunjuk kegiatan : Ikuti langkah kegiatan yang ada untuk menyelesaikan masalah di bawah ini dan diskusikan dalam kelompok.

Masalah : SMA Harapan Bangsa akan mengirimkan 3 siswa untuk mewakili sekolah dalam kegiatan olimpiade matematika tingkat kabupaten. Terdapat 5 siswa yang dapat dipilih untuk mewakili sekolah yakni Asih, bowo, Cika, Dedi, dan Ero. Jika Ero sudah dipastikan ikut dalam lomba tersebut, tentukan kombinasi 2 dari 4 siswa yang mungkin dapat dipilih guru untuk mewakili sekolah.

Penyelesaian : Langkah pertama, kumpulkan informasi yang kalian butuhkan berdasarkan masalah 1 di atas.

Langkah kedua, cara apa yang akan kalian gunakan untuk menyelesaikan masalah di atas. Jika menggunakan aturan permutasi maka susunan 2 dari 4 yang mungkin adalah:

( karena dalam kombinasi tidak memperhatikan urutan maka, AB dianggap sama dengan BA. Jadi susunan apa saja yang dianggap sama?) • AB = • = • = • AC = • = • = Terdapat . . . susunan huruf yang mungkin dibuat dari kombinasi 2 dari 4 huruf yang berbeda. Jadi, terdapat . . . susunan nama siswa yang mungkin dapat dipilih guru untuk mendampingi Ero. Penyelesaian :

Langkah ketiga, periksa kembali pekerjaan kalian. Apakah kalian yakin dengan hasil yang telah kalian peroleh?

MAT.F.ARF.F.11.5

42

Menemukan Rumus Kombinasi Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana jika yang diundang 3 orang? Coba kalian lengkapi tabel berikut. 

Diundang 2 dari 4 orang Macam Jika elemen kombinasi dipermutasikan kombinasi AB AB, BA

Banyak permutasi 2!

AC AD BC BD CD 4 C2

6

4 P2

 ...

. . . x 2!

Banyaknya kombinasi dari 2 objek dari 4 objek yang tersedia dilambangkan dengan  4 4 4 C2 atau C2 atau C(4,2) atau   = . . .  2 

Diundang 3 dari 4 orang Macam Jika elemen kombinasi dipermutasikan kombinasi ABC AB, BA, AC, CA, BC, CB

Banyak permutasi 3!

ABD ACD BCD 4 C3

 ...

4 P3

 ...

. . . x 3!

Banyaknya kombinasi dari 3 objek dari 4 objek yang tersedia dilambangkan dengan 4 C3

 4 atau C34 atau C(4,3) atau   = . . .  3

Perhatikan bahwa :

4 P2

 4 C2  ... !

dan

4 P3

 4 C3  ... !

Dengan pemikiran yang sama didapat : n! P ... ! (n  r) n r   n Pr  n Cr  ... ! atau dapat ditulis n Cr  ... ! ... ! (...  ...)... !

MAT.F.ARF.12.3

43

Kesimpulan Banyaknya kombinasi r objek dari n objek tersedia dapat dinyatakan dengan

Contoh soal : Seorang pengusaha konveksi akan memproduksi taplak meja yang terbuat dari kombinasi 4 macam kain. Bahan yang tersedia adalah 5 macam kain batik dan 3 macam kain polos. Berapa banyak variasi yang dihasilkan jika taplak tersebut terbuat dari : a. 4 macam kain batik. b. 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos. Penyelesaian : a. Taplak terbuat dari 4 macam kain batik Banyak cara memilih 4 kain batik dari 5 macam kain batik adalah : 5! 5.4! 5   5 5 C4  4!(5  4)! 4!.1! 1 Jadi, banyak variasi taplak meja yang terbuat dari 4 macam kain batik adalah 30 macam. b. Taplak terbuat dari 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos. Banyak cara memilih 3 kain batik dari 5 macam kain batik adalah :

Banyak cara memilih 1 kain polos dari 3 macam kain polos adalah :

Berdasarkan aturan perkalian maka banyak cara memilih 3 kain batik dan1 macam kain polos adalah :

Jadi, banyak variasi taplak meja yang terbuat dari 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos adalah . . . macam.

MAT.F.ARF.12.3

44

Latihan Soal 1. Tentukan n jika n 2 Cn  45 2. Dengan berapa cara suatu panita terdiri atas 3 orang dapat dipilih dari 9 orang ? 3. Pada pertemuan orang tua siswa kelas XI IPA, ada 15 orang yang belum saling mengenal. Mereka ingin berkenalan dengan saling berjabat tangan. Berapa banyak jabatan tangan yang dapat terjadi ? 4. Diketahui 10 buah titik pada suatu bidang dan tidak ada 3 titik yang segaris, Tentukan banyaknya garis yang dapat ditarik melalui titik-titik tersebut. 5. Suatu kelompok belajar terdiri atas 3 siswa putra dan 2 siswa putri akan dipilih dari 6 siswa putra dan 4 siswa putri. Tentukan banyaknya susunan kelompok belajar yang dapat terjadi. 6. Seorang petani membeli 2 ekor sapi, 3 ekor kambing dan 4 ekor ayam dari seorang pedagang yang mempunyai 4 ekor sapi, 5 ekor kambing dan 5 ekor ayam. Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih sapi, kambing dan ayam ? 7. Dalam pelatnas bulutangkis terdapat 8 pemain putra dan 6 pemain putri. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dipilih, untuk : a. Ganda putra b. Ganda putri c. Ganda campuran 8. Di dalam sebuah kantong terdapat 8 kelereng putih dan 5 kelereng merah. Dari kantong itu diambil 6 buah kelereng yang terdiri atas 4 putih dan 2 merah. Berapa banyak cara untuk pengambilan dengan cara seperti itu ? 9. Suatu panitia akan dibentuk dari 9 siswa putra dan 3 siswa putri. Panitia tersebut terdiri atas 4 orang. Ada berapa cara jika panitia itu terdiri atas : a. Siswa putra semua b. 2 siswa putra dan 2 putri c. 3 siswa putra dan 1 putri 10. Tentukan banyaknya diagonal segi delapan beraturan.

MAT.F.ARF.12.3

45

Lembar Kerja Siswa (LKS)-6

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Binomium Newton

Pertemuan ke-6

Tujuan Pembelajaran

D.16 Menggunakan kombinasi untuk menguraikan bentuk binomium newton

Pendahuluan Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Ia dinamakan sempena Blaise Pascal dalam kebanyakan dunia barat, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Cina, dan Italia. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomornomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat.

Sebenarnya rumus dan susunan tersebut telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk setiap eksponen. Matematikawan Yunani abad ke-4 SM Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2 seperti yang dilakukan oleh matematikawan India abad ke-3 SM Pingala untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan kemudian disebut "segitiga Pascal" telah dikenal di abad ke-10 M oleh matematikawan India Halayudha dan matematikawan Persia AlKaraji, i abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan Persia Umar Khayyām, dan di abad ke-13 oleh matematikawan Cina Yang Hui, yang semuanya memperoleh hasil yang sama. Al-Karaji juga memberikan sebuah pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan induksi matematika. MAT.F.ARF.12.3

46

Aktivitas Jika a dan b adalah bilangan real maka (a+b)n adalah perpangkatan n dari suku dua atau binom. Untuk n= 1, 2, dan 3 bentuk (a+b)n masih mudah dijabarkan yaitu : o

untuk n= 1 maka (a+b)1 = ………………………………………………

o

untuk n= 2 maka (a+b)2 = ………………………………………………

o

untuk n= 3 maka (a+b)3 = ………………………………………………. Blaise Pascal telah merumuskan koefisien-koefisien penjabaran suku dua berpangkat n yang dikenal dengan Segitiga Pascal yaitu : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

dan seterusnya. Untuk n cukup besar, kita akan menemui kesulitan untuk menentukan koefisien-koefisien tersebut. Untuk mengatasi hal tersebut Newton menemukan cara yang dapat digunakan untuk menentukan koefisienkoefisien penjabaran perpangkatan suku dua dengan pangkat yang tinggi yang dikenal dengan Binomium Newton. o untuk n= 1 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)1 adalah 1C0 ; 1C1 o untuk n= 2 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)2 adalah 2C0 ; 2C1 ; 2C2 o untuk n= 3 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)3 adalah 3C0 ; 3C1 ; 3C2 ; 3C3. dan seterusnya, sehingga : o

o

o

untuk n= 100 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)100 adalah 100C99 ; 100C100 .

100C0 ; 100C1 ; 100C2 ; 100C3;

……;

Sesuai dengan binomium Newton maka : (a+b)1 = 1C0. a1 + 1C1. b1 = 1C0. a1b0 + 1C1. a0.b1 = 1C0. a10 b0 + 1C1. a11.b1 (a+b)2

= = =

a2 + 2C1. ab + 2C2.b2 2 0 1 1 0 2 2C0. a b + 2C1. a b + 2C2.a .b 20 0 b + 2C1. a21 b1+ 2C2.a22 .b2 2C0. a 2C0.

Untuk (a+b)3 coba tuliskan sepeti dua bentuk di atas o

(a+b)3

= = =

MAT.F.ARF.12.3

47

Dan seterusnya, sehingga : (a+b)100

a1000 b0 + 100C1. a1001 b1 + b + 100C100.a100100 .b100

=

100C0. 99

1002 2 b 100C2.a

+ 100C3.a1003 .b3 + ……….. + 100C99.a10099

Sehingga (a+b)n dapat dirumuskan menjadi : (a+b)n

=

Jadi rumus Binomium Newton jika dituliskan dalam notasi sigma sebagai berikut n

(a+b)n

=

 n C r .a.................b......

r 0

Contoh soal 1. Dengan menggunakan rumus binomium Newton, jabarkan bentuk berikut : a. (x + y)4 b. (2xy)3 Penyelesaian : a. (x + y)4 = 4C0. x4 + 4C1. x3y + 4C2.x2 y2 + 4C3.xy3 +4C4.y4 Dengan rumus kombinasi kita dapat menentukan nilai : 4C0 =1 ; 4C1 = 4 ; 4C2= 6 ; 4C3 = 4 ; 4C4 = 1 sehingga : (x + y)4 = 1. x4 + 4. x3y + 6.x2 y2 + 4.xy3 +1.y4 = x4 + 4x3y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 Dengan memperhatikan penyelesaian no. 1.a coba jabarkan untuk no. 1.b b. (2xy)3 =

MAT.F.ARF.12.3

48

2. Dengan menggunakan rumus binomium Newton, tentukan suku dan koefisien suku yang memuat x7 pada penjabaran bentuk ( x + y)8. Penyelesaian : 8

(x+y)8 =

 8 C r .x 8r .y r

r 0

Diperoleh x7 = x8r  . . . = . . .  r = . . . Suku yang memuat x7 adalah suku ke- . . . atau r = . . . yaitu ………………….. Jadi, suku yang memuat x7 adalah ………………………. Dan koefisiennya adalah . . . .

Latihan Soal 1. Jabarkanlah :

a. (x + y)5 b. (2x + y)6

c. (2x – 3y)5 d. (3x – 2y)6

2. Dari penjabaran bentuk (x + y)10 ,carilah suku dan koefisien suku yang memuat: a. x6 b. y3 3. Dari penjabaran bentuk (2x + y)10 , carilah suku dan koefisien yang memuat : a. x4 b. y8 4.

Dari penjabaran bentuk (3x - 2y)11, carilah suku dan koefisien yang memuat : a. x2 b. y3

5.

Dari penjabaran bentuk (2x - 3y)7, carilah suku dan koefisien yang memuat : a. x6 b. y4

6.

Dari penjabaran bentuk (12x )10, carilah koefisien yang memuat x8.

7.

Dari penjabaran bentuk (2  x ) 6 , carilah koefisien yang memuat x4.

8.

1 2 1 Dari penjabaran bentuk (x  ) 8 , carilah koefisien yang memuat x5. x

MAT.F.ARF.12.3

49

Lembar Kerja Siswa (LKS)-7 Peluang kejadian saling bebas

Pertemuan ke-7

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.17 Menjelaskan pengertian dua kejadian saling bebas D.18 Menentukan peluang dua kejadian saling bebas

Untuk memahami pengertian dua kejadian saling bebas, kalian ikuti percobaan berikut ini. Dua buah dadu dilemparkan bersamaan satu kali. Misalkan : 

Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, maka A = { ……………………………………………………………………………………………………………………………. }



Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 4, maka B = { ……………………………………………………………………………………………………………………………. } Apakah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3 terpengaruh kejadian munculnya mata dadu kedua angka 4? ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Apakah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 4 terpengaruh kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3? ………………………………………………………………………………………………………………………………………





Kesimpulan

Kejadian A dan kejadian B dikatakan dua kejadian saling bebas jika ………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

MAT.F.ARF.12.3

50



Bagaimanakah cara menghitung peluang dua kejadian saling bebas?

Perhatikan kembali percobaan dua buah dadu dilemparkan bersamaan sebanyak satu kali. 

Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, maka A = { ……………………………………………………………………………………………………………………………. } n(A) = …………. maka P(A) = …………..



Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 4, maka B = { ……………………………………………………………………………………………………………………………. } n(B) = …………. maka P(B) = ………….. A  B = { ………………………… }  n(A  B) = ……….. sehingga P( A  B) = …………

 

Coba perhatikan nilai P(A), P(B) dan P (A  B), hubungan apa yang kalian dapatkan dari ketiga nilai tersebut? ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Kesimpulan

Jika kejadian A dan kejadian B saling bebas maka berlaku rumus :

P (A  B) = ………………………………………………..

Dua keping mata uang logam dilempar bersamaan satu kali. Misal kejadian A adalah munculnya sisi gambar pada mata uang logam pertama, sedangkan kejadian B adalah munculnya sisi yang sama untuk kedua mata uang logam itu. Selidiki apakah kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas? Jelaskan alasanmu.

MAT.F.ARF.12.3

51

Dua buah dadu dilemparkan bersamaan satu kali. Kejadian E adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu pertama, sedangkan kejadian J adalah kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 9. Selidiki apakah kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas? Jelaskan alasanmu.

Sebuah uang logam dilempar sebanyak tiga kali. Misalkan kejadian A adalah munculnya gambar pada pelemparan pertama, kejadian B adalah munculnya gambar pada pelemparan kedua dan kejadian C adalah munculnya gambar tepat dua kali berturut-turut. Selidiki dua kejadian berikut saling bebas atau tidak saling bebas : a. Kejadian A dan kejadian B b. Kejadian A dan kejadian C c. Kejadian B dan kejadian C

MAT.F.ARF.12.3

52

Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas , tetapi tidak saling lepas. Jika P(A) = P(AB) =

3 , hitunglah peluang kejadian B. 4

Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas. Jika P(A) = d. e. f. g.

1 dan 2

1 2 dan P(B) = . Tentukan : 3 5

P(A  B) P(A  B) P(Ac  Bc) P(Ac  Bc)

MAT.F.ARF.12.3

53

Lembar Kerja Siswa (LKS)-8

Kelompok :

Aplikasi peluang kejadian saling bebas

Pertemuan ke-8

1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.19 Menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan kejadian saling bebas

Teorema : Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka Ac dan Bc juga merupakan dua kejadian yang saling bebas

Kotak I berisi 5 bola merah dan 4 bola putih, sedangkan kotak II berisi 6 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil dari dua bola sekaligus, tentukan peluang terambil 1 merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 merah pada kotak II

MAT.F.ARF.12.3

54

Alfa dan Beta mengikuti suatu ujian. Peluang Alfa dan Beta untuk lulus berturut-turut adalah 0,6 dan 0,8. Hitunglah peluang kejadian bahwa a. Kedua-duanya lulus b. Alfa tidak lulus tetapi Beta lulus c. Kedua-duanya tidak lulus d. Salah satu lulus

Latihan Soal 1. Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masingmasing kotak diambil 1 bola. Tentukan peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II. 2. Peluang siswa sekolah A lulus US matematika adalah 0, 99 sedangkan peluang siswa sekolah B lulus US Matematika adalah 0, 98. Tentukan peluang siswa sekolah A tidak lulus US dan siswa sekolah B lulus US matematika. 3. Dalam sebuah kantong terdapat 20 kelereng dimana 5 berwarna merah dan 15 berwarna hijau. Jika dua kelereng diambil satu persatu dengan pengembalian, tentukan peluang yang terambil kelereng pertama berwarna merah dan yang kedua berwarna hijau. 4. Dari satu set kartu berisi 9 kartu bernomor 2 sampai dengan 10, diambil dua kali sebuah kartu dengan pengembalian. a. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor genap. b. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor ganjil c. Berapakah peluang kartu yang terambil pertama ganjil dan kedua genap d. Berapakah peluang kartu kedua adalah kartu bernomor genap 5. Seorang pengusaha akan mendirikan dua perusahaan di kota A dan kota B dengan P(A) = 3/5 dan P(B) = 4/5. Tentukan peluang perusahaan jika didirikan : a. Di kota A dan kota B b. Tidak di kota A dan kota B c. Di kota A tetapi tidak di kota B d. Tidak di kota A tetapi di kota B 6. Peluang hidup seekor kuda nil, macan, dan jerapah di sebuah kebun binatang untuk jangka waktu 15 tahun ke depan berturut-turut adalah 35%, 25%, dan 20%. Berapa peluang bahwa hanya kuda nil saja yang hidup sedangkan macan dan jerapah keduanya mati untuk jangka waktu tersebut? MAT.F.ARF.12.3

55

Lembar Kerja Siswa (LKS)-9 Proses stokastik berhingga

Pertemuan ke-9

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.20 Menjelaskan pengertian proses stokastik berhingga D.21 Menentukan peluang dua kejadian saling bebas dengan proses stokastik berhingga Untuk memahami proses stokastik berhingga perhatikan contoh berikut ini.

Suatu deretan berhingga dari eksperimen-eksperimen di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah berhingga hasil yang mungkin dengan peluang yang tertentu disebut Proses Stokastik yang berhingga. Suatu cara yang baik sekali untuk menjelaskan (menggambarkan) suatu proses dan perhitungan peluang dari sebarang kejadian adalah dengan suatu diagram pohon seperti berikut. Kita mempunyai 3 kotak sebagai berikut. Kotak I berisi 10 bola lampu, 4 di antaranya mati. Kotak II Berisi 6 bola lampu, 1 di antaranya mati. Kotak III berisi 8 bola lampu, 3 di antaranya mati. Kita memilih satu kotak secara random dan kemudian dari kotak tersebut mengambil sebuah bola lampu secara random. Berapakah peluang bahwa bola lampu tersebut hidup? Di sini kita mempunyai suatu urutan dari 2 eksperimen, yaitu: 1) memilih satu dari 3 kotak, 2) mengambil satu bola lampu yang mungkin mati (M) atau mungkin hidup (H).

Berapakah peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random? …………………………………………………………………………………………………………….. Apakah setiap kotak mempunyai peluang yang sama? …………………………………………………………………………………………………………….. MAT.F.ARF.12.3

56



Dari kotak I yang berisi 10 bola lampu, 4 diantaranya mati. Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu mati = ….. Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu hidup = …..



Dari kotak II, yang berisi 6 bola lampu, 1 di antaranya mati Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu mati = ….. Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu hidup = …..



Dari kotak III, yang berisi 8 bola lampu, 3 di antaranya mati Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu mati = ….. Peluang bahwa bola lampu yang terambil itu hidup = ….. Diagram pohon berikut menggambarkan proses tersebut dan menunjukkan peluangnya yang terdapat pada setiap cabang pohon. Dari hasil di atas silahkan lengkapi peluang setiap cabang  Peluang yang terambil hidup dari kotak I = ….. x ….. = …..  Peluang yang terambil hidup dari kotak II = ….. x ….. = …..  Peluang yang terambil hidup dari kotak III = ….. x ….. = …..

Sehingga didapat peluang bahwa bola lampu tersebut hidup adalah …………………………………………………………………………………………………………………………….

MAT.F.ARF.12.3

57

Latihan Soal 1. Diketahui dua buah kotak A dan B. Kotak A berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Kotak B berisi 4 putih dan 2 merah. Diambil secara acak satu kotak kemudian diambil secara acak satu bola dari kotak tersebut. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah bola putih. 2. Diketahui tiga buah kotak I, II dan III. Kotak I berisi 10 lampu, 5 diantaranya rusak. Kotak II berisi 8 lampu,3 diantaranya rusak. Kotak III berisi 6 lampu, 2 diantaranya rusak.Dipilih satu kotak secara acak, kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang bahwa lampu yang terambil adalah rusak. 3. Diketahui dua mangkok A dan B. Mangkok A berisi 5 kelereng merah, 3 putih dan 8 biru. Mangkok B berisi 3 kelereng merah dan 5 putih. Sebuah dadu dilempar, jika mata dadu 3 atau 6 muncul, maka sebuah kelereng diambil dari kotak B dan jika yang muncul bukan mata 3 atau 6 maka sebuah kelereng diambil dari kotak A. Tentukan peluang kelereng yang terambil adalah merah.

MAT.F.ARF.12.3

58

Lembar Kerja Siswa (LKS)-10 Peluang kejadian bersyarat

Pertemuan ke-10

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.22 Menjelaskan pengertian kejadian bersyarat D.23 Menentukan peluang kejadian bersyarat Untuk memahami pengertian kejadian bersyarat, kalian ikuti percobaan berikut ini.

Pada percobaan sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Akan ditentukan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika disyaratkan kejadian munculnya angka prima terjadi terlebih dahulu. Mula-mula ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, karena disyaratkan kejadian munculnya angka prima terjadi terlebih dahulu menjadi ruang sampel baru, maka  ruang sampelnya berubah menjadi { ………………….…………………………… }  dalam ruang sampel yang baru maka kejadian munculnya mata dadu angka ganjil adalah { ………………………………………………….…. }  Apakah kejadian munculnya mata dadu ganjil terpengaruh kejadian munculnya mata prima? ………………………………………………………………………………………………………………………………….. Kesimpulan Kejadian bersyarat adalah …………………………………………………………..………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

MAT.F.ARF.12.3

59



Bagaimanakah cara menghitung peluang kejadian bersyarat?

Sebelum kalian menghitung peluang kejadian bersyarat perlu diketahui dulu notasi berikut : o Kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu ditulis A|B o Kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis B|A

Pada percobaan sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Akan ditentukan peluang kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika disyaratkan kejadian munculnya angka prima terjadi terlebih dahulu. 

Mula-mula ruang sampel S = { …………………………………………………………. } maka n(S) = ……. o Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil , maka  A = { ………………………….. } maka n(A) = ………. sehingga P(A) = ………… o Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu prima , maka  B = { ………………………….. } maka n(B) = ………. sehingga P(B) = ………… o Kejadian A  B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil sekaligus prima , maka  A  B = { ……………………… }  n(A  B) = ….. sehingga P( A  B) = ……



Dalam ruang sampel yang baru yaitu muncul mata dadu prima B = { ………………………… } maka n(B) = ……. o Kejadian A|B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil pada ruang sampel baru B :  A|B = { …………………… } maka n(A|B) = ……… sehingga P(A|B) = ………… 

Coba perhatikan nilai P(B), P(A  B) dan P(A|B), hubungan apa yang kalian dapatkan dari ketiga nilai tersebut? ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… Dengan analisis yang sama kalian akan mendapat hubungan antara nilai P(A), P(A  B) dan P(B|A)

MAT.F.ARF.12.3

60

Kesimpulan 

Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu dirumuskan : P(A|B) = ………………………………



Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu dirumuskan : P(B|A) = ………………………………

Diketahui P(A) = a. b. c. d. e.

1 1 1 , P(B) = dan P(A  B) = . Tentukan : 2 4 3

P(A|B) P{B|A) P(A  B) P(AC|BC) P(BC|AC)

MAT.F.ARF.12.3

61

Menentukan peluang irisan dari peluang kejadian bersyarat Karena P(AB) = P(BA), dapat diperoleh : P(A | B) 

P(A  B) maka P(A  B)  .........  ......... P(B)

P(B | A) 

P(A  B) maka P(A  B)  .........  ......... P(A)

Dari sebuah kotak yang berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil dua kali sebuah bola secara acak satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil : a. Kedua bola berwarna merah b. Bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih

Latihan Soal 1.

2.

3.

Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge. a. Jika yang terambil kartu club, berapakah peluang yang terambil itu kartu queen? b. Jika yang terambil itu kartu Heart, berapakah peluang yang terambil itu bernomor genap? c. Jika yang terambil bernomor ganjil, berapakah peluang yang terambil itu diamond? Dua buah dadu dilambungkan sekali. a. Jika yang muncul berjumlah 8, berapakah peluang yang muncul itu keduanya ganjil? b. Jika yang muncul keduanya genap, berapakah peluang yang muncul berjumlah 10? Dalam suatu kotak terdapat 5 kelereng merah, 2 kelereng putih dan 4 kelereng hijau. Jika diambil dua kelereng berturut-turut tanpa pengembalian, tentukan peluang terambil : a. keduanya kelereng hijau b. pertama terambil kelereng merah dan kedua hijau c. pertama terambil kelereng putih dan kedua hijau

MAT.F.ARF.12.3

62

4.

Lembar Kerja Siswa (LKS)-11

Aplikasi peluang kejadian bersyarat

Pertemuan ke-11

Kelompok : 1. 2. 3. 4.

Tujuan Pembelajaran

D.24 Menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan kejadian bersyarat 5.

Peluang Rajawali Air berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang Rajawali Air datang tepat pada waktunya adalah P(D) = 0. 90 dan peluang pesawat tersebut berangkat dan datang tepat pada waktunya adalah P(BD) = 0.75. Hitung peluang bahwa Rajawali Air tersebut : a. Datang tepat pada waktunya bila diketahui pesawat itu berangkat tepat pada waktunya b. Berangkat tepat pada waktunya bila diketahui pesawat itu datang tepat pada waktunya

MAT.F.ARF.12.3

63

Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap kotak diberi tanda A atau tanda B, Berikut komposisi bola yang ada pada kotak. Tanda Merah Putih Jumlah A 4 2 6 B 1 3 4 Jumlah 5 5 10 Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang kejadian terambil bola merah bertanda A.

Latihan Soal 1.

2.

Dari hasil ujian menunjukkan 25 % murid tidak lulus matematika, 15 % tidak lulus ekonomi dan 10 % tidak lulus keduanya. Seorang murid dipilih secara acak. Jika yang dipilih tidak lulus matematika, berapa peluang ia tidak lulus ekonomi? Sebuah perusahaan berencana memilih karyawannya untuk mengikuti pelatihan. Ada 5 calon pria, 3 dari bagian personalia dan 2 dari bagian administrasi. Ada 3 calon wanita, 1 dari bagian personalia dan 2 dari bagian administrasi. Tentukan peluang yang dipilih mengikuti pelatihan adalah pria dengan syarat dari bagian administrasi.

3.

Peluang istri menonton TV sendiri adalah

17 .Peluang suami menonton TV sendiri adalah 20 13 9 . Peluang suami atau istri menonton TV adalah . Tentukan peluang : 20 10

a. istri menonton TV, jika suami telah menonton TV terlebih dahulu b. suami menonton TV, jika istri telah menonton TV terlebih dahulu 4. Disebuah kota 40% orang berambut ikal, 25% orang bermata coklat dan 15 % orang berambut ikal dan bermata coklat. Seorang dipilih secara acak : a. Jika dia berambut ikal, berapa peluang dia juga bermata coklat? b. Jika dia bermata coklat, berapa peluang dia tidak berambut ikal? c. Berapa peluang jika dia tidak berambut ikal atau tidak bermata coklat?

MAT.F.ARF.12.3

64