Data Loading...
pat1_mathformula Flipbook PDF
pat1_mathformula
120 Views
164 Downloads
FLIP PDF 1.27MB
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
Pinnacle 0–2251–8326
โดยอาจารย์POP
สรุปสูตร เซต (Set) 1. เซตแบ่งได้เป็ น 2 ประเภท คือ 1) เซตจากัด หมายถึง เซตที่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ 2) เซตอนันต์ หมายถึง เซตที่มีจานวนสมาชิกมากจนไม่สามารถนับจานวนสมาชิกที่แน่นอนได้ 2. วิธีเขียนเซตมี 2 ประเภท คือ 1) แบบแจกแจงสมาชิก ตัวอย่างเช่น A = { A, B, C } , B = { 1, 2, 3, 4 } 2) แบบบอกเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น A = { x x I และ x + 2 = 0 } 3. การเท่ากันของเซต หมายถึง เซตทั้งสองมีจานวนสมาชิกที่เท่ากันและจานวนสมาชิกเหมือนกันทุกตัว และใช้สญ ั ลักษณ์ A = B แทนเซต A เท่ากับ เซต B 4. เซตย่อย (Sub set) หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยูใ่ นเซตที่เราสนใจแต่มีขนาดเล็กกว่าหรื อเท่ากัน เราจะใช้สญ ั ลักษณ์
a A จานวนสับเซตทั้งหมดของ A เท่ากับ 2 n( A) 5. คุณสมบัติเกี่ยวกับการเท่ากันของเซตและการเป็ นสับเซต : กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ จะได้วา่ 4) A 1) ถ้า A = B แล้ว B = A 2) ถ้า A = B
และ B = C แล้ว A = C 3) A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A 6. การดาเนินการบนเซต 1) A U B = {x U x A หรื อ x B} 2) A ∩ B = {x U x A และ x B}
5) A A 6) ถ้า A B และ B C แล้ว A C 3) A - B = {x U x A แต่ x B} 4) A c หรื อ A´ = {x U x A }
7. คุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิ ตของเซต : กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ จะได้วา่ 1) A U A = A 2) A ∩ B = B ∩ A A∩A = A AUB = BUA 3) A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
5) A ∩ = และ A U = A 7) (A ∩ B)´= B´ U A´
6) A ∩ A´ = และ A U A´ = U 8) ( A´ )´ = A และ ´ = U และ U´ =
9) (A U B)´= B´ ∩ A´ 10)A - B = A ∩ B´ 8. เพาเวอร์เซต (Power set) คือ เซตของสับเซตทั้งหมด เขียนแทนด้วย P(A) ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3} จะได้เพาเวอร์
เซตของเซต A คือ { , {1}, {2}, {3}, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, { 1 , 2 , 3}} 9. จานวนสมาชิกของเซตจากัด 1) กรณี มี 2 เซต n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 2) กรณี มี 3 เซต n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩ C) 10. คุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิ ตของเซต –1–
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
Pinnacle 0–2251–8326
โดยอาจารย์POP
กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ จะได้วา่ 1. P(A) 2. A P(A) 3. n(A) = m ก็ต่อเมื่อ n(P(A)) = 2m ; m = 0, 1, 2, 3, …
ตรรกศาสตร์ (Logic) 1. ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าที่มีค่าความจริ งเป็ นจริ งหรื อเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ งเพียงอย่างเดียว 2. การหาค่าความจริ งของประพจน์ที่มีตวั เชื่อม p q อ่านว่า “p และ q”, p q อ่านว่า “ p หรื อ q” , p q อ่านว่า “ถ้า p แล้ว q” , p q อ่านว่า “p ก็ต่อเมื่อ q” p q p q p q pq p q p ~p ~p อ่านว่า “นิเสธของ p” T T T T T T T F T F F T F F F T F T F T T F F F F F T T 3. สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริ งเป็ นจริ งทุกกรณี ในตารางค่าความจริ ง 4. ประพจน์ที่สมมูลกัน , ใช้สญ ั ลักษณ์ “ ” แทนประพจน์ที่สมมูลกัน 5. ประพจน์ที่สมมูลกัน 5.1 pq qp 5.3 (p q) r p (q r) 5.5 (p q) r p (q r) 5.7 p (q r) (p q) (p r) 5.9 p (q r) (p q) (p r) 5.11 p q ~ q ~ p ~ p q 5.13 ~ (p q) ~ p ~ q
5.2 5.4 5.6 5.8 5.10 5.12 5.14
pq qp (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p q (p q) (q p) ~(~p) p ~ ( p q ) ~ p ~ q
6. ค่าความจริ งของประพจน์ที่มีตวั บ่งปริ มาณ 1 ตัว 6.1 x[P(x)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ นาค่า x ทุกตัวใน U ไปแทนใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็ นจริ ง 6.2 x[P(x)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ นาค่า x อย่างน้อย 1 ตัวใน U ไปแทนใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็ นจริ ง 7. ค่าความจริ งของประพจน์ที่มีตวั บ่งปริ มาณ 2 ตัว 7.1 xy[P(x, y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ นาค่า x และ y ทุกคู่ใน U ไปแทนใน P(x,y) แล้วทาให้ P(x,y)
เป็ นจริ ง 7.2 xy[P(x, y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ แต่ละค่า x จับ y อย่างน้อย 1 ตัวใน U ไปแทนใน P(x,y) แล้วทาให้ P(x,y) เป็ นจริ ง 7.3 xy[P(x, y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ แต่นาค่า x อย่างน้อย 1 ตัวใน U ไปแทนใน P(x,y) แล้วทาให้ P(x,y) เป็ นจริ งสาหรับทุกๆ ค่า y ใน U 7.4 xy[P(x, y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง เมื่อ นา x และ y อย่างน้อย 1 คู่ใน U ไปแทนใน P(x,y) แล้วทาให้ P(x,y) เป็ นจริ ง 8. การใช้หลักและเหตุผล : ให้เชื่อมเหตุเข้าด้วยกันโดยใช้ “ ” และให้เชื่อมเหตุไปหาผลโดยใช้ “ ”
–2–
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
Pinnacle 0–2251–8326
โดยอาจารย์POP
ความสั มพันธ์ (Relation) 1. ผลคูณคาร์ทีเชียน คือ เซตที่มีสมาชิกเป็ นคู่อนั ดับ ซึ่ งสมาชิกตัวหน้าของคู่อนั ดับมาจากเซตหน้าเครื่ องหมาย และ สมาชิก
ตัวหลังของคู่อนั ดับมาจากเซตที่อยูห่ ลังเครื่ องหมาย เขียนแทนด้วย AB = {(x , y) x A และ y B} 2. คุณสมบัติที่สาคัญ 2. A(B U C) = (AB) U (AC) 1. ถ้า A มีสมาชิก m ตัวและ B มีสมาชิก n ตัว แล้ว AB จะมีจานวนสมาชิก mn ตัว 4. A(B ∩ C) = (AB) ∩ (AC) 3. AB = Ø ก็ต่อเมื่อ A = Ø หรื อ B = Ø 6. A(B - C) = (AB) - (AC) 5. ถ้า AB = AC แ ละ A Ø แล้ว B = C 3. ความสัมพันธ์ คือ เซตของคู่อนั ดับ เขียนแทนด้วย r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B เมื่อ r AB สิ่ งที่ควรรู ้ 1) Ø เป็ นความสัมพันธ์ 2) ให้ n(AB) เป็ นจานวนสมาชิกของ AB จะได้วา่ สับเซตของ AB จะมี 2 n(AB) สับเซต หรื ออาจกล่าวได้วา่ ความสัมพันธ์จาก A ไป B มี 2 n(AB) ความสัมพันธ์ 3) ถ้า r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป A แล้ว จะกล่าวว่า r เป็ นความสัมพันธ์ใน A 4. โดเมน (Domain, Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อนั ดับที่อยูใ่ น r เขียนแทนด้วย Dr = { x (x , y) r} เรนจ์ (Range, Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อนั ดับที่อยูใ่ น r เขียนแทนด้วย Rr = { y (x , y) r} 5. การหาโดเมนและเรนจ์ 1) กาหนดเงื่อนไขเบื้องต้น (Initial Condition) 2) การหาโดเมน ให้จดั y ในเทอมของ x 3) การหาเรนจ์ ให้จดั x ในเทอมของ y 4) นาคาตอบที่ได้มาอินเตอร์เซคกับเงื่อนไขเบื้องต้น 6. อินเวอร์สของความสัมพันธ์ (Inverse of relation) ใช้สญ ั ลักษณ์เป็ น r-1 1) ให้ r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะได้วา่ r -1 เป็ นความสัมพันธ์จาก B ไป A เขียนแทนด้วย r -1 = {(y , x) (x , y) r } 2) หลักในการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์
ั ระหว่างสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังของคู่อนั ดับ กล่าวคือเปลี่ยนจาก (x , y) เป็ น (y , x) ส่วน 2.1 สลับที่กน เงื่อนไขของความสัมพันธ์คงเดิม 2.2 คงคู่อนั ดับ (x , y) เหมือนเดิม แต่เปลี่ยนเงื่อนไขของความสัมพันธ์โดยสลับตัวแปรจาก x เป็ น y และ y เป็ น x
ฟังก์ชัน (Function) 1. ฟังก์ชน ั คือ ความสัมพันธ์ f ซึ่งถ้ามี (x , y) f และ (x , z) f แล้ว y = z ใช้สญ ั ลักษณ์ f 2. ฟังก์ชน ั จากA ไปB ใช้สญ ั ลักษณ์ f: A B f เป็ นฟังก์ชนั จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็ นฟังก์ชนั ที่มี Df = Aและ Rf B 3. ถ้าเรนจ์ใช้สมาชิกใน B หมดจะกล่าวว่า f เป็ นฟังก์ชน ั จาก A ไป B แบบทัว่ ถึง ใช้สญ ั ลักษณ์ f: AOn to B
4. ถ้าเรนจ์ใช้สมาชิกใน B ไม่หมดจะกล่าวว่า f เป็ นฟังก์ชน ั จาก A ไป B แบบไม่ทวั่ ถึง ใช้สญ ั ลักษณ์ f: A B In to
–3–
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
5. วิธีตรวจสอบกราฟของฟังก์ชน ั 1) ลากเส้นขนานแกน y ตัดกราฟ 1 จุด กล่าวว่าเป็ นฟังก์ชน ั (แต่ถา้ ลากเส้นขนานแกน y ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด กล่าวว่า
ไม่เป็ นฟังก์ชนั ) 2) ลากเส้นขนานแกน x ตัดกราฟ 1 จุด กล่าวว่าเป็ น 1-1 function (แต่ถา้ ลากเส้นขนานแกน x ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด กล่าวว่าเป็ น many-1 function) 6. พีชคณิ ตของฟังก์ชน ั คือ การนาฟังก์ชนั มา บวก ลบ คูณและหารกัน 1) f + g = {(x , y) y = f (x) + g(x)} โดยที่ Df+g = Df ∩ Dg 2) f – g = {(x , y) y = f (x) + g(x)} โดยที่ Df–g = Df ∩ Dg . . 3) f g = {(x , y) y = f (x) g(x)} โดยที่ Df.g = Df ∩ Dg 4)
f f ( x) = {(x , y) y = } โดยที่ D f g ( x) g
= Df ∩ Dg – { x g(x) = 0}
g
7. ฟังก์ชน ั คอมโพสิ ต (Composite Function) A
f
x
g
B y = f(x)
C z = g(y) = g(f(x))
g of
นิยาม: ให้ f และ g เป็ นฟังก์ชนั ที่มี Rf ∩ Dg ≠ Ø ได้ฟังก์ชนั คอมโพสิ ตของ f และ g เขียนแทนด้วย g o f โดยที่ g o f = g(f(x)) สาหรับทุก x ซึ่ง f (x) Dg 8. อินเวอร์สของฟังก์ชน ั (Inverse of relation) ใช้สญ ั ลักษณ์เป็ น f -1 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จาก A ไป B จะได้วา่ f -1 เป็ นฟังก์ชนั จาก B ไป A เขียนแทนด้วย f -1 ={(y , x) (x , y) f }
จานวนจริง(Real Number) โครงสร้างของระบบจานวนจริ ง
1. จานวนจริ ง คือ จานวนที่เป็ นจานวนตรรกยะหรื อจานวนอตรรกยะ 2. สมบัติของราก 6.1
6.2 n a b n a n b
a 2 | a |
–4–
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1 n
6.3
a na b nb
n
6.4
a
โดยอาจารย์POP 1 an
3. คุณสมบัติของจานวนจริ ง ให้ a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ แล้ว
คุณสมบัติ
การบวก
การคูณ
a+b เป็ นจานวนจริ ง
a b เป็ นจานวนจริ ง
(a+b)+c = a+(b+c)
(ab)c = a(bc)
3 เอกลักษณ์ (Identity)
a+0= a
a1=a
4 อินเวอร์ส (Inverse)
a + (-a) = 0
a a-1 = 1
5 คุณสมบัติการสลับที่ (Associative Property)
a+b = b+a
ab=ba
1 คุณสมบัติปิด (Closure Property) 2 คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Commutative Property)
6 คุณสมบัติการแจกแจง (Distributive Property) 4. ช่วง แบ่งเป็ นช่วงจากัดและช่วงอนันต์ 5. คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ 1. x 0 3. x = a
ก็ต่อเมื่อ x = a หรื อ x = – a ก็ต่อเมื่อ – a < x < a ก็ต่อเมื่อ – a x a
5. x < a x a
a (b+c) = (a b) + (a c)
2. x = x 4. x = a ก็ต่อเมื่อ x = a หรื อ x = – a 6. x > a x a
x y
ก็ต่อเมื่อ x < – a หรื อ x > a ก็ต่อเมื่อ x – a หรื อ x a x
7. x y = x y
8.
9. x2
10. x 2 = x 12. x y x y
=
x2
11. x + y x + y
=
y
เมื่อ y 0
6. สูตรทางพีชคณิ ตที่ควรทราบ
7.
13.1 (a b)2 a 2 2ab b2
13.5 a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
13.2 (a b)2 a 2 2ab b2
13.6 a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
13.3 a 2 b2 (a b)(a b)
13.7 (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
13.4 (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc
13.8 (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
สมการกาลังสอง(Quadratic Equation) สมการ ax2 bx c 0 เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตัวและ a 0 การแก้สมการโดยใช้สูตร x
b b 2 4ac โดยมีเงื่อนไขดังนี้ 2a
ถ้า b2 4ac = 0 คาตอบของระบบสมการจะมี 1 คาตอบ ถ้า b2 4ac > 0 คาตอบของระบบสมการจะมี 2 คาตอบ ถ้า b2 4ac < 0 จะไม่มีคาตอบที่เป็ นจานวนจริ ง
–5–
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) 1. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy Q(x2, y2)
PQ P (x1, y1)
=
x2 x1 2 y2 y1 2
2. การหาจุ ดกึ่ งกลางระหว่างจุ ด 2 จุด : กาหนด จุ ด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy Q(x2, y2)
x1 x2 y1 y2 2 2 P (x1, y1) 3. การหาจุดแบ่งภายในระหว่างจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy และให้จุด จุดกึ่งกลาง M (x, y) =
M (x, y)
R(x, y) เป็ นจุดแบ่งภายในที่ทาให้ PM : M Q = m : n จะได้วา่ mx nx2 my1 ny2 จุดกึ่งกลาง R (x, y) = 1 m n m n
Q(x2, y2)
m n
R (x, y)
P (x1, y1)
4. การหาความชันระหว่างจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy จะได้วา่ ความชัน
ระหว่าง 2 จุด คือ Q(x2, y2)
m = y2 y1 x2 x1
6 y P (x1, y1)
6 x
5. การหาสมการเส้นตรง Y
Q(x2, y2)
(0, c) 6 y X
6 x
กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy การหาสมการเส้นตรง ทาได้ดงั นี้ 1. หาความชันระหว่างจุด 2 จุด 2. แทนค่าจุด 1 จุดเพื่อหาจุดตัดแกน y (Y-Intercept) y = mx+c
P (x1, y1)
(y – y1) = m (x- x1) 6. เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
กาหนด จุด เส้นตรง L1 มีสมการเป็ น y = m1 x + c1 และ เส้นตรง L2 มีสมการเป็ น y = m2 x + c2 Y
L1: A1x+B1y+C=0
Y
L1: A1x+B1y+C=0
ถ้า L1 // L2 จะได้วา่ m1 = m 2
L2: A2x+B2y+C=0 X
X
L2: A2x+B2y+C=0
–6–
ถ้า L1 L2 จะได้วา่ m1 m2 = -1
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
7. การหาระยะจากจุดไปยังเส้นตรง
กาหนด จุด P(x1 , y1) และ เส้นตรง L1 มีสมการเป็ น Ax +B y + C = 0 จะได้วา่ ระยะจากจุด P ไปยังเส้นตรง L1 คือ Y
L1: Ax+By+C=0
d =
X
Ax1 By1 C A2 B2
d P (x1, y1)
8. การหาระยะระหว่างเส้นตรง 2 เส้นที่ขนานกัน
กาหนด เส้นตรง L1 มีสมการเป็ น Ax +B y + C1 = 0 และ เส้นตรง L2 มีสมการเป็ น Ax +B y + C2 = 0 เป็ นเส้นตรง 2 เส้นที่ขนานกัน จะได้วา่ ระยะระหว่างเส้นตรง 2 เส้นที่ขนานกัน คือ Y
L1: Ax+By+C1=0
L2: Ax+By+C2=0
d =
X
d
C2 C1 A2 B2
9. การหาพื้นที่ระยะจุด 3 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) จุด Q (x2 , y2) และ จุด R (x3 , y3) เป็ นจุดในระนาบ xy คือ Y
Q(x2, y2)
พื้นที่ระหว่างจุด 3 จุด =
X R (x3, y3)
1 2
x1 x2 x3 x1
P (x1, y1)
ภาคตัดกรวย(Conic Section) ่ ่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งด้วยระยะทางคงที่ค่าหนึ่ง 1. วงกลม คือ เซตหรื อทางเดินของจุดซึ่ งอยูห สมการทัว่ ไปของวงกลมคือ x2+y2+Ax+By+C = 0 เมื่อ A, B, C เป็ นค่าใดๆ y เมื่อเราจัดรู ปสมการทัว่ ไปเราจะได้สมการมาตรฐานของวงกลม คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2
โดยที่ (h , k) คือ จุดศูนย์กลาง
(h , k)
r
r คือ รัศมี (o , o)
–7–
x
y1 y2 y3 y1
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
่ ่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากับระยะห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง 2. พาราโบลา คือ เซตหรื อทางเดินของจุดซึ่ งอยูห กรณีกราฟพาราโบลาอ้ อมแกน y สมการทัว่ ไปของพาราโบลา คือ Ax2+Dx+Ey+F = 0 เมื่อ A, D, E , F เป็ นค่าใดๆ เมื่อเราจัดรู ปสมการทัว่ ไปเราจะได้สมการมาตรฐานของพาราโบลา คือ y Y' 4c > 0 2
(x – h) = 4c(y – k)
.F (h , k+c)
กราฟหงาย
โดยที่ (h , k) คือ จุดยอดของพาราโบลา X' V (h , k) Directrix c คือ ระยะโฟกัสของพาราโบลา y=k-c พิจารณาสมการ y กาลังหนึ่ง ดังนั้นกราฟอ้อมแกน y x (o , o) ถ้า 4c > 0 กราฟหงาย จุดยอดก็จะเป็ นจุดต่าสุด ถ้า 4c < 0 กราฟคว่า จุดยอดก็จะเป็ นจุดสูงสุด กรณีกราฟพาราโบลาอ้ อมแกน x สมการทัว่ ไปของพาราโบลา คือ By2+Dx+Ey+F = 0 เมื่อ B, D, E , F เป็ นค่าใดๆ เมื่อเราจัดรู ปสมการทัว่ ไปเราจะได้สมการมาตรฐานของพาราโบลา คือ y Y' 4c > 0
x=h-c Directrix
2
(y – k) = 4c(x – h)
กราฟตะแคงขวา
F . โดยที่ (h , k) คือ จุดยอดของพาราโบลา X' V (h , k) (h+c , k) c คือ ระยะโฟกัสของพาราโบลา พิจารณาสมการ x กาลังหนึ่ง ดังนั้นกราฟอ้อมแกน x x (o , o) ถ้า 4c > 0 กราฟตะแคงขวา ถ้า 4c < 0 กราฟตะแคงซ้าย 3. วงรี คือ เซตหรื อทางเดินของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีคา่ คงที่เท่ากับ 2a กรณีกราฟวงรีอ้อมแกน x สมการทัว่ ไปของพาราโบลา คือ Ax2 +By2 +Dx +Ey +F = 0 เมื่อ A, B, D, E , F เป็ นค่าใดๆ y Y' เมื่อเราจัดรู ปสมการทัว่ ไปเราจะได้สมการมาตรฐานของวงรี คือ a อยู่กับ x B (h , k+b) กราฟอ้ อมแกน x 2 2
( x h) a
2
( y k) b2
1
V' (h-a, k)
โดยที่ (h , k) คือ จุดศูนย์กลางของวงรี 2a คือ ความยาวแกนเอก 2b คือ ความยาวแกนโท ให้ a ยาวสุด ส่วน b กับ c ใครยาวกว่ากันก็ได้ a2 = b2 + c2 พิจารณาสมการ a อยูก่ บั x ดังนั้น กราฟอ้อมแกน x
F' . (h-c, k)
(h , k)
B' (h , k-b) O (o , o)
ความกว้าง ณ จุด โฟกัสของวงรี หรื อ ลาตัสเรกตัม (Latusrectum) มีค่าเท่ากับ
–8–
F .
(h+c, k)
2b 2 a
V X' (h+a, k)
x
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
4. ไฮเพอร์ โบลา คือ เซตหรื อทางเดินของจุดซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆในเซตไปยังจุดคงที่2จุดมีค่าคงที่เท่ากับ2a
กรณี กราฟไฮเพอร์โบลาอ้อมแกน x สมการทัว่ ไปของไฮเพอร์โบลา คือ Ax2 +By2 +Dx +Ey +F = 0 เมื่อ A, B, D, E , F เป็ นค่าใดๆ เมื่อเราจัดรู ปสมการทัว่ ไปเราจะได้สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา คือ ( x h) 2 a
2
( y k)2 b
2
y
1
a อยู่กับ x
Y'
กราฟอ้ อมแกน x
B (h , k+b)
โดยที่ (h , k) คือ จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2a คือ ความยาวแกนตามขวาง 2b คือ ความยาวแกนสังยุค ให้ c ยาวสุด ส่ วน a กับ b ใครยาวกว่ากันก็ได้ 2
2
.V' (h-a, k)
F' (h-c, k)
(h , k)
V.
F
(h+a, k)
(h+c, k)
B' (h , k-b)
X'
x
O (o , o)
2
c =a +b พิจารณาสมการ a อยูก่ บั x ดังนั้น กราฟอ้อมแกน x
ความกว้าง ณ จุด โฟกัสของไฮเพอร์โบลา หรื อ ลาตัสเรกตัม (Latusrectum) มีค่าเท่ากับ
2b 2 a
b a
เส้นกากับ (Asymtote) มีสมการ คือ y x
ฟังก์ชันเอกซ์ โปเนนเชียล (Exponential Function) f = { (x, y) R R+
y = ax , a > 0 , a 1 }
เป็ นฟังก์ชนั 1- 1 จาก R ไปทัว่ ถึง R+ โดยสมบัติการเป็ นฟังก์ชนั 1-1 จะได้วา่ ax = ay ก็ต่อเมื่อ x = y 1. สมบัติของเลขยกกาลัง 1.1 a m a n a m n
1.6 (a m )n a mn
1.2 a m a n a m n
เมื่อ a 0
1.7 (ab)n a n bn
1.3 a 0 1
เมื่อ a 0
an a 1.8 n b b
1 1.4 a n n a 1 1.5 n a n a
เมื่อ a 0
n
1.9
เมื่อ a 0
1.10
1 an
na
m an
n
am
2. สูตร (m n) 2 mn m n
ฟังก์ชันลอการิทมึ (Logarithm Function) f -1 = { (y, x) R+ R / y = ax , a > 0 , a 1 } = { (x, y) R+ R / x = ay , a > 0 , a 1 } = { (x, y) R+ R / y = loga x , a > 0 , a 1 }
–9–
เมื่อ b 0
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
1. คุณสมบัติที่สาคัญของลอการิ ทึม 1.1 loga MN 1.2 loga
M N
เมื่อ b > 0 , b 1
loga M + loga N
1.6 loga x
=
=
loga M loga N
1.7 a log a x
= x
ploga M 1 loga M เมื่อ q 0 q
1.8 a log x = x log a 1.9 โดยสมบัติของฟังก์ชน ั 1-1 จะได้วา่ loga x = loga y
1.3 log a M p = 1.4 log a q M = 1.5 loga a loga 1
log b x log b a
=
ก็ต่อเมื่อ x = y
= 1 = 0
1.10 log a x
=
1 log x a
จานวนเชิงซ้ อน (Complex Number) 1. เซตของจานวนเชิงซ้ อน เป็ นการยูเนียนกันระหว่างเซตของจานวนจริ งและเซตของจานวนจินตภาพ z = (a, b) = a + bi เมื่อ i = 2. สิ่ งที่ควรทราบ : i1 i , i 2
- 1 โดย aคือส่วนจริ งหรื อจานวนจริ ง, bคือส่วนจินตภาพและ biคือจานวนจินตภาพ
- 12 -1, i 3 i 2 i i , i 4 i 2 i 2 1
3. ให้ z1 a bi และ z 2 c di เป็ นจานวนเชิงซ้อน 2 จานวน 3.4 z1 z 2 (ac bd ) (ad bc)i 3.1 z1 z 2 ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d 3.2 z1 z 2 (a c, b d ) (a c) (b d )i 3.3 kz ka kbi ; k R
3.5
z 1 (ac bd ) (bc ad )i = z2 c2 d 2
4. คุณสมบัติของ z ให้ z a bi และคอนจูเกตของ z คือ z = a bi จะได้วา่ 5.1 z z 5.2 z z z
2
5.3 z1 z 2 z1 z 2 5.4 z1 z 2 z1 z 2
a2 b2
5. ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z คือ z a 2 b 2 6.1 z z z z
6.4 z n z
6.2 z1 z 2 z1 z 2
6.5
6.3 z1 z 2 z1 z 2
n
z z1 1 z2 z2
a z cos และ b z sin 6. การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรู ปของพิกดั เชิงขั้ว (Polar form)จากรู ป จะได้วา่ i y (แกนจินตภาพ) 7.1 z z z e z cos i sin
สู ตรของเดอมัวร์
(a , b) a2 b2
O
a
n 7.2 z n z (cos n i sin n )
b x (แกนจริ ง)
7.3 n
– 10 –
z
1 zn
n z (cos
2k 2k i sin ) n n
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
เวคเตอร์ (Vector) 1. เวคเตอร์ คือ ปริ มาณที่ประกอบด้วยขนาดและทิศทาง u v u v v u v v v u u u รู ปที่1 รู ปที่2 รู ปที่3 u 2. เวกเตอร์ 1 หน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีความยาวหรื อขนาดเท่ากับ 1 หน่วย โดย เวกเตอร์ 1 หน่วยของ u คือ u 3. ให้ u = ai bj และ v = ci dj 3.4 u v = a c i b d j 2 2 3.1 u a b 3.5 u v = a c i b d j 3.2 u = v ก็ต่อเมื่อ a c และ b d 3.3 นิเสธของ u = u = ai bj = ai bj 4. ผลคูณสเกลาร์ (Dot Product) ให้ u = ai bj และ v = ci dj ผลคูณสเกลาร์ของ u และ v คือ v
u v = ac bd = u v cos โดย เป็ นมุมระหว่าง u และ v
u ทฤษฎีบทที1่ ถ้า u และ v ต่างไม่เท่ากับ 0 แล้ว u ขนานกับ v ก็ต่อเมื่อมีจานวนจริ ง a ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ที่ทาให้ u av ทฤษฎีบทที2่ ถ้า u และ v ต่างไม่เท่ากับ 0 แล้ว u ไม่ขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ au bv 0 โดยที่ a 0 และ b 0 5. การตั้งฉากของเวกเตอร์ ให้ u และ v ต่างไม่เท่ากับ 0 และเป็ นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ 5.1 ถ้า u v = 0 แล้ว u ตั้งฉากกับ v 5.2 ถ้า u ตั้งฉากกับ v แล้ว u v = 0
6. เวกเตอร์ในปริ ภูมิ 3 มิติ z Aa, b, c
i O
j
B
7.1 ขนาดของ OA คือ OA a 2 b 2 c 2
ai bj ck
k
กาหนดให้ เวกเตอร์ OA = ai bj ck
y
x
7.2 ผลคูณเวคเตอร์ (Cross Product) ให้ u = ai bj ck และ v = di ej fk i j k จะได้ u v = a b c d e f
อัตราส่ วนตรีโกณมิติ(Trigonometry) 1. เอกลักษณ์ตรี โกณมิติ 1.1 sin 2 A cos 2 A 1
1.2 sec 2 A 1 tan 2 A
1.3 csc2 A 1 cot 2 A 2. ฟังก์ชน ั ของผลบวกหรื อผลต่าง 2.1 sin(A+B) = sinA . cosB + cosA . sinB
2.2 sin(A-B) = sinA . cosB - cosA . sinB – 11 –
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
Pinnacle 0–2251–8326
โดยอาจารย์POP
2.3 cos(A+B) = cosA . cosB - sinA . sinB tan A tan B 2.5 tan( A B) = 1 tan A tan B cot A cot B 1 2.7 cot( A B) = cot B cot A 3. การแปลงผลคูณให้เป็ นผลบวกหรื อผลต่าง 3.1 2 sinA . cosB = sin(A+B) + sin(A-B) 3.3 2 cosA . cosB = cos(A+B) + cos(A-B) 4. การแปลงผลบวกหรื อผลต่างให้เป็ นผลคูณ
2.4 cos(A-B) = cosA . cosB + sinA . sinB tan A tan B 2.6 tan( A B) = 1 tan A tan B cot A cot B 1 2.8 cot( A B) = cot B cot A
A B A B 4.1 sin A sin B = 2 sin cos 2 2 A B A B 4.3 cos A cos B = 2 cos cos 2 2 5. สูตร มุม 2 เท่า , 3 เท่า และมุมครึ่ ง 2 tan A 5.1 sin 2 A = 2 sin A cos A = 1 tan 2 A
A B A B 4.2 sin A sin B = 2 cos sin 2 2 A B A B 4.4 cos A cos B = 2 sin sin 2 2
5.3 tan 2 A =
2 tan A 1 tan 2 A
6. กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
5.2 cos 2 A = cos 2 A sin 2 A = 2 cos 2 A 1 = 1 2 sin 2 A =
5.8 cot 3 A =
7.1 โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชน ั่ อินเวอร์ส
7.1.2 7.1.3 7.1.4
1 tan 2 A
cot 2 A 1 2 cot A
cot 3 A 3 cot A
3 cot 2 A 1 A 1 cos A 1 cos A 5.10 tan 2 = = sin A 2 1 cos A sin A = 1 cos A sin A sin B sin C k กฎของไซน์: a b c กฎของโคไซน์: a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
7. ฟังก์ชน ั อินเวอร์สของตรี โกณมิติ
7.1.1
1 tan 2 A
5.6 cos 3 A = 4 cos 3 A 3 cos A
3 tan A tan 3 A
1 3 tan 2 A A 1 cos A 5.9 sin 2 = 2 2 A 1 cos A 5.11 cos 2 = 2 2
2 cosA . sinB = sin(A+B) - sin(A-B) 2 sinA . sinB = cos(A-B) - cos(A+B)
5.4 cot 2 A =
5.5 sin 3 A = 3 sin A 4 sin 3 A 5.7 tan 3 A =
3.2 3.4
y = arc sin x เมื่อ x [-1 , 1] และ y , 2 2 y = arc cos x เมื่อ x [-1 , 1] และ y [ 0, ] y = arc tan x เมื่อ x R และ y , 2 2 y = arc cot x เมื่อ x R และ y ( 0, )
– 12 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1 7.1.5 7.1.6
โดยอาจารย์POP
y = arc sec x เมื่อ x (- , -1] U [1 , ) และ y 0, , 2 2 y = arc cosec x เมื่อ x (- , -1] U [1 , ) และ y ,0 0, 2 2
สถิติ (Statistic) 1. สถิติ หมายถึง ตัวเลข หรื อหมายถึง กระบวนการทางสถิติ 4 ขั้นตอนได้แก่ การเก็บรวบรวมข้อมูล การนาเสนอข้อมูล
วิเคราะห์ขอ้ มูล และการตีความหมายข้อมูล 2. ตารางแจกแจงความถี่ 2.1 พิสยั คือ ความแตกต่างของข้อมูลที่มากที่สุดกับข้อมูลที่นอ้ ยที่สุด กล่าวคือ พิสยั = Max – Min 2.2 ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ขอบบน – ขอบล่าง 2.3 จุดกึ่งกลางชั้น = 3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต x
1 (ขอบบน + ขอบล่าง) 2
กรณี ขอ้ มูลไม่แจกแจงเป็ นตาราง x
x
N N
f i xi
กรณี ขอ้ มูลแจกแจงเป็ นตาราง x
=
i 1
N
;
xi คือ ค่ากึ่งกลางของอันตรภาคชั้น
กรณี มีขอ้ มูล 2 กลุ่ม : การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม xt ระหว่างข้อมูล 2 กลุ่ม xt
=
N1 x1 N 2 x2 N1 N 2
4. ค่ามัธยฐาน ใช้อกั ษรย่อ Med หรื อ Me หมายถึง ค่าที่มีตาแหน่งอยูต่ รงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด
ขั้นตอนการหามัธยฐาน 1. ต้องหาตาแหน่งของมัธยฐานก่อน จากสู ตร 2. คานวณค่ามัธยฐานจากสูตร Med
N 2 fL = L I fM
คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มธั ยฐานอยู่ fL คือ ผลรวมของความถี่ในอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่ากว่าอันตรภาคชั้นที่มธั ยฐานอยู่ fM คือ ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มธั ยฐานอยู่ I คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มธั ยฐานอยู่ 5. ฐานนิยม ใช้อกั ษรย่อ Mo หมายถึง ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุ ด L
– 13 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
d1 L I d1 d 2
ฐานนิยม =
L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ฐานนิยมอยู่ d1 d2 I
คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่ากว่าที่อยูถ่ ดั ไป คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีค่าสูงกว่าที่อยูถ่ ดั ไป คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่ฐานนิยมอยู่ N
6. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(Mean deviation)
M.D.
=
i 1
xi x N
7. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(Standard deviation) N
N
xi x 2
S.D.
=
i 1
xi 2
=
N
i 1
N
x2
8. การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมระหว่างข้อมูล 2 กลุ่ม
กรณี x1 x2 s
2
=
, N1 ≠ N2
x x N1s12 N 2 s2 2 N1N 2 1 2 N1 N 2 N1 N 2
2
9. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ 9.1 ค่าสัมประสิ ทธิของพิสยั
=
9.2 ค่าสัมประสิ ทธิของส่ วนเบี่ยงเบนควอร์ ไทล์
=
9.3 ค่าสัมประสิ ทธิของส่ วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
=
9.4 ค่าสัมประสิ ทธิการแปรผัน(C.V.)
=
10. ค่ามาตรฐาน (Z-score) 11. คุณสมบัติของค่ามาตรฐาน 11.1 z = 0 11.2 sz = 1 11.3 z = 0 11.4 z2 = N
x x z= i s
xmax xmin xmax xmin Q3 Q1 Q3 Q1 MD x s 100% x 68.27% 95.45% 99.73%
x3s x2s xs x
x +s x +2s x +3s
Z= –3 Z= –2 Z= –1 Z=0 Z=1 Z=2 Z=3
– 14 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
ความน่ าจะเป็ น (Probability) 1. ความน่าจะเป็ น หมายถึง จานวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด 2. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ =
หรื อ P( E )
n( E ) n( S )
จานวนเหตุก ารณ์ทเี่ รา สนใจ จานวนเหตุก ารณ์ท้งั หม ด
เมื่อ P(E ) = ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ n(E ) = จานวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ n(S ) = จานวนเหตุการณ์ท้ งั หมด
3. ทฤษฎีความน่าจะเป็ น
ถ้า S แทนแซมเปิ ลสเปซ E แทนเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิ้ ลสเปซ จะได้วา่ 3.1 0 P( E ) 1 3.2 P( E ) 1 เมื่อ n( E ) n(S ) 3.3 P( E ) 0 แสดงว่า เหตุการณ์น้ น ั ไม่เกิดขึ้น 4. หลักเกี่ยวกับการนับ 4.1 แต่ละขั้นตอน ให้คูณกัน 4.2 แต่ละกรณี ให้บวกกัน 5. แฟกทอเรี ยล (Factorial) สูตร n! = n(n 1)(n 2)(n 3)… 3.2.1 6. การเรี ยงสับเปลี่ยน (Permutation) ถ้ามีของ n สิ่ งต่างๆ กันนาของ r สิ่ งจาก n สิ่ งมาจัดเรี ยงเป็ นแถวตามลาดับ จานวน n! วิธีที่จะกระทาได้ คือ Pn,r = (n r )! 7. การจัดหมู่ (Combination) ถ้ามีของ n สิ่ งต่างๆ กัน เลือกมา r สิ่ ง จานวนวิธีที่จะกระทาได้ คือ n! Cn,r = (n r )!r! 8. การเรี ยงสับเปลี่ยนสามารถแบ่งได้เป็ น 3 แบบ คือ 8.1 สับแบบเส้นตรง ถ้ามีของ n สิ่ ง นามาสับไปมาแบบเส้นตรง จะได้ n! วิธี 8.2 สับแบบวงกลม
ถ้ามีของ n สิ่ ง นามาสับไปมาแบบวงกลม จะได้ (n – 1)! วิธี
(n 1)! วิธี 2 9. สู ตรของซ้ า ถ้ามี สิ่ งของ n สิ่ ง แบ่งเป็ น r กลุ่ม กลุ่ม 1 มี n1 สิ่ ง กลุ่ม 2 มี n2 สิ่ ง … กลุ่ม r มี nr สิ่ ง โดยที่ n = n1 + n! ั แบบของซ้ า คือ n2 + n3 +…+ nr จะได้วธิ ีสบ n1!n2 !n3!...nr ! 8.3 สับแบบลูกประคา ถ้ามีของ n สิ่ ง นามาสับไปมาแบบเส้นตรง จะได้
เมตริกซ์ (Matrix) 1. เมตริ กซ์ หมายถึง คือ กลุ่มของจานวนซึ่ งถูกเขียนเรี ยงเป็ นแถวๆ ละเท่าๆ กัน โดยเขียนในวงเล็บ [ ] หรื อ ( ) 2. การเท่ากันของเมตริ กซ์ : เมตริ กซ์ A และ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ A และ B มีมิติเท่ากัน และสมาชิกที่อยูใ่ นตาแหน่งเดียวกันมี
ค่าเท่ากันทุกตาแหน่ง – 15 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
3. ชนิดของเมตริ กซ์ 1) เมตริ กซ์สลับเปลี่ยน (Transpose Matrix)คือเมตริ กซ์ที่เกิดจากการนาสมาชิกในเมตริ กซ์ A มาเปลี่ยนจากแถวเป็ น
หลักตามลาดับ คุณสมบัติเกี่ยวกับเมตริ กซ์ สลับเปลี่ยน : ถ้า c เป็ นค่าคงตัว และ A, B เป็ นเมตริ กซ์มิติ n n จะได้วา่ 1. ( A B)t At B t
2. ( AB )t B t At
3. ( At ) t A
4. (cA) t cAt
2) เมตริ กซ์จตั ุรัส (Square Matrix) คือ เมตริ กซ์ที่มีจานวนแถวและหลักเท่ากัน
3) เมตริ กซ์ศูนย์ (Zero Matrix) ใช้สญ ั ลักษณ์ 0 0mn คือ เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็ นศูนย์หมด 4) เมตริ กซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) ใช้สญ ั ลักษณ์ I คือ เมตริ กซ์จตั ุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักจากซ้าย
บนลงมาขวาล่างเป็ น 1 หมด แต่สมาชิกที่ไม่อยูใ่ นแนวเส้นทแยงมุมหลักจะเป็ น 0 ทุกตัว 4. การบวกเมตริ กซ์ : ถ้า A และ B เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติเดียวกัน A B คือ เมตริ กซ์ที่สมาชิกแต่ละตัวเกิดจากสมาชิกที่อยูใ่ น ตาแหน่งเดียวกันของ A และ B บวกกัน 5. การคูณเมตริ กซ์ดว้ ยสเกลาร์ : ถ้า c เป็ นจานวนจริ งใดๆ แล้ว cA คือเมตริ กซ์ที่เกิดจากการนา c คูณเข้าไปในสมาชิกทุกตัว ของเมตริ กซ์
mn
6. การคูณเมตริ กซ์ดว้ ยเมตริ กซ์ : ถ้า A aij
และ B bij n r แล้ว A B AB = เมตริ กซ์ C cij m r
โดยที่ cij ai 1b1 j ai 2b2 j ai nbn j 7. ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) : กฎ 9 ข้ อของดีเทอร์ มิแนนต์
a12 a 1. ถ้า A 11 โดย a11, a12 , a21, a22 เป็ นจานวนจริ ง แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ของ A = det (A) = a21 a22 a11 a12– = a11a12 a21a12 a21 a22 + 2. กาหนดเมตริ กซ์ A aij โดยที่ aij R และ n เป็ นจานวนเต็มที่มากกว่า 2 แล้ว ไมเนอร์ ของ aij เขียน
nn
แทนด้วย M ij (A) คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริ กซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริ กซ์ A ออกไป
nn
3. กาหนด A aij
โดยที่ aij R และ n เป็ นจานวนเต็มที่มากกว่า 2 แล้ว โคแฟกเตอร์ ของ aij เขียนแทน
ด้วย Cij (A) โดยที่ Cij (1)i j M ij ( A)
nn
4. กาหนด A aij
โดยที่ aij R และ n เป็ นจานวนเต็มที่มากกว่า 2 แล้ว ดีเทอร์ มแิ นนต์ ของ A = det (A)
a11 a12 a13 a1n a11C11 ( A) a12C12 ( A) a1n C1n ( A) a21 a22 a23 a2n หรื อ A = = ai 1Ci 1 ( A) ai 2Ci 2 ( A) ai n Ci n ( A) a C ( A) a C ( A) a C ( A) 2j 2j n j n j 1j 1j an1 an 2 an3 ann 5. ถ้า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง (หรื อหลักใดหลักหนึ่ง) เป็ นศูนย์ทุกตัวแล้ว det( A) 0
ั ระหว่างแถวสองแถว (หรื อหลักสองหลัก)ใดๆของ A แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริ กซ์ใหม่คือ det(A) 6. ถ้าสลับที่กน – 16 –
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
Pinnacle 0–2251–8326
โดยอาจารย์POP
7. ถ้า A มีสมาชิกสองแถว (หรื อสองหลัก)ใดเหมือนกันแล้ว det( A) 0 8. ถ้าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง (หรื อหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ของ
เมตริ กซ์ใหม่คือ c det(A) 9. ถ้าเปลี่ยนแถวใดแถวหนึ่ง (หรื อหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A โดยใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 คูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถว หนึ่ง(หรื อหลักใดหลักหนึ่ง)ของ A แล้วนาไปบวกกับสมาชิกในแถว(หรื อหลัก)ที่ตอ้ งการเปลี่ยนนั้น โดยบวกสมาชิก ในลาดับเดียวกันเข้าด้วยกัน แล้วใช้ผลบวกนั้นแทนที่สมาชิกเดิม ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริ กซ์ใหม่จะเท่ากับ det (A) 8. อินเวอร์ สการคูณของเมตริกซ์ : ให้ A เป็ นเมตริ กซ์จตั ุรัสมิติ n n เมื่อ n 2 จะได้ 1. A เป็ นเมตริ กซ์เอกฐาน (Singular Matrix) ก็ต่อเมื่อ det(A) = 0 2. A เป็ นเมตริ กซ์ไม่เอกฐาน (Non-singular Matrix) ก็ต่อเมื่อ det( A) 0 3. เมตริ กซ์ผกู พัน (Adjoint Matrix) ของ A คือ [Cij ( A)]t กล่าวคือ adj ( A) [Cij ( A)]t n n
ทฤษฎีบท ให้ A เป็ นเมตริ กซ์จตั รุ ัสมิติ n n เมื่อ n 2 จะได้ 1. A adj ( A) adj ( A) A det( A) I 2. A มีตวั ผกผันการคูณก็ต่อเมื่อ A เป็ นเมตริ กซ์ไม่เอกฐาน ในกรณี det( A) 0 จะได้วา่ A1
1 adj ( A) det( A)
3. det( A) det( At )
4. det( AB) det( A) det(B)
5. det(kA) k n det( A) , k R 1 7. det( A1 ) det( A) 1 9. (kA) 1 A1 , k R k
6. det(kA)t det(kAt ) k n det( At ) , k R 8. det( A) (1) n det( A) 10. ( AB ) 1 B 1 A1
9. กฎของคราเมอร์
บทนิยาม : ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์มิติ n n โดยที่ det( A) 0 แล้วระบบสมการที่เขียนในรู ปสมการเมตริ กซ์ AX B เมื่อตัวไม่ทราบค่าคือ x1, x2 , x3 ,, xn และ b1, b2 , b3 ,, bn เป็ นค่าคงตัว det( An ) det( A1 ) det( A2 ) , x2 , … , xn det( A) det( A) det( A) เมื่อ Ai คือ เมตริ กซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A ด้วยหลักของ B
คาตอบคือ x1
ลาดับและอนุกรม (Sequencies and series) 1. ลาดับเลขคณิ ต (Arithmetic Sequence) คือ ลาดับซึ่ งผลต่างระหว่างสองพจน์ที่อยูต่ ิดกันมีค่าคงตัวเสมอ และเราเรี ยก
ค่าคงตัวว่า ผลต่างร่ วม ( common difference) ถ้าให้ a1 เป็ นพจน์แรก และ d เป็ นผลต่างร่ วม ลาดับเลขคณิ ตจะมีลกั ษณะดังนี้
a1, a1 + d , a1 + 2d, a1 ลาดับพจน์ที่ n an = a1 + (n-1)d
+ 3d,
a1
+ 4d, …, a1 + (n-1)d, …
2. ลาดับเรขาคณิ ต (Geometric Sequence) คือ ลาดับซึ่ งอัตราส่ วนของสองพจน์ที่อยูต่ ิดกันมีค่าคงตัวเสมอ และเราเรี ยก
ค่าคงตัวว่า อัตราส่วนร่ วม ( Common Ratio) – 17 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
ถ้าให้ a1 เป็ นพจน์แรก และ r เป็ นอัตราส่วนร่ วม ลาดับเรขาคณิ ตจะมีลกั ษณะดังนี้
a , a r, a r2, a r3, a r4, …, a r n-1, … ลาดับพจน์ที่ n an = a r n-1 ลิมิตของลาดับ นิยาม lim an = L ก็ต่อเมื่อมีจานวนเต็มบวก m ที่ n ≥ m แล้วยังมี > 0 ที่ทาให้ | an− L | < 1
1
1
1
1
1
1
3.
n∞
ทฤษฎีบทของลิมิต กาหนดให้ c เป็ นค่าคงตัว 1.
1 lim n n x
3.
lim n x
n
=
0 , x>0
2.
=
0 …… x = 0 1 …… x >0
4.
lim x n
n
0 , −1< x < 1
=
lim n =
n
4. อนุกรม(Series) อนุกรม คือ ผลบวกของทุกพจน์ในลาดับที่กาหนด ใช้สญ ั ลักษณ์ แทนการบวก 5. ทฤษฎีเกี่ยวกับการบวก n
5.1
c
i 1 n
5.2
cai
i 1
, c เป็ นค่าคงตัว
= nc n
n
= c ai
5.3
i 1
ai bi
i 1
=
n
n
i 1
i 1
ai bi
6. สูตร 6.1 n
= 1 + 2 + 3 + … + n
6.2 n2
= 12 + 22 + 32 + … + n2
6.3 n3
= 13 + 23 + 33 + … + n3
n(n + 1) 2 = n(n + 1)(2n+1) 6 n(n + 1) = n2 = 2
=
2
7. อนุกรมเลขคณิ ต (Arithmetic Series)
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d)+ (a1 + 4d) + …+ [a + (n−1)d] n n = [a1 + an] = [2a + (n−1)d]
Sn =
2 2 8. อนุกรมเรขาคณิ ต (Geometric Series) Sn = a + a r + a r2 + กรณี | r | >1: Sn =
a r3 + a r4 + …+ a r n-1 a (r n - 1) r-1
9. อนุกรมอนันต์เรขาคณิ ต
กรณี | r | 0 ซึ่ง | x- a | < ที่ทาให้ | f (x)- L | < โดยที่ 0 < <
1. ลิมิตของฟังก์ชน ั :
x a
ค่าของลิมิต lim f ( x) จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ lim f ( x) = lim f ( x) x a
x a
x a
ทฤษฎีบทของลิมิต : กาหนดให้ c เป็ นค่าคงตัว 1. lim c x a
=
3. lim cf ( x) x a
2. lim x
c
x a
= c lim f ( x)
4. lim x n
x a
xa
5. lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x a
x a
lim f ( x)
f ( x) 7. lim x a g ( x )
=
9. lim n f ( x)
=
xa
x a
= a =
an
6. lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x a
x a
8. lim f ( x) n = lim f ( x) x a xa
xa
lim g ( x)
xa
x a
n
n lim f ( x) x a
2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชน ั : ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ ฟังก์ชนั f เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่จุด x = a ก็ต่อเมื่อ 1. f (a) หาค่าได้ 2. 3.
lim f ( x) หาค่าได้
x a
lim f ( x) = f (a)
x a
3. อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย =
f ( x x) f ( x) x
dy f ( x x) f ( x) lim dx x 0 x 5. สูตรที่ใช้หาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชน ั : กาหนดให้ u และ v เป็ นฟังก์ชนั พีชคณิ ต และ n R dc dx 1. = 0 2. = 1 dx dx d du n du u v = du dv 4. 3. = nu n 1 dx dx dx dx dx dcu du d u v = u dv v du 5. =c 6. dx dx dx dx dx du dv 8. ถ้า y f (u) และ u g (x) จะได้ v u d u dx dx dy dy du 7. = 2 dx v v dx du dx dy 6. ความชันของเส้นโค้ง y f (x) ที่จุด (a, b) คือ f (a) หรื อ dx 7. ฟังก์ชน ั เพิ่มและฟังก์ชนั ลด : กาหนดให้ f เป็ นฟังก์ชนั ที่ต่อเนื่องบนช่วง (a , b) จะได้วา่ 4. อนุพนั ธ์ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) เทียบกับ x ขณะ x ใดๆ ,
f เป็ นฟังก์ชน ั เพิ่ม เมื่อ f'(x) > 0
นัน่ คือ ถ้า x เพิ่มแล้ว y เพิ่ม เราจะเรี ยกว่า ฟังก์ชนั เพิ่ม – 19 –
Pinnacle 0–2251–8326
สรุ ปสูตรคณิ ตศาสตร์ PAT1
โดยอาจารย์POP
f เป็ นฟังก์ชน ั ลด เมื่อ f'(x) < 0
นัน่ คือ ถ้า x เพิ่มแล้ว y ลด เราจะเรี ยกว่า ฟังก์ชนั ลด 8. จุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่าสุดสัมพัทธ์ จุดสูงสุดสัมบูรณ์และจุดต่าสุดสัมบูรณ์ ทฤษฏีบท : กาหนดให้ f เป็ นฟังก์ชนั ที่ต่อเนื่องบนช่วง (a , b) ใดๆ และ c เป็ นค่าวิกฤตของ f ซึ่ง f'(c) = 0 พบว่า 1. ถ้า f ˝(c) > 0 แล้ว f(c) เป็ นค่าต่าสุ ดสัมพัทธ์ 2. ถ้า f ˝(c) < 0 แล้ว f(c) เป็ นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 9. ปริพน ั ธ์ (Integrate) ,ใช้ สัญลักษณ์ F(x) หรือ f ( x)dx นิยาม : ฟังก์ชนั F เป็ นปฎิยานุพนั ธ์ของ f เมื่อ F′(x) = f (x) สาหรับทุกค่าของ x ที่อยูใ่ นโดเมนของ f 10. สูตรที่ใช้หาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังก์ชน ั : เมื่อ k และ c เป็ นค่าคงตัว 1.
kdx
3.
kf ( x)dx
x n 1 c เมื่อ n 1 n 1 4. [ f ( x) g ( x)]dx = f ( x)dx g ( x)dx
= kx c
2.
= k f ( x)dx
n x dx =
11. อินทิเกรตจากัดเขต : เมื่อ f เป็ นฟังก์ชน ั ต่อเนื่องบนช่วง [a , b] และถ้า F เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง [a , b] โดยที่ F′(x) = f (x) แล้ว
b
b
f ( x)dx = F ( x) F (b) F (a) a
a
12. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
นิยาม : เมื่อ f เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง [a , b] และ A เป็ นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก x = a ถึง x = b จะได้วา่ 12.1 ถ้า f (x) > 0 สาหรับทุกค่าของ x ที่อยูใ่ นช่วง [a , b] แล้ว A จะเป็ นพื้นที่เหนือแกน x และ A = 12.2 ถ้า f (x) < 0 สาหรับทุกค่าของ x ที่อยูใ่ นช่วง [a , b] แล้ว A จะเป็ นพื้นที่ใต้แกน x และ A = –
b
f ( x)dx
a b
f ( x)dx
a
ข้ อคณิตคิดสาเร็จด้ วยเหตุผล หากผ่อนปรนตามอารมณ์ เป็ นล้ มเหลว ตา จ้องมองแผ่นพื้น ดู วิธีครู ทา หู ผึ่งสดับรับสาฟัง พจน์กาหนดให้ นั่ง แช่เย็นเช้าอยู่ พินิจ นึกตรึ กไป คณิต ศาสตร์มาตรยากไข แน่ แน่ววัดเหวีย่ งแว้ง
– 20 –
กระดานดา จดไว้ เนียงอรรถ ถ่องแท้แลเห็น ทาไม จวบแจ้ง ไม่สุด คิดหา ถูกเป้ าเข้าวัน